Serie a termini di segno non costante Definizione (Convergenza semplice e assoluta) Se una serie converge, cioè la sua somma esiste ed è finita, si dice anche che la serie converge semplicemente: an = s. Una serie a n converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti: an. Teorema (Criterio di convergenza assoluta) Se una serie converge assolutamente, allora converge anche semplicemente: an a n. Definizione (Serie a segni alterni) Una serie si dice a segni alterni se può essere scritta nella forma: ( ) n a n = ( ) n a n, con {a n 0}, successione a termini positivi. Teorema (Criterio di Leibniz, per serie a segno alterno) Sia ( ) n a n una serie a segni alterni, con a n 0, termini di una successione tale che: a n a n+ n (decrescente); lim n + a n = 0 (infinitesima). Allora la serie converge. Esempio. La serie armonica diverge: n = + ; mentre la serie armonica con segni alterni è una serie di Leibniz, infatti rispetta le tre ipotesi: è positiva: n > 0; è decrescente: n > n+ n; è infinitesima: lim n + n = 0. Dunque la serie armonica a segni alterni è convergente: ( ) n n < +.
Esercizio. Stabilire il carattere delle seguenti serie a segno alterno: a. + 0 ( ) n sin n ; b. ( ) n arctan n ; c. ( ) n n + n. a. Verifichiamo dapprima la convergenza assoluta, che implicherebbe automaticamente anche quella semplice. La serie dei valori assoluti ha come termine generale la successione a n = sin n n, che diverge: pertanto la serie data non converge assolutamente. Per quanto riguarda la convergenza semplice, osserviamo che la successione a n = sin n soddisfa le tre ipotesi del criterio di Lebniz: è positiva: la funzione seno è positiva nell intervallo (0, ] in cui viene valutata; è decrescente: la funzione seno, in (0, ], è anche monotona crescente, quindi segue l andamento dell argomento /n, decrescente; è infinitesima: a n = sin n n 0. Dunque la serie converge semplicemente. b. Valgono esattamente le stesse considerazioni viste al punto precedente, perché anche per l arcotangente vale la relazione: a n = arctan n n ; la serie data converge semplicemente ma non assolutamente. c. In questo caso, invece, non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza: a n = n + n 0;
la serie non converge né assolutamente, né semplicemente: assolutamente diverge, mentre semplicemente è irregolare (in quanto non esiste il limite della successione s n = n a j delle somme parziali n esime, infatti: lim k s k = (+)a k = + lim k s k+ = ( )a k+ = ). Esercizio. Stabilire il carattere della serie: sin(πn + n + arctan n ). Osserviamo che l argomento della funzione seno è la somma di un termine infinito e uno infinitesimo; ricordando la formula di addizione del seno: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, (termine infinite- ponendo α = πn (termine infinito) e β = arctan n simo), possiamo separarli: + n a n = cos(πn) sin( n + arctan n ) = ( )n sin( n + arctan n ), ottenendo così il termine generale di una serie a segni alterni. Controlliamo la convergenza assoluta: a n = sin( n + arctan n ) n + arctan n n + n = n + o ( n ), dunque la serie dei valori assoluti diverge (confronto asintotico con serie armonica). Per la convergenza semplice, verifichiamo le tre ipotesi di Leibniz per la successione b n = sin( n + arctan n ): è positiva; è infinitesima (asintotica a /n); è decrescente: la funzione seno, strettamente crescente, conserva la monotonia dell argomento. I due termini che lo compongono sono /n, decrescente, e arctan n, decrescente perché lo è /n, e l arcotangente, come il seno, ne mantiene l andamento. Dunque la serie data converge semlicemente, per il criterio di Leibniz. 3
Esercizio. Stabilire il carattere della serie: ( ) n a n = ( ) n ( n + 3 n). Si tratta di una serie a segni alterni; studiamo prima la serie dei valori assoluti: a n = ( ) n + 3 n = n[ + 3/n 3 ] n n = 3 n ( + x) α (per il limite notevole lim = α); dunque la serie, per il confronto asintotico, diverge x 0 x assolutamente. La convergenza semplice è invece data dal criterio di Leibniz, infatti si verifica facilmente che la successione degli a n è positiva e infinitesima; quanto alla monotonia, studiando il segno della derivata prima della funzione f(x) = x + 3 x, troviamo che tale funzione è strettamente decrescente, per valori positivi di x: sarà allora decrescente anche la successione a n = f(n), con n 0. La serie data è allora convergente semplicemente. Esercizio. Studiare il carattere della serie: n + sin(πn + n ). Scrivendo il termine generale come: a n = n + cos(πn) sin n = n + ( )n sin n, spezziamo la serie in due termini: uno a segno positivo, l altro a segni alterni. Il primo è una serie armonica, perciò divergente. Questo non basta però per concludere che la somma delle due serie diverga: se fossero entrambe divergenti, ma con segno opposto, la loro somma potrebbe ancora convergere. Come esempio banale, basta osservare che la somma delle due serie (entrambe divergenti) /n e ( /n), è una serie convergente: n + ( ) = ( n n ) = 0 = 0. n 4
Studiamo allora il carattere del termine a segni alterni: i valori assoluti danno una serie il cui termine generale è asintotico a quello della serie armonica: sin(/n) /n, pertanto la serie assoluta diverge. Ma abbiamo già visto che la successione a n = sin(/n) soddisfa le tre ipotesi del criterio di Leibniz (positiva, monotona, infinitesima): dunque la serie converge semplicemente. La serie data, somma di due serie, una divergente e una convergente, è divergente semplicemente (e dunque anche assolutamente). Esercizio. Stabilire il carattere della serie: ( ) n 3n + ( ) n n. Si tratta di una serie a segni alterni; partiamo dalla convergenza assoluta: 4n < a n = la serie diverge assolutamente. 3n + ( ) n n < n, La convergenza semplice non può essere provata con il criterio di Leibniz, perché in questo caso la successione a n non è monotona; si ha però: ( ) n a n { 4n n n pari n dispari Cerchiamo di riscrivere il termine generale della serie come: ( ) n a n = ( )n 4n + ( )n b n, espressione che, per n pari, già coincide con la successione di partenza, mentre per n dispari deve soddisfare: 4n + b n = n, da cui si ricava b n = 8n. La serie data si può allora riscrivere come somma delle tre serie: ( ) n a n = ( ) n 4n + ( )n 8n = ( ) n 4n 8n + ( ) n 8n. La prima e la terza serie sono convergenti per il criterio di Leibniz, mentre la seconda è una serie armonica, divergente. La somma delle tre serie diverge semplicemente. 5
Esercizio. Stabilire il carattere delle serie: a. ( ) n sinh n e n ; b. ( ) n n 3 n +. a. Per la convergenza assoluta studiamo la successione: a n = en e n e n = e n 0, non essendo soddisfatta la condizione necessaria, la serie diverge assolutamente. Semplicemente ha invece carattere irregolare. b. In questo caso si ha convergenza assoluta, infatti: a n = n 3 n + n 3, termine generale di una serie armonica generalizzata, con α = 3, convergente. La serie converge assolutamente e semplicemente. Esercizio. Data la successione: { sinh n n pari a n = cosh n n dispari stabilire il carattere della serie ( ) n b n = ( ) n a n. Si tratta di una serie a segni alterni, con b n = sinh k = e k e k e k cosh(k + ) = e k+ + e k e k+ La serie data è allora la somma delle due serie: ( ) n b n = n k e k e k k 6 e k+ + e k,
dove entrambe le serie sommate hanno termine generale asintotico al termine di una serie convergente, perciò convergono, e converge la loro somma. La convergenza della serie di termine generale c k = si può dimostrare, e k ad esempio, con i criteri del rapporto o della radice: c k = c k e k ek = e <, (oppure: k ck = k e k = k e e <.) Esercizio. seguenti? Per quali valori del parametro c R convergono le serie a. c n n ; b. c n n ; c. ( c c ) n ; d. ( n + n) c. a. Occupiamoci dapprima della serie dei valori assoluti: la condizione necessaria per la convergenza è: a n = c n n 0 c. Per il criterio della radice, poi otteniamo che: Perciò: lim n a n = lim c n n = c. se c < si ha convergenza assoluta (e semplice); se c =, abbiamo due casi: - per c =, la serie diventa quella armonica: diverge; - per c =, la serie è quella armonica a segni alterni: converge. 7
se c > la serie coincide con quella dei valori assoluti, che diverge; se c < la serie assolutamente diverge, semplicemente è irregolare. In conclusione, la serie converge per i valori c <. b. Si procede in maniera analoga al punto predente: a condizione necessaria alla convergenza assoluta è c, il criterio della radice fornisce il limite: Dunque distinguiamo i casi: lim n a n = lim c n n = c. se c < si ha convergenza assoluta (e semplice); se c =, abbiamo due casi: - per c =, la serie diventa quella armonica generalizzata, con α = > : converge; - per c =, la serie è quella armonica generalizzata a segni alterni: converge. se c > la serie coincide con quella dei valori assoluti, che diverge; se c < la serie assolutamente diverge, semplicemente è irregolare. In conclusione, la serie converge per i valori c. c. Si tratta di una serie geometrica di ragione q = c c, pertanto la convergenza si ha se e soltanto se la ragione è minore di in modulo: la serie converge c c <. La condizione si traduce nel sistema: { c c < c c > la cui soluzione è l intervallo c (, /3). d. Per il termine generale vale la relazione di asintotico: a n = ( n + n) c = ( n + + n ) c ( ) c = n c n c/. L ultimo è il termine generale di una serie armonica generalizzata, convergente per tutti e soli gli esponenti maggiori di : la serie converge per c >. 8