U.M.I. - I. I. S. Pitagora - Calvosa Castrovillari OLIMPIADI DI MATEMATICA 2013- DISTRETTO DI COSENZA Gara a squadre del 17 Gennaio 2013 Istruzioni 1) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi. 2) Nei quesiti dal numero 1 al numero 12 sono proposte 5 possibili risposte, indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. Se la risposta è una frazione, il risultato viene indicato come somma dei suoi termini. 3) I problemi 13 e 14 richiedono una risposta che è data da un numero intero che va indicato nelle relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema privo di risposta vale 1 punto. 4) I problemi 15, 16 e 17 richiedono, invece, una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 12. 5) Il file-soluzioni va inviato entro 15 minuti dalla fine del tempo concesso. Avete 2 ore di tempo. Buon Lavoro! SQUADRA: Indirizzo: Capitano Nome: E-mail: SCUOLA: Nome e Cognome degli altri Componenti la squadra 1) 2) 3) 4) Cognome: Città: Risposte ai primi 14 quesiti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 PUNTEGGIO (da riempirsi a cura del responsabile) Valutazione esercizi da 1 a 14 A risposta esatta: x5 Valutazione esercizio n.15 Valutazione esercizio n.16 Valutazione esercizio n.17 Senza risposta: x1 PUNTEGGIO TOTALE
Problemi a risposta multipla 5 punti 1. Trovare quante terne ordinate di naturali soddisfano l equazione: + + =1 (A) 6 (B) 3 C 9 D 10 (E) 7 2. Qual è la probabilità di ottenere almeno due teste lanciando 10 monete? A 2037 B 2036 C 2032 D 2020 (E) Nessuna risposta è esatta 3. Siano,, tre numeri reali positivi tali che =1, =5, =29. Quanto vale? A 4 B 5 C 9 D 10 (E) 7 4. Quando Marco era di un anno più giovane di quanto lo era Franco quando Antonio aveva la metà degli anni che Franco avrà tra tre anni, Antonio aveva il doppio degli anni che aveva Franco quando Antonio aveva un terzo dell età che Marco aveva tre anni fa. Però, quando Franco aveva il doppio dell età di Marco, Antonio aveva ¼ dell età che Franco aveva un anno fa. Inoltre Marco ha superato il mezzo secolo di vita da non molti anni. Qual è la somma delle loro età? A 198 B 148 C 165 D 157 (E) 185 5. Ho nove pedine numerate da 1 a 9 e le suddivido in due gruppi di 5 e 4 pedine rispettivamente. Voglio formare due moltiplicazioni (tre pedine moltiplicate per due pedine e due pedine per due). Ad esempio, sia un gruppo è formato da 1, 5, 8, 2, 3 e l altro da 7, 9, 4, 6. Vedo che se moltiplico 158x23 ottengo 3634 lo stesso che se faccio 79x46. Risistemare le pedine in due gruppi diversi, di 5 e 4 pedine, e con la stessa tecnica moltiplicare 3x2 e 2x2 in modo da ottenere prodotti uguali e massimi. Indicarne il valore. A 5.568 B 5.056 C 5.586 D 6.124 (E) 5.576 6. Dire quanto vale la somma: 1+2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + +100 2 A 100 2 B 99 2 C 99 2 +1 D 99 2 (E) 100 2 7. In un trapezio isoscele di base maggiore, le diagonali vengono divise dal loro punto di incontro in parti proporzionali ai numeri 1 e 3. Sapendo che l area del triangolo è 15, quanto vale l area dell intero trapezio? (A) 60 (B) 75 (C) 80 (D) 90 (E) 105 8. Calcolare l area dell insieme dei punti del piano che verificano le disuguaglianze seguenti, giustificando il risultato ottenuto. + + 2 2 (A) +1 (B) +3 (C) 2π+2 (D) +2 (E) 2
9. Quanti sono i numeri di cinque cifre (cioè fra 10000 e 99999) che non contengono zeri e sono multipli di 12? A 4372 B 4374 C 4375 D 4370 (E) 4378 10. Sia assegnato il polinomio di terzo grado tale che l equazione =0 abbia tre soluzioni,, la cui somma è 75. Quanto vale la somma delle radici dell equazione +5 =0? A 56 B 70 C 48 D 39 (E) 60 11. Data l uguaglianza : p! + q! + r! = s! dire quante sono le quaterne di numeri interi positivi che la verificano. A una B tre C nessuna D due (E) infinite 12. Quante sono le soluzioni intere non negative dell equazione: + + + + = 5. (Per soluzione intera non negativa si intende una cinquina ordinata di interi non negativi,,,, che soddisfano l equazione. Due cinquine ordinate che differiscono anche solo per l ordine degli elementi, ad esempio la cinquina (1, 2, 3, 4, 5) e la cinquina (3, 1, 2, 4, 5), sono da considerarsi distinte). A 18 B 12 (C) 21 D 24 (E) 16 Problemi a risposta intera 5 punti 13. Con quanti zeri termina il numero 2013! 14. Sia il numero formato da 77 cifre uguali a 9 e il numero formato da 99 cifre uguali a 7. Quante cifre conta il prodotto?
15. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Siano e reali positivi. Dimostrare che se + + >3 allora + >2 oppure + >2. Capitano Nome: Cognome
16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia un triangolo acutangolo e siano e i piedi delle altezze relative ad e. Si dimostri che l asse del segmento interseca il lato AB nel suo punto medio. C U V A O B Capitano Nome: Cognome
17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dato un primo >5 si dimostri che esistono, interi tali che: > >1 e divide. Capitano Nome: Cognome