Corso di Fisica Lezione 3 Scalari e vettori Parte 2
Algebra vettoriale Negli anni trascorsi si sono studiate le regole dell algebra applicate agli scalari Ora occorre definire le regole algebriche per queste nuove grandezze Le linee guida da seguire sono due: 1) L algebra dei vettori deve essere una estensione dell algebra degli scalari 2) L algebra dei vettori deve corrispondere a ciò che in natura accade Procederemo ora a definire le operazioni di somma e di prodotto con i vettori utilizzando appunto queste due linee guida. Corso di Fisica 2
Somma di scalari Per definire l operazione di somma tra vettori ricordiamo come, alle elementari, si è definita l operazione di somma tra scalari. Per sommare due numeri si fa uso di due righelli Ad esempio prendiamo un primo righello lungo 4 Ed un secondo righello lungo 6 Prendiamo ora il primo righello e dove esso finisce facciamo partire il secondo Otteniamo un righello complessivamente lungo 10 e quindi scriviamo 4 + 6 = 10 Corso di Fisica 3
Somma di vettori Ripetiamo ora lo stesso procedimento ma applichiamolo ai vettori Prendiamo un vettore a = (a x, a y, a z ) a ed un secondo vettore b = (b x, b y, b z ) b Disegniamo ora il primo vettore e da dove finisce facciamo partire il secondo a b c Il vettore che parte dall inizio di a e termina alla fine di b è il vettore somma c Corso di Fisica 4
Costruzione geometrica Consideriamo la figura che ci ha portato a definire il vettore somma c = a + b Dal punto A, inizio del vettore a, facciamo partire una retta parallela al vettore b. Successivamente, dal punto C, fine del vettore b, facciamo partire una retta parallela al vettore a. A a D c B b C Queste due rette si incontreranno in un punto D. Il quadrilatero ABCD è, per costruzione, un parallelogramma i cui lati coincidono, due a due, con i due vettori da sommare Il vettore somma c è costituito dalla diagonale del parallelogramma con origine in A Corso di Fisica 5
Regola del parallelogramma In conclusione siamo giunti a definire una regola geometrica per costruire il vettore somma la regola del parallelogramma Siano dati due vettori a e b. Trasliamoli parallelamente a se stessi in modo che abbiamo entrambi origine in un punto O. Dall estremo di ognuno dei due vettori tracciamo due rette parallele all altro vettore. Viene così ad individuarsi un parallelogramma OACB La diagonale di tale parallelogramma che ha origine in O è il vettore somma O c = a + b b a B c A C Corso di Fisica 6
Vettori equipollenti Nel definire la regola del parallelogramma abbiamo dovuto traslare i vettori parallelamente a se stessi. Ovviamente questa operazione di traslazione non deve modificare i vettori e di conseguenza possiamo applicarla solo a vettori che godono di questa proprietà. Definiamo pertanto quei vettori che vettori equipollenti possono essere traslati parallelamente a se stessi senza cambiarne le caratteristiche Per quanto detto prima abbiamo che La regola del parallelogramma può essere applicata solo a vettori equipollenti Corso di Fisica 7
Somma di molti vettori Possiamo generalizzare l operazione di somma non limitandoci più a due soli vettori ma considerarne molti z = a + b + c + + n A tale scopo accodiamo i vettori uno dopo l altro, in modo che il punto di termine di uno di essi coincida con il punto di inizio del successivo a b c Si ottiene una poligonale che inizia col punto d inizio del primo addendo e termina col punto di fine dell ultimo addendo. z d Il vettore somma è il vettore che chiude la poligonale, ovvero che inizia nel punto iniziale del primo addendo e termina col punto finale dell ultimo addendo Corso di Fisica 8
Somma analitica di vettori Determiniamo ora la formula analitica della somma di vettori, partendo dalla regola del parallelogramma. Disegniamo pertanto un sistema di riferimento ed i due vettori da sommare A c C Applichiamo poi la regola del parallelogramma e costruiamo il vettore somma Vediamo ora cosa accade per le componenti. Ad esempio per la componente dei vettori lungo l asse x O a b B Corso di Fisica 9
Somma analitica di vettori Studiamo, ad esempio per la componente dei vettori lungo l asse x Il segmento orientato OA rappresenta il vettore a e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: a x. Il segmento orientato OB rappresenta il vettore b e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: b x Per costruzione il segmento AC è parallelo al segmento OB ed ha uguale lunghezza. Di conseguenza la sua proiezione sull asse delle x ha lunghezza uguale a quella del segmento OB. O a a x A Corso di Fisica 10 bx b c B C
Somma analitica di vettori Il segmento orientato Oc rappresenta il vettore c e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: c x. Dal disegno appare chiaro che tale proiezione è pari alla somma della proiezione del segmento OA e del segmento AC per cui A c C c x = a x + b x Un analogo risultato si ottiene per l asse y Di conseguenza l operazione di somma tra vettori, analiticamente si esprime con la formula O a a x b b x B c x = a x + b x c y = a y + b y c x Corso di Fisica 11
Somma di vettori A seguito di quanto abbiamo detto sinora possiamo affermare che Si definisce vettore somma c = a + b Il vettore che ha per componenti la somma delle componenti omologhe c x = a x + b x c y = a y + b y c z = a z + b z Corso di Fisica 12
Fattore di scala Se dobbiamo disegnare una pianta di un locale su di un foglio di carta ovviamente non riportiamo le misure reali ma utilizziamo una scala. Ad esempio se utilizziamo una scala 1:100 intendiamo che ad 1 cm riportato sulla carta corrisponde una distanza reale di 100 cm. Questo tipo di rappresentazione non cambia le forme degli oggetti ma solo le loro dimensioni. Per individuare la posizione reale di un punto P posto sulla cartina in posizione (x, y) occorre applicare la proporzione X = k x Y = k y y ove k è il fattore di scala x Corso di Fisica 13
Prodotto di un vettore per uno scalare L operazione che abbiamo appena compiuto corrisponde al prodotto di un vettore per uno scalare. L operazione che abbiamo appena compiuto corrisponde al prodotto di un vettore per uno scalare. Si definisce vettore prodotto di uno scalare per un vettore b = k a Il vettore che ha componenti pari alla componente del vettore per lo scalare b x = k a x b y = k a y b z = k a z Corso di Fisica 14
Prodotto di un vettore per uno scalare Determiniamo ora la relazione che lega i due vettori in coordinate polari e a 2 = a x2 + a y 2 θ a = arcsin (a y / a ) b 2 = b x2 + b y2 = k 2 a x2 + k 2 a y 2 = k 2 a 2 θ b = arcsin (b y / b ) = arcsin (k a y / k a = ± θ a ove il segno ± dipende dal segno di k In parole possiamo dire che il prodotto di uno scalare per un vettore fornisce un vettore che ha intensità pari al prodotto della intensità del vettore originario per lo scalare, la stessa direzione e verso uguale se lo scalare è positivo ed opposto se lo scalare è negativo Corso di Fisica 15
Prodotto tra vettori Passiamo ora a definire il prodotto tra due vettori poiché esiste sia il campo degli scalari che quello dei vettori possiamo ipotizzare che esista sia un tipo di prodotto tra vettori che ha per risultato uno scalare che un tipo di prodotto tra vettori che ha per risultato un vettore Per distinguerli chiameremo il primo col nome di mentre al secondo daremo il nome di prodotto scalare prodotto vettoriale Corso di Fisica 16
Prodotto scalare Consideriamo due vettori: a = (a x, a y, a z ) b = (b x, b y, b z ) e definiamo il loro prodotto scalare k = a b come la somma dei prodotti delle componenti omologhe ovvero, in formula k = a b = a x b x + a y b y + a z b z Corso di Fisica 17
Prodotto scalare in coordinate polari Per capire meglio il significato del prodotto scalare tra due vettori esprimiamolo in termini delle coordinate polari Rappresentiamo i due vettori in un sistema di coordinate rettangolari in cui l asse delle x si sovrapponga al vettore a. Risulta allora che: a = ( a, 0) b = ( b cos θ b, b sin θ b ) b ove con θ b abbiamo indicato l angolo al polo del vettore b Calcoliamo ora il prodotto scalare O θ b a k = a b = a x b x + a y b y = a b cos θ b + 0 b sin θ b = a b cos θ b Corso di Fisica 18
Prodotto scalare in coordinate polari Osserviamo ora la formula precedente k = a b = a b cos θ b e notiamo che θ b non è soltanto l angolo al polo del vettore b ma anche l angolo tra i due vettori Possiamo allora affermare che Il prodotto scalare è pari al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell angolo compreso in formula k = a b = a b cos θ Corso di Fisica 19
Significato del prodotto scalare Osservando questa formula k = a b = a b cos θ ed il disegno che mostra i due vettori, possiamo notare che b cos θ è la componente del secondo vettore rispetto al primo. Possiamo allora affermare che moltiplicare scalarmente due vettori significa moltiplicare il modulo del primo per la componente del secondo che si appoggia sul primo b θ a Corso di Fisica 20
Commutatività del prodotto scalare Torniamo ora alla definizione del prodotto scalare k = a b = a x b x + a y b y + a z b z ed osserviamo cosa accade se invertiamo l ordine dei fattori h = b a = b x a x + b y a y + b z a z ma il prodotto di due scalari gode della proprietà commutativa e quindi e di conseguenza h = b x a x + b y a y + b z a z = a x b x + a y b y + a z b z = k il prodotto scalare gode della proprietà commutativa Corso di Fisica 21
Prodotto vettoriale Passiamo ora a definire il prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b Dobbiamo notare, per prima cosa, che questo prodotto si può definire esclusivamente per spazi a 3 dimensioni. La definizione analitica del prodotto vettoriale ha una forma piuttosto complessa e la sua memorizzazione è, in questa fase, inutile. Provvederemo pertanto a darne una definizione semi quantitativa, basata cioè sulla determinazione della intensità, direzione e verso del vettore risultato Corso di Fisica 22
Modulo del prodotto vettoriale Definiamo le proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b ovvero il suo modulo, la direzione ed il verso. b Dati due vettori a e b, il loro prodotto vettoriale c ha modulo pari a ovvero è pari al c = a b sin θ θ a prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell angolo compreso Corso di Fisica 23
Direzione del prodotto vettoriale Per quanto riguarda la direzione del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b possiamo notare che i due vettori individuano univocamente un piano che li contiene entrambi. A sua volta questo piano individua univocamente una retta ad esso perpendicolare. Diremo allora che il Vettore prodotto di due vettori ha la direzione della retta perpendicolare al piano che contiene i due vettori b θ a Corso di Fisica 24
Verso del prodotto vettoriale Più complessa è la definizione del verso del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b Tra tutte le regole possibili mostriamo qui la cosiddetta regola del cavaturaccioli Prendiamo cioè in considerazione quello strumento che viene comunemente utilizzato per estrarre i tappi di sughero dalle bottiglie. Se facciamo ruotare il cavaturaccioli nel verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo dal lato più corto il cavaturaccioli avanzerà in un verso che è proprio il verso del vettore prodotto vettoriale Corso di Fisica 25
Anticommutatività del prodotto vettoriale Abbiamo visto che il prodotto scalare gode della proprietà commutativa ed ora mostreremo che il prodotto vettoriale gode della proprietà opposta. Studiamo pertanto la relazione che esiste tra i due vettori c = a ^ b d = b ^ a Per le definizioni che abbiamo dato i due vettori hanno uguale modulo ed uguale direzione ma verso opposto. Infatti la definizione del verso impone di individuare il verso di rotazione per cui il primo vettore si sovrappone al secondo. Invertire l ordine dei vettori pertanto inverte il verso di rotazione e quindi il verso del vettore risultato. Si ha pertanto c = a ^ b = - d = b ^ a e quindi il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa. Corso di Fisica 26
Doppio prodotto vettoriale Poiché il risultato di un prodotto vettoriale è un vettore esso può essere ancora moltiplicato vettorialmente per un altro vettore ottenendo il doppio prodotto vettoriale d = a ^ (b ^ c) Riportiamo qui il risultato di tale prodotto, senza dimostrarlo d = a ^ (b ^ c) = b ( a c ) c ( a b ) Corso di Fisica 27