Capitolo IV CARAERIZZAZIOE EERGEICA DEI SEGALI IV. - Denità pettrale di potenza. Segnali a tempo continuo Analogamente al cao dei egnali determinati, è utile individuare una caratterizzazione energetica di un egnale aleatorio nel dominio della requenza. A tal ine è opportuno aociare, quando poibile, al egnale aleatorio la ua denità pettrale di potenza. Sia dato un egnale aleatorio tale che quai tutte le ue manietazioni abbiano potenza peciica inita, cioè tale che l'inieme delle manietazioni di potenza non limitata cotituica un evento di probabilità nulla. È naturale aociare ad un tale proceo una denità pettrale di potenza che ia la media tatitica di quelle delle ue manietazioni. Più preciamente, ia (t,ζ) una generica manietazione di un egnale aleatorio; com è noto dall'analii dei Segnali Determinati, la denità pettrale di potenza w (,ζ) della generica manietazione (t,ζ) è data da: S (, ζ) S (, ζ) S (, ζ) (IV..) w (, ζ ) = lim = lim t dove S (, ζ) è la traormata di Fourier del egnale troncato (, t ζ ) = (, t ζ)rect (IV..) S (, ζ ) = ( t, ζ ) e dt = ( t, ζ) e dt jπt jπt e cioè: La denità pettrale di potenza W ( ) di un egnale aleatorio i ottiene eettuando la media tatitica della quantità w (,ζ) cioè i pone: (IV..3) W ( ) = E{ w (, ζ ) Applicando il teorema di Wiener per egnali a potenza inita alla generica manietazione ( t, ζ ) i ha: (IV..4) w (, ζ ) = F { γ ( t, ζ) eendo: (IV..5) γ ( t, ζ ) = lim ( t + τ, ζ) ( t, ζ) dt la unzione di autocorrelazione. enendo conto delle (IV..4) e (IV..5), la (IV..3), commutando gli operatori F { e E {, diventa: (IV..6) W( ) = E{ F{ γ( t, ζ ) = F { E{ γ( t, ζ) od anche, ricordando l epreione della unzione di autocorrelazione data dalla (IV..5): (IV..7) W ( ) = F E lim t + τ ζ t ζ dt = E { t + τ ζ t ζ dt (, ) (, ) F lim (, ) (, ) In altri termini, la denità pettrale di un egnale aleatorio i può eprimere come egue:
-3- G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche j (IV..8) { πτ W ( ) = F φ () τ = φ () τ e dτ eendo la unzione φ() τ deinita dalla: (IV..9) φ() τ = lim E { t t dt R t dt ( + τ, ζ) (, ζ ) = lim τ (, ) La denità pettrale di potenza di un egnale aleatorio è uguale alla traormata di Fou- R (, t τ ) = E ( t + τ, ζ) (, t ζ) ( ), rier della media temporale della unzione di autocorrelazione { deinita dalla (IV..9). La (IV..8) cotituice il teorema di Wiener per egnali aleatori. el cao di egnali tazionari (almeno in eno lato), la media tatitica dipende olo da τ, per cui i ha: (IV..0) φ () τ = R () τ e pertanto: j (IV..) { Con rierimento alla (IV..9) i deduce: W ( ) = F R ( τ ) = R ( τ) e dτ (IV..) φ ( 0) = lim { (, ζ) πτ E t dt { ( +τζ, ) ( t, ζ) E t che, ricordando la proprietà 4 della raormata di Fourier, equivale alla: (IV..3) { lim E t ζ dt = W dτ (, ) ( ) La media temporale del valore quadratico medio tatitico di un egnale aleatorio i ottiene dall integrale u tutto della denità pettrale. Se il egnale è tazionario in autocorrelazione, la precedente diventa: (IV..4) ( ) m = W ( ) dτ IV. - Funzione di autocorrelazione. La unzione di autocorrelazione: (IV..) R(, t τ ) = E{ ( t + τ, ζ) (, t ζ) di un egnale aleatorio gioca un ruolo ondamentale nella caratterizzazione energetica dei egnali. Ponendo nella (IV..) τ = 0 i ottiene: (IV..) R { (, t ) E (, t ) Dalla (IV..), operando la traormazione t 0 = ζ 0 τ t dicende: (IV..3) { { { R (, t τ ) = E ( t τ, ζ) (, t ζ ) = E ( t + τ, ζ) (, t ζ ) = E ( t, ζ) ( t τ, ζ ) = R (, t τ) Dall ovvia condizione: (IV..4) E{ ( t, ) ( t, ) 0 + τ ζ +λ ζ ( ) Oervando che il valore medio tatitico di una variabile aleatoria complea Z( ζ ) = X( ζ ) + jy( ζ ) vale E { Z( ζ ) = E{ X( ζ ) + je{ Y( ζ ), i riconoce acilmente che la unzione di autocorrelazione di un egnale aleatorio compleo dipende dalla matrice di correlazione del vettore aleatorio compoto dalla parte reale e dalla parte immaginaria del egnale.
Cap. IV Caratterizzazione energetica dei egnali -33- valida per qualiai valore della cotante complea λ, dicende: (IV..5) R ( t +τ, 0) +λ R ( t, τ ) +λr ( t, τ ) + λ R ( t, 0) 0 Poiché la orma quadratica è emideinita poitiva, il uo determinante deve riultare non R( t +τ, 0) R( t, τ) negativo. È dunque 0 da cui: R (, t τ) R (, t 0) (IV..6) R ( t, τ) R ( t, 0) R ( t + τ, 0) el cao di egnali tazionari la (IV..) diventa: (IV..7) R { ( ) E ( t ) e la (IV..3), i empliica nella: 0 = 0 (IV..8) R( τ ) = R( τ) e cioè la R (τ) gode della immetria hermitiana. Inine la diuguaglianza (IV..6) diventa: (IV..9) R () τ R () 0 Le proprietà della unzione di autocorrelazione per egnali tempo continui ono riaunte nella ab. IV. abella IV.I Proprietà dell autocorrelazione di egnali a tempo continuo Segnali tazionari Segnali non tazionari τ = { +τ ζ ζ R (, t τ ) = E{ ( t+τ, ζ) (, t ζ ) R () E ( t, ) (, t ) = { ζ R (,) { (, ) t t = E t ζ R (0) E ( t, ) R ( τ ) = R ( τ ) R (, t τ ) = R (, t τ ) R () τ R (0) R ( t, τ) R ( t, 0) R ( t + τ, 0) Al poto dell autocorrelazione è utile, in certi cai, introdurre la unzione di autocovarianza deinita dalla: (IV..0) { { { (, ) { (, ) { (, ) σ (, t τ ) = E (, t ζ) E (, t ζ ) ( t +τζ, ) E ( t + τ, ζ ) = = R t τ E t ζ E t + τ ζ Eempio E.IV. L autocorrelazione della derivata (t,ζ) di un egnale è data dalla: R () τ = E{ () t ( t + τ ) Se il egnale è tazionario i ha: t ( + h) t ( ) t ( + τ + h) t ( + τ) R ( τ ) = E{ lim lim = h 0 h h 0 h eendo () t ( + ht )( +τ+ h) tt ()( +τ+ h) t ( + ht )( +τ ) + tt ()( +τ) { = lim E = h 0 h R () τ R ( τ h) R ( τ+ h) R () τ d R () τ = lim = h 0 h h h dτ R τ la unzione di autocorrelazione del egnale ( t, ζ ).
-34- G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche La denità pettrale di potenza di ( t, ζ ) può eere eprea in termini della denità pettrale del egnale di potenza di ( t, ζ ) ; i ha: d R () τ W ( ) = F = 4π W ( ) dτ È da notare che tale riultato poteva eere ottenuto emplicemente oervando che la xt () d dt yt () derivata di un egnale può eere coniderata come il egnale in ucita dal itema lineare rappreentato in Fig. E., quando al uo ingreo è applicato il egnale x() t. Poiché la ripota in Fig. E.IV. requenza del itema è H( ) = jπ, ne viene W ( ) H( ) W ( ). = IV.3 - Segnali ditinti. Funzioni di correlazione e denità pettrale incrociate. Le coniderazioni volte nei precedenti paragrai poono eere acilmente etee al cao di n egnali aleatori reali e tempo continui i (t,ζ). In quel che egue è conveniente introdurre il vettore (t,ζ) (t, ζ) (IV.3.) (t,ζ) = n (t, ζ) Si deinice matrice di correlazione la matrice: { { { { R(, t τ ) = E (, t ζ ) ( t + τ, ζ ) = E ( t, ζ ) ( t +τζ, ) E ( t, ζ ) ( t +τζ, ) E ( t, ζ ) n( t +τζ, ) (IV.3.) E{ ( t, ζ ) ( t +τζ, ) E{ ( t, ζ ) ( t +τζ, ) E{ ( t, ζ ) n( t +τζ, ) = E{ n( t, ζ ) ( t +τζ, ) E{ n( t, ζ ) ( t +τζ, ) E{ n( t, ζ ) n( t +τζ, ) Ea dipende dalle variabili t e τ a meno che i egnali non iano congiuntamente tazionari. In queto cao la matrice di correlazione dipende olo da (IV.3.3) R() τ = E{ (, t ζ ) ( t +τζ, ) τ e i ha: Con rierimento alla (IV.3.) gli elementi della diagonale principale della matrice di correlazione ono le autocorrelazioni dei egnali i (t,ζ), mentre gli altri elementi rappreentano le mutue correlazioni o correlazioni incrociate. Riulta ovviamente: (IV.3.4) Rij( t, τ ) = Rji( t, τ) Se i egnali i (t,ζ) ono tazionari la precedente diventa: (IV.3.5) Rij() τ = Rji( τ) Si prenda in eame il egnale: (IV.3.6) t (, ζ ) = ( t, ζ ) + k( t+ τ, ζ) k { dove è una cotante complea. Dall ovvia condizione E (, t ζ) 0 dicende che la orma quadratica: (IV.3.7) R (, t 0) + kr (, t τ ) + k R (, t τ ) + k R ( t + τ, 0) 0 è emideinita poitiva. Ciò comporta che i deve veriicare la condizione:
(IV.3.8) dalla quale i deduce: (IV.3.9) Cap. IV Caratterizzazione energetica dei egnali -35- R (, t 0) R (, t τ) 0 R (, t τ ) R 0 ( t + τ, ) R (, t τ) R (, t 0) R ( t + τ, 0) Sei egnali ( t, ζ ) e ( t, ζ ) ono congiuntamente tazionari, la precedente diviene: (IV.3.0) R ( τ) R ( 0) R ( 0) In certi cai, è preeribile caratterizzare n egnali aleatori mediante la matrice di covarianza coì deinita: { (IV.3.) σ [ ] [ ] dove m () t (IV.3.) ( t, τ ) = E ( t, ζ) m ( t) ( t + τ, ζ) m ( t + τ ) = R ( t, τ) m ( t) m ( t + τ) è il vettore dei valori medi dei egnali valutato nell'itante t deinito dalla: m { (, ) { (, ζ) E t ζ E t () t = E{ n( t, ζ) Due egnali aleatori (t, ζ) e (t, ζ) i dicono ortogonali e la loro unzione di mutua correlazione è nulla, incorrelati e è nulla la loro unzione di mutua covarianza. È da notare che e i egnali ono tatiticamente indipendenti ono anche incorrelati dal momento che riulta: (IV.3.3) R (, t t + τ ) = E{ (, t ζ) E{ ( t + τ, ζ) on è vero il contrario cioè e due egnali ono incorrelati non è detto che ei iano anche tatiticamente indipendenti. IV.4 Il rumore bianco. Un egnale aleatorio ntζ (, ) tazionario la cui denità pettrale è cotante è denominato rumore bianco. Per tale egnale riulta: 0 (IV.4.) Wn ( ) = = cot Poiché manietamente il valore quadratico medio del egnale dato dall integrale Wn ( ) d non è deinito, tale egnale non è iicamente realizzabile; tuttavia riulta un modello molto utile perché parecchi diturbi, quali ad e. il rumore termico, il rumore atmoerico ed altro, preentano una denità pettrale preoché cotante almeno entro la banda di interee. La unzione di autocorrelazione del rumore bianco vale: 0 (IV.4.) Rn () τ = δ() τ Un tipo di rumore bianco a valore quadratico medio inito è quello in cui la denità pettrale i mantiene cotante olo all interno di una banda inita e nulla al di uori. A econda della dilocazione della banda nel dominio della requenza il rumore bianco i claiica in rumore di tipo paa-bao e in tumore di tipo paa-banda.
-36- G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche IV.4. Il rumore bianco di tipo paa-bao. Si ha: 0 (IV.4.3) Wn ( ) = rect m Riulta: (IV.4.4) Rn() τ = 0 minc( m τ ) La denità pettrale e la unzione di autocorrelazione del rumore di tipo paa-bao ono riportati in Fig. IV.. IV.4. Il rumore bianco di tipo paa-banda. Si ha: (IV.4.5) La unzione di autocorrelazione vale: 0 [, ] Wn ( ) = 0 [, ] (IV.4.6) Rn ( τ ) = 0B inc( Bτ) co( π0τ) dove 0 e B denotano ripettivamente la requenza centrale e l ampiezza di banda del egnale aleatorio dati dalle: (IV.4.7) ( ) W( ) n 0 = + B = 0 La denità pettrale e la unzione di autocorrelazione del rumore di tipo paa-bao ono riportati in Fig. IV.. a) W ( ) n 0 a) m Rn () τ 0 m m b) 0 Rn () τ B 0 0 B b) τ τ Fig. IV. - Denità ed autocorrelazione di un rumore di tipo paabao. Fig. IV. - Denità ed autocorrelazione di un rumore di tipo paabanda.
Cap. IV Caratterizzazione energetica dei egnali -37- Segnali a tempo dicreto IV.5 - Denità pettrale di potenza. La denità pettrale di potenza W ( ) per i egnali a tempo dicreto è deinita, analogamente a quanto vito per i egnali a tempo continuo, come la media tatitica delle denità pettrali di potenza delle manietazioni. Se n (, ζ ) denota la generica manietazione di un egnale aleatorio, la denità pettrale di potenza è: (IV.5.) w (, ) lim (, ) lim (, ) ζ = S ζ = S ζ S(, ζ) ( + ) ( + ) dove S (, ζ) denota la traormata di Fourier dicreta del egnale troncato (n,ζ) e cioè: (IV.5.) S (, ζ ) = ( n, ζ ) e = ( n, ζ) e jπn jπn n= n= Eettuando la media tatitica della quantità w (,ζ) i ottiene la denità pettrale di potenza del egnale aleatorio: (IV.5.3) W ( ) = E{ w (, ζ ) Applicando il teorema di Wiener per egnali a potenza inita alla generica manietazione n (, ζ ) i ha: (IV.5.4) w (, ζ ) = F { γ ( k, ζ) eendo: (IV.5.5) γ( k, ζ ) = lim ( n, ζ )( n + k, ζ) + n= la unzione di autocorrelazione. enendo conto delle (IV.5.5) e (IV.5.5), la (IV.5.3), commutando gli operatori { diventa: (IV.5.6) W( ) = E{ F{ γ( k, ζ ) = F { E{ γ( k, ζ) e cioè: (IV.5.7) W ( ) = F E lim ( n, ζ ) ( n + k, ζ ) = + n= = F lim E{ ( n, ζ) ( n + k, ζ) + n= F e E {, Analogamente al cao di egnali tempo continui, la denità pettrale di un egnale aleatorio tempo dicreto i può eprimere come egue: k = (IV.5.8) { W ( ) = F φ ( k) = φ ( k) e eendo la unzione φ() τ deinita dalla: (IV.5.9) φ ( k ) = lim E { ( n, ζ )( n + k, ζ ) = lim R ( n, n + k ) + + j πk n= n= La denità pettrale di potenza di un egnale aleatorio è uguale alla traormata di Fourier dicreta della media temporale della unzione di autocorrelazione
-38- G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche { R ( n, k) = E ( n, ζ ) ( n + k, ζ), deinita dalla (IV..9). La (IV.5.8) cotituice il teorema di Wiener per egnali aleatori. el cao di egnali tazionari (almeno in eno lato), i ha: (IV.5.0) φ ( k ) = R ( k ) e pertanto: (IV.5.) { Ponendo nella (IV.5.9) k = 0 i deduce: W( ) = F R( k) = R( k) e k = j kπk (IV.5.) φ 0 { ( ) = lim E ( n, ζ) + n= che, ricordando la proprietà 4 della raormata di Fourier, equivale alla: (IV.5.3) { lim E ( n, ζ ) = W( ) dτ + n= La media temporale del valore quadratico medio tatitico di un egnale aleatorio i ottiene dall integrale u tutto della denità pettrale. La immetria hermitiana di cui gode l autocorrelazione, a ì che riulti φ (k) =φ ( k), la quale comporta che la denità pettrale di potenza è una unzione reale e pari del uo argomento. IV.6 - Funzione di autocorrelazione. Sia (n,ζ) un egnale aleatorio a tempo dicreto. La ua unzione di autocorrelazione è deinita dalla: (IV.6.) R( n, k) = E{ ( n, ζ ) ( n + k, ζ) la quale, in generale, dipende dagli indici n e k. Se il egnale è tazionario (almeno in eno lato) l autocorrelazione dipende olo dalla dierenza tra gli itanti di oervazione e quindi dipende da un olo indice: R ( k) = E ( n, ζ ) ( n + k, ζ) (IV.6.) { Ponendo nella (IV.6.), k = 0 i ottiene: (IV.6.3) R { ( n, ) E ( n, ) che, nel cao di egnali tazionari, i riduce alla: 0 = ζ 0 (IV.6.4) R { ( ) E ( n, ) 0 = ζ 0 Dalla (IV.6.), operando la traormazione n k n, i deduce acilmente: (IV.6.5) { { R ( n, k ) = E ( n, ζ) ( n k, ζ ) = E ( n, ζ ) ( n + k, ζ ) = R ( n, k ) che e il egnale è tazionario, diventa: (IV.6.6) R ( k) = R ( k) Pertanto l autocorrelazione di un egnale tazionario, almeno in eno lato, gode della immetria hermitiana. Le proprietà dell autocorrelazione ono riaunte nella ab. IV.4
Cap. IV Caratterizzazione energetica dei egnali -39- abella IV. Proprietà dell autocorrelazione di egnali a tempo dicreto Segnali tazionari Segnali non tazionari = { ζ + ζ R ( n, k) = E{ ( n, ζ ) ( n + k, ζ R ( k) E ( n, ) ( n k, = { ζ R (, ) { (, ) n n = E n ζ R (0) E ( n, ) R ( k) = R ( k) R ( n, m) = R ( m, n) R ( k) R (0) R ( m, n ) R ( m, m ) R ( n, n )