Politecnico di Milano - Scuola di Ineneria Industriale I Prova in Itinere di Statistica per Ineneria Eneretica 9 maio 013 c I diritti d autore sono riservati. Oni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseuito. Conome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. I minuti passati ieri in pausa caffè dali impieati della Macchiato&Corretto sono così distribuiti: Minuti in pausa caffè Numero Lavoratori [0,10] 7 (10,0] 36 (0,30] (30,40] 9 (40,00] 6 (a) Costruire la tabella della distribuzione di frequenza, includendo frequenze relative e densità, e disenare l istoramma che rappresenta tali dati, riportando i valori in ordinata. (b) Calcolare in modo approssimato mediana e media del tempo passato in pausa caffè. Quale relazione ci si aspetta fra media e mediana? Giustificare. (c) Calcolare in modo approssimato il quantile di ordine 94% di tale distribuzione. (d) Calcolare in modo approssimato la varianza di tale distribuzione. 1
Soluzione. (a) La tabella delle frequenze relative e densità è: Minuti in pausa caffè Frequenze relative Densità [0,10] 0.7 0.07 (10,0] 0.36 0.036 (0,30] 0. 0.0 (30,40] 0.09 0.009 (40,00] 0.06 0.000375 Fiura 1: Istoramma minuti in pausa caffè (b) La mediana vale 16.39, e la media.6. In questo caso la distribuzione è asimmetrica, con una coda più luna a destra rappresentata dall ultima classe (che è quella con ampiezza molto maiore rispetto alle altre). Perciò, la media ha un valore più alto rispetto alla mediana. (c) Il quantile di ordine 94% di tale distribuzione vale 40. (d) La varianza vale 688.74.
Problema. L errore di misura X commesso dalla nuova bilancia C è sempre il nero che snellisce è una variabile aleatoria continua che, misurata in chilorammi, ha densità 1 k x, 1 < x < 1, f(x) = 0, altrove. (a) Determinare k affinché f sia effettivamente una densità di probabilità. Disenare il rafico di f. (b) Scrivere e tracciare il rafico della funzione di ripartizione di X. (c) Qual è la probabilità che l errore commesso dalla C è sempre il nero che snellisce sia al più 0.? (d) Calcolare media, mediana e varianza di X. Soluzione. (a) Come prima cosa, per essere una densità la funzione dev essere non neativa: f(x) 0 per x [ 1, 1] implica che k 1. Poi calcoliamo l area sottesa alla curva fra [ 1, 1] e imponiamo che vala uno, ottenendo k = 1. (b) La funzione di ripartizione è F (x) = 0 x < 1 x + x + 1 1 x < 0 x + x + 1 0 x < 1 1 x 1 (c) P ( 0. X 0.) = F (0.) F ( 0.) = 0. + 0. + 1 0. + 0. 1 = 0.4 0. = 0.36. (d) media e mediana valono zero poiché la densità è simmetrica in zero. Var[X] = E[X ] = 1 6. 3
Problema 3. Il numero di telefonate che arrivano al centro chiamate della Bobbico Inc. è un processo Poisson. La probabilità che nell arco di un minuto non arrivino telefonate vale p 0 = 1 3. (a) Quanto vale il tasso di arrivo delle telefonate? (b) Qual è la probabilità che in due minuti arrivino almeno due telefonate? (c) Qual è la probabilità che tra una telefonata e la successiva intercorra meno di un minuto e mezzo? (d) Qual è la probabilità che nell arco di una iornata di lavoro (9 ore: dalle 8.30 alle 17.30) arrivino al massimo 600 telefonate? Soluzioni. Sceliamo di misurare il tempo in minuti e poniamo X t = numero di telefonate in arrivo al centro chiamate nella finestra temporale [0, t] X t P o(λt) con λ = numero medio di telefonate in un unità di tempo (dunque: un minuto). (a) p 0 = P (X 1 = 0) = e λ 1 = 1 3 λ = ln 3 1.098618867. (b) P (X ) = 1 P (X 1) = 1 { e ln 3 + ( ln 3)e ln 3} = 1 0.6448. { 1 9 + ln 3 } = 8 ln 3 9 9 (c) Sappiamo che l intertempo T tra due arrivi di un processo di Poisson seue una lee esponenziale, dunque, se misuriamo T in minuti, abbiamo che T E(λ = ln 3), pertanto la probabilità cercata è P (T < 1.5) = 1 e 1.5 ln 3 = 1 1 7 0.8075. (d) Usando l approssimazione normale X 540 P o(540 ln 3) N(540 ln 3, 540 ln 3), dunque P (X 540 600) P (Z < 600.5 540 ln 3 540 ln 3 ) Φ(0.30) 0.6179; (usando R, si ottiene senza approssimazione P (X 540 600) 0.6194). 4
Problema 4. Volete determinare la lunhezza l di un pendolo misurando il periodo t delle sue oscillazioni. Considerate solo piccole oscillazioni, per cui, detta l accelerazione di ravità, si ha l = 4π t. Potete eseuire n misure di t di risultati T 1,..., T n, tutti indipendenti e ciascuno di distribuzione N(t, σ ), dove la varianza σ dipende dallo strumento di misura ed è a voi inota, come il periodo t. Ovviamente come stimatore di t usate T n = T 1 + + T n. n (a) Per T n determinare: distribuzione, media, varianza, momento secondo E[(T n ) ], distorsione, MSE. Come stimatore di l sceliete di usare L = 4π ( T n ). (b) Per L determinare in modo esatto: media e distorsione. (c) Per L determinare in modo approssimato: varianza e MSE. Dieci misure del periodo t danno una media campionaria ed una varianza campionaria pari a (d) Stimare l. t 10 = 5.3 s, s 10 = 0.065 s. (e) Stimare l errore quadratico medio dello stimatore utilizzato. Si utilizzi per il valore convenzionale pari a 9.80665 m/s. Soluzioni. (a) T n N ) (t, σ, E[T n ] = t, Var[T n ] = σ n n, E[(T n) ] = t + σ n, distorsione[t n ] = E[T n ] t = 0, MSE[T n ] = Var[T n ] = σ n. (b) E[L] = 4π E[T ] = 4π ) (t + σ = l + σ n 4π n, distorsione[l] = EL l = σ 4π n. (c) Detta h(x) = x 4π, si hanno L = h(t n) e h (x) = x. Pertanto, usando il metodo delta, π (d) l = 7.03 m. (e) MSE[L] 0.0437 m. Var L ( ) h (t) Var[T n ] = σ t 4π 4 n, MSE[L] = Var[T n ] + (distorsione[l]) σ t 4π 4 n + σ 4 16π 4 n. 5