Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 26
index Tracciatori di coniche 1 Tracciatori di coniche 2 Diverse rappresentazioni analitiche 3 Retta tangente 4 Curve di Jordan Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 2 / 26
Il compasso di Archimede Tracciatori di coniche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 3 / 26
Tracciatori di coniche PA = a, PB = b P (a cos(θ), b sin(θ)) x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 4 / 26
Tracciatori di coniche L ellissografo di Van Schooten P descrive un ellisse di semiassi a = r + s e b = s r, con r = AB, s = BP. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 5 / 26
Tracciatori di coniche È il movimento di una porta basculante Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 6 / 26
Tracciatori di coniche Analisi del problema: traduzione in termini matemetici, quali strumenti usare?, geometria analitica (applicata ad una problema reale)... Costruzione di una macchina virtuale (es con Geogebra) Costruzione del meccanismo Condizioni perchè il meccanismo funzioni... Differenze tra movimento reale e movimento virtuale. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 7 / 26
index Diverse rappresentazioni analitiche 1 Tracciatori di coniche 2 Diverse rappresentazioni analitiche 3 Retta tangente 4 Curve di Jordan Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 8 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche Metodi per rappresentare analiticamente una curva nel piano. Grafici di funzioni reali di variabile reale y = f (x), f : R R. Luoghi di zeri di funzioni di due variabili (ad esempio polinomi: curve algebriche) F(x, y) = 0, F : R R R. Curve in forma parametrica x = a(t), y = b(t), a, b : R R. Rappresentazioni cartesiane o parametriche in coordinate polari ρ, θ. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 9 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche Curve piane in forma parametrica x = a(t), y = b(t). Ipotesi: 1) a, b di classe C 2 (non è strettamente necessaria) 2) almeno genericamente, se t 1 t 2 allora (a(t 1 ), b(t 1 )) (a(t 2 ), b(t 2 )) (questa è necessaria!) Poniamo P(t) = (a(t), b(t)) (è bene tenere distinti il punto P di coordinate (a(t), b(t)) da P(t)). Se, per t 1 t 2, si ha P(t 1 ) = P(t 2 ), il punto P P(t 1 ) = P(t 2 ) viene detto multiplo. Se, per t = t 0, si ha P (t 0 ) = (a (t 0 ), b (0)) (0, 0), si dice che P è regolare in t 0 (N.B. è una proprietà di P, non di P (a(t 0 ), b(t 0 )). Un punto P (a(t 0 ), b(t 0 )) viene detto semplice se non è multiplo e P è regolare in t 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 10 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche ESEMPI 1) P(t) = (t 2, t(t 2 1)). P( 1) = P(1) = (1, 0). P (1, 0) è multiplo. P( 1) e P(1) sono regolari. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 11 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche 2) P(t) = (t 2, t 3 ). P(0) = (0, 0). P (0, 0) non è multiplo. P(0) non è regolare. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 12 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche 3) P(t) = (t 3 (t 1), t 2 (t 1)). P(0) = P(1) = (0, 0). P (0, 0) è multiplo. P(0) non è regolare; P(1) è regolare. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 13 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche Simmetrie del grafico Se a(t) è pari, e b(t) è dispari, allora il grafico di P(t) = (a(t), b(t)) è simmetrico rispetto all asse x. Se a(t) è dispari, e b(t) è pari, allora il grafico di P(t) = (a(t), b(t)) è simmetrico rispetto all asse y. Se a(t) e b(t) sono entrambe dispari, allora il grafico di P(t) = (a(t), b(t)) è simmetrico rispetto all origine. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 14 / 26
Diverse rappresentazioni analitiche Retta tangente Se P (a(t 0, b(t 0 )) è semplice, la retta tangente al grafico di P(t) = (a(t), b(t)) ha espressione parametrica ovvero equazione cartesiana x = a(t 0 ) + λa (t 0 ), y = b(t 0 ) + λb (t 0 ), b (t 0 )(x a(t 0 )) = a (t 0 )(y b(t 0 )). Se P è regolare in t 0 (anche se P (a(t 0, b(t 0 )) non è semplice), la retta tangente al ramo del grafico di P corrispondente a un intorno di t 0 ha equazione b (t 0 )(x a(t 0 )) = a (t 0 )(y b(t 0 )). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 15 / 26
index Retta tangente 1 Tracciatori di coniche 2 Diverse rappresentazioni analitiche 3 Retta tangente 4 Curve di Jordan Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 16 / 26
Retta tangente Retta tangente alla curva Γ nel punto P Γ. Significato geometrico: retta limite (se esiste) di rette secanti del tipo PQ, al tendere di Q a P Traduzione "algebrica" (nel caso delle coniche, o più in generale per curve algebriche): retta che ha molteplicità di intersezione (maggiore o) uguale a 2 con la curva nel punto. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 17 / 26
Retta tangente Varie rappresentazioni analitiche per la retta tangente A Nel caso di grafico di funzione (derivabile) y = f (x), y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). B Nel caso di un equazione cartesiana F(x, y) = 0, con F differenziabile, F(x 0, y 0 ) = (0, 0) e ( F x, F y ) (x 0,y 0 ) (0, 0) F (x x 0 ) + F (y y 0 ) = 0 x (x 0,y 0 ) y (x0,y 0 ) C Nel caso di un ramo di una curva parametrica P(t) = (a(t), b(t)) con P regolare in t 0, b (t 0 )(x a(t 0 )) = a (t 0 )(y b(t 0 )). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 18 / 26
Retta tangente Il legame tra la rappresentazione della retta tangente nel caso A e nel caso B è dato dal teorema del Dini. Se F y ) (x 0,y 0 ) 0, la derivata in x 0 della funzione y = y(x) (definita implicitamente) è y F x (x) =. F y Il legame tra la rappresentazione della retta tangente nel caso B e nel caso C si ricava osservando che se (x(t), y(t)) è una parametrizzazione di F(x, y) = 0, differenziando F(x(t), y(t)) 0, si ottiene F x x (t) + F y y (t) 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 19 / 26
Retta tangente Si noti che, nel caso C, l esistenza (o meno) della retta tangente in P(t 0 ) è una propietà della parametrizzazione, non del luogo descritto. Può accadere che una curva di equazione F(x, y) = 0 abbia in (x 0, y 0 ) un punto semplice, dotato di retta tangente, ma una parametrizzazione (x(t), y(t)) di tale curva non abbia retta tangente in (x 0, y 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 )). Ad esempio, la retta di equazione y x = 0 è parametrizzata da P(t) = (t 3, t 3 ) e P(0) non è regolare. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 20 / 26
Retta tangente Legame tra l interpretazione algebrica e geometrica di retta tangente in P 0 (x 0, y 0 ), nel caso di una curva algebrica F(x, y) = 0. Per semplicità assumiamo P 0 = (0, 0). F(x, y) = αx + βy + φ 2 (x, y) + φ 3 (x, y) +... con φ h polinomio di grado h. Risulta F x = α, F P 0 y = β. P0 Assumiamo anche P 0 semplice e β 0. Intersecando la generica retta y = mx per P 0 con la curva si ottiene F(x, mx) = x(α + βm) + x 2 φ 2 (1, m) + x 3 φ 3 (1, m) +... da cui si ricava che la retta che ha molteplicità di intersezione magggiore o uguale a 2 è quella per cui m = α β, ovvero di equazione αx + βy = 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 21 / 26
index Curve di Jordan 1 Tracciatori di coniche 2 Diverse rappresentazioni analitiche 3 Retta tangente 4 Curve di Jordan Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 22 / 26
Curve di Jordan Dal punto di vista intrinseco le curve in topologia sono poco significative: uno spazio topologico localmente euclideo di dimensione uno, di Hausdorff e connesso è omeomorfo o a S 1 (curva chiusa semplice) o a R (curva aperta semplice). Dal punto di vista estrinseco invece danno luogo a concetti fondamentali quali "dentro / fuori" (curve nel piano) e "sciolto / annodato" (curve nello spazio). TEOREMA (della curva di Jordan) Una curva chiusa semplice (ovvero immagine omeomorfa di S 1 ) Γ R 2 divide il piano in due componenti connesse C 1 e C 2 (R 2 \ Γ = C 1 C 2 ). Una tra C 1 e C 2 è limitata e l altra no; entrambe hanno Γ come frontiera. La componente limitata viene detta interno di Γ, l altra esterno. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 23 / 26
Curve di Jordan Non sempre una curva chiusa semplice sconnette una superficie. Le ipotesi Γ "chiusa" e "semplice" sono necessarie. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 24 / 26
Curve di Jordan Quali punti sono interni e quali esterni? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 25 / 26
Curve di Jordan Punti di tipo pari (interni) e di tipo dispari (esterni). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 26 / 26