FLUO DEL CAMPO ELETTRICO Prima di definire il flusso del campo elettrico dobbiamo definire il flusso come grandezza Fisica e capirne il significato. Flusso Il flusso è una grandezza che misura quante linee di un campo vettoriale passano attraverso una superficie. Immagina per visualizzare tale concetto di trovarvi sotto la pioggia e di avere un colino attraverso cui vedo passare l acqua. A parità di intensità di pioggia, se il colino ha una superficie più grande, attreverso di esso passerà più acqua, se la superficie è minore, passerà meno acqua. A parità di colino, se piove più forte, passerà attraveso il colino più acqua, se piove di meno passerà meno acqua. A parità di intensità di pioggia e di colino, se giro il colino di un certo angolo, passerà una quantià d acqua minore: in particolare, se la superficie del colino è orizzontale (la pioggia cade verticalmente) passerà molta acqua; se la superficie del colino è sempre più verticale passerà sempre meno acqua. I due casi estremi sono: posizione orizzontale del colino, pioggia verticale: massimo flusso; posizione verticale del colino, pioggia verticale: flusso nullo.
La pioggia rappresenta le linee di un campo vettoriale e il colino rappresenta una qualsiasi superficie. Prima di dare la formula matematica che descrive l andamento appena mostrato descriviamo in maniera precisa la figura schematizzata, con particolare riferimento al modo di definire la direzione della superficie: i vede dalla figura che la direzione della superficie è data dal vettore ad essa perpendicolare. La lunghezza del vettore fornisce la grandezza della superficie. Come si vede girando la superficie, il vettore gira con lei e quindi definisce la sua direzione. Ora sia V un campo vettoriale e una superficie V α la formula matematica che definisce il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie è Φ(V ) = V = Vcosα dove V è l intensità del cempo vettoriale (della pioggia), è l area della superficie (area del colino) e α è l angolo tra il campo vettoriale e il vettore che determina l orientazione della superficie (vedi figura). Flusso del campo elettrico Una volta definito il flusso di un qualsiasi campo vettoriale, la definizione del flusso del campo elettrico è immediata Φ( ) = = Ecosα
Teorema di Gauss Ora vogliamo calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa. Che cos è una superficie chiusa? è una superficie che racchiude un volume finito (una scatola di scarpe o un pallone sono superficie chiuse). Qui lo calcoleremo per una figura geometrica semplice (parallelepipedo). Nota che in questo caso il flusso è generato da delle cariche esterne alla superficie. Il flusso attraverso una superficie chiusa si trova calcolando la somma del flusso attraverso ciascuna superficie (prima si calcola il flusso attraverso ogni superficie, poi si somma). Il parallelepipedo ha sei superfici laterali: A e B sono le superfici di sinistra e destra, C e D sopra e sotto, E e F dietro e avanti. Cominciamo a calcolare il flusso attraverso con C e D A F C E D B C Φ C ( ) = Ecosα = Ecos90 = E 0 = 0
D Calcoliamo il flusso attraverso E e F Φ D ( ) = Ecosα = Ecos90 = E 0 = 0 E Φ E ( ) = Ecosα = Ecos90 = E 0 = 0 F Φ F ( ) = Ecosα = Ecos90 = E 0 = 0 Calcoliamo infine il flusso attraverso le superfici A e B A Φ A ( ) = Ecosα = Ecos180 = E ( 1) = E
B Ora facciamo la somma Φ B ( ) = Ecosα = Ecos0 = E 1 = E Φ A ( ) + Φ B ( ) = E + E = 0 Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale a zero se le cariche che generano il campo sono esterne alla superficie. Ripetiamo i calcoli nel caso in cui le cariche che generano il campo elettrico sono interne alla superficie (caso semplificato). B Come si osserva dalla figura i vettori campo elettrico sono sempre perpendicolari alla superficie, qualsiasi superficie si guardi. Allora calcoliamo il flusso attraverso la superficie di destra e poi moltiplichiamo per le 6 superfici. B Φ B ( ) = Ecosα = Ecos0 = E 1 = E Φ( ) = 6E
Ma la superficie moltiplicata per 6 è la superficie totale del parallelepipedo. Φ( ) = E tot Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale all intensità del campo per la superficie totale se le cariche che generano il campo sono interne alla superficie. Ora cerchiamo di capire se la forma e la dimensione della superficie è importante per il calcolo del flusso del campo elettrico. Attenzione: devi vedere le figure che seguono come figure tridimensionali: la carica è come un sole che emana i suoi raggi intorno in tutto lo spazio e il cerchio è una sfera che circonda quel sole. Osserva la figura e conta le righe attraverso la superficie 1 1 ono 31 (se non ho contato male). Quindi, attraverso la superficie 1 passano 31 linee. Ora conta le linee attraverso 2 : 2
Le linee sono sempre 31. Abbiamo cambiato dimensione della superficie e abbiamo visto che le linee che le attraverso di esse sono sempre le stesse. Vuol dire che possiamo scegliere la superficie grande o piccola come vogliamo. Ora vediamo se la forma è importante. Conta le linee attraverso la superficie 3 3 Le linee sono sempre 31. e si cambia la forma della superficie il numero delle linee non cambia. Quindi, anche la forma della superficie non è importante. Vuol dire che possiamo scegliere la forma della superficie come vogliamo. In matematica e fisica quando si può scegliere si sceglie la più semplice (cioé che rende i calcoli più semplici possibili). Calcoliamo ora in maniera precisa il flusso attraverso la superficie, usando la formula che abbiamo calcolato prima nel caso del parallelepipedo
ia r il raggio della superficie. Φ( ) = E tot Quindi possiamo calcolare l area della sfera di raggio r: tot = 4πr 2 Φ( ) = E 4πr 2 Per concludere, ricordiamo che il campo elettrico di una carica puntiforme Q vale Q è la carica interna alla superficie. Il flusso diventa quindi E = 1 4πε 0 Q r 2 Φ( ) = 1 4πε 0 Q r 2 4πr2 = Q ε 0 Ovvero, il flusso del campo elettico generato da una carica Q attraverso una superficie chiusa è pari alla carica totale interna alla superficie diviso la costante dielettrica del vuoto. In altre parole, se prendo una superficie chiusa, il flusso attraverso di essa è pari a zero se all interno non ci sono cariche; altrimenti è pari alla somma delle cariche in essa contenute fratto ε 0. NON importa la superficie, non importa la sua forma o la sua dimensione. Importa solo se all interno ci sono cariche. Φ( ) = Q tot ε 0 Φ( ) = 0