Indice 2 Unità di apprendimento 1 LE IGURE GEOMETRIHE ELEMENTRI 3 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali Le figure geometriche elementari, 4 5 1 Il punto, la retta, il piano Il punto, 5 La linea retta, 6 Il piano, 7 10 2 Punti sul piano e sulla retta Punti sul piano, 10 Punti sulla retta: semiretta e segmento, 11 Somma e differenza di segmenti, 13 istanza tra due punti, 14 Semipiani, 15 15 3 Posizioni reciproche di due rette Rette incidenti e angoli, 15 Rette parallele, 16 Rette sghembe, 17 17 4 Gli angoli ngolo come cambiamento di direzione, 18 ngolo come rotazione, 18 ngolo come intersezione di due semipiani, 18 ngoli concavi e convessi, 19 ome indicare un angolo, 19 ngoli consecutivi e angoli adiacenti, 20 onfronto tra angoli, 20 Somma e differenza di angoli, 21 23 5 La misura degli angoli L unità di misura degli angoli, 23 ngoli notevoli, 23 ngoli complementari, supplementari, esplementari, 24 ngoli opposti al vertice, 25 ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, 25 27 he cosa hai studiato 28 Ricorda III
esercizi di consolidamento 32 1 Il punto, la retta, il piano 33 2 Punti sul piano e sulla retta 37 3 Posizioni reciproche di rette 39 4 Gli angoli e la loro misura 47 ai il tuo bilancio 50 ttività di recupero 52 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. La geometria, sua nascita psicologica e storica, 52 2. Estensione lineare, estensione superficiale, estensione spaziale, 55. Problemi applicativi: 1. Problemi applicativi sull estensione delle figure geometriche, 56 2. ostruzioni geometriche con riga, squadra e compasso, 58. Uso di strumenti: 1. abrì Gèométre II Plus, 64 2. isegnare con abrì, 65. 70 Unità di apprendimento 2 GRNEZZE E GRNEZZE GEOMETRIHE 71 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali 72 1 Il concetto di grandezza Grandezze misurabili, 73 74 2 Misura delle grandezze Le misure di lunghezza, 75 La misura di una grandezza non è sempre esatta, 77 Le misure di superficie, 78 Le misure di volume, 79 Le misure di capacità, 80 Le misure di massa, 81 82 3 Operazioni con le misure delle grandezze onfronto di grandezze e confronto delle loro misure, 82 ddizioni e sottrazioni tra grandezze omogenee, 83 Moltiplicazione e divisione di una grandezza per un numero, 84 85 4 Le misure di tempo Operazioni con le misure di tempo, 86 88 5 La misura degli angoli Uno strumento di misura degli angoli: il rapportatore, 88 Operazioni con misure angolari, 89 I
91 6 Problemi con le misure delle grandezze Peso lordo, peso netto, tara, 91 Misura di segmenti, 92 ltre situazioni problematiche,93 95 he cosa hai studiato 96 Ricorda esercizi di consolidamento 97 1 Il concetto di grandezza 101 2 Misura delle grandezze 117 3 Operazioni con le misure delle grandezze 119 4 Le misure di tempo 121 5 La misura degli angoli 130 6 Problemi con le misure delle grandezze 143 ai il tuo bilancio 146 ttività di recupero 151 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI), 151 2. Misure ed errori di misura, 153 3. Le misure anglosassoni, 156. Problemi applicativi: 1. Impariamo a consultare un orario ferroviario, 158. Uso di strumenti: 1. Misurare con abrì, 161. 164 Unità di apprendimento 3 IGURE GEOMETRIHE PINE 165 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali 166 1 Spezzate sul piano e poligoni Spezzate sul piano, 166 I poligoni, 167 Poligoni concavi e convessi, 170 176 2 I triangoli Proprietà generale dei triangoli, 176 lassificazione dei triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli, 178 L uguaglianza dei triangoli, 180 Segmenti e punti notevoli di un triangolo, 182 aratteristiche di triangoli particolari, 187
188 3 I quadrilateri I deltoidi, 189 I trapezi, 190 I parallelogrammi, 192 Il rettangolo, 193 Il rombo, 194 Il quadrato,194 196 he cosa hai studiato 197 Ricorda esercizi di consolidamento 198 1 Spezzate sul piano e poligoni 206 2 I triangoli 212 3 lassificazione dei triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli 219 4 Segmenti e punti notevoli di un triangolo 222 5 I quadrilateri 224 6 I trapezi 228 7 I parallelogrammi 230 8 Rettangoli, quadrati e rombi 234 9 Problemi di riepilogo 236 ai il tuo bilancio 239 ttività di recupero 242 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze pprofondimenti: 1. irconferenza e poligoni regolari, 242 2. ostruzione di figure geometriche con riga e compasso, 244. Uso di strumenti: 1. ostruzione di poligoni con abrì, 246 2. alcolo del perimetro di un poligono, 247. 250 Unità di apprendimento 4 LE TRSORMZIONI GEOMETRIHE: LE ISOMETRIE 251 ttività per iniziare verso le competenze fondamentali 252 1 igure direttamente e inversamente uguali 253 2 La traslazione ome costruire una figura traslata, 254 255 3 La rotazione ome costruire una figura ruotata, 255 I
257 4 La simmetria assiale ome costruire una figura simmetrica rispetto a una retta, 258 259 5 La simmetria centrale 261 he cosa hai studiato 262 Ricorda esercizi di consolidamento 263 1 igure direttamente e inversamente uguali 265 2 La traslazione 269 3 La rotazione 273 4 La simmetria assiale 283 5 La simmetria centrale 286 ai il tuo bilancio 290 ttività di recupero 292 Laboratorio per lo sviluppo delle competenze Osservare, classificare e argomentare le proprietà delle figure: 1. La simmetria nelle figure geometriche, 292 2. Poligoni inscritti in una circonferenza, 295 3. Rette parallele tagliate da una trasversale, 296. pprofondimenti: 1. La simmetria rotazionale, 298 2. igure piane che presentano simmetrie rotazionali, 300-3. omposizione di isometrie, 302. Uso di strumenti: 1. Le simmetrie con abrì, 306. 308 Soluzioni II
ONOSENZE igure piane: proprietà caratteristiche di triangoli e quadrilateri; poligoni regolari Somma degli angoli di un triangolo e di un poligono ILITÁ onoscere proprietà di figure piane e classificare le figure sulla base di diversi criteri Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figure, ricorrendo a modelli materiali, a semplici deduzioni e a opportuni strumenti di rappresentazione OMPETENZE istinguere tra spezzate chiuse e aperte, tra poligoni concavi e convessi, tra angoli interni ed esterni di un poligono, discutendone le proprietà efinire le principali figure geometriche del piano, evidenziando le proprietà che le caratterizzano alcolare il valore della somma degli angoli interni ed esterni di un poligono lassificare i diversi tipi di triangoli, individuandone correttamente le proprietà, gli elementi fondamentali e i criteri di uguaglianza lassificare i diversi tipi di quadrilateri, individuandone correttamente le proprietà e gli elementi fondamentali PREREQUISITI igure geometriche elementari (punto, retta, piano) Semiretta e segmenti Semipiani, angoli, strisce Misure dei segmenti e degli angoli
ompleta la tabella. La parola poligono significa in greco molti angoli. onosci già molti poligoni: i poligoni regolari sono quelli che hanno tutti i lati e gli angoli uguali. Poligono Nome Numero di lati Numero di angoli...................................................... Nella prima U hai studiato alcune figure geometriche che possono essere costruite sulla retta, come la semiretta (illimitata) e il segmento (limitato), e le figure geometriche del piano che sono illimitate, come il semipiano, la striscia e l angolo. In questa U continueremo la nostra esplorazione considerando alcune figure geometriche che occupano una porzione limitata di superficie del piano. Si tratta dei poligoni, in particolare dei triangoli e dei quadrilateri.
U3 igure geometriche piane 1 Spezzate sul piano e poligoni Spezzate sul piano ome sai, due segmenti che hanno un estremo in comune si dicono segmenti consecutivi. Se due segmenti consecutivi stanno sulla stessa retta si dicono segmenti adiacenti. ue o più segmenti uno consecutivo all altro e non allineati, cioè non appartenenti alla stessa retta, formano una figura geometrica che si chiama linea spezzata o semplicemente spezzata. Esploriamo ora i tipi di spezzata che si possono formare con tre o più segmenti. Si ha una spezzata non intrecciata o semplice, se i segmenti della spezzata non si incontrano mai. Si ha una spezzata intrecciata, se i segmenti della linea spezzata si incontrano in uno o più punti, cioè segmenti della spezzata intersecano altri segmenti della spezzata. Paul Klee, ulmine variopinto, 1935. Olio su tela sopra cartoncino su grata di legno, 50 x 34 cm. Museo usseldorf, Kunstsammlung Nordrheim - Westfalen. E E spezzata non intrecciata spezzata intrecciata Una spezzata può essere aperta oppure chiusa. Sono aperte le spezzate viste poco fa, mentre si dice chiusa una spezzata in cui il primo e l ultimo segmento sono consecutivi, cioè hanno gli estremi in comune. E E spezzata non intrecciata chiusa spezzata intrecciata chiusa 166 Esercizi da pag. 198
verso le competenze fondamentali isegna nella tabella il tipo di spezzata richiesto. check point U3 Spezzata semplice Spezzata intrecciata hiusa perta Esamina queste spezzate, costruite con le barrette del meccano, e indica per ciascuna di esse a che tipo appartiene.......... I poligoni Tra i vari tipi di spezzata esaminati, il più interessante per noi e al quale dedicheremo la nostra attenzione in questa U è la spezzata semplice chiusa. Una spezzata di questo tipo limita nel piano una figura geometrica che viene denominata poligono, dalle parole greche polùs (molti) e gonos (angolo), per indicare la presenza di molti angoli. seconda del numero di segmenti che formano la spezzata, si avranno poligoni diversi: triangolo (3 segmenti), quadrilatero (4 segmenti), pentagono (5 segmenti), esagono (6 segmenti) ecc. Si dice poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice chiusa. In realtà anche una spezzata intrecciata chiusa può limitare uno o più poligoni, ma nel seguito del nostro studio non prenderemo in considerazione questo caso. ldo Rossi, Il teatro del Mondo, 1979. isegni del progetto esecutivo. Esercizi da pag. 201 167
U3 igure geometriche piane Perimetro e area di un poligono ato un poligono, possiamo distinguere sul piano tre fondamentali insiemi di punti: 1. i punti interni alla spezzata, cioè interni al poligono; 2. i punti della spezzata, cioè i punti che formano il cosiddetto contorno del poligono; 3. i punti esterni alla spezzata, che costituiscono la parte illimitata del piano, esterna al poligono stesso. α I punti che formano il poligono sono sia i punti interni al contorno, sia quelli del contorno stesso. Un poligono è quindi una parte limitata del piano. La misura della lunghezza del contorno di un poligono si chiama perimetro del poligono. Per trovare la lunghezza del perimetro di un poligono si calcola la somma della lunghezza di tutti i suoi lati. La misura della parte di superficie del piano che costituisce il poligono si chiama area del poligono. Ritorneremo più avanti su questi concetti. È bene, però, distinguere fin d ora sia i concetti di contorno e di superficie sia quelli di perimetro e area di un poligono. Per fare questo verificheremo che è possibile trovare poligoni che hanno lo stesso perimetro, ma area diversa, e poligoni che hanno la stessa area, ma perimetro diverso. ominciamo a esaminare quelle figure che hanno uguale perimetro, ma area diversa. nche in questo caso ci può essere di aiuto il meccano. Prendiamo 4 barrette e fissiamole ai loro estremi con altrettanti fermacampioni. La figura che otteniamo è un quadrilatero, cioè un poligono di quattro lati. Muovendo i lati della struttura possiamo notare come la figura cambi forma e come la relativa superficie diventi più o meno estesa. Quella che rimane invariata è invece la lunghezza dei lati, cioè il perimetro. 168 Esercizi da pag. 201
verso le competenze fondamentali U3 ediamo ora il caso opposto: poligoni che hanno la stessa area, ma perimetro diverso. onsideriamo i rettangoli con l area della superficie uguale a 36 cm 2. Essi possono essere rappresentati mediante una tabella in cui vengono riportate le misure della base e dell altezza, l area e il perimetro. ase 36 18 9 6 ltezza 1 2 4 6 rea 36 1 = 36 18 2 = 36 9 4 = 36 6 6 = 36 Perimetro 36 + 36 + 1 + 1 = 74 18 + 18 + 2 + 2 = 40 9 + 9 + 4 + 4 = 26 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ase altezza 35 16 5 0 STOP ricorda L area di un rettangolo si trova moltiplicando la misura della sua base per quella dell altezza. alla tabella si possiamo trarre alcune conclusioni: figure di uguale area possono avere perimetro diverso; nei rettangoli di uguale area a mano a mano che diminuisce la differenza di lunghezza tra i lati (tra altezza e base), diminuisce anche la lunghezza del perimetro; nei rettangoli di uguale area il perimetro di lunghezza minima è quello del rettangolo con i lati uguali, cioè del quadrato. check point Prova a studiare nello stesso modo come varia l area quando in un rettangolo varia la lunghezza dei lati, ma il perimetro resta uguale. Segui come traccia la tabella. ase ltezza rea Perimetro ase altezza 17 16 15 14 1 2 3... 17 32...... 36 36...... 16 14................................................................................. ompleta. igure di uguale... possono avere... diversa. Nei rettangoli di uguale perimetro, l area... a mano a mano che... la differenza di lunghezza dei lati. Nei rettangoli di uguale perimetro, quello che ha l area... è il rettangolo con i lati uguali, cioè il... Esercizi da pag. 201 169
U3 igure geometriche piane Le parti di un poligono Esploriamo ora un poligono e cerchiamo di individuare le parti che lo formano. Esse sono facilmente riconoscibili. Osserva la figura. Il lato indicato dalla freccia è il lato. Il vertice indicato dalla freccia è il vertice. L angolo indicato dalla freccia è l angolo ªE. La diagonale indicata dalla freccia è la diagonale. Lato del poligono: è ciascuno dei segmenti della spezzata chiusa che lo delimita. Un lato di un poligono si indica mediante le lettere che contrassegnano i suoi estremi, che sono anche vertici del poligono. Un poligono con tutti i lati uguali si dice equilatero. angolo interno angolo esterno ertice del poligono: è ciascuno dei punti che i segmenti consecutivi della spezzata chiusa hanno in comune. Un vertice di un poligono si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto. ngolo interno del poligono: è ciascuno degli angoli individuati da due segmenti consecutivi, che comprende almeno una parte del poligono. Un poligono con tutti gli angoli uguali si dice equiangolo. iagonale di un poligono: è ciascuno dei segmenti che congiungono due vertici non appartenenti allo stesso lato, cioè a due vertici non consecutivi. lato E,,,, E: vertici,,, E, E: lati, : diagonali Eª, ª: angoli interni Â, ˆ: angoli esterni diagonale vertice Poligoni concavi e convessi I concetti di concavità e di convessità di una figura geometrica sono abbastanza intuitivi. asta pensare a una bacinella o a un catino. La superficie che è in grado di raccogliere e trattenere un liquido ha la caratteristica di essere concava, quella che invece manca di questa proprietà si dice che non è concava, o, con altra espressione, che è convessa. Nella idealizzazione propria delle figure geometriche la definizione di figura concava o convessa è più precisa. bbiamo già visto gli angoli, vediamo ora il caso dei poligoni. Un poligono si dice concavo se esiste una retta passante per uno dei suoi lati che lo attraversa. Nel caso in cui ciò non avviene il poligono è convesso. superficie concava superficie convessa poligono concavo poligono convesso 170 Esercizi da pag. 201
verso le competenze fondamentali U3 Si possono anche considerare i due semipiani che sono generati da una retta passante per uno dei lati del poligono. Se il poligono appartiene parte a uno dei due semipiani e parte all altro, allora esso è concavo, se invece si trova tutto in uno solo dei due semipiani, allora è convesso. Nel seguito considereremo in generale solo poligoni convessi. α α β β poligono concavo poligono convesso iagonali di un poligono La diagonale di un poligono è il segmento che unisce due vertici non consecutivi, cioè non appartenenti allo stesso lato. Quante diagonali si possono tracciare in un poligono? Esaminiamo successivamente i poligoni, aumentando i lati. E ricordandone i loro nomi. N H I E E M L G Triangolo: ha tre lati e tre angoli; non ha alcuna diagonale. Quadrilatero: ha quattro lati e quattro angoli; ha due diagonali diverse tra loro. Pentagono: ha cinque lati e cinque angoli; ha cinque diagonali diverse tra loro. Esagono: ha sei lati e sei angoli; ha nove diagonali diverse tra loro. In generale esiste una formula che consente di calcolare il numero delle diagonali che possono essere tracciate in un poligono, se indichiamo con n il numero dei suoi lati: n ( n 3) 2 Esercizi da pag. 201 171
U3 igure geometriche piane ompleta la tabella. check point Nome del poligono Numero dei lati Numero degli angoli Numero delle diagonali Esagono Ettagono Ottagono Ennanogo ecagono odecagono...................................................... ngoli interni di un poligono L angolo interno di un poligono convesso è un angolo formato dalle due semirette che partono da un suo vertice e che comprende il poligono stesso. Esiste una proprietà assai importante circa la somma degli angoli interni di un poligono. Per individuarla esaminiamo ancora una volta successivamente i vari poligoni, aumentandone i lati. isegniamo un triangolo su un foglio di carta, poi ritagliamolo. Ripieghiamo la figura in modo che il vertice vada a toccare il lato. Poi facciamo lo stesso accostando il vertice e il vertice al vertice, come indicato in figura. aso dei triangoli,, Si può notare facilmente che la somma dei tre angoli + + è un angolo piatto. Possiamo esprimere questa proprietà generale dei triangoli in questo modo: La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, cioè a 180. Tale proprietà è molto importante, perché ci consente, conoscendo l ampiezza di due angoli di un triangolo, di ricavare, l ampiezza del terzo angolo. 172 Esercizi da pag. 201
verso le competenze fondamentali U3 In un triangolo due angoli misurano 90 e 30, il terzo angolo misurerà: 180 (90 + 30 ) = 180 120 = 60 esempio Una dimostrazione più approfondita di questa proprietà la puoi trovare nel laboratorio per lo sviluppo delle competenze dell U 4. Se consideriamo un quadrilatero, possiamo dividerlo in due triangoli mediante una sua diagonale. Sapendo che la somma degli angoli interni di ogni triangolo è un angolo piatto, cioè misura 180, possiamo concludere che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è due angoli piatti, cioè 180 2. aso dei quadrilateri Se consideriamo un pentagono, possiamo dividerlo in tre triangoli mediante due sue diagonali, che escono dallo stesso vertice. Sapendo che la somma degli angoli interni di ogni triangolo è un angolo piatto, cioè misura 180, possiamo concludere che la somma degli angoli interni di un pentagono è tre angoli piatti, cioè 180 3. aso dei pentagoni E E In generale la somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due. ioè, se indichiamo con S tale somma e con n il numero dei lati: S = 180 (n 2) ompleta la tabella utilizzando la formula. check point Nome del poligono Triangolo Quadrilatero Pentagono Esagono Ottagono ecagono alore della somma degli angoli interni.................. Esercizi da pag. 201 173
U3 igure geometriche piane ngoli esterni di un poligono Gli angoli esterni di un poligono sono gli angoli individuati da un lato e dal prolungamento del lato a esso consecutivo. Gli angoli esterni possono essere costruiti in due modi: prolungando i lati in senso orario o in senso antiorario. La loro ampiezza è comunque la stessa perché, in ogni caso, si tratta di angoli opposti al vertice. β β γ β = γ perché angoli opposti al vertice β = angolo esterno di vertice, ottenuto dal prolungamento del lato in senso antiorario γ = angolo esterno di vertice, ottenuto dal prolungamento del lato in senso orario ngoli esterni tracciati in senso orario ngoli esterni tracciati in senso antiorario Proprietà degli angoli esterni di un poligono convesso Un angolo esterno sommato all angolo interno che ha lo stesso vertice dà per risultato un angolo piatto: i due angoli sono supplementari. asta che tu consideri attentamente il disegno a fianco e che ti ricordi della definizione di angolo esterno. STOP ricorda + = 180 Un angolo esterno di un poligono è supplementare dell angolo interno a esso adiacente. Prima proprietà ue angoli che hanno il vertice in comune e come lati non comuni due semirette opposte si dicono adiacenti. 174 Esercizi da pag. 201
verso le competenze fondamentali U3 La somma degli angoli esterni di un poligono è sempre un angolo giro, cioè un angolo di 360. Seconda proprietà + + + + = 360 + + + + ϕ = 360 check point Osserva i poligoni e, servendoti del rapportatore, misura per ciascuno di essi gli angoli esterni. Somma poi le misure ottenute per ciascun poligono. Ti accorgerai che, se queste sono state prese con una certa accuratezza, il valore rilevato è proprio 360. E Se non sei ancora convinto, prova a disegnare un poligono qualsiasi su un foglio di carta. isegna anche gli angoli esterni. Ritaglia a uno a uno gli angoli esterni che hai disegnato e incollali su un altro foglio, disponendoli in modo che i vertici coincidano. edrai che si ottiene un angolo di 360. La somma degli angoli esterni di un poligono è uguale a un angolo giro, cioè a 360. Proprietà dei lati di un poligono In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri. Questa proprietà è facilmente verificabile per mezzo di barrette del tipo di quelle del meccano. Se un lato fosse più lungo della somma di tutti gli altri, non sarebbe possibile chiudere la spezzata. Esercizi da pag. 201 175
U3 igure geometriche piane 2 I triangoli Il triangolo, come dice il nome, è un poligono formato da tre angoli e tre lati, cioè è una figura trilatera. Un triangolo è un poligono limitato da una spezzata chiusa costituita di tre segmenti. È un poligono di tre lati. Si tratta di una struttura molto diffusa in natura, perché unisce alle doti di semplicità la caratteristica di essere indeformabile. Proviamo infatti a prendere tre aste del meccano e uniamole per i loro vertici. Se tentiamo di forzare la struttura, notiamo che questa non muta la propria forma, a differenza di quanto abbiamo visto per una struttura con quattro lati. Si parla pertanto del triangolo come di una struttura rigida. Questa particolarità dei triangoli viene applicata tutte le volte che ci sono strutture che devono sorreggere dei pesi: pensate alle gru, ai tralicci dell alta tensione nche la bicicletta ha un telaio formato da elementi triangolari. Strutture triangolari particolarmente importanti sono quelle usate nell edilizia per reggere i tetti: le capriate. Guardati intorno e cerca di scoprire, in natura e nel mondo costruito dall uomo, la presenza di strutture semplici e complesse di forma triangolare. Giacomo alla, ompenetrazione, Iridiscente, Radiale, 1912. cquerello, 220 x 180 cm. Torino, Galleria d rte Moderna. Proprietà generale dei triangoli In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due. Questa proprietà deriva dalla analoga proprietà dei lati dei poligoni. Possiamo verificare tale proprietà, analogamente a quanto fatto con i poligoni, utilizzando barrette del meccano di varia lunghezza. ediamo che la struttura non si riesce a chiudere, quando un pezzo è maggiore o uguale alla somma degli altri due. Questa proprietà dei triangoli è particolarmente importante, perché esprime la condizione fondamentale per poter costruire un triangolo, dati tre segmenti. onsideriamo tre segmenti generici. Prendiamo uno qualsiasi di essi,, lo misuriamo e lo disegniamo su un foglio di carta servendoci della riga. Prendiamo ora il compasso e, con apertura uguale alla lunghezza del secondo segmento,, facciamo centro su uno degli estremi del seg- 176 Esercizi da pag. 206
verso le competenze fondamentali U3 mento appena disegnato e tracciamo una circonferenza. Ripetiamo la stessa operazione per il terzo segmento, E, e tracciamo un altra circonferenza con centro sull altro estremo. Si possono verificare tre casi. 1. Le due circonferenze non si incontrano. In questo 3 caso le misure dei segmenti non sono tali da consentire 1,5 la costruzione del triangolo, in quanto la lunghezza di uno di essi è maggiore della somma degli altri due. E 1 segmento segmento + E 2. Le due circonferenze si incontrano in un punto che giace sul segmento disegnato. nche in questo caso le misure dei segmenti non sono tali da consentire la costruzione del triangolo, perché la lunghezza di uno di essi è uguale alla somma degli altri due. E 1 2 3 segmento segmento + E 3. Le due circonferenze si incontrano in due punti esterni al segmento. In questo caso, unendo i punti di incontro delle due circonferenze con gli estremi del segmento disegnato in precedenza, si ottengono due triangoli che sono uguali e simmetrici rispetto alla retta in cui giace il segmento comune a essi. E 1,5 2,5 3 STOP ricorda Il termine simmetrico indica che se ribaltiamo i due triangoli l uno sull altro, tutti i loro punti coincidono. segmento segmento + E Esercizi da pag. 206 177
U3 igure geometriche piane lassificazione dei triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli seconda della lunghezza dei lati, un triangolo può essere: equilatero, quando tutti e tre i lati sono uguali. Gli angoli sono tutti uguali; isoscele, quando due lati sono uguali e uno no; ricordiamo che si usa chiamare base il lato non uguali e lati obliqui i due lati uguali. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali; scaleno, quando tutti i lati sono disuguali. Gli angoli sono tutti diversi. lati obliqui lato angoli alla base base equilatero isoscele scaleno il linguaggio degli insiemi La classificazione dei triangoli rispetto ai lati può essere messa in evidenza anche mediante un diagramma di Eulero-enn, in cui i triangoli isosceli sono un sottoinsieme di tutti i triangoli, mentre i triangoli equilateri sono un sottoinsieme dei triangoli isosceli. TRINGOLI ISOSELI EQUILTERI al momento che in un triangolo sono presenti tre angoli e che la loro somma è uguale a un angolo piatto, è evidente che in un triangolo possiamo trovare o tutti angoli acuti, o un angolo retto e due acuti, oppure un angolo ottuso e due acuti. Infatti, due angoli retti formano già da soli un angolo piatto e due angoli ottusi sono addirittura superiori a un angolo piatto. Osserva i triangoli illustrati. Puoi facilmente notare che si tratta di triangoli isosceli e che gli angoli alla base, uguali, possono aumentare quanto si vuole la loro ampiezza, ma non possono mai raggiungere o superare i 90. Perché? 178 Esercizi da pag. 212
verso le competenze fondamentali U3 Se osservi il disegno qui sotto capisci perché se gli angoli alla base sono di 90 non è possibile costruire alcun triangolo: i lati e risultano paralleli e quindi non si incontrano mai. Quando gli angoli alla base superano i 90, cioè sono ottusi, i lati tendono addirittura a divergere, rendendo impossibile un loro incontro. i conseguenza un triangolo può essere classificato in base al tipo di angoli di cui è costituito in: acutangolo, quando gli angoli sono tutti acuti; rettangolo, quando un angolo è retto; in tale triangolo i lati che formano l angolo retto prendono il nome di cateti, mentre il terzo lato si chiama ipotenusa; ottusangolo, quando un angolo è ottuso. α < 90 β < 90 γ < 90 α = 90 β < 90 γ < 90 α > 90 β < 90 γ < 90 γ γ γ cateto ipotenusa α β α α β β cateto acutangolo rettangolo ottusangolo il linguaggio degli insiemi La classificazione dei triangoli rispetto agli angoli può essere rappresentata con una partizione dell insieme dei triangoli. TRINGOLI UTNGOLI RETTNGOLI OTTUSNGOLI a quanto detto, possiamo trarre le seguenti considerazioni: un triangolo può essere acutangolo, rettangolo o ottusangolo; non possono esistere triangoli che siano al tempo stesso acutangoli e rettangoli, acutangoli e ottusangoli, rettangoli e ottusangoli; un triangolo isoscele è un particolare tipo di triangolo (ha infatti due lati e due angoli uguali); un triangolo equilatero è un particolare tipo di triangolo isoscele (ha infatti tre lati e tre angoli uguali). Esercizi da pag. 212 179
U3 igure geometriche piane check point Possiamo creare una tabella che evidenzi le due classificazioni dei triangoli, quella rispetto ai lati e quella rispetto agli angoli. ompletala, disegnando nelle varie caselle i triangoli con le caratteristiche indicate. Puoi riempire tutte le caselle? Perché? cutangolo Rettangolo Ottusangolo Equilatero Isoscele Scaleno il linguaggio degli insiemi Per completare la classificazione dei triangoli, possiamo utilizzare un unico diagramma di Eulero-enn in cui vengono riportate sia le caratteristiche rispetto ai lati sia quelle rispetto agli angoli. escrivi il diagramma, spiegando i vari insiemi e sottoinsiemi. UTNGOLI EQUILTERI TRINGOLI RETTNGOLI ISOSELI OTTUSNGOLI L uguaglianza dei triangoli Per confrontare tra loro due triangoli il sistema più ovvio è quello di sovrapporli e vedere se i loro punti coincidono; in caso affermativo possiamo dire che i triangoli sono uguali, o congruenti. Questo metodo non è comunque molto usato, dal momento che non è sempre possibile, oltreché opportuno, ritagliare i triangoli e tentare di sovrapporli. Si preferisce allora procedere alla loro misura e confrontare le misure ottenute. Ma quali sono le misure che interessano? Un triangolo ha tre lati e tre angoli, e dovremmo quindi procedere alla misura di sei grandezze. È però facile verificare che è possibile confrontare due triangoli limitando la misura a solo tre grandezze, di cui almeno una costituita da un lato. a tali osservazioni hanno preso origine i cosiddetti criteri di uguaglianza, o di congruenza. STOP ricorda La parola congruente viene usata quando due figure geometriche possono essere sovrapposte in modo che tutti i loro punti coincidano. 180 Esercizi da pag. 214
verso le competenze fondamentali U3 riteri di uguaglianza (o di congruenza) ue triangoli sono uguali (congruenti), se sono uguali (congruenti) due lati e l angolo compreso tra essi. Primo criterio α α = ue triangoli sono uguali (congruenti), se sono uguali (congruenti) due angoli e il lato comune a essi. Secondo criterio α β α β = ue triangoli sono uguali (congruenti), se sono uguali (congruenti) i tre lati. Terzo criterio = = Nel caso dei triangoli rettangoli esiste un ulteriore criterio di uguaglianza (congruenza). ue triangoli rettangoli sono uguali (congruenti) se sono uguali l ipotenusa e un cateto. Esercizi da pag. 214 181
U3 igure geometriche piane Il fatto che in ciascun criterio sia sempre preso in considerazione almeno un lato deriva dal fatto che si possono costruire infiniti triangoli che, pur avendo tutti e tre gli angoli uguali, non sono uguali. γ γ γ α α α β α = α = α γ = γ = γ Segmenti e punti notevoli di un triangolo In un triangolo, oltre ai lati e agli angoli, possiamo anche considerare le altezze, le mediane, gli assi e le bisettrici. In un triangolo, i punti di incontro delle altezze, delle mediane, degli assi e delle bisettrici prendono il nome di punti notevoli. ediamo di che cosa si tratta. ltezze di un triangolo L altezza di un triangolo relativa a un suo lato è la distanza tra la retta passante per quel lato e il vertice che non appartiene a quella retta. Il punto di intersezione tra il lato e l altezza a esso relativa è detto piede dell altezza. Nel triangolo, H è il piede dell altezza H relativa al lato. H 90 H L altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare compreso tra un vertice e il lato opposto a esso. Le altezze che possiamo individuare in ogni triangolo sono tre: una per ogni lato. check point isegna le altezze relative ai tre lati del triangolo. Nel triangolo precedente le tre altezze cadono tutte all interno del triangolo; esistono però dei casi in cui questo non è vero. H Nel triangolo rettangolo due altezze coincidono con i cateti, mentre la terza, quella relativa all ipotenusa, è interna al triangolo. 182 Esercizi da pag. 219
verso le competenze fondamentali U3 Nel triangolo ottusangolo due altezze cadono all esterno del triangolo; per costruirle, è necessario tracciare la retta passante per quel lato, prolungandolo opportunamente. K H W In ogni triangolo le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto detto ortocentro del triangolo. Proprietà fondamentale delle altezze di un triangolo Se il triangolo è acutangolo, allora l ortocentro è interno al triangolo. Se il triangolo è rettangolo, allora l ortocentro coincide con il vertice dell angolo retto. Se il triangolo è ottusangolo, allora l ortocentro è esterno al triangolo. check point erifica le affermazioni precedenti costruendo le tre altezze di questi triangoli. ortocentro Mediane di un triangolo Si dice mediana di un triangolo relativa a quel lato il segmento che unisce il punto medio del lato al vertice opposto. Nel triangolo il segmento M è la mediana relativa al lato. M = M M La mediana di un triangolo è il segmento che unisce il punto medio di un lato al vertice opposto. Le mediane che possiamo costruire in ogni triangolo sono tre: una per ogni lato. Esercizi da pag. 219 183
U3 igure geometriche piane isegna le mediane relative ai tre lati del triangolo. check point In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un punto, interno al triangolo stesso, detto baricentro del triangolo. Proprietà fondamentale delle mediane di un triangolo baricentro check point ostruisci le mediane di un triangolo acutangolo, di un triangolo rettangolo e di un triangolo ottusangolo. erifica che il baricentro, indipendentemente dalla forma del triangolo, è sempre interno a esso. erifica, usando riga e compasso, la seguente proprietà: il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti di cui una è il doppio dell altra. Il termine baricentro deriva dal greco barys = peso e kéntron = centro e indica il centro del peso, cioè il punto di equilibrio. Puoi verificarlo in questo modo. Ritaglia un triangolo in un foglio di cartoncino robusto e traccia su di esso le tre mediane, individuando in questo modo il baricentro. Pratica un foro in corrispondenza del baricentro. ai passare attraverso il foro uno spago, a cui è stato fatto in precedenza un nodo a un capo. Puoi così tenere sospeso il triangolo per l altro capo del filo. Esso rimane in equilibrio. 184 Esercizi da pag. 220
verso le competenze fondamentali U3 ssi di un triangolo Si dice asse di un triangolo relativo a un lato la retta perpendicolare a quel lato nel suo punto medio. Nel triangolo la retta a è l asse relativo al lato. L asse di un triangolo relativo a un lato è la perpendicolare condotta nel suo punto medio. isegna tu gli assi degli altri due lati del triangolo. a check point L = L 90 L Gli assi relativi ai tre lati di un triangolo si incontrano in un punto detto circocentro del triangolo. Proprietà fondamentale degli assi di un triangolo Se il triangolo è acutangolo, allora il circocentro è interno al triangolo. Se il triangolo è rettangolo, allora il circocentro coincide con il punto medio dell ipotenusa. Se il triangolo è ottusangolo, allora il circocentro è esterno al triangolo. circocentro check point erifica le affermazioni precedenti costruendo i tre assi di un triangolo acutangolo, di un triangolo rettangolo e di un triangolo ottusangolo. erifica ora che il circocentro di un triangolo è equidistante dai suoi vertici. Usa la riga o il compasso. isettrici di un triangolo Si dice bisettrice di un angolo di un triangolo la semiretta che lo divide in due parti uguali (congruenti). Nel triangolo la semiretta N è la bisettrice dell angolo ª. isegna tu le bisettrici degli altri due angoli. N α = β La bisettrice di un angolo di un triangolo è la semiretta che divide l angolo in due parti congruenti. α β Esercizi da pag. 220 185
U3 igure geometriche piane In ogni triangolo le tre bisettrici relative ai suoi tre angoli si incontrano in un punto detto incentro. Proprietà fondamentale delle bisettrici di un triangolo L incentro, indipendentemente dalla forma del triangolo, è sempre interno al triangolo; l incentro di un triangolo è equidistante dai suoi tre lati. incentro check point erifica con il disegno le due affermazioni precedenti. Punti notevoli di un triangolo ltezze O: ortocentro Mediane : baricentro ssi : circocentro isettrici I: incentro Triangolo acutangolo O I Triangolo rettangolo O I Triangolo ottusangolo O I 186 Esercizi da pag. 220
verso le competenze fondamentali U3 aratteristiche di triangoli particolari Triangolo equilatero Nel triangolo equilatero: gli angoli sono uguali e misurano 60 ciascuno; i lati e gli angoli sono uguali, perciò il triangolo equilatero è un poligono regolare; le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi coincidono e il punto di incontro prende il nome di centro del triangolo equilatero. il linguaggio degli insiemi γ EQUILTERI TRINGOLI REGOLRI EQUINGOLI α β O α = β = γ = 60 O = centro Triangolo isoscele Nel triangolo isoscele: gli angoli alla base sono uguali (congruenti); l altezza, la mediana, la bisettrice dell angolo opposto alla base e l asse relativi alla base coincidono; l incentro, l ortocentro, il baricentro e il circocentro appartengono tutti allo stesso segmento. α = β α β O H H check point erifica l ultima proprietà, completando l'ultimo triangolo con incentro e circocentro. Esercizi da pag. 220 187
U3 igure geometriche piane 3 I quadrilateri ontinuando lo studio dei poligoni, dopo i triangoli, consideriamo le figure con quattro lati e quattro angoli. Tali figure vengono chiamate quadrilateri, raramente quadrangoli, e per tale motivo costituiscono un eccezione all interno dei poligoni in quanto normalmente si fa riferimento al numero di angoli: triangolo, pentagono, poligono Solo nel caso delle figure con quattro angoli, il nome evidenzia i lati e non gli angoli: quadrilateri, cioè figure con quattro lati. Il quadrilatero è un poligono limitato da una spezzata chiusa formata da quattro segmenti. È un poligono di quattro lati. Mentre una struttura triangolare è una struttura rigida, un quadrilatero costruito con assi o con listelli del meccano può, come abbiamo già visto, variare la propria forma se sottoposto a pressione. Per tale motivo, mentre con tre segmenti (ciascuno minore della somma degli altri due) puoi realizzare una sola figura, con quattro segmenti puoi realizzare un numero infinito di quadrilateri che hanno uguali le misure dei lati, ma angoli e superfici differenti. lberto ampo oeza, Scuola Madrid-San ermire, 1985. H G = E = G = GH = EH E EGH aratteristica dei quadrilateri, oltre a quella di avere quattro lati e quattro angoli, è quella di avere quattro vertici e due diagonali. I vertici che non appartengono allo stesso lato si dicono opposti e il segmento che li unisce prende il nome di diagonale. diagonali lato,,, : vertici, : diagonali,,, : lati vertice 188 Esercizi da pag. 222
verso le competenze fondamentali U3 I deltoidi Il deltoide è un quadrilatero che ha due coppie di lati consecutivi uguali. Un deltoide può essere anche definito come l intersezione di due insiemi di punti, quelli di due angoli convessi che hanno le bisettrici coincidenti. Prova a tracciare le due diagonali di un deltoide e verifica, utilizzando il rapportatore, che esse sono perpendicolari tra loro. on lo stesso strumento verifica inoltre che una delle diagonali è anche bisettrice degli angoli compresi tra i lati uguali. Quest ultima diagonale ha anche un altra caratteristica, divide l altra diagonale in due parti uguali. erifica quanto affermato utilizzando la squadra o il compasso. check point diagonali onsidera ora i quattro triangoli in cui il deltoide risulta diviso dalle due diagonali. Tali triangoli sono a due a due uguali (in base al primo criterio di uguaglianza dei triangoli: due triangoli sono uguali se sono uguali due lati e l angolo compreso tra essi) e simmetrici. Prova a verificare anche questa proprietà, utilizzando la squadra e il rapportatore. Il deltoide è forse uno dei primi quadrilateri conosciuti dai bambini, perché la sua forma è utilizzata comunemente nella costruzione degli aquiloni. aratteristica è anche la forma del deltoide concavo che prende talvolta il nome di punta di lancia. deltoide concavo Esercizi da pag. 222 189
U3 igure geometriche piane I trapezi I trapezi sono quadrilateri con due lati paralleli. I lati paralleli, sono disuguali e prendono il nome di base maggiore e base minore del trapezio, a seconda della loro lunghezza, mentre gli altri due lati si chiamano lati obliqui. La distanza tra le rette parallele cui appartengono le due basi si chiama altezza del trapezio e si ottiene conducendo da un qualsiasi punto della retta cui appartiene una delle basi il segmento di perpendicolare alla retta cui appartiene l altra base. base minore lato obliquo altezza base maggiore lato obliquo Shin Takamatsu, Worshiphall SEIREI, Kawanishi, Hyogo, Giappone, 1996-98. Il trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli. In un trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari. erifica quest ultima proprietà con il rapportatore. α β γ δ α + β = 180 γ + δ = 180 check point Trapezio isoscele I lati obliqui caratterizzano i vari tipi di trapezio. Se i lati obliqui sono congruenti, il trapezio si dice isoscele. In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono uguali. Puoi verificarlo anche tu con il rapportatore. Questa proprietà dei trapezi isosceli permette di definire un altra proprietà: in un trapezio isoscele le due diagonali sono congruenti. Proviamo a dimostrarla considerando i due triangoli e. 190 Esercizi da pag. 224
verso le competenze fondamentali U3 I due triangoli sono congruenti in quanto: hanno il lato in comune; il lato è congruenti al lato perché in un trapezio isoscele i lati obliqui sono congruenti; l angolo ª è uguale all angolo ª perché in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti. vendo uguali due lati e l angolo compreso, in base al primo criterio di uguaglianza, i due triangoli sono uguali e, in particolare, avranno uguali i lati e che non sono altro che le diagonali del trapezio isoscele. Trapezio scaleno e trapezio rettangolo Se i lati obliqui sono disuguali, il trapezio si dice scaleno. π Se i lati obliqui sono disuguali, ma uno di loro è perpendicolare alle basi, il trapezio si dice rettangolo. Il trapezio può essere considerato come l intersezione di due insiemi di punti, quello dei punti di una striscia e quello dei punti di un angolo convesso avente il vertice fuori dalla striscia. Il trapezio come intersezione di piani seconda delle posizioni reciproche che assumono la striscia e l angolo, si determinano i vari tipi di trapezio. In particolare, si ottiene un trapezio isoscele tutte le volte che la bisettrice dell angolo è perpendicolare alla striscia, un trapezio rettangolo quando è perpendicolare alla striscia uno dei due lati dell angolo. In tutti gli altri casi si ottiene un trapezio scaleno. trapezio isoscele trapezio rettangolo trapezio scaleno Esercizi da pag. 224 191
U3 igure geometriche piane I parallelogrammi I quadrilateri che hanno i lati opposti paralleli prendono il nome di parallelogrammi e possono essere considerati la parte comune di due strisce che si intersecano. Il nome parallelogrammo deriva dal greco parallelos = parallelo e gramme = linea. Paul Klee, scena di battaglia dall opera comica fantastica Il navigatore, 1923. cquerello, olio e guazzo su carta e acquerello e inchiostro su cartoncino, 34,5 x 50 cm. asilea Offentliche Kunstsammlung Il parallelogrammo è un quadrilatero che ha i lati paralleli a due a due. In un parallelogrammo ciascun lato può essere considerato come base, mentre la distanza tra la base e il lato opposto, cioè il segmento di perpendicolare che li unisce, costituisce l altezza. Nel parallelogrammo, se consideriamo come base il lato, l altezza è E; se consideriamo come base il lato, l altezza è. altezza altezza base E base base Unendo tra loro due vertici opposti si ottiene una diagonale, la quale divide il parallelogrammo in due triangoli uguali. Per verificarlo basta sovrapporre un foglio di carta da lucido al parallelogrammo e ricalcare il contorno di uno dei triangoli. Ribaltando il foglio da lucido è possibile sovrapporre il contorno così disegnato al contorno dell altro triangolo e verificare che essi coincidono perfettamente. Si può concludere che: diagonale =, = e ª = ª Per tale motivo è anche possibile affermare che: in un parallelogrammo i lati e gli angoli opposti sono uguali. 192 Esercizi da pag. 228
verso le competenze fondamentali U3 Se ora disegniamo anche l altra diagonale, è possibile verificare che le diagonali si intersecano nel loro punto medio. Nel parallelogrammo si ha dunque: O = O e O = O O In un parallelogrammo le diagonali si dimezzano scambievolmente. Un altra proprietà dei parallelogrammi è quella di avere gli angoli adiacenti allo stesso lato supplementari. α δ β γ α + β = 180 γ + δ = 180 Il rettangolo Il rettangolo è un parallelogrammo che ha tutti gli angoli retti. Può essere considerato la parte comune di due strisce di diversa altezza che si intersecano e sono perpendicolari tra loro. Il rettangolo è un quadrilatero che ha tutti gli angoli uguali e quindi retti. In un rettangolo, qualunque lato può essere considerato come base e il lato perpendicolare a esso come altezza. ase e altezza si dicono anche dimensioni del rettangolo. Le diagonali di un rettangolo, oltre alle proprietà che abbiamo visto parlando dei parallelogrammi, hanno anche quella di essere uguali. Paul Klee, Piccolo abete. Olio su tela incollata su cartone, 31,5 x 20 cm. asilea Kunstmuseum. = Le diagonali di un rettangolo sono uguali. Esercizi da pag. 230 193
U3 igure geometriche piane Il rombo Il rombo è un parallelogrammo che ha i quattro lati uguali. Può essere considerato la parte comune di due strisce di uguale altezza che si intersecano. Il rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati uguali. aratteristica del rombo è quella di avere le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari tra loro e sono le bisettrici degli angoli del rombo. check point erifica questa proprietà con il rapportatore. Perché tutti i rombi sono parallelogrammi? È vero che tutti i rombi sono trapezi? Perché? ª = ª ª = ª ª = ª ª = ª Il quadrato Il quadrato è un parallelogrammo che ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. Può essere considerato la parte comune di due strisce di uguale altezza che si intersecano e che sono perpendicolari tra loro. Esso è l unico quadrilatero che ha tutti gli angoli e i lati uguali; è, quindi, un poligono regolare. Piet Mondrian, omposizione con rosso, giallo, blu e nero, 1921. L ia, Haags Gemeentemuseum 194 Esercizi da pag. 232
verso le competenze fondamentali U3 Il quadrato è un quadrilatero che ha tutti gli angoli e tutti i lati uguali. Le diagonali del quadrato, oltre a essere perpendicolari e bisettrici degli angoli, sono anche uguali. Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari tra loro. il linguaggio degli insiemi L insieme dei quadrilateri La classificazione dei quadrilateri può essere rappresentata con un diagramma, da cui risulta che i trapezi sono un sottoinsieme dei quadrilateri; i parallelogrammi sono particolari trapezi e costituiscono quindi un sottoinsieme dei trapezi; i rettangoli e i rombi costituiscono, infine, due sottoinsiemi dei parallelogrammi e la loro intersezione dà origine all insieme dei quadrati. TRPEZI RETTNGOLI QURILTERI QURTI PRLLELOGRMMI ROMI Un procedimento per classificare un quadrilatero considera un poligono di 4 lati no ha una coppia di lati i paralleli? sì ci sono 2 coppie di lati uguali? sì l altra coppia di lati è parallela? sì no no i lati sono tutti uguali? sì no gli angoli sono tutti uguali? sì gli angoli sono tutti uguali? sì no no è un quadrilatero generico è un deltoide generico è un trapezio è un parallelogrammo generico è un rettangolo è un rombo è un quadrato Esercizi da pag. 232 195
U3 igure geometriche piane Leggi e osserva la mappa e memorizza anche visivamente i collegamenti tra le conoscenze e le abilità introdotte in questa U. Spezzate sul piano Poligoni concavi e convessi Spezzate chiuse, intrecciate e non intrecciate Poligoni Proprietà generale dei poligoni Triangoli Quadrilateri Proprietà generali dei triangoli lassificazione dei quadrilateri Trapezi, deltoidi, parallelogrammi: rettangoli, rombi e quadrati lassificazione dei triangoli in base ai lati e agli angoli riteri di uguaglianza o congruenza dei triangoli Proprietà dei quadrilateri Segmenti notevoli dei triangoli: altezze, mediane, assi, bisettrici Punti notevoli dei triangoli: incentro, baricentro, ortocentro, circocentro 196
U3 Si dice poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice chiusa. Un poligono può essere: concavo se esiste una retta passante per uno dei suoi lati che lo attraversa convesso se una retta passante per uno dei suoi lati non lo attraversa Gli elementi di un poligono sono: il lato, il vertice, l angolo e la digonale Per calcolare la somma degli angoli interni di poligono si applica la formula: 180 (n - 2) mentre la somma degli angoli esterni misura 360 Per calcolare il numero delle diagonali di un poligono si applica la formula: n (n - 3) 2 Il triangolo è un poligono di tre lati. La somma degli angoli interni di un triangolo misura 180, quella degli angoli esterni 360. Rispetto ai lati, un triangolo può essere: equilatero, se ha i tre lati uguali, isoscele, se ha due lati uguali; scaleno se tutti i lati sono disuguali. Rispetto agli angoli, un triangolo può essere: acutangolo, quando gli angoli sono tutti acuti; rettangolo, quando un angolo è retto; ottusangolo, quando un angolo è ottuso. Il quadrilatero è un poligono di quattro lati. La somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360, quella degli angoli esterni 360. Il deltoide è un quadrilatero che ha due coppie di lati consecutivi uguali. Il trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli. Un trapezio può essere: isoscele, se i lati obliqui sono uguali; scaleno, se i lati obliqui sono disuguali; rettangolo, se i lati obliqui sono disuguali, ma uno di loro è perpendicolare alle basi. Un parallelogrammo è un quadrilatero che ha i lati paralleli a due a due. In un parallelogrammo i lati e gli angoli opposti sono uguali. Un parallelogrammo è un: rettangolo, se ha tutti gli angoli uguali e quindi retti rombo, se ha tutti i lati uguali quadrato, se ha tutti i lati e gli angoli uguali 197