Punti Fissi Mappe tra insiemi parz. ordinati Siano (P, P ) e (Q, Q ) due insiemi parzialmente ordinati. Una funzione ϕ da P a Q si dice: monotona (preserva l ordine) se p 1 P p 2 ϕ(p 1 ) Q ϕ(p 2 ) embedding se p 1 P p 2 ϕ(p 1 ) Q ϕ(p 2 ) isomorfismo se è un embedding suriettivo Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 2 1
Esempi a b c d ϕ 1 (a) ϕ 1 (d) ϕ 1 (b)=ϕ 1 (c) ϕ 1 non è una funzione monotona e b a d c ϕ 2 (d)=ϕ 2 (e) ϕ 2 (b)=ϕ 2 (c) ϕ 2 (a) ϕ 2 è una funzione monotona, ma non è un embedding:ϕ 2 (b) Q ϕ 2 (c) ma non è vero che b P c Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 3 e Esempi b a d c ϕ 3 (e) ϕ 3 (c)=ϕ 3 (d) ϕ 3 (a)=ϕ 3 (b) ϕ 3 è una funzione monotona, ma non è un embedding:ϕ 3 (b) Q ϕ 3 (c) ma non è vero che b P c ϕ 4 (d) b d c ϕ 4 (b) ϕ 4 (c) ϕ 2 è un embedding, ma non è un isomorfismo. a ϕ 4 (a) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 4 2
Catene Convergenti Ricordiamo che una sequenza (l n ) n N di elementi di L è una catena ascendente se n m l n l m Una sequenza (l n ) n N converge se e solo se n 0 N : n N : n 0 n l n0 = l n Un insieme parzialmente ordinato (L, ) soddisfa la condizione sulle catene ascendenti se e solo se ogni catena ascendente di L converge. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 5 Esempio 12 10 8 6 4 2 0 L insieme ordinato dei numeri pari non soddisfa la condizione sulle catene ascendenti Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 6 3
Esempio... Questo insieme ha un numero infinito di elementi Non ha lunghezza finita Soddisfa la condizione sulle catene ascendenti Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 7 Continuità In Analisi, una funzione si dice continua se preserva i limiti. Dati due ordini parziali (P, P ) e (Q, Q ), una funzione ϕ da P a Q si dice continua se per ogni insieme diretto S in P ϕ(lub(s)) = lub{ ϕ(x) x S } (P, P ) ϕ (Q, Q ) S ϕ(s) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 8 4
Continuità Non tutte le funzioni monotone sono continue. Ad esempio, ϕ : (N) (N) ϕ(s) = se S è finito, N altrimenti è monotona (se S 1 S 2 e S 2 è finito, anche S 1 è finito) ma non è continua: se si prende l insieme diretto D = {X N X è finito} si ha: lub {ϕ (X) X in D} = perché ogni X in D è finito ϕ (lub (D)) = N perché D è infinito Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 9 Punti Fissi Sia f una funzione monotona f: (P, P ) (P, P ) su un insieme parzialmente ordinato P. Un elemento x di P si dice punto fisso di f se f(x)=x. L insieme dei punti fissi di f è un sottoinsieme di L chiamato Fix(f): Fix(f) ={ l L f(l)=l} Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 10 5
Punti fissi sui CPO Sia f una funzione monotona f: (P, P ) (P, P ) su un insieme completo parzialmente ordinato (CPO) P. Sia α= n 0 f n ( ) Se α Fix(f) allora α= lfp(f) Teorema di Kleene Se f è continua allora il minimo punto fisso di f esiste ed è uguale ad α. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 11 Punti fissi sui CPO T Fix(f) ={ l L f(l)=l} lfp(f) = n 0 fn ( ) f i ( ) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 12 6
Punti Fissi sui reticoli completi Sia f una funzione monotona f:l L su un reticolo completo L. Fix(f) è anch esso un reticolo completo: lfp(f) = glb(fix(f)) gfp(f) = lub(fix(f)) Fix(f) Fix(f) Teorema di Tarski: Sia L un reticolo completo. Se f:l L è una funzione monotona allora lfp(f) = glb{ l L f(l) l } gfp(f) = lub{ l L l f(l) } Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 13 Punti fissi sui reticoli completi Red(f) ={ l L f(l) P l} Fix(f) ={ l L f(l)=l} gfp(f) = lub{ l L l f(l) } lfp(f) = glb{ l L f(l) l } Ext(f) ={ l L l P f(l)} Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 14 7
Dimostriamo che se L è un reticolo completo lub{x L x f(x)} è un punto fisso di L (il greatest fix point). Sia H={x L x f(x)}, e sia a=lub(h). Dimostriamo che a=f(a). Per ogni h H, h f(h), per definizione di H. E vale anche h a (perché a è un upper bound di H). Quindi h f(h) f(a): la prima relazione segue dal fatto che h H e la seconda dalla monotonia di f. Poiché h f(a) vale per ogni h H, f(a) è un upper bound dell insieme H. E poiché a è il lub(h), ne segue che a f(a). Per dimostrare che a è un punto fisso, dobbiamo dimostrare che anche il viceversa vale, ovvero che f(a) a. Applichiamo f ad entrambi i termini dell espressione a f(a) che abbiamo dimostrato essere vera. Per monotonia abbiamo che f(a) f(f(a). Ma allora f(a) H, e quindi f(a) lub(h) = a, e quindi f(a) a. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 15 Esistenza di punti fissi nei CPO Teorema I Sia f: (P, P ) (P, P ) una funzione su un insieme completo parzialmente ordinato P tale che per ogni x in P: x P f(x). Allora f ha un punto fisso. Teorema II Sia f: (P, P ) (P, P ) una funzione monotona su un insieme completo parzialmente ordinato P. Allora f ha un punto fisso. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 16 8
Punti Fissi Ci sono quindi tre risultati che garantiscono l esistenza di punti fissi: 1. Funzione continua su CPO 2. Funzione monotona su reticoli completi 3. Funzione monotona su CPO I primi due hanno ipotesi più forti e offrono una formula per calcolare il minimo punto fisso. Il terzo garantisce solo l esistenza di un punto fisso. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 17 Widening Un operatore : (P, P ) (P, P ) si dice operatore di widening se e solo se: È un operatore di upper bound, ovvero l 1,l 2 P (l 1,l 2 ) Per ogni catena (l n ) n 0, la catena (l n ) n 0 = (l 0 =l 0, l 1 = (l 0,l 1 ), ) converge dopo un numero finito di passi Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 18 9
Esempio Si consideri il reticolo completo Int = { } {[a,b] a b & a Z {- }, b Z {+ }} dove l ordinamento è l inclusione tra intervalli. Sia K un elemento fissato di Int Definiamo l operatore Ω K : (Int,Int) Int Ω K ([a,b], [c,d]) = [min(a,c),max(b,d)] se [min(a,c),max(b,d)] K [-, + ] altrimenti Se K=[-2,4]: Ω [-2,4] è un operatore di widening Alla catena corrisponde la catena [0,0], [0,1], [0,2], [0,3], [0,4], [0,5], [0,6], [0,0], [0,1], [0,2], [0,3], [0,4], [-, + ], [-, + ], Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 19 Esempio Si consideri il reticolo completo Int = { } {[a,b] a b & a Z {- }, b Z {+ }} dove l ordinamento è l inclusione tra intervalli. Sia K un elemento fissato di Int Definiamo l operatore Ω K : (Int,Int) Int Ω K ([a,b], [c,d]) = [min(a,c),max(b,d)] se [min(a,c),max(b,d)] K [-, + ] altrimenti Se K=[0, + ]: Ω [0, + ] non è un operatore di widening Alla catena corrisponde la catena [0,0], [0,1], [0,2], [0,3], [0,4], [0,5], [0,6], [0,0], [0,1], [0,2], [0,3], [0,4], [0,5], [0,6], che non converge! Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 20 10
Widening e punti fissi lfp widening Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 21 Widening e punti fissi Sia f una funzione monotona f: (P, P ) (P, P ) su un reticolo completo, e dato un operatore di widening su (P, P ), possiamo calcolare la catena ascendente: se n=0 f n = f n-1 se n>0 e f(f n-1 ) f P n-1 f(f n-1 ) f n-1 altrimenti Questa catena ascendente converge in un numero finito di passi. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 22 11
Widening T Fix(f) ={ l L f(l)=l} f m = f m+1 = lfp(f) f 2 f 1 Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 23 A che serve tutto questo? Abbiamo detto che l approccio all analisi di programmi che consideriamo è basato sulla semantica Semantica = assegnare ad ogni costrutto linguistico il suo significato Ogni semantica di un programma può essere espressa come soluzione di un equazione di minimo punto fisso. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 24 12
Sintassi e Semantica Ci sono modi diversi per definire la semantica di un programma scritto in un dato linguaggio di programmazione: Semantica Operazionale: la semantica di un costrutto linguistico viene espressa in termini dei passi di computazione che possono aver luogo durante l esecuzione del programma Semantica Assiomatica la semantica viene definita indirettamente attraverso assiomi e regole di una qualche logica Semantica Denotazionale fornisce modelli matematici ai linguaggi di programmazione: associa ad ogni costrutto linguistico del programma un elemento di una struttura matematica Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi 25 13