6 INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

6 INDUZIONE ELETTOMAGNETIA Patendo dall ipotesi di simmetia dei fenomeni natuali pe cui se una coente esecita un influenza su di una calamita così una calamita deve pote modificae lo stato di una coente Faaday ta il 8 e il 85 svolse una seie di infuttuosi espeimenti volti a mettee in luce questo effetto L oigine degli insuccessi ea legata al fatto che egli si aspettava un fenomeno stazionaio così come nell espeimento di Østed la coente detemina una deviazione costante dell ago magnetico Utilizzando una coppia di bobine tooidali avvolte su un anello di feo una collegata con una pila attaveso un inteuttoe e l alta chiusa su un galvanometo nel 83 Faaday notò un istantanea deviazione dell indice del galvanometo in coispondenza della chiusua dell inteuttoe Tale espeimento venne successivamente ipetuto in più modi così nello stesso anno Faaday ossevò che intoducendo un magnete in una bobina cilindica collegata ad un galvanometo l indice dello stumento subiva una deflessione e quando il magnete veniva estatto la deflessione si manifestava nel senso contaio Da questi effetti Faaday dedusse che in un cicuito chiuso si induce una coente quando questo posto in movimento taglia le linee di foza di un campo magnetico e il cicuito si allontana dal campo taglia le linee di foza in senso contaio ispetto a quando si avvicina deteminando l invesione della coente Qualoa il campo magnetico e il cicuito siano femi come nel caso dell espeimento delle bobine tooidali nell istante in cui una delle bobine è attavesata da coente avviene come se le linee di foza del campo magnetico si muovesseo pe cui la seconda bobina isulta pecosa da coente iò siccome lo sviluppo delle linee di foza duante il tansitoio seguente alla chiusua dell inteuttoe nel cicuito pimaio è analogo obina adopeata da Faaday pe lo studio dell induzione (oyal Institution London) all avvicinamento della bobina ad un campo magnetico stazionaio Il fenomeno dell induzione elettomagnetica venne scopeto quasi contempoaneamente dal fisico ameicano Joseph Heny che tuttavia non ebbe modo di endee pubbliche le sue iceche empe nel 83 Heny mettendo in patica il fenomeno dell induzione ealizzò il pimo motoe elettico in cui un magnete ea fatto uotae all inteno di una bobina Un analogo dispositivo venne costuito nel 833 dall italiano alvatoe Del Nego Gli espeimenti di Faaday e Heny miseo in luce la possibilità di avee all inteno di un cicuito una coente detta coente indotta senza che vi sia alcuna batteia Poiché sono le foze elettomotici a deteminae il moto delle caiche in un cicuito vuol die che attaveso il fenomeno scopeto da Faaday all inteno del cicuito si oigina una foza elettomotice indotta Michel Faaday Pagina del diaio di Faaday datata 9 agosto 83 in cui è ipotata la scopeta dell induzione elettomagnetica (oyal Institution London)

6- Induzione elettomagnetica 6 Legge di Faaday-Heny Il flusso di una coente ta due punti in un cicuito è deteminato dalla pesenza di una diffeenza di potenziale ta questi punti Indicando con A e tali punti la diffeenza di potenziale si espime come: V V = E dl ; A A se si fa ifeimento ad un cicuito chiuso come negli esempi pecedenti si ha: V = E dl Induzione dovuta al moto di una magnete all inteno di una bobina cilindica Quindi tamite il fenomeno dell induzione elettomagnetica in seno al cicuito si oigina un campo elettomotoe cioè un campo di natua non consevativa peimentalmente si osseva che la foza elettomotice V è popozionale alla apidità di vaiazione nel tempo del flusso del campo magnetico attaveso la supeficie sottesa dal cicuito in esame La vaiazione del flusso si può avee sia a causa della vaiazione del campo magnetico in possimità del cicuito sia pe una modifica della supeficie attaveso la quale si calcola il flusso sia ancoa in coispondenza di una vaiazione dell angolo compeso ta la diezione del campo magnetico e la diezione nomale alla supeficie consideata L intensità della foza elettomotice indotta V in un cicuito di supeficie pe effetto del campo magnetico è data dalla legge di Faaday-Heny che venne espessa matematicamente da Fanz Neumann nel 847: dφ ( ) d V = = ds (6) Esempio: (pia in otazione in un campo magnetico) onsideiamo una spia ettangolae di supeficie e esistenza che uota attono ad un asse passante pe il piano della spia con velocità angolae ω costante in un campo magnetico unifome L angolo ϑ ta la diezione della nomale ˆn alla supeficie della spia e la diezione di vaia nel tempo secondo la legge: ϑ = ωt così il flusso di attaveso la supeficie della spia vale: φ ˆ cosϑ cos ω ( ) = ds = n ds = ds = ( t) quindi la foza elettomotice indotta vale: dφ ( ) V() t = = ω sin ( ωt) Petanto la coente che attavesa la spia ha intensità: J ˆn

Induzione elettomagnetica 6-3 () it posto infine: I ( ) V t ω = = sin ( ωt) ; ω = i( t ) I O t la coente it ( ) si espime come: ( ) = ( ω ) it Isin t - I p w ovveo la spia isulta sede di una coente altenata di intensità I e fequenza pai a ( ) ω π 6 Legge di Lenz ome vedemo nel seguito la polaità della foza elettomotice indotta può essee stabilita a patie dall applicazione della convenzione elativa all oientamento della supeficie attaveso la quale si detemina il flusso ispetto al veso di pecoenza del contono di tale supeficie Nondimeno questa polaità si può icavae anche su basi fenomenologiche attaveso l applicazione della legge poposta da Emilij istianovič Lenz nel 834 la quale affema che la polaità della foza elettomotice indotta in un cicuito è tale da podue una coente che genea un campo magnetico che si oppone alla vaiazione del flusso attaveso il cicuito stesso In alti temini la coente indotta tende a mantenee costante l oiginaio valoe del campo magnetico Nel caso descitto in figua il cicuito è immeso in un campo ' I I d > Emilij istianovič Lenz magnetico che aumenta nel tempo ( d > ); pe effetto della vaiazione del flusso di attaveso il cicuito questo saà sede di una foza elettomotice La legge di Lenz affema che tale foza elettomotice detemineà una coente che pecoeà il cicuito in senso oaio in maniea da geneae un campo magnetico tale da opposi all aumento dell intensità del campo E possibile tovae una giustificazione di caattee enegetico a tale fenomeno; supponiamo pe assudo che la foza elettomotice indotta sia tale da podue una coente il cui veso detemina un campo magnetico che si somma col campo oiginale anziché sottasi In questo caso ad un aumento di coispondeebbe un ulteioe aumento del campo magnetico totale col conseguente aumento dell intensità della coente indotta iò innescheebbe un pocesso che detemineebbe la cescita indefinita della coente in seno al cicuito; d alta pate poiché al passaggio di coente è associata una dissipazione di enegia vuol die che in tale cicostanza si avebbe la geneazione pogessiva di enegia a spese di un campo magnetico iniziale di intensità finita iò è un palese assudo deivante dalla scoetta assunzione del veso della coente indotta

6-4 Induzione elettomagnetica 63 Induzione di movimento Nel suo tattato sull elettomagnetismo del 847 Neumann intodusse il pincipio secondo cui l induzione che si poduce in un ceto tempo è popozionale alla velocità con cui si muove un conduttoe in un campo magnetico onsideiamo un cicuito immeso in un campo magnetico ; come già visto la vaiazione del flusso del campo magnetico concatenato col cicuito può ottenesi in vaie maniee che di solito possono icondusi a due casi: il flusso di vaia peché vaia nel tempo mente il cicuito esta femo; oppue il flusso di vaia siccome cambia col tempo la configuazione del cicuito in un campo Fanz Neumann magnetico stazionaio Questo secondo caso è detto induzione di movimento Il cicuito nello spostasi genea nel tempo una supeficie ds che dl ds può itenesi costituita dalle supefici elementai δ s descitte dai singoli elementi del cicuito ia v la velocità con cui si sposta il cicuito inteso pe semplicità come un copo igido; lo spostamento elementae d dell elemento infinitesimo di cicuito dl saà dato dal podotto v così la supeficie δ s vaà: δ s nˆ = dl d = dl v petanto la vaiazione nel tempo del flusso di concatenato col cicuito è: dφ n s dl v ( ) = ˆδ = ( ) ds da cui poiché è costante segue : dφ ( ) = V = dl v = v dl ( ) ( ) dove V indica la foza elettomotice indotta nel cicuito La elazione pecedente: V = v dl (6) ( ) consente di intepetae la foza elettomotice indotta come dovuta all azione della foza di Loentz qv sulle caiche libee pesenti nel cicuito in moto (t ) d (t + ) ˆn ds In questa elazione si fa uso dell identità vettoiale elativa al podotto misto ta vettoi A ( ) = ( A)

Induzione elettomagnetica 6-5 Esempio: onsideiamo una sbaetta conduttice di lunghezza l in moto a velocità costante v attaveso un campo magnetico unifome e costante nel tempo; pe semplicità assumiamo che i vettoi v e siano pependicolai Pe effetto del moto sugli elettoni della sbaetta agisce una foza f pai a ev che li spinge veso un estemità della sbaetta; questo spostamento causa la geneazione di un campo elettostatico E ta gli estemi della sbaetta che pogessivamente detemina una foza sugli elettoni tale da impedine l ulteioe movimento La condizione di equilibio coispondente alla situazione in cui il moto di caiche si aesta è: ee= ev ossia siccome pe ipotesi v e sono pependicolai: + + + + v v f - - -- E = v Poiché tale campo è unifome esso saà legato alla diffeenza di potenziale V che si oigina ai capi della sbaetta attaveso la elazione El così: V + v V = lv con la polaità indicata in figua Quindi fa gli estemi della sbaetta è pesente una diffeenza di potenziale fintanto essa si muove nel campo magnetico; se si invete il veso del moto anche la polaità della diffeenza di potenziale si invete Quando la sbaetta dell esempio pecedente è pate di un cicuito chiuso la vaiazione del flusso magnetico attaveso tale cicuito detemina una coente Pe esaminae tale effetto supponiamo che la sbaetta di esistenza tascuabile sia in moto lungo due guide conduttici fisse e paallele e che questo cicuito sia immeso in un campo magnetico unifome e costante pependicolae al piano del cicuito Pe effetto di una foza estena F applicata alla sbaetta questa si muove in un ceto istante con velocità v di conseguenza le caiche libee della sbaetta saanno soggette ad una foza magnetica dietta lungo la sbaetta Poiché le caiche possono muovesi lungo l inteo cicuito chiuso questo saà sede di una coente indotta I La foza elettomotice V indotta ai capi della sbaetta può essee stabilita attaveso la (6) deteminando la vaiazione dell aea del cicuito podotta dal moto della sbaetta nel campo magnetico Il flusso di attaveso il cicuito vale: φ = ds = lx (63) ( ) cicuito dove x è l alto lato del cicuito così dalla (6) la foza elettomotice indotta è: dφ ( ) d dx V = = ( lx) = l = lv ; se indica la esistenza del cicuito la coente I ha intensità pai a: O I A' F m x v A F x I = V lv =

6-6 Induzione elettomagnetica petanto il dispositivo testé descitto può essee schematizzato come mostato in figua i ossevi che il veso di questa coente è tale da geneae un campo magnetico dietto nel veso opposto a quello di ; questo isultato è in accodo con la legge di Lenz in quanto col muovesi della sbaetta nel veso positivo delle x il flusso di attaveso il cicuito aumenta nel tempo e petanto la coente indotta deve geneae un campo tale da opposi a questo aumento Il lavoo svolto dalla foza estena applicata F in un ceto intevallo di tempo è pai all enegia elettica che la foza elettomotice indotta fonisce al cicuito nello stesso intevallo di tempo Inolte qualoa il moto si esplichi a velocità costante il lavoo fatto dalla foza applicata deve isultae uguale all enegia dissipata sotto foma di caloe nella esistenza del cicuito nello stesso intevallo di tempo Dalla (44) la foza di natua magnetica F m esecitata sulla sbaetta pe effetto del moto è: A F ˆ m = I dl = xil A tale foza è dietta nel veso contaio a quello del moto Volendo che il moto sia unifome deve isultae: F = F m e tale foza deve fonie una potenza P pai a: P= Fv= Ilv= VI cioè uguale alla potenza eogata dal geneatoe di foza elettomotice indotta Inolte dalla legge di Ohm (36) isulta anche: I V P= I ovveo P è pai alla potenza dissipata nella esistenza Esempio: iesaminiamo il pecedente esempio della spia in otazione in un campo magnetico allo scopo di veificae la possibilità di stabilie l espessione della foza elettomotice indotta senza fae uso della (6) on ifeimento ai simboli ipotati nella figua la foza elettomotice indotta nella spia vale: V = v dl = ( ) v dl wt spia Q M L Q v = ( v ) dl + ( v ) dl + P Q M O N P + + (64) ( v ) dl ( v ) dl ; M N N gli integali calcolati lungo i tatti QM e NP sono nulli essendo ivi i vettoi v e dl pependicolai Inolte dall ipotesi secondo cui è otogonale all asse OO segue che il podotto v ed il vettoe dl hanno lo stesso veso pe cui con ifeimento alla figua si ha: O' dl P v OO' v p -wt

Induzione elettomagnetica 6-7 Q N ( π ω ) ( ω ) ( π ω ) ( ω ) ( ω ) V = vsin t dl + vsin t dl = vl sin t + vl sin t = vl sin t P M (65) dove l indica la lunghezza dei lati PQ e MN della spia Indicando con l la lunghezza dei lati NP e QM isulta: l v = ω così sostituendo tale valoe nella (65) e indicando con l aea della spia ll si ha: l V = ωl sin ( ωt) = ll ωsin ( ωt) = ωsin ( ωt) V / N l' / P V / Questo appoccio consente pe alto di stabilie la localizzazione dei geneatoi di foza elettomotice indotta V in seno alla spia Infatti l espessione (64) indica che tali geneatoi sono situati nei lati MN e PQ secondo la schematizzazione di figua dove è la esistenza dei lati MN e l PQ e l la esistenza dei lati QM e NP l/ M l' / Q l/ 64 onvenzioni elative all applicazione della legge di Faaday- Heny ome già anticipato è possibile dedue il veso della coente indotta in un cicuito attaveso l ossevazione delle egole contenute nella elazione (6) Allo scopo esplicitiamo il pimo membo della (6) scivendo tale espessione nella foma: d E dl = nds ˆ ; ˆn in tale elazione è una geneica supeficie apeta che ha pe contono il cicuito ; inolte la nomale ˆn deve essee scelta nella diezione coispondente col veso con cui si pecoe il cicuito ioè come mostato in figua deve essee oientata in modo da vedee il veso convenzionalmente scelto come positivo pe giae in senso antioaio Quindi fissato ad esempio il veso della nomale ad viene ad essee deteminato di conseguenza il veso di ; tale veso specifica la diezione (convenzionale) con cui la coente pecoe il cicuito così qualoa il valoe della coente tovato attaveso l applicazione della (6) isulti negativo voà die che il veso eale è contaio a quello imposto dalla convenzione Natualmente l applicazione di tale convenzione è inutile al fine del solo calcolo dell intensità della coente indotta mente diventa indispensabile qualoa occoa necessaiamente stabiline il veso o le gandezze come le foze agenti che dipendono da questo veso In geneale il veso convenzionale della coente I identifica la nomale ˆn alla sezione ds del conduttoe nell espessione I = J ds = J nds ˆ ; in tale elazione il veso di ˆn (e quindi di ds ) è abitaio pe cui la coente I può isultae negativa o positiva a seconda della scelta di questo veso

6-8 Induzione elettomagnetica Esempio: Analizziamo alla luce di questa convenzione il poblema della sbaetta in moto lungo i binai Fissiamo abitaiamente il veso della nomale ˆn alla supeficie del cicuito concode col veso del campo magnetico alloa dalla (63) in coispondenza dell ascissa x della sbaetta il flusso di attaveso il cicuito vale: φ = = = ( ) nds ˆ nˆ ds lx Il podotto scalae n ˆ è positivo avendo fissato il veso di ˆn concode con quello di ; questa scelta impone che il veso di pecoenza del cicuito sia antioaio e tale saà di conseguenza il veso convenzionale pe la coente Applicando la (6) pe stabilie la coente indotta si ha: dφ ( ) l dx lv I = = = (66) il fatto che questa coente isulta negativa indica che il suo veso è opposto a quello convenzionale La foza agente sulla sbaetta è data dall integale: A F m = I dl A si ossevi che il veso di dl è concode col veso convenzionale di pecoenza del cicuito; sviluppando questo integale si tova: F m = Il xˆ sostituendo infine a I la sua espessione data dalla (66) si ha: l l F ˆ m = vl x = v 65 Autoinduzione L induzione di una foza elettomotice in un cicuito si ha anche pe effetto del passaggio di una coente vaiabile attaveso lo stesso cicuito; infatti in questo caso la coente poduà un campo magnetico vaiabile che si concateneà col cicuito deteminando un flusso vaiabile; questa vaiazione povocheà di conseguenza la geneazione di una foza elettomotice che in tale cicostanza è detta autoindotta Pe questo motivo il fenomeno testé descitto pende il nome di autoinduzione Dalla legge di iot-avat il campo magnetico podotto dal passaggio di una coente i attaveso un cicuito è data dall espessione: µ i dl 3 = 4π così il flusso di tale campo attaveso il cicuito consideato vale: µ i dl µ dl φ ( ) = ds = ds = i ds 3 3 4π 4π

Induzione elettomagnetica 6-9 La quantità contenuta nella paentesi dipende dalle caatteistiche geometiche e fisiche del cicuito e pende il nome di induttanza L del cicuito; è possibile petanto definie tale gandezza attaveso la elazione: φ L i ( ) (67) L unità di misua dell induttanza è l heny (H) e isulta 3 H = T m A Nota l induttanza di un cicuito dalla (6) si deduce la foza elettomotice autoindotta nel cicuito stesso; indicando con i la coente che attavesa tale cicuito questa foza elettomotice saà data da: dφ ( ) d v= = ( Li) e nell ipotesi in cui la geometia del cicuito e il mezzo in cui è inseito non vaino nel tempo si ha: di v= L L effetto di un induttanza in seno ad un cicuito è quello di impedie alla coente di aumentae o decescee istantaneamente Tipicamente è possibile assumee che in un cicuito l induttanza sia concentata in paticolai dispositivi come le bobine detti induttoi on ifeimento alla figua la bobina L impedisce che alla chiusua del tasto la coente diventi istantaneamente uguale a V Infatti al cescee della coente nel tempo aumenta anche il flusso magnetico concatenato col cicuito e in paticolae con la bobina Tale aumento induce ai capi della bobina una foza elettomotice che dalla legge di Lenz si oppone alla vaiazione di flusso La foza elettomotice indotta deve deteminae quindi una coente opposta a quella oiginaia che allenteà l aumento complessivo della coente In patica la bobina agisce in seno al cicuito come un geneatoe di foza elettomotice con polaità opposta ispetto alla batteia che alimenta il cicuito i L v L = L di così elativamente ai vesi della coente e della foza elettomotice indotta indicati nello schema di figua isulta: v L di = L (68) V T i L v 3 i noti che intoducendo questa unità di misua si può espimee l unità della pemeabilità magnetica del vuoto µ come: [ ] e in paticolae: Tm Tm H µ = = = A A m m µ H µ 6 m

6- Induzione elettomagnetica Esempio: (Induttanza di un solenoide) Deteminiamo l induttanza di un solenoide di lunghezza l costituito da N spie avvolte in aia; assumiamo che l sia gande ispetto al aggio delle spie Da tali ipotesi segue che il campo magnetico inteno al solenoide è unifome così quando il solenoide è attavesato da una coente i si ha: N = µ l i Il flusso di attaveso ciascuna spia è: φ µ ( N ) = = i in cui è la sezione del solenoide; siccome N ( ) l φ è il flusso attaveso l inteo solenoide dalla (67) si ha: Nφ ( ) N L = =µ i l (69) Qualoa il solenoide fosse avvolto su di un suppoto di mateiale caatteizzato da una pemeabilità magnetica elativa µ l intensità del campo magnetico all inteno del solenoide vaebbe: N = µµ l i così con la sostituzione del podotto µ µ in luogo di µ nell espessione di L si ha: N L = µµ (6) l Esempio: (Induttanza di un solenoide tooidale) Deteminiamo l induttanza di un solenoide ealizzato avvolgendo N spie su di un suppoto tooidale a sezione i ettangolae di aggi a e b (a< b) e altezza h Quando il solenoide è pecoso da una coente i il volume (vuoto) inteno al solenoide saà sede di un campo magnetico le cui linee di foza sono cechi concentici con l asse del tooide L intensità di vale: µ Ni = π Il flusso φ spia ( ) del campo attaveso una singola spia vale: φ spia b b b µ Ni µ Nhi µ Nhi b = = = = = ln π π π a ( ) ds hd hd d spia a a a in cui hd è l aea della stiscia elementae mostata in figua osì il flusso φ ( ) attaveso le N spie saà dato dal podotto Nφspia ( ) petanto l induttanza della bobina tooidale vale: φ ( ) Nφ spia ( ) µ Nh b L = = = ln i i π a a b d h Esempio: Attono ad un nucleo feomagnetico di sezione unifome lunghezza media l e pemeabilità magnetica elativa µ sono avvolte N spie di filo conduttoe Il nucleo pesenta un tafeo di spessoe l stabiliamo l induttanza dell avvolgimento consideato Applicando la legge di Hopkinson a tale nucleo isulta:

Induzione elettomagnetica 6- F = φ ( ) dove F è la foza magnetomotice NI dell avvolgimento quando è pecoso da una coente I φ ( ) il flusso del campo magnetico attaveso la sezione del nucleo e la iluttanza del coispondente cicuito magnetico: l l l = + µµ µ ostituendo nella elazione pecedente si tova: da cui segue: l l l NI = + µµ µ φ φ ( ) NI = l l l + µµ µ ( ) L autoinduttanza dell inteo avvolgimento vale quindi: Nφ ( ) N L = = I l l l + µµ µ I N l l i ossevi che qualoa la pemeabilità magnetica elativa del nucleo sia elevata la iluttanza del tafeo domina su quella del nucleo pe cui l induttanza dell avvolgimento saà appossimabile come µ Nl 66 Enegia immagazzinata in una bobina enegia del campo magnetico onsideiamo un cicuito pecoso da una coente vaiabile in cui è pesente una bobina di induttanza L iccome la legge di Kichhoff pe le tensioni affema che la somma delle foze elettomotici è pai alla somma delle cadute di tensione nella somma delle foze elettomotici occoe compendee olte ai geneatoi anche le foze elettomotici podotte ai capi delle bobine così indicando con i la caduta di potenziale totale si ha: V i L v L V vl = i ostituendo a v L la sua espessione dalla (68) isulta: di V = i+ L ; infine moltiplicando ambo i membi pe la coente i si ottiene:

6- Induzione elettomagnetica di Vi = i + Li Questa elazione appesenta il bilancio enegetico del cicuito; il pimo membo è la potenza spesa dal geneatoe pe fa scoee attaveso il cicuito la coente i; il secondo membo è somma di due temini il pimo dei quali è la potenza dissipata nella esistenza pe effetto Joule mente il secondo indica la apidità con cui viene immagazzinata l enegia nella bobina In paticolae indicando con U l enegia immagazzinata in un ceto istante nella bobina alloa: m du m di = Li da cui segue: du m = Li di ; infine integando ambo i membi di tale elazione è possibile icavae l enegia totale immagazzinata nella bobina quando è attavesata da una coente I : m I U = Lidi = LI cioè l enegia immagazzinata nel campo magnetico di una bobina pecosa da una coente I vale: Um = LI (6) In questa elazione la coente I può essee in geneale stazionaia oppue dipendente dal tempo A patie dalla elazione (6) è possibile deteminae l enegia pe unità di volume immagazzinata in un campo magnetico cioè la densità di enegia onsideiamo una bobina di lunghezza l costituita da N spie avvolte in aia ed assumiamo che l sia gande ispetto al aggio delle spie; l induttanza di tale dispositivo è data dalla elazione (69) pe cui l enegia immagazzinata nella bobina quando è pecosa da una coente I è: µ N N m = = = µ l µ l U LI I I l; la quantità ta paentesi ( ) µ NlI appesenta l intensità del campo magnetico geneato dal solenoide così sostituendo si ha: = ( ) Um l µ Il podotto l è il volume del solenoide petanto la densità di enegia magnetica m u immagazzinata in tale volume vale:

Induzione elettomagnetica 6-3 u m U l µ m = = cioè: um µ = In tale espessione è assente qualsiasi ifeimento al dispositivo adopeato pe geneae il campo magnetico non compaendo né l induttanza L né la coente I; così sebbene icavata pe una paticolae configuazione di coente questa elazione isulta di validità geneale e fonisce la densità di enegia magnetica in ogni punto dello spazio noto il valoe dell intensità del campo magnetico in tale punto Facendo uso dell espessione di u m è possibile scivee in maniea geneale l espessione dell enegia associata ad un campo magnetico indipendentemente dal pocesso che lo detemina: U m µ = dv V dove l integale è calcolato nel volume in cui è pesente il campo Qualoa la bobina sia avvolta su un suppoto di pemeabilità magnetica elativa µ è possibile ipetee il pocedimento facendo uso della elazione (6) pe l induttanza consideando che in tale cicostanza il campo magnetico geneato dalla bobina vale µµ ( NlI ) ; in questa maniea si ottiene pe la densità di enegia associata al campo magnetico la elazione ( µ µ ) ; d alta pate nell ipotesi in cui è possibile scivee il campo magnetico in temini del vettoe H come µµ H la densità di enegia può essee espessa come ( ) H Infine è possibile povae che tale elazione può essee genealizzata come: um = H da cui segue: U m = H dv (6) V Attaveso l espessione dell enegia associata ad un campo magnetico facendo uso del pincipio dei lavoi vituali (si veda il pa 6) è possibile deteminae le azioni meccaniche che hanno luogo pe effetto di un campo magnetico In paticolae il calcolo della foze viene effettuato espimendo l enegia del campo magnetico in funzione della coodinata da cui dipende la foza e calcolando la deivata dell enegia ispetto a tale coodinata Esempio: Un elettocalamita a feo di cavallo è costituita da un mateiale magnetico di pemeabilità magnetica elativa pai a 6 su cui è avvolto un ceto numeo di spie in modo da deteminae una foza magnetomotice F di 4 Asp Essa attia una sbaetta dello stesso mateiale e della sezione di 4cm in modo da chiudee pefettamente

6-4 Induzione elettomagnetica il cicuito magnetico la cui lunghezza complessiva è di35cm tabiliamo la foza necessaia a staccae la sbaetta In elazione ad uno spostamento vituale x della sbaetta dall elettocalamita la iluttanza del cicuito diventa: l x x = + ; µµ µ così dalla legge di Hopkinson e dalla elazione (67) segue che l autoinduttanza dell avvolgimento vale: Nφ ( ) N F F F F µµ L = = = = = I I I I l x x + I l+ x( µ ) µµ µ Dalla (6) la vaiazione dell enegia magnetica coispondente allo spostamento vituale consideato vale: dl µµ ( µ ) F µµ ( µ ) F dum = d LI = I dx = I dx dx = dx I l+ x( µ ) l+ x( µ ) La foza di distacco vale quindi: essendo µ µµ µ F µµ ( µ ) F µµ F F = = = N ( ) x( µ ) dum dx x= l l l + x= 67 Mutua induzione I L induzione di una foza elettomotice in seno ad un cicuito può avvenie a causa del passaggio di una coente vaiabile nel cicuito stesso ma come messo in luce dall oiginaio espeimento di Faaday può anche podusi in coispondenza delle vaiazioni di coente in cicuiti posti nelle vicinanze Tale fenomeno pende il nome di mutua induzione onsideiamo due spie possime una all alta; supponiamo che una delle due sia pecosa da una coente I Tale coente poduà nell intono della spia un campo magnetico che concatenandosi con la seconda spia detemineà un flusso φ non nullo Il campo magnetico geneato dal passaggio della ( ) coente I attaveso il cicuito è dato dall espessione: µ I dl = 3 4π pe cui il flusso di attaveso il cicuito vale: µ I dl µ dl φ ( ) = ds = ds = I ds = I M 3 3 4π 4π

Induzione elettomagnetica 6-5 Analogamente se è la seconda spia ad essee pecosa da una coente I il flusso del campo podotto attaveso la pima spia è: µ I dl µ dl φ ( ) ds ds I ds I M = = 3 = 3 = 4π 4π E possibile povae 4 che i due coefficienti di popozionalità M e M sono uguali; poniamo quindi: M M = M ; il temine M pende il nome di coefficiente di mutua induzione e in analogia al caso dell induttanza può essee definito dal punto di vista opeativo come: M φ = I ( ) φ ( ) I (63) Anche in questo caso M dipende unicamente dalle caatteistiche geometiche e fisiche dei cicuiti accoppiati e si misua in heny Noto M è possibile quindi stabilie l entità della foza elettomotice indotta in un cicuito pe effetto della vaiazione della coente in un alto ovveo ad esempio: v di = M appesenta la foza elettomotice indotta nel secondo cicuito a causa del campo magnetico vaiabile geneato dalla cicolazione della coente i attaveso il pimo cicuito Natualmente 4 Questa popietà può essee facilmente veificata attaveso l impiego del P a distanza da un cicuito pecoso dove potenziale vettoe Il campo magnetico ( ) I si espime attaveso il potenziale vettoe come A ( ) dalla coente A ( ) µ I = 4π dl O - dl I petanto il flusso di ( ) attaveso un cicuito posto in possimità del pimo cicuito vale: dl φ = ds = A ds = A dl = dl = µ I ( ) ( ) 4π µ dl dl = I = I M 4π dove si è fatto uso del teoema del otoe Dalla popietà commutativa del podotto scalae segue quindi: M µ dl dl µ dl dl = = = M 4π 4π O dl - dl I

6-6 Induzione elettomagnetica esisteà un analoga espessione pe la foza elettomotice indotta nel pimo cicuito quando il secondo è pecoso da una coente vaiabile Esempio: tabiliamo il coefficiente di mutua induzione ta un filo conduttoe ettilineo e indefinito ed una spia quadata di lato a complanae al filo il cui lato più possimo al filo dista b da questo Il campo magnetico podotto a distanza dal filo conduttoe quando questo è attavesato da una coente I in coispondenza della supeficie della spia vale: µ I = nˆ π I dove ˆn è il vesoe nomale alla spia Petanto il flusso di attaveso la supeficie della spia è dato da: φ b+ a µ I ds µ I a d µ Ia a = ˆ = = = ln + π π π b ( ) nds così dalla (63) segue: b φ µ M = = + I π b ( ) a a ln b a Esempio: onsideiamo due bobine ispettivamente di N e N spie entambe avvolte su uno stesso suppoto cilindico di sezione e lunghezza l con l tabiliamo il coefficiente di mutua induzione ta le due bobine L intensità del campo magnetico podotto dalla bobina di N spie vale: N l = µ I e il flusso di tale campo attaveso la bobina di N spie è: N N N N φ ds µ I ds µ I ds µ I ( ) = = = = l l l N N N 68 aica e scaica di una bobina onsideiamo il cicuito di figua in cui la coente nell istante iniziale i = ) applicando la legge di in cui viene chiuso l inteuttoe T è nulla ( ( ) Kichhoff pe le tensioni si ha 5 : V T i L 5 i noti che questa equazione isulta fomalmente analoga a quella che descive il moto ettilineo di un punto mateiale di massa m (coispondente a L) velocità vt ( ) (coispondente a i( t ) ) in un mezzo viscoso la cui foza esistente è γ vt ( ) (coispondente a i ( t) ) sotto l effetto di una foza estena costante di intensità F (coispondente a V): ( ) dv t m = F γ v t (); il moto descitto da questa equazione ammette una velocità limite pai a F γ che si aggiunge quando il secondo membo si annulla e di conseguenza dv( t) = Petanto pe analogia come del esto veificheemo analiticamente

Induzione elettomagnetica 6-7 () di t V = i() t + L ; sepaando le vaiabili isulta: posto quindi di = L V i L τ ed integando ta gli istanti e t in cui la coente assume ispettivamente valoe nullo e un valoe geneico i si ha: t dς = τ da cui segue: i dξ V ξ V i(t ) V æ - ö ç è e ø V = t τ () ( e ) i t O t t dove τ pende il nome di costante di tempo del cicuito Questa espessione della coente può essee iguadata come la somma di due temini la coente V che attaveseebbe il cicuito sin t dall istante iniziale in assenza della bobina e il temine ( ) chiusua deteminato dal fenomeno dell autoinduzione upponiamo che a patie dalla condizione di equilibio in cui la coente attaveso il cicuito vale V l inteuttoe T venga apeto Pe esaminae il compotamento del cicuito in tale cicostanza schematizziamo l apetua dell inteuttoe sostituendolo con una esistenza di valoe molto più gande di Applicando la legge di Kichhoff al cicuito consideato si ha: () di t V = ( + ) i( t) + L V e τ detto extacoente di V ' i L che può essee appossimata come: ( ) di t V i() t + L il cicuito pesenta un valoe asintotico della coente pai a V Inolte siccome l enegia cinetica acquisita dal punto mateiale vale mv ( t ) pe analogia l enegia acquisita dalla bobina è ( ) Li t in accodo con la elazione (6)

6-8 Induzione elettomagnetica essendo pe ipotesi ; sepaando le vaiabili e integando si ha quindi: t dς = τ i V dξ V ξ dove L L τ = τ Petanto la coente nel cicuito vale: V V V V i t e e t τ t τ () = + Tale coente che si ha in coispondenza dell apetua dell inteuttoe è detta extacoente di apetua In questa cicostanza la foza elettomotice che si oigina ai capi della bobina vale: () t τ t di t V vl () t = L L e = V e τ τ in paticolae nell istante di apetua dell inteuttoe ( vale V ( ) e siccome isulta v ( ) L ; t = ) la tensione ( ) v ai capi della bobina L V Attaveso la scopeta del fenomeno dell extacoente di apetua nel 833 Heny fu potato a intodue il concetto di autoinduttanza di un cicuito Esempio: Pe stimae l entità della foza elettomotice che si induce ai capi della bobina in coispondenza dell apetua dell inteuttoe supponiamo che la esistenza valga kω il geneatoe V eoghi una tensione di V e l inteuttoe apeto venga schematizzato con una esistenza di MΩ Alloa la tensione v L ( ) vale kv Nella patica l inteuttoe non si compota nella maniea descitta ma la sua esistenza è una complicata funzione del tempo che vaia da un valoe molto piccolo in teoia nullo nella situazione in cui l inteuttoe è chiuso ad uno molto gande in teoia infinito quando l inteuttoe è apeto omunque l oiginasi di questa intensa diffeenza di potenziale ai capi dell inteuttoe nella fase di apetua può potae alla fomazione di una beve scaica che alla lunga detemina il deteioamento dei contatti dell inteuttoe Pe tale motivo i contatti degli inteuttoi che comandano gossi caichi induttivi ad alta tensione sono genealmente tenuti in bagno d olio Il fenomeno dell extacoente di apetua veniva adopeato nel passato pe la geneazione di alte tensioni Ad esempio nel occhetto di uhmkoff la vaiazione di coente in un cicuito induttivo podotta pe effetto di una successione peiodica di chiusue e apetue di un inteuttoe povoca la geneazione di una elevata tensione in un secondo cicuito mutuamente accoppiato al pimo onsideiamo il cicuito di figua; qualoa alla chiusua dell inteuttoe T al tempo t = la bobina isulti attavesata da una coente I l equazione del cicuito si scive: () di t = i () t + L T i L che ha soluzione:

Induzione elettomagnetica 6-9 () i t t = I e τ In tale cicostanza l enegia dissipata nella esistenza a patie dall istante iniziale è: i(t ) J t τ τ t τ () U = i t = I e = I e = L = I = LI I I e che costituisce l enegia immagazzinata nella bobina in coispondenza dell istante iniziale O t t Esempio: onsideiamo una bobina piana di N spie di supeficie di esistenza complessiva i cui estemi siano collegati ta loo upponiamo che la bobina sia oiginaiamente immesa in un campo magnetico unifome e costante e supponiamo all istante di tempo iniziale t = il campo si annulli tabiliamo la caica che attavesa la spia a patie dall istante iniziale In geneale isulta: q= i() t D alta pate la coente i( t ) attaveso la spia saà dovuta al fenomeno dell induzione cioè: () i t dφ = in cui φ appesenta il flusso del campo magnetico attaveso la bobina ostituendo quindi nella pecedente espessione si tova: dφ dφ φ φ q= i() t = = = dφ = φ φ dove φ e φ appesentano il flusso di attaveso la bobina calcolato ispettivamente in coispondenza dell istante iniziale e di quello finale Tale espessione che consente di stabilie la caica che scoe attaveso un cicuito immeso in un campo magnetico vaiabile pende il nome di legge di Felici Quindi utilizzando questa elazione il calcolo della caica è icondotto ad una deteminazione del flusso del campo magnetico attaveso la bobina In paticolae: φ = N ds = N φ = petanto: N q = i noti che attaveso l applicazione della legge di Felici è possibile effettuae la deteminazione di un campo magnetico attaveso una misua di caica

6- Induzione elettomagnetica 69 Foze elettomotici e campi elettici ebbene fino ad oa nell applicazione della legge di Faaday-Heny espessa nella foma d E dl = nds ˆ si sia fatta coincidee la cuva con un cicuito costituito da un filo conduttoe occoe ossevae che la geneazione di un campo elettico pe effetto della vaiazione di un campo magnetico è un fenomeno che pescinde dalla pesenza di caiche elettiche Pe illustae questo aspetto della legge di Faaday-Heny consideiamo una egione piva di caiche e immesa in un campo magnetico unifome e vaiabile nel tempo onsideiamo un pecoso cicolae di aggio giacente nel piano pependicolae alla diezione di Pe effetto della vaiazione di lungo tale pecoso compae una foza elettomotice e di conseguenza si osseveà un campo elettico E Pe simmetia tale campo assumeà la stessa intensità in tutti i punti della cuva e inolte saà dietto tangenzialmente a ; infatti il campo E non può avee componenti adiali peché qualoa ve ne fosseo il flusso attaveso una supeficie cilindica coassiale alla diezione di saebbe diveso da zeo indicando la pesenza di caiche intene a tale supeficie in contaddizione con l ipotesi iniziale elativa all assenza di caiche nella egione consideata Petanto indicando con ˆt il vesoe tangente alla ciconfeenza si può scivee: ˆn E d < E = Etˆ quindi integando lungo il pecoso siccome dl = tˆ dl si ha: E dl = π E inolte se è la supeficie della ciconfeenza indicando con ˆn il vesoe nomale a e assumendo che ˆn abbia lo stesso veso del vettoe campo magnetico si ha: d d d ds = nds ˆ =π così l intensità del campo elettico indotto vale: d E = e l intensità del campo magnetico è decescente cioè se d è negativo pe la legge di Lenz un ideale coente indotta che fluisse attaveso un cicuito coincidente col pecoso dovebbe scoee in senso antioaio siccome la coispondente foza elettomotice indotta deve opposi a questa vaiazione del campo magnetico Di conseguenza le linee di foza del campo elettico indotto

Induzione elettomagnetica 6- E dovanno essee diette anche loo in senso antioaio così come appesentato in figua Vettoialmente isulta quindi: d E = nˆ (64) ebbene i campi geneati attaveso il meccanismo dell induzione elettomagnetica siano in gado di esecitae delle foze sulle caiche come quelli podotti dalle caiche stazionaie esistono delle pofonde diffeenze ta i due tipi di campi elettici E possibile endesi conto di ciò ossevando che i campi podotti dall induzione elettomagnetica sono caatteizzati da linee di foza che possono descivee pecosi chiusi mente pe i campi di natua elettostatica le linee di foza non fomano mai pecosi chiusi dovendo oiginae dalle caiche o teminae su queste Questa diffeenza indica che i campi podotti dall induzione elettomagnetica non sono consevativi e infatti la cicuitazione del campo elettico lungo un pecoso chiuso è espessa dalla (6) e vale φ ( ) pe i campi elettostatici d mente è nulla ˆn E d < 6 Fomulazione diffeenziale della legge di Faaday-Heny onsideiamo un pecoso fisso di supeficie applicando il teoema del otoe al pimo membo dell espessione: d E dl = ds si ottiene: d ( E) ds = E dl = ds = ds dove la deivata ispetto al tempo è stata potata sotto il segno di integale essendo il pecoso fisso; segue quindi: E+ ds = ; dovendo valee questa identità pe ogni dominio di integazione deve isultae necessaiamente nulla la funzione integanda ovveo: E = (65) t Questa elazione fonisce l espessione della legge di Faaday-Heny in foma diffeenziale A patie da tale elazione facendo uso del potenziale vettoe intodotto nella (48) è possibile genealizzae l espessione (7) ostituendo la (48) nella (65) si ha:

6- Induzione elettomagnetica ( A) A E = = = ovveo: A E + = Da tale identità segue che la funzione E+ A A E+ = V è uguale al gadiente di una funzione cioè: Dove V è natualmente il potenziale elettostatico Il campo elettico può espimesi quindi come: A E = V t cioè il campo elettico è somma di due temini V deteminato dalle distibuzioni di caica e A dovuto alla vaiazione tempoale del potenziale vettoe A Dalle elazioni (6) e (48) attaveso l applicazione del teoema del otoe la foza elettomotice v indotta in un cicuito di supeficie vale: d d d A v = ds = ( A) ds = A dl = dl Esempio: onsideiamo un campo di induzione unifome che decesce nel tempo secondo la elazione d = k in cui k è una costante positiva tabiliamo la foza elettomotice indotta in una spia cicolae di aggio posta otogonalmente alle linee di foza di ed inolte l intensità e la diezione del campo elettico indotto in ogni punto della spia La foza elettomotice indotta v si calcola attaveso l applicazione della (6) dove la vaiazione nel tempo del flusso di attaveso la supeficie della spia è deteminata dalla vaiazione dell intensità di quindi: dφ ( ) d v= = = k =π k ebbene si possa pocedee attaveso consideazioni legate alla simmetia del poblema come vedemo successivamente pe la deteminazione del campo elettico indotto E facciamo uso della elazione (65) iccome: d k = indicando con û il vesoe associato al veso del campo magnetico (û E = kuˆ ossia sviluppando l opeatoe otoe: ) la (65) si scive:

Induzione elettomagnetica 6-3 in cui: xˆ yˆ zˆ E E z y E E x Ez y E x E = = xˆ + yˆ + zˆ = ku ˆ ˆ x x + kuy y + kuz zˆ x y z y z z x x y E E E u ˆ x u xˆ u ˆ ˆ y u y uˆ zˆ uz x y z Occoe petanto isolvee il seguente sistema di equazioni diffeenziali alle deivate paziali: E y E z E x E z y = z E x E y x z = y x = ku ku ku x y z possiamo ossevae che isolve la pima equazione la coppia di componenti di E : Ez = kuxy+ f ( x z) (66) Ey = kuxz+ g( x y) (67) dove f ( x z ) e ( ) g xy sono due abitaie funzioni La seconda equazione è isolta dalle componenti: Ex = kuyz+ h( x y) (68) Ez = kuyx+ l( y z) ; (69) dove h( x y ) e ( ) l y z sono due abitaie funzioni onfontando la (66) con la (69) osseviamo che siccome nella pima E è espessa tamite una funzione di y ed è nota a meno di una abitaia funzione di x e z mente nella seconda z E è espessa attaveso una funzione di x ed è nota a meno di una abitaia funzione di y e z possiamo assumee che la z funzione abitaia della (66) sia ku x e che la funzione abitaia della (69) sia ku y Petanto la elazione: y Ez = k( yux xuy) (6) è in accodo sia con l espessione di E z indicata dalla (66) che con quella mostata nella (69) Infine la teza equazione del sistema è isolta dalla coppia di componenti: Ex = kuzy+ m( x z) (6) Ey = kuzx+ n( y z) (6) in maniea analoga a quanto fatto pe la componente segue: E dal confonto ta la (68) e la (6) e ta la (67) e la (6) z x

6-4 Induzione elettomagnetica Ex = k( uyz uzy) (63) Ey = k( uzx uxz) (64) Facendo uso delle componenti indicate dalle elazioni (63) (64) e (6) il vettoe campo elettico E può essee scitto come: xˆ yˆ zˆ E = k ( u ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ yz uzy x + uzx uxz y + yux xuy z = k ux uy uz = k u (65) x y z in cui è il aggio vettoe: = xxˆ+ yyˆ+ zzˆ Petanto pe i punti della spia il campo elettico è tangente alla spia ed è oientato ispetto al campo magnetico secondo la egola della mano desta ome già anticipato è possibile conseguie lo stesso isultato in maniea analoga a quanto fatto pe ottenee la elazione (64); da questa fomula poiché in questo caso d = k alloa: d E = nˆ = ( k) nˆ = k nˆ questa espessione coincide con la (65) essendo ˆn dietto come û 6 Legge di Ampèe-Maxwell La legge di Ampèe affema che nel vuoto in pesenza di una coente I il campo magnetico soddisfa la elazione: dl = µ I = µ J ds dove è una geneica supeficie che ha come contono la linea che concatena la coente I e lungo la quale si calcola la cicuitazione del campo magnetico A questa elazione coisponde l espessione diffeenziale: = µ J ; (66) applicando l opeatoe divegenza ad ambo i membi si tova: µ = = ( ) J Questa elazione è consistente con l equazione di continuità (34) nel caso stazionaio J = ma non lo è ovviamente nel caso geneale in cui la densità di caica ρ vaia nel tempo quando J = ρ Esempio: La non validità della legge di Ampèe nel caso non stazionaio emege ad esempio nel pocesso di caica o di scaica di un condensatoe on ifeimento alla figua la cicuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa di figua è divesa da zeo essendo il conduttoe pecoso da coente (la coente di caica o di scaica del

Induzione elettomagnetica 6-5 condensatoe); d alta pate pe la legge di Ampèe la cicuitazione del campo magnetico lungo è pai a µ volte la coente che attavesa una qualsiasi supeficie che ha come contono osì se consideiamo una supeficie piana di contono si ha che la cicuitazione dlè pai a µ I se I è la coente che attavesa tale supeficie onsideiamo oa una supeficie di contono che si estende nella egione compesa ta le amatue del I condensatoe; in questo caso non è attavesata dal vettoe densità di coente così il flusso di tale vettoe attaveso è nullo e di conseguenza deve essee pue nulla la cicuitazione dl in palese contasto col calcolo pecedentemente svolto pe Pe sanae le contaddizioni evidenziate dal pecedente esempio nel 864 Maxwell popose di estendee il significato del concetto di densità di coente nel modo che segue Modifichiamo l espessione della (66) aggiungendo al secondo membo un vettoe J da deteminasi in modo da endee compatibile tale espessione con l equazione di continuità: I = µ J + µ J dove il vettoe J ha le dimensioni di una densità di coente pe ovvi motivi di omogeneità dimensionale Applicando ad ambo i membi l opeatoe divegenza si ha: = + ( ) µ J µ J siccome il pimo membo è nullo segue: J = J Affinché tale espessione isulti in accodo con l equazione di continuità poniamo: ρ E J = ε E = ε dove si è fatto uso dell espessione diffeenziale della legge di Gauss E = ρ ε pe poe in elazione la densità di caica ρ col elativo campo elettico E Da tale elazione segue: E J ε = fa tutte le possibili soluzioni di questa equazione scegliamo quella pe cui: J E ε James lek Maxwell

6-6 Induzione elettomagnetica on questa modifica la nuova espessione della legge di Ampèe è: E µ J µ ε = + che in tale foma pende il nome di legge di Ampèe-Maxwell Questa elazione coincide con la legge di Ampèe nel caso stazionaio in cui i campi non dipendono dal tempo e E t = inolte è matematicamente compatibile in geneale con l equazione di continuità Il vettoe J è detto densità di coente di spostamento e il suo flusso attaveso una qualunque supeficie : E I J ds ε = = ds (67) pende il nome di coente di spostamento attaveso tale supeficie Nel caso non stazionaio la densità di coente di spostamento va aggiunta alla densità di coente di conduzione J ottenendo così una densità di coente totale genealizzata: J T E = J +ε che è sempe solenoidale alcolando su una geneica supeficie non chiusa il flusso di entambi i membi dell espessione della legge di Ampèe-Maxwell e applicando al pimo membo il teoema del otoe si tova immediatamente che il teoema della cicuitazione di Ampèe vale istante pe istante anche in condizioni non stazionaie pu di consideae in luogo della coente di conduzione la coente totale genealizzata Esempio: Pe veificae che l appoccio testé illustato sana la contaddizione emesa nel pecedente esempio consideiamo nuovamente il pocesso di caica o scaica di un condensatoe La legge di Ampèe in foma integale si espime come: dl = µ I+ I ( ) + q ˆn E - q I in cui I è dato dalla elazione (67); se si considea la supeficie che ha pe contono il flusso della densità di coente di conduzione attaveso tale supeficie vale I e inolte siccome attaveso non ci sono campi elettici vaiabili isulta: dl =µ I I onsideiamo oa pe semplicità una supeficie cilindica che contiene l amatua positiva del condensatoe come mostato in figua Poiché il flusso della densità di coente attaveso è nullo non compae I nell espessione della legge di Ampèe-Maxwell Tuttavia occoe consideae il contibuto della coente di spostamento I ; infatti ta le amatue è pesente il campo elettico vaiabile: σ q E = nˆ = nˆ ε ε

Induzione elettomagnetica 6-7 in cui è la supeficie dell amatua positiva; tale campo nomale alla pate di affacciata all amatua e nullo altove vaia poiché sta vaiando la quantità di caica q sulle amatue del condensatoe La densità di coente di spostamento vale quindi: E q dq I J ˆ ˆ = ε = ε n = n= nˆ ε iccome il flusso di J attaveso la supeficie è diveso da zeo solo in coispondenza della pozione di supeficie affacciata all amatua positiva la coente di spostamento è: I I I = J ds = nˆ ds = ds = I cioè la coente di spostamento coincide con la coente di conduzione e ancoa una volta vale la elazione: dl =µ I Questa tattazione pescinde dalla pesenza di mezzi mateiali; se lo spazio è iempito da un mateiale dielettico si fa uso del vettoe spostamento D la cui divegenza è legata alla densità di caica libea ρ dalla elazione D = ρ ; in questo caso la densità di coente totale genealizzata si scive: D JT = J + t e la legge di Ampèe-Maxwell si espime come: D µ J µ = + Inolte se nella densità di coente J T deve essee compesa anche la densità di coente ampeiana JM = M fatto che non altea la solenoidalità della densità di coente totale genealizzata isulta: D D = µ J + µ JM + µ = µ J + µ M + µ Infine il temine contenente il vettoe magnetizzazione M può essee fatto scompaie fomalmente potandolo al pimo membo: D M = J + µ e icoendo al vettoe ( µ ) H = M così la legge di Ampèe-Maxwell diventa:

6-8 Induzione elettomagnetica D H = J + t 6 Equazioni di Maxwell Nel 864 in una memoia intitolata A Dynamical Theoy of Electomagnetic Field estesa nel 873 in un tattato geneale Maxwell iassunse in un insieme di venti equazioni le leggi dell elettomagnetismo Nel vuoto in pesenza di caiche libee e di coenti di conduzione distibuite ispettivamente con densità ρ e J le equazioni di Maxwell ifomulate intono al 89 da Heinich Hetz e da Heaviside si espimono come: ρ E = (68) ε = (69) E = (63) t E µ J µ ε = + ; (63) l equazione (68) stabilisce che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è deteminato dalla caica acchiusa dalla supeficie tale elazione è valida sia pe campi statici che vaiabili; l equazione (69) affema che il campo magnetico è sempe solenoidale e quindi che non esistono caiche magnetiche; l equazione (63) mosta che un campo magnetico vaiabile è sogente di un campo elettico; infine l equazione (63) individua quali sogenti del campo magnetico le coenti di conduzione e le vaiazioni del campo elettico Applicando l opeatoe divegenza alla (63) e facendo uso della (68) si ottiene l equazione di continuità: ρ J + = che espime la consevazione della caica elettica popietà contenuta quindi nelle equazioni di Maxwell La foza agente su di una paticella di caica q è espessa dalla elazione di Loentz: F = q E+ v ( ) e il moto soddisfa la seconda legge di Newton: dp F = dove p è la quantità di moto associata alla paticella; pe piccole velocità ispetto a quella della luce nel vuoto questa espessione diventa F = ma in cui m e a appesentano ispettivamente la massa e l acceleazione della paticella Ai campi E e è associata una densità di enegia:

Induzione elettomagnetica 6-9 u E = ε + µ Nei mezzi mateiali la pesenza dei campi E e detemina la fomazione di caiche di polaizzazione e di coenti di magnetizzazione le cui densità sono espimibili attaveso i vettoi P e M Tali densità modificano i valoi di ρ e di J nelle equazioni di Maxwell; queste modifiche vengono fomalmente imosse da tali equazioni intoducendo i vettoi: D = ε E + P H = M ; µ così pe mezzi mateiali in quiete le equazioni di Maxwell si scivono: D = ρ (63) = E = t D H = J + (633) t dove le elazioni ta i vettoi E e D e ta i vettoi e H sono: D= ε ε E = µ µ H e le equazioni (63) e (633) si iconducono ispettivamente alle equazioni (68) e (63) attaveso la sostituzione fomale del podotto ε ε in luogo di ε e del podotto µ µ in luogo di µ Nello spazio vuoto in assenza di caiche e di coenti le equazioni di Maxwell si scivono: E = = E = t E = µε ed assumono una foma paticolamente simmetica nei campi E e Notiamo infine che le equazioni di Maxwell legano ta loo nel caso dinamico il campo elettico e quello magnetico petanto pede di significato una consideazione sepaata di questi due campi poiché laddove si manifesta uno si pesenta anche l alto e vicevesa Pe tale motivo l accoppiamento del campo elettico e di quello magnetico pende il nome di campo elettomagnetico

6-3 Induzione elettomagnetica