Modelli nello spazio degli stati

Modelli nello spazio degli stati Modelli nello spazio degli stati Stato: informazione che riassume, in ogni istante, l effetto della storia passata del sistema sul suo comportamento futuro. x(t) stato (vettore n 1) u(t) ingresso (vettore r 1) y(t) uscita (vettore m 1) ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g (x(t), u(t), t) f : R n R r R R n g : R n R r R R m funzione di velocità di transizione dello stato funzione di uscita La conoscenza dello stato ad un istante t 0, x(t 0 ) e del segmento di funzione di ingresso u[t 0, t], t t 0, determina univocamente il segmento di funzione di uscita y[t 0, t]. u( ) funzione finita e continua a tratti. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 1/29

Modelli nello spazio degli stati Teorema. Si consideri l equazione differenziale ẋ(t) = f (x(t), t). (1) Essa ammette un unica soluzione x( ) che soddisfa la condizione iniziale x(t 0 ) = x 0 t 0 R assegnato e x 0 R n se 1. x R n, f (x, ) è continua a tratti per t t 0 ; 2. t t 0 che non sia punto di discontinuità di f (x, ) e per ogni coppia di vettori x 1, x 2 è soddisfatta la condizione di Lipschitz f (x 1, t) f (x 2, t) k(t) x 1 x 2, dove k(t) è una funzione limitata e continua a tratti e è una qualunque norma di R n. Corollario. Ogni soluzione dell equazione differenziale (1) è una funzione continua. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 2/29

Moto e traiettoria x(t) = φ (t, t 0, x 0, u( )) funzione di transizione dello stato y(t) = γ (t, t 0, x 0, u( )) funzione di risposta Moto (movimento). La funzione di transizione dello stato, note la coppia (t 0, x(t 0 )) e la funzione di ingresso u[t 0, t 1 ] fornisce l insieme che prende il nome di moto. {(t, x(t)) : x(t) = φ (t, t 0, x(t 0 ), u( )) t = [t 0, t 1 ]}, Traiettoria. È l immagine del moto nell insieme degli stati: {x(t) : x(t) = φ (t, t 0, x(t 0 ), u( )) t = [t 0, t 1 ]}. Analogamente è possibile definire la risposta e la traiettoria delle uscite, riferendosi alle coppie (t, y(t)) e alla funzione di risposta γ( ). Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 3/29

Tipologie di modelli Modelli algebrici: Modelli puramente dinamici: Modelli stazionari: Modelli lineari: y(t) = g(u(t), t). ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g (x(t), t). ẋ(t) = f (x(t), u(t)) y(t) = g (x(t), u(t)). dove: ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t), A(t) (n n): matrice dinamica, B(t) (n r): matrice di distribuzione degli ingressi, C(t) (m n): matrice di distribuzione delle uscite, D(t) (m r): legame algebrico ingresso uscita. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 4/29

Tipologie di modelli Modelli lineari e stazionari: ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t). X = insieme degli stati di un sistema dinamico X = insieme discreto spazio vettoriale con dimensioni finito automi a stati finiti numerabile reti di Petri finite sistemi a parametri concentrati infinite sistemi a parametri distribuiti Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 5/29

Costruzione di un modello nello spazio degli stati Determinazione di un modello matematico nello spazio degli stati: 1. Individuazione delle variabili di ingresso ed uscita; 2. Scelta delle variabili di stato; 3. Scrittura delle equazioni costitutive; 4. Eventuale elaborazione delle equazioni costitutive per pervenire ad un opportuno aspetto formale delle stesse. Passo 1. Dipende dal contesto (variabili manipolabili, variabili misurabili, etc.). Passo 2. La scelta delle variabili di stato non è univocamente definita. Nel caso di sistemi fisici si individuano i sottosistemi elementari i grado di accumulare energia o materia, in quanto rappresentano la memoria del sistema. Passo 3. Interconnessione delle relazioni dei singoli sottosistemi: principi di Kirchoff, equazioni cardinali della dinamica, leggi di Maxwell dell elettromagnetismo, equazione di Bernoulli, principi della termodinamica, bilanci di energia, bilanci di massa. Passo 4. Cambiamenti di base. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 6/29

Modelli lineari e stazionari Modelli lineari e stazionari ẋ(t) = A x(t) + B u(t), x(0) = x 0 y(t) = C x(t) + D u(t). La funzione di transizione dello stato e quella di risposta sono: x(t) = e At x 0 + t y(t) = C e At x 0 + dove e At l esponenziale di matrice 0 t e A(t τ) B u(τ) dτ 0 C e A(t τ) B u(τ) dτ + D u(t), e At A i t i = i! i=0 e At è una matrice n n sempre non singolare = I + At + A2 t 2 2 + Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 7/29

Modelli lineari e stazionari Funzione di trasferimento: Y (s) = G(s) U(s) G(s) = C (si A) 1 B + D = G 11 (s) G 12 (s) G 1r (s)..., G m1 (s) G m2 (s) G mr (s) dove Y (s) = L (y(t)), U(s) = L (u(t)) (L indica la trasformata di Laplace) e G ij (s) = Y i(s) U j (s). Risposta impulsiva: G(t) = L 1 (G(s)) = C e At B + D δ(0) = g 11 (t) g 12 (t) g 1r (t)..., g m1 (t) g m2 (t) g mr (t) dove δ(0) indica l impulso di Dirac applicato all istante t 0 = 0. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 8/29

Esponenziale di matrice Proprietà dell esponenziale di matrice 1. d dt ( e At ) = A e At 2. e A(t 1+t 2 ) = e At 1 e At 2 3. ( e At) 1 = e At 4. ( e At) k = e Akt, k scalare 5. e (A+B)t = e At e Bt AB = BA Calcolo dell esponenziale di matrice e At = L 1 [ (si A) 1], (si A) 1 = agg (si A) det (si A), dove agg(m) indica l aggiunta della matrice M, ovvero la trasposta della matrice dei complementi algebrici di M. Gli elementi di (si A) 1 sono rapporti di polinomi in s. I polinomi a numeratore hanno grado massimo n 1. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 9/29

Antitrasformazione di funzioni razionali Antitrasformazione di funzioni razionali F(s) = N(s) D(s) = b m s m + b m 1 s m 1 + + b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 1 caso: D(s) ha radici semplici dove F(s) = n N(s) (s λ 1 )(s λ 2 ) (s λ n ) = K i = [(s λ i ) F(s)] s=λi. f(t) = L 1 (F(s)) = i=1 n K i e λ i t. i=1 K i (s λ i ), Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 10/29

Antitrasformazione di funzioni razionali 2 caso: D(s) ha radici multiple F(s) = dove N(s) (s λ 1 ) n 1 (s λ2 ) n 2 (s λh ) n h K ij = 1 (j 1)! = h i=1 n i j=1 { } d j 1 ds j 1 [(s λ i) n i F(s)] K ij h (s λ i ) n i j+1, s=λ i. i=1 n i = n f(t) = L 1 (F(s)) = h i=1 n i j=1 K ij t ni j e λ i t (n i j)! Osservazione: gli elementi dell esponenziale di matrice sono costituiti da combinazioni lineari di termini del tipo K, K t h, K e λt, K t h e λt, K e λt sen(ωt + ϕ), K t h e λt sen(ωt + ϕ), che sono detti modi del sistema. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 11/29

Conversione di modelli Conversione di modelli Da (A, B, C, D) ad equazione differenziale: Y (s) = G(s) U(s) = ( C (si A) 1 B + D ) U(s). Da equazione differenziale ad (A, B, C, D): G(s) = Y (s) U(s) = Y (s) W(s) W(s) U(s), W(s) U(s) = 1 s n + a n 1 s n 1 + + a 0 Y (s) W(s) = b m s m + b m 1 s m 1 + + b 0. Ponendo dove x 1 (t) = w(t), x 2 (t) = d w(t), x n (t) = dn 1 w(t), dt dt n 1 w(t) = L 1 (W(s)), si ha Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 12/29

Conversione di modelli ẋ i (t) = x i+1 (t) per i = 1,...,n 1 ẋ n (t) = a n 1 x n (t) a 0 x 1 (t) + u(t) y(t) = b m x m+1 (t) + + b 0 x 1 (t) A = C = 0 1 0 0 0 0 1 0....... 0 0 1 a 0 a 1 a n 1 [ ] b 0 b 1 b m 0 0 B = 0 0. 0 1 Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 13/29

Sistemi equivalenti Sistemi equivalenti (cambiamenti di base) ẋ(t) = A x(t) + B u(t), x(0) = x 0 y(t) = C x(t) + D u(t). Sia T una matrice n n non singolare. Si consideri un nuovo stato z(t) definito da x(t) = T z(t), z(t) = T 1 x(t). Sostituendo nelle equazioni di stato ed uscita si ottiene: con ż(t) = A z(t) + B u(t), z(0) = T 1 x 0 y(t) = C z(t) + D u(t), A = T 1 A T B = T 1 B C = C T D = D. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 14/29

Sistemi equivalenti Le matrici A ed A si dicono simili. Matrici simili hanno: gli stessi autovalori; lo stesso polinomio caratteristico; esponenziali di matrice simili. Equivalenza di sistemi: dato uno stato iniziale x 0 per il sistema (A, B, C, D) è sempre possibile determinare uno stato iniziale z 0 = T 1 x 0 per il sistema (A, B, C, D ) in modo tale che la risposta y(t) dei due sistemi sia la medesima se ad essi viene applicato lo stesso ingresso. Osservazioni: la scelta delle variabili di stato per un sistema dinamico non è univocamente definita le variabili di stato possono anche non avere significato fisico. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 15/29

Modelli lineari non stazionari Modelli lineari non stazionari ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), x(t 0 ) = x 0 y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t). La funzione di transizione dello stato è x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 + t t 0 Φ(t, τ) B(τ) u(τ) dτ, dove Φ(t, t 0 ) è il limite della successione di Peano Baker Φ i (t, t 0 ) = I + che converge uniformemente. t t 0 A(τ) Φ i 1 (τ, t 0 ) dτ Φ 0 (t, t 0 ) = I, Φ(t, t 0 ) è sempre non singolare Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 16/29

Modelli non lineari stazionari Modelli non lineari stazionari ẋ(t) = f (x(t), u(t)), x(t 0 ) = x 0, y(t) = g (x(t), u(t)). Non è possibile, in generale, determinare un espressione analitica della soluzione dell equazione differenziale tecniche di integrazione numerica. Stato di equilibrio: In un sistema dinamico uno stato x e è definito di equilibrio se esiste una funzione di ingresso ū( ) tale che x e = φ(t, t 0, x e, ū( )) t [t 0, t 1 ], t 0, t 1, t 1 > t 0. Ciò implica che x(t) sia costante e che quindi la sua derivata sia nulla. Gli stati di equilibrio relativi all ingresso ū(t) sono dunque le soluzioni dell equazione f(x e, ū(t)) = 0. In modo analogo si può definire una uscita di equilibrio. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 17/29

Linearizzazione Moto di riferimento: t 0, x 0 ed u( ) fissati: Si ha: Linearizzazione x(t) = φ(t, t 0, x 0, ū( )). x(t) = f( x(t), ū(t)) ȳ(t) = g( x(t), ū(t)). Si considerino una perturbazione sullo stato iniziale δx 0 ed una perturbazione sulla funzione di ingresso δu( ). Si ottengono il moto e l uscita perturbati x(t) = φ(t, t 0, x 0 + δx 0, ū( ) + δu( )) = x(t) + δx(t) y(t) = ȳ(t) + δy(t). Si ha inoltre ẋ(t) = f( x(t) + δx(t), ū(t) + δu(t)) = x(t) + δẋ(t). Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 18/29

Linearizzazione Sviluppando in serie di Taylor ẋ(t) e y(t) nell intorno di x(t) e ū(t) con arresto ai termini del primo ordine ẋ(t) f( x(t), ū(t)) + f δx(t) + f δu(t) x x(t),ū(t) u x(t),ū(t) y(t) g( x(t), ū(t)) + g x Il modello linearizzato è dunque del tipo x(t),ū(t) δx(t) + g u δẋ(t) = A(t) δx(t) + B(t) δu(t), δy(t) = C(t) δx(t) + D(t) δu(t). x(t),ū(t) δu(t). Se si linearizza nell intorno di uno stato di equilibrio x e corrispondente ad un ingresso costante ū: dove δx(t) = x(t) x e. δẋ(t) = A δx(t) + B δu(t), δy(t) = C δx(t) + D δu(t), Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 19/29

Stabilità Stabilità Stabilità di un moto rispetto a perturbazioni dello stato iniziale. Sia δx 1 (t) = φ(t, t 0, x 0 + δx 0, ū( )) x(t), t t 0. Il moto x( ) si dice stabile rispetto a perturbazioni dello stato iniziale se ε > 0 η > 0 t.c. δx 1 (t) < ε, t t 0 δx 0 t.c. δx 0 < η. Il moto x( ) si dice asintoticamente stabile rispetto a perturbazioni dello stato iniziale se è stabile e lim δx 1(t) = 0, δx 0 t.c. δx 0 < η. t Stabilità di un moto rispetto a perturbazioni dell ingresso. Sia δx 2 (t) = φ(t, t 0, x 0, ū( ) + δu( )) x(t), t t 0. Il moto x( ) si dice stabile rispetto a perturbazioni della funzione di ingresso se ε > 0 η > 0 t.c. δx 2 (t) < ε, t t 0 δu( ) t.c. δu( ) < η. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 20/29

Stabilità in piccolo e in grande Stabilità di uno stato di equilibrio. Le precedenti definizioni di stabilità rispetto a perturbazioni dello stato iniziale e della funzione di ingresso valgono anche per gli stati di equilibrio, che sono particolari moti. In tal caso è sufficiente sostituire x e ad x(t). Stabilità in piccolo e in grande Stabilità in piccolo (locale) = si riferisce alla capacità del moto o della risposta di rispondere con variazioni comunque piccole a perturbazioni dello stato iniziale o della funzione di ingresso (è quella considerata finora). Stabilità in grande = quando si vuole dare una misura dell entità delle perturbazioni cui corrisponde un comportamento stabile dei moti e delle traiettorie. Dominio di stabilità asintotica per un moto: se il moto di riferimento x( ) corrispondente a t 0, x 0, ū( ) è asintoticamente stabile, esiste un insieme di stati iniziali X 0 (t 0, x 0, ū( )) tale che lim δx 1(t) = 0, δx 0 t.c. x 0 + δx 0 X 0. t L insieme X 0 è detto dominio di stabilità asintotica per il moto di riferimento considerato. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 21/29

Stabilità dei sistemi lineari stazionari. Stabilità asintotica globale di un moto: se X 0 (t 0, x 0, ū( )) coincide con l intero spazio degli stati il moto di riferimento x( ) si dice globalmente asintoticamente stabile. Se ciò avviene per ogni ū( ), il sistema si dice globalmente asintoticamente stabile per t t 0. Stabilità dei sistemi lineari stazionari. Nei sistemi lineari e stazionari le stabilità rispetto a perturbazioni dello stato iniziale e dell ingresso non dipendono nè dal particolare moto di riferimento considerato nè dall entità delle perturbazioni. Stabilità semplice= tutti i modi di e At devono essere limitati. Stabilità asintotica= tutti i modi di e At devono tendere a zero per t. Polinomio caratteristico p(λ) della matrice dinamica A: p(λ) = det (λi A) = λ n + a n 1 λ n 1 + + a 1 λ + a 0. Teorema di Cayley Hamilton: p(a) = 0. Polinomio minimo m(λ) della matrice dinamica A: è il polinomio m(λ) di grado minimo tale che m(a) = 0. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 22/29

Stabilità dei sistemi lineari stazionari Proprietà del polinomio minimo: è unico se considerato monico; è un divisore del polinomio caratteristico; ha come radici tutti gli autovalori di A; la molteplicità dell autovalore i esimo nel polinomio minimo è minore od uguale a quella nel polinomio caratteristico; è il minimo comune multiplo dei denominatori degli elementi della matrice (λi A) 1. Teorema: il sistema (A, B, C, D) è semplicemente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla; quelli a parte reale nulla devono avere molteplicità unitaria nel polinomio minimo di A. Teorema: il sistema (A, B, C, D) è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa. La stabilità rispetto a perturbazioni dell ingresso dipende, in generale, da un sottoinsieme dei modi del sistema. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 23/29

Stabilità dei sistemi non lineari stazionari Stabilità dei sistemi non lineari stazionari. Lo studio della stabilità semplice ed asintotica di un moto di riferimento (stato di equilibrio) rispetto a perturbazioni dello stato iniziale si può sempre ricondurre allo studio della stabilità dello stato zero di un sistema privo di ingressi, infatti: δẋ 1 (t) = f( x(t) + δx 1 (t), ū(t)) f( x(t), ū(t)) = f (δx 1 (t)). Il sistema da considerare è dunque del tipo: ẋ(t) = f(x(t)). (2) Funzioni definite positive: una funzione V (x) si dice definita positiva in un intorno D dell origine dello spazio degli stati se per ogni x D V (x) ha derivate parziali continue rispetto alle componenti di x; V (0) = 0; V (x) > 0, x 0. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 24/29

Stabilità dei sistemi non lineari stazionari Funzioni di Lyapunov: una funzione V (x) si dice di Lyapunov in un intorno D dell origine dello spazio degli stati del sistema (2) se V (x) è definita positiva in D; [ ] V V V (x) = x 2 x n V x 1 f(x) 0, x D. Criteri di Lyapunov Teorema (stabilità semplice): lo stato zero del sistema (2) è stabile per perturbazioni dello stato iniziale se esiste una funzione di Lyapunov V (x) in un intorno D dell origine dello spazio degli stati. Teorema (stabilità asintotica): lo stato zero del sistema (2) è asintoticamente stabile per perturbazioni dello stato iniziale se esiste una funzione di Lyapunov V (x) in un intorno D dell origine dello spazio degli stati tale che V (x) < 0, x 0. Non esiste un metodo generale per determinare una funzione di Lyapunov. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 25/29

Stabilità dei sistemi non lineari stazionari Si consideri ora il modello linearizzato nell intorno dello stato di equilibrio x e corrispondente all ingresso costante ū: δẋ(t) = A δx(t) + B δu(t). (3) Criterio ridotto di Lyapunov. La stabilità dello stato di equilibrio rispetto al quale è stato ottenuto il modello linearizzato (3) dipende dagli autovalori della matrice A del modello linearizzato. In particolare: x e è asintoticamente stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa; x e è instabile se uno o più autovalori di A hanno parte reale positiva; se alcuni autovalori di A hanno parte reale negativa ed i rimanenti parte reale nulla non è possibile trarre conclusioni sulla stabilità di x e. Osservazione: per i sistemi non stazionari lo studio della stabilità si effettua introducendo funzioni di Lyapunov V (x, t) dipendenti in maniera esplicita anche dal tempo. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 26/29

Modelli lineari stazionari discreti Modelli lineari stazionari discreti x(t + 1) = A x(t) + B u(t), x(0) = x 0, t = 0, 1, 2, 3,... y(t) = C x(t) + D u(t). La funzione di transizione dello stato e quella di risposta sono: x(t) = A t x 0 + t 1 k=0 y(t) = C A t x 0 + A t 1 k B u(k) t 1 k=0 C A t 1 k B u(k) + D u(t). La potenza di matrice A t (singolare o non singolare) si può calcolare utilizzando la Z trasformata: A t = Z 1 { (zi A) 1 z }. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 27/29

Modelli lineari stazionari discreti Osservazione: gli elementi della potenza di matrice sono combinazioni lineari di termini del tipo K, K t h, K λ t, K t i λ t h, (1 i h), K ρ t sen(θ t + ϕ), K t i ρ t sen((t h)θ + ϕ). Per quanto riguarda la stabilità valgono i seguenti teoremi. Teorema: il sistema (A, B, C, D) è semplicemente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno modulo minore od uguale ad uno; quelli a modulo unitario devono avere molteplicità unitaria nel polinomio minimo di A. Teorema: il sistema (A, B, C, D) è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo minore di uno. La stabilità rispetto a perturbazioni dell ingresso dipende, in generale, da un sottoinsieme dei modi del sistema. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 28/29

Discretizzazione Discretizzazione: modelli a dati campionati. Se un modello a tempo discreto deriva dal campionamento, con un certo periodo T, di un modello a tempo continuo si parla di modello a dati campionati. La discretizzazione si può effettuare in diversi modi. Nel caso di tenuta di ordine zero l ingresso viene considerato costante tra due istanti di campionamento; ne segue che le matrici A d, B d, C d, D d del modello discreto si ricavano dalle matrici A, B, C, D del modello continuo con le relazioni: A d = e AT, B d = ( T 0 e Aτ dτ ) B, C d = C, D d = D. Osservazione: la matrice A d (la matrice A t d ) di un modello a dati campionati è sempre non singolare. Osservazione: gli autovalori di A d sono gli esponenziali degli autovalori di A gli autovalori di un modello a dati campionati non possono avere parte reale negativa. Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L A p. 29/29