Argomenti del corso - Enti geometrici fondamentali nello spazio - Posizioni reciproche relazioni di incidenza (.perpendicolarità/ parallelismo) - Diedri e angoloidi - Poliedri - Figure rotonde - Misure di volume - Idee per laboratori 1 Concetti primitivi punto geometrico linea geometrica retta enti geometrici superficie piano fondamentali spazio 2
Alcune domande di geometria euclidea nello spazio - Quante rette dello spazio passano per un punto fissato? - Quante rette dello spazio passano per due punti fissati? Postulati fondamentali della retta: - Per due punti dello spazio passa sempre una retta e una sola (equivalentemente: due rette con due punti in comune coincidono) - Ogni punto di una retta la divide in due parti (semirette con origine in comune) Osservazione sulle infinite rette per un punto 3 - Quanti piani dello spazio passano per un punto fissato? - Quanti piani dello spazio passano per due punti fissati? - Quanti piani dello spazio passano per tre punti fissati non allineati? - Per quattro? (tavolino) Postulati fondamentali del piano: - (P1) Per tre punti dello spazio, non allineati, passa sempre un piano e uno solo (equivalentemente: due piani con tre punti non allineati in comune coincidono) - (P2) La retta passante per due punti di un piano giace interamente nel piano (altre superficie in cui vale questa proprietà? perché?) - Una retta giacente in un piano lo divide in due regioni (semipiani, e la retta = origine). 4
Il segmento che ha per estremi due punti di uno stesso semipiano non incontra la retta che determina il semipiano, mentre il segmento avente per estremi due punti situati in semipiani diversi incontra la retta che li limita in un punto. - Quanti piani dello spazio passano per una retta data? - Quanti piani dello spazio passano per una retta e un punto fuori di essa? Per una retta e un punto che non appartiene alla retta passa un solo piano. 5 Dimostrazione: Si considerino una retta r e i punti A r, B r e C r. Per il postulato P1, per A, B e C passa un solo piano α. Per il postulato P2, poiché α contiene B e C allora contiene tutta la retta r. Si è così dimostrato che esiste almeno un piano passante per r ed A ma non che è unico. Se consideriamo altri due punti (D,E) su r si individua lo stesso piano α? Si. Sia β il piano (unico per P1) individuato da D,E,A. I due piani α e β hanno in comune la retta r e il punto A, quindi tre punti (A e per es. B e D) e quindi coincidono. 6
- Dati un piano e due punti A, B non sul piano, quanti punti in comune ha il segmento AB con il piano? Postulati fondamentali dello spazio: - (S1) Un piano divide lo spazio in due parti (semispazi e il piano = origine) - (S2) Il segmento che ha per estremi due punti di uno stesso semispazio non incontra il piano che determina il semispazio, mentre il segmento avente per estremi due punti situati in semispazi opposti incontra il piano che li determina in un punto. 7 - Possono due piani essere incidenti in soli due punti? Dal postulato P2 deriva che due piani non possono intersecarsi in due soli punti: se due piani, α e β, hanno in comune due punti A e B, allora la retta r passante per A e B, appartiene ad entrambi i piani,r α e r β, α e β hanno punti in comune 8
Posizioni reciproche - Quanti piani passano per due rette dello spazio? Date due rette con un punto in comune esiste uno ed un solo piano che le contiene. Dimostrazione: Si considerino due rette distinte a e b che si intersecano nel punto P e i punti A a e B b. Per il postulato P1, i tre punti A, B e P individuano uno ed un solo piano α. La retta a e il piano α hanno i punti A e P in comune a α (Postulato P2). 9 Analogamente si dimostra che b α. Il piano α passante per A, B e P contiene quindi le rette a e b ed è unico (l unicità del piano può essere dimostrata come nel teorema precedente). - Date due rette nello spazio, esiste un piano che le contiene entrambe? Non sempre esiste un piano contenente 2 rette date. Due rette non complanari si dicono sghembe. 10
Le rette nello spazio possono avere le seguenti posizioni reciproche: incidenti (un punto in comune) complanari rette parallele (nessun punto in comune) sghembe (non complanari e nessun punto in comune) - Possono due piani essere incidenti in un solo punto? Due piani distinti aventi in comune un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto. 11 Dimostrazione: α e β due piani con α β = P. a e b due semirette in β da parti opposte ad α e A, B due punti di a e b rispettivamente. Sono in semispazi opposti quindi per il postulato S2, il segmento AB taglia α in un punto C. AB sta sul piano β, e C (diverso da P) è comune ad α e β, quindi anche la retta PC (postulato P2) è comune ad α e β. Quindi due piani possono non avere punti in comune (paralleli) o averne infiniti (una retta) e in questo caso si dicono incidenti. 12
Concetto di Perpendicolarità retta/retta - Data una retta ed un suo punto, quante e quali sono le rette perpendicolari alla retta data e passanti per il punto dato? Innanzi tutto cosa significa che due rette nello spazio sono perpendicolari? Nel caso della domanda le due rette sono incidenti, quindi complanari e quindi formano un angolo che si richiede sia di 90. Premettiamo il Se una retta è perpendicolare a due rette che passano per uno dei suoi punti, è pure perpendicolare a qualunque altra retta condotta per lo stesso punto nel piano delle prime due. 13 Il luogo delle rette perpendicolari ad una retta in un suo punto è un piano. Dimostrazione Siano a e b due rette perpendicolari ad r nel punto P e α il piano individuato da a e b. Se esistesse una retta s perpendicolare ad r e passante per P che non appartiene al piano α potrei considerare il piano β contenente r ed s che incontra il piano α nella retta s passante per P. In questo modo nel piano β avrei due rette perpendicolari ad r in P: s ed s. Ma ciò è assurdo poiché in un piano esiste una ed una sola retta 14
passante per un punto e perpendicolare ad una retta data. Quindi anche s appartiene al piano α. retta/piano - dato un piano e un punto P qualsiasi dello spazio, quante rette ortogonali al piano passano per P? - data una retta r e un punto P qualsiasi dello spazio, quanti piani ortogonali a r passano per P? Definizione: una retta è perpendicolare ad un piano quando la retta e il piano sono incidenti in un punto P e la retta è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per P (piede della perpendicolare) Per un punto dato si può condurre un piano perpendicolare ad una retta ed uno solo. 15 Dimostrazione (due casi) 1- il punto sta sulla retta. L esistenza e l unicità del piano discendono dal teorema sul luogo delle rette perpendicolari ad una retta in un suo punto. 2 - il punto non sta sulla retta. Si consideri il piano determinato da P e da r, β. Da P su β si conduca la retta perpendicolare a r, PQ. Poi in un altro piano γ passante per r, si conduca la retta QM, perpendicolare a r in Q. Il piano individuato da PQ e QM è quello cercato, infatti r è perpendicolare a due rette del piano dunque a tutto il piano. Unicità 16
Per un punto qualunque si può condurre una e una sola perpendicolare ad un piano dato. piano/piano Nella parte sui diedri ( angoli tra piani) Proiezioni e distanze - Come si può definire la distanza di un punto da un piano? Si chiama proiezione di un punto su un piano il piede della perpendicolare condotta da quel punto al piano (la proiezione di una figura su un piano è la figura costituita dalle proiezioni di tutti punti della figura data sopra il piano). 17 Cosa serve affinché questa sia una buona definizione di distanza? (cioè sia ben posta) Se da un punto esterno ad un piano si conducono il segmento perpendicolare al piano e altri diversi segmenti obliqui, il segmento di perpendicolare ha lunghezza minore di ogni altro segmento obliquo. Tale lunghezza è la distanza del punto dal piano Idea: 18
- Come si può definire la distanza di un punto P da una retta r? Si costruisce il piano per P perpendicolare a r, che interseca r in un punto H. La distanza cercata è la lunghezza del segmento PH (minore di ogni altro segmento tracciato da P ad un punto di r). - Come si può definire l angolo tra un piano e una retta da esso incidente? L angolo acuto che una retta forma con la sua proiezione sopra un piano si chiama angolo della retta con il piano. Questa definizione è giustificata dal seguente: 19 L angolo acuto che una retta uscente obliquamente da un punto di un piano forma con la sua proiezione sul piano è minore dell angolo che essa forma con ogni altra retta uscente da quel punto e giacente sul piano. Idea: 20
Concetto di Parallelismo Ricordiamo che due rette nello spazio sono parallele se sono complanari e non hanno punti in comune. due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele. - Quando una retta e un piano si dicono paralleli? Quando non hanno alcun punto in comune. Se una retta passante per un punto esterno ad un piano è parallela ad una retta del piano, è parallela al piano. 21 Dimostrazione: Sia r una retta passante per il punto P esterno al piano π e parallela alla retta a di π. Si vuol dimostrare che r e π non hanno alcun punto in comune. Infatti le due rette a e r, essendo parallele, determinano un piano β che taglia il piano π lungo la retta a. Se la retta r incontrasse π lo dovrebbe intersecare in un punto di a, il che è assurdo perche r e a non hanno punti in comune. - Quante rette parallele ad un piano α dato passano per un punto P dello spazio non appartenente al piano? 22
All interno del piano α si possono tracciare infinite rette passanti per il punto P, piede della perpendicolare da P. Se per ognuna di queste rette si traccia la corrispondente retta parallela passante per P, punto esterno ad α, si otterranno infinite rette parallele ad α passanti per P. Le infinite rette passanti per P individueranno un piano: il piano γ che è parallelo al piano α. - Quando due piani si dicono paralleli? Quando non hanno nessun punto in comune. 23 Quindi due piani nello spazio possono essere: paralleli, quando non hanno nessun punto in comune α β = incidenti, quando hanno una retta in comune α β = r - Come si definisce la distanza tra una retta parallela ad un piano e il piano stesso? Cosa serve affinché questa sia una buona definizione? Si utilizza il fatto (teorema) che se una retta e un piano sono paralleli, i punti della retta sono equidistanti dal piano e dunque si definisce distanza retta piano la distanza di uno qualunque dei punti della retta dal piano. - 24
- Date due rette parallele a e b, come sono i piani del fascio per a rispetto a b? Paralleli a b (o eventualmente contenenti b). - Dati un piano α e una retta a parallela ad α, i piani del fascio per a come intersecano α? In rette parallele ad a (o in nessun punto). Infatti sia β un piano che contiene a e interseca α in una retta r. r e a sono parallele perché stanno sullo stesso piano (β) e non hanno punti in comune. Se infatti ci fosse un punto comune P questo apparterrebbe ad a e ad α, assurdo. 25 Torniamo al parallelismo tra piani: - Data una retta r e due piani α e β entrambi perpendicolari a r, come sono tra loro i due piani? Sono paralleli, perché se avessero un punto in comune P, per tale punti ci sarebbero due piani perpendicolari alla stessa retta, che è assurdo. - Dati un piano α e un punto P non su α, esistono piani per P paralleli ad α? Quanti? Per un punto esterno ad un piano si può condurre un piano e uno solo, parallelo a quello dato. 26
Dimostrazione (esercizio): Si traccia la perpendicolare dal punto P al piano α (retta PQ) e si costruisce il piano per P perpendicolare alla retta PQ. E parallelo ad α (sono perpendicolari alla stessa retta) ed é unico perché se ne esistesse un altro, avremmo ancora due piani passanti per lo stesso punto e perpendicolari alla stessa retta. - Date due rette sghembe, esistono piani contenenti la prima e paralleli alla seconda? Quanti? Uno e uno solo. Si costruisce traslando la seconda retta fino ad incontrare la prima ed è il piano formato dalle due rette 27 - Si può definire la distanza tra due rette sghembe? Come? Date due rette sghembe, esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe. Il segmento di questa, compreso tra le due rette date è minore di qualunque altro segmento compreso tra esse. Diciamo distanza di due rette sghembe il segmento della perpendicolare comune compreso tra le rette. 28
Dimostrazione: Siano a e b le due rette sghembe. Sia m la retta parallela a b passante per un punto qualunque di a e sia α il piano per a e m. Questo risulta essere un piano per a parallelo a b. Si conduca per b il piano perpendicolare ad α, β, e sia b l intersezione dei due piani. b è parallela a b e interseca a in P. Si conduca da P, su β, la retta PQ, perpendicolare a b e a b. Questa risulta perpendicolare ad α e ad a. Il segmento PQ fornisce la distanza richiesta. Unicità Si dimostra poi che è minore di ogni altro segmento HK. Infatti PQ e HK sono entrambi compresi tra la retta b e il piano α ad essa parallelo, PQ è perpendicolare e HK obliquo. 29 Domande Esercizi - Come possono intersecarsi tre piano nello spazio? - Sia r una retta non perpendicolare ad un piano α. Quanti sono i piani contenenti r perpendicolari ad α? - Due piani α e β sono tra loro perpendicolari se e solo se : - una retta di α è perpendicolare ad una retta di β - ogni retta di α è perpendicolare ad ogni retta di β - la retta di intersezione dei due piani è perpendicolare a tutte le rette di α e β - ogni piano interseca i piani α e β in due rette tra loro perpendicolari - nessuna delle risposte precedenti è esatta. 30