MATEMATICA - LEZIONE ALGEBRA Relatore prof. re CATELLO INGENITO Torna al SOMMARIO
Torna al SOMMARIO Sommario della lezione Insiemi numerici e potenze Espressioni algebriche Scomposizione e frazioni algebriche Equazioni e disequazioni Valori assoluti e radici
Torna al SOMMARIO INSIEMI NUMERICI
Torna al SOMMARIO CLASSIFICAZIONE DEI NUMERI REALI
Torna al SOMMARIO RETTA REALE ESISTE ANCHE UNA EQUIVALENZA TRA LA RELAZIONE D ORDINE STRETTO DEI NUMERI REALI E DEI PUNTI DELLA RETTA
Torna al SOMMARIO PROPRIETA DELLE 4 OPERAZIONI
Torna al SOMMARIO Numeri primi e numeri composti Un numero naturale > si dice primo se è divisibile soltanto per se stesso e per. Un numero naturale > che non è primo si dice composto. Teorema fondamentale dell aritmetica: Ogni numero composto ammette un unica rappresentazione come prodotto di fattori primi, a meno dell ordine di fattori
M.C.D Massimo comune divisore. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni a tutti i numeri dati. Algoritmo per il calcolo del MCD. Per calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri, non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente. Esempio: MCD(5,) = 3. Infatti, 5 = 3 5 ; = 3 3 5. I fattori comuni con il minimo esponente sono, 3, 5.
M.C.D Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD. Per il calcolare il massimo comune divisore tra due numeri naturali a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, il MCD è a. Se non lo è, si divide a : b. Indicato con r il resto della divisione si ha: se r =, il MCD è b, altrimenti si ripete il procedimento con i numeri b ed r. Esempio: Per calcolare MCD(5,) si divide 5:, si ha quoziente, resto 3. Si divide :3 si ha quoziente 4 resto. Il MCD è 3. Numeri coprimi. Due numeri si dicono primi tra di loro o coprimi se non hanno nessun divisore comune eccetto o equivalentemente se il loro MCD =.
m.c.m Il minimo comune multiplo tra due o più numeri interi è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri dati. Algoritmo per il calcolo del mcm. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente. Esempio: mcm(8,) = 8 Infatti, 8 = 3 e = 5 Il mcm è dato da 3 5 =8
Proprietà delle potenze
Proprietà delle potenze è una forma indeterminata!
Torna al SOMMARIO Una derivata: Una buona palestra per il calcolo algebrico: le derivate (e gli integrali!) Calcoliamo la seguente:
Torna al SOMMARIO Esempio: Architettura 8
Torna al SOMMARIO Esempio: Odontoiatria Ricorda che è forma indeterminata!
Potenze di
Torna al SOMMARIO Esempio: Medicina 3
Torna al SOMMARIO Esempio: Medicina in Inglese 6 = 3 m and y = 5 n where m and n are integers. Which of the following is an epression, in scientific notation, for y? A).5 mn+ B).5 m+n+ C) 8 m+n D) 5 m+n E).5 mn
Torna al SOMMARIO Somma algebrica di potenze Due o più potenze si possono sommare algebricamente solo se sono simili, cioé se hanno la stessa base e lo stesso esponente: 3-7 + 3 3-7 = 5 3-7 Per sommare algebricamente potenze non simili ma con la stessa base, trasformarle prima in potenze simili: 5 3 5-3 3 4 = 5 3 3 4-3 3 4 = 5 3 4-3 3 4 = 3 4 Potenze con base diversa non si possono sommare: 7 + 7 = invariato
Torna al SOMMARIO Esempio: Veterinaria 3 33 3 3
Proporzioni Una proporzione è un uguaglianza di rapporti. Esempio di proporzione geometrica
Due variabili y e sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: Proporzionalità diretta la formula che le lega ha la forma: y = k il grafico è una retta che passa per l origine.
Proporzionalità inversa Due variabili y e sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: y = k la formula che le lega ha la forma: y = k / il grafico è una ramo di iperbole equilatera.
Percentuali La percentuale è un rapporto che ha come denominatore. In una classe di 5 persone hanno il telefonino. Quanti ragazzi in percentuale hanno il telefonino? La variazione percentuale :
Torna al SOMMARIO Monomi e Polinomi Con le proprietà delle potenze si svolgono anche le operazioni con monomi e polinomi: Stesse regole dei numeri
Torna al SOMMARIO Prodotti notevoli
Potenza del binomio Triangolo di TARTAGLIA n! = n
Esempio
Scomposizione di polinomi
Frazioni algebriche Semplificazione divisori primi di 4-8 y + y 4 divisori primi di 6 -y 6
Frazioni algebriche Somma algebrica mcm
E(o)rrori da evitare! + y = ( + y)( - y) + +4 = ( + y) 3
Regola del resto Consideriamo un polinomio P() di grado > Es. P() = 3 3 + 8 - Se P() ammette come divisore il binomio (-a).... il valore razionale a appartiene necessariamente alle frazioni formate dai divisori del termine noto e dai divisori del primo coefficiente. Tale valore detto zero o radice del polinomio, sostituito alla, annulla il polinomio Es. - /3 P() = 3 + 8 = P(-) = -3 + 8 = 4 P(/3) = /9 + 8/9 = RESTI DELLA DIVISIONE TRA P() e (-a) Il polinomio 3 3 + 8 è divisibile per il binomio (-/3) o (3-)
Regola di Ruffini Scomponiamo il polinomio con la REGOLA DI RUFFINI 3 8 - /3 3 3 9 3 3 3 + 8 = ( - /3)(3 + 9 + 3) = (3 - )( + 3 + ) Trinomio irriducibile perché non esistono due numeri relativi la cui somma sia 3 e il cui prodotto sia. Oppure, usando la regola del resto, perché P(-) e P()
Torna al SOMMARIO IDENTITA E DISUGUAGLIANZE Esiste un identità tra due espressioni algebriche: A = B se esse sono riconducibili alla stessa espressione Una disuguaglianza tra due espressioni ha significato se esiste una relazione d ordine tra le espressioni: A < B A B A > B A B Identità e disuguaglianze hanno un valore di verità: VERO (VERIFICATA) FALSO (NON VERIFICATA)
Torna al SOMMARIO PROPRIETA DI IDENTITA E DISUGUAGLIANZE ) I membri di una IDENTITA (DISUGUAGLIANZA) possono essere moltiplicati o divisi per un numero positivo senza cambiare valore Es. 4 + = (<) 4 8 + 4 =(<) + =(<) ) I membri di una IDENTITA possono essere moltiplicati o divisi per un numero negativo senza cambiare valore Es. 4 + = -4 + 8-4 = + - = 3) Se si moltiplicano i membri di una DISUGUAGLIANZA per un numero negativo il segno cambia verso (il valore di inverte) Es. 4 + < -4 + 8-4 > 4) In una IDENTITA (DISUGUAGLIANZA) al primo e al secondo membro si possono sommare o sottrarre gli stessi numeri reali senza che essa cambi il proprio valore Es. + =(<) + - =(<) - =(<) -
Torna al SOMMARIO EQUAZIONI DI GRADO Applicando le precedenti proprietà risolviamo le equazioni di grado: b a + b = = con a a Risolvere un equazione significa trovare uno o più valori reali che verificano l identità. Verifica: b a + b = -b +b = = a
Torna al SOMMARIO DISEQUAZIONI DI GRADO b a + b > > con a > a Analogo procedimento per, <, b a + b > < con a < a Analogo procedimento per, <,
FORME NON DETERMINATE I metodi precedenti non si applicano se a = Per le equazioni abbiamo due casi: = = b EQUAZIONE INDETERMINATA ( SOLUZIONI) EQUAZIONE IMPOSSIBILE ( SOLUZIONI) Per le disequazioni valutare il valore di verità della disuguaglianza: < impossibile indeterminata < 3 indeterminata - impossibile > 5 impossibile indeterminata
Torna al SOMMARIO SISTEMI LINEARI (EQU. DI GRADO) a by c a b y c Equazioni di due rette sul piano cartesiano Il sistema è determinato se le due rette sono incidenti (m m ) Il sistema è impossibile se le due rette sono parallele (m = m ) Il sistema è indeterminato se le due rette sono coincidenti a b a b a a b b a b a b a a b b c c a a b b c c
Torna al SOMMARIO Esempio: Odontoiatria 7
Torna al SOMMARIO METODO DI SOSTITUZIONE Forma canonica
Torna al SOMMARIO METODO DEL CONFRONTO
METODO DI RIDUZIONE Proprietà: una combinazione lineare di identità è ancora una identità vera.
Torna al SOMMARIO MATRICE DEL SISTEMA LINEARE a by c a b y c Il sistema è determinato se la matrice del sistema è a a b b a a b b
Torna al SOMMARIO METODO DI CRAMER
Esempio Ingegneria Impostiamo un sistema lineare: = anni di Matteo oggi y = anni di Sara oggi 3 ( y 3) 4 5y y 9 4 5y Il sistema è determinato ma potrebbe avere soluzioni non accettabili (negative). Tuttavia nessuna delle risposte è compatibile con questa ipotesi, quindi la risposta è sicuramente: y 9 metodi: 4(y 9) 5y 5 y Risolviamo comunque il sistema con uno dei 4
Torna al SOMMARIO SISTEMI LINEARI A TRE INCOGNITE terzo
Torna al SOMMARIO VALORE ASSOLUTO Sia a R Si definisce valore assoluto (o modulo) di a: a se a a a se a
RADICALI ALGEBRICI Si definisce RADICE n-esima di un numero reale a, se esiste, il/i valore/i b: b n a b n a indice radicando a NON HA a a SIGNIFICATO a a n a ar n dispari se a n pari
Torna al SOMMARIO OPERAZIONI CON I RADICALI
Torna al SOMMARIO OPERAZIONI CON I RADICALI NB - Anche per i radicali, come per potenze e monomi, la somma algebrica è possibile solo se sono SIMILI!
Esempio: Farmacia 3 64 3 3 5 64 3 6 5
SEMPLIFICAZIONE DELLA RADICE QUADRATA Sia n = (o pari) La semplificazione della radice n-esima è: n n Esempio: calcoliamo il seguente limite: lim lim lim lim lim lim
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI Razionalizzare un DENOMINATORE significa renderlo RAZIONALE b Caso a a b a a a b a b b Caso n m n m n nm a a a n a a nm b n a nm 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
RADICALI DOPPI
Esempio Architettura 4,4 5
Esempio Architettura 4,4 5
Esempio Architettura 7 5( ) a 5 5
EQUAZIONI DI GRADO a + b + c = Formula risolutiva completa: b a b b a 4ac Discriminante Formula risolutiva ridotta: b a 4 b b a ac soluzioni reali distinte soluzione reale doppia nessuna soluzione reale
EQUAZIONI DI GRADO INCOMPLETE Spuria: a + b = Ammette sempre due radici reali di cui una nulla ( > ) a b ( a b) b a Pura: a + c = c a c a c a c a soluzioni reali opposte ( > ) soluzione reale doppia ( = ) nessuna soluzione reale ( < ) c a
RELAZIONE TRA COEFFICIENTI E RADICI - SCOMPOSIZIONE a + b + c = > = s radici reali e distinte e b a p c a s + p = a + b + c = a( ) ( ) radici reali e coincidenti o una soluzione doppia a + b + c = a( ) < Nessuna radice reale a + b + c irriducibile
Esempio Veterinaria 7 Quali sono i due numeri tali che la loro somma è uguale a 7/4 e il loro prodotto è uguale a? A) 3/4; 4/3 B) 6; /6 C) 4; /4 D) 3/8; 8/3 E) 6/4; Risolviamo: 7 4 7 4 4 7 89 64 7 5 4 8 8 4
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL Scomponiamo con il metodo di Ruffini:
EQUAZIONI BINOMIE e TRINOMIE a n + c = n pari c a c a no n c a soluz n dispari n c a a n + b n + c = si riconducono alle binomie: t = n at + bt + c = Applicare le formule risolutive delle equazioni di secondo grado
Esempio Medicina 4 Il metodo più semplice è quello di provare le tre risposte con gli zeri (radici): a - 3 + = a =! Sconsigliabile provare a discutere l equazione letterale!
SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL Il sistema è di grado. Il grado di un sistema si calcola moltiplicando i gradi delle equazioni
Esempio Medicina 4 Metodo Tracciamo retta ed ellisse: -3 3 4 - Metodo Risolviamo il sistema: -4 y 4 3y 3y 8 4( y 68y) 9y 36 4 56 364
SEGNO DEL TRINOMIO DI GRADO p() = a + b + c a > Sostituendo dei valori alla p() assume un segno Per studiare tale segno risolviamo l equazione associata: a + b + c = caso radici p()> p() p()< p() >, < v > v < < = R R = < - R R R R
Segno del trinomio con la parabola Le tabelle per lo studio del segno del trinomio si possono anche dimostrare utilizzando l equazione della parabola y = a + b + c > a > la parabola è rivolta verso l alto = < + - + + + a < la parabola è rivolta verso il basso > = + < - + - - - Torna al SOMMARIO -
Esempio Risolviamo insieme la disequazione: + > ) Risolviamo prima l equazione associata: + = 8 4 4 9 3 4 ) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > : caso radici p()> p() p()< p() >, < v > v < < = X = X < - R R R R 3) Soluzione: < - V > / - / R R R
Esempio Risolviamo insieme la disequazione: - 3 Cambiamo i segni, invertendo il verso della disuguaglianza : + 3 ) Risolviamo prima l equazione associata: + 3 = ) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > : caso radici p()> p() p()< p() >, < v > v < < = X = X < - R = -3 impossibile ( < ) R R R R 3) Soluzione: indeterminata ( R) R
Esempio Risolviamo insieme la disequazione: + 6 + 9 > ) Risolviamo prima l equazione associata: + 6 + 9 = 6 9 3 3 ( ) ) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > : caso radici p()> p() p()< p() >, < v > v < < = X = X < - R R R R 3) Soluzione: -3-3 R R R
Esempio Medicina 7 L'equazione di secondo grado k 3k + (k + ) =, con k, ha una soluzione uguale a per: A) k = /5 B) nessun valore di k C) k = D) k = E) k = 3 Sostituiamo nell equazione:
Torna al SOMMARIO Disequazioni di grado > Una disequazione P n () <> con n > deve essere scomposta in fattori: P n () = A m () B p ().. <> di grado massimo. Il segno del polinomio P n () è il prodotto dei segni dei suoi fattori.
Esempio 3 - - < Scomponiamo: ( - - ) < Studiamo i due fattori > Riportiamo sulla retta reale i segni dei fattori: R -/ - - + + - - + - - + 3 - - - - + + Soluzione:
Torna al SOMMARIO Esempio Scomponiamo la biquadratica come trinomio caratteristico : 4-5 + 4 ( 4)( - ) Studiamo i due fattori 4 Riportiamo sulla retta reale i segni dei fattori: - 4 R - - - 4-5 + 4 - + - + + Soluzione:
Esempio 4 3-3 5 + 4-3 Scomponiamo: ( 3 + )(4 3 ) ( +)( -+)(4 3 ) Studiamo i tre fattori 4 3 3 R Riportiamo sulla retta reale i segni dei 3 fattori: R + - + 4-3 + 3 3 4 3-3 5 +4-3 - - - + 3 3 3 3 3 Soluzione: 3 3 Torna al SOMMARIO 3 3
Torna al SOMMARIO Esempio Architettura 6 Le soluzioni della disequazione ( )( + ) < sono: A) < < B) < oppure < < C) < < oppure > D) > E) < < oppure > R - + + - P() - +
Torna al SOMMARIO Disequazioni algebriche fratte Per risolvere una disequazione fratta P Q n m ( ) ( ) scomporre eventualmente Numeratore e Denominatore impostare uno studio dei segni di numeratore e denominatore: P n ( ) ( ) Q m ( ) La soluzione, come per quelle di grado superiore, è data dagli intervalli concordi col segno richiesto
Torna al SOMMARIO Esempio 3 Studiamo i due fattori > 3 3 Riportiamo sulla retta reale i segni dei fattori: R - 3/ N - + + D + + + N/D - + - Soluzione: 3
Torna al SOMMARIO Esempio Studiamo N e D > 4 4 9 6 4 3 4 3 Riportiamo sulla retta reale i segni di N e D: Soluzione: 4 3 4 3 4 4 9 6 R -3/4 3/4 N D N/D - + + +
Esempio Studiamo N e N e D e D > 3 4 8 4 4 ( )( ( )( R 4) ) Riportiamo sulla retta reale i segni di N, N, D e D : N N D D R - - / - N/D - + - + - + Soluzione:
Torna al SOMMARIO Esempio dai test di ammissione Architettura 7 7 3 6 3 3 3
Esempio dai test di ammissione Architettura 7 La disequazione ( + 3)/( ) > è soddisfatta per: A) > 3 B) < / o > 3 C) / < < 3 D) < 3 o > / E) 3 < < /
Esempio dai test di ammissione Architettura 6
Sistemi di disequazioni A( ) B( )... La soluzione è data dall intersezione delle soluzioni del sistema:
Torna al SOMMARIO Esempio Risolviamo le due disequazioni: Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni: R - - Soluzione:
Torna al SOMMARIO Esempio Risolviamo le tre disequazioni: 3 3 Riportiamo sulla retta reale le tre soluzioni: Soluzione: 3 3 9 R -3 3-3
Torna al SOMMARIO Esempio 4 4 3 3 Verificato che la prima disequazione è impossibile tutto il sistema è impossibile! In generale se le soluzioni delle disequazioni di un sistema non si intersecano il sistema è impossibile!
Torna al SOMMARIO Esempio 3 3 7 ( 3) Risolviamo separatamente le due disequazioni: 3 R 3-3 Soluzione: 3 7 R - 7/ N D Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni: Soluzione: 7 R - 3 7/ Soluzione: 3
Equazioni e disequazioni irrazionali n A ( ) n pari esiste se A() è sempre n A ( ) n dispari esiste se A() esiste assume il segno di A() 3 3 8 3 In questi casi equazioni e disequazioni si risolvono senza imporre alcuna Condizione di Esistenza alla RADICE 3 3 3
Equazioni e disequazioni irrazionali Siano: n un numero positivo A() e B() polinomi in Nei seguenti metodi, implicitamente o esplicitamente, abbiamo la Condizione di Esistenza: A() A( ) n A( ) n A( ) A ( ) n E s e m p i 3
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni irrazionali ) ( ) ( n A n A ) ( ) ( n A n A ) ( ) ( ) ( n A A n A E s e m p i 4 5 3 3 3 4 5 5
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni irrazionali ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A B A Esempio: 3 3 non accettabile
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni irrazionali ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A B A Esempio: 3 3 3 3 3 3
Unione di disequazioni A( ) B( ) La soluzione è data dall unione delle soluzioni: NB Nei metodi risolutivi delle disequazioni algebriche le soluzioni da unire sono disgiunte! (Hanno intersezione nulla!)
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni irrazionali ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A B B A Esempio: 4 4 4 4 4 5 4
Equazioni e disequazioni irrazionali A( ) A( ) B( ) B( ) A( ) B( ) Disequazioni più complesse vanno ricondotte ai casi precedenti
Equazioni e disequazioni con modulo Ripetiamo la definizione di modulo (valore assoluto) N N N se se N N A() è sempre Per i metodi successivi siano: n un numero positivo A() e B() polinomi in
Equazioni e disequazioni con modulo A ( ) n A ( ) n A( ) n R E s e m p i 5 Impossibile Sempre verificata Impossibile
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni con modulo n A n A ) ( ) ( n A n A n A ) ( ) ( ) ( n A n A n A ) ( ) ( ) ( 3 5 3 3 3 E s e m p i
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni con modulo )... ( ) ( )... ( ) ( )... ( A A A A A Esempio: Equazione o disequazione con un valore assoluto: Risolvere l unione di disequazioni con le ipotesi del segno dell espressione in valore assoluto:
Torna al SOMMARIO Equazioni e disequazioni con modulo Esempio: Equazione o disequazione con più valori assoluti: Studiare i segni delle espressioni in valore assoluto e poi risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli di segno che si determinano (seguire l esempio) 3 R -
Esempio dai test di ammissione Architettura 3 3 3 3 5
Fine lezione Grazie per l attenzione!