LICEO SCIENTIFICO STATALE A. VALLISNERI Classe 5SD 2 o periodo/ 1 a verifica scritta 4 febbraio 2012 Calcolo differenziale e sue applicazioni: studio e grafico di funzioni; teorema di Rolle etc. Alunno:................................................ Istruzioni per lo svolgimento della prova: Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche. Dopo aver svolto ciascun esercizio sul tuo foglio, trascrivi la risposta nella griglia di correzione in fondo al testo della verifica. Fai attenzione a scrivere la risposta in modo compatibile con quanto richiesto: se, ad esempio, nella griglia viene richiesto di trovare un insieme D = : D = R {2} è una possibile risposta, scritta in modo corretto. D = x 2 non è scritta in modo corretto, dato che x 2 non è un insieme (o quantomeno non è scritto come si scrive, convenzionalmente, un insieme). Traccia i grafici sul tuo foglio, numerali e trascrivi nella griglia il numero del grafico corrispondente. Valutazione della prova: Le parti scritte a lapis o matita (compresi i grafici) in nessun caso saranno valutate. La correzione partirà dalla griglia: Casella vuota: 0 punti. Casella con risposta esatta: punteggio pieno. Casella con risposta errata: andrò a controllare sul foglio lo svolgimento, per vedere che percentuale di punteggio assegnare rispetto al punteggio pieno. Supponiamo che sbagli la risposta ad una domanda a e sbagli anche la risposta ad una successiva domanda b, ma solo perché la risposta a b dipende dalla risposta che hai dato ad a. Se, nel complesso, hai fatto una deduzione corretta, ti sarà assegnato punteggio pieno alla risposta b (salvo casi eccezionali). 1
Esercizio 1: determinazione di parametri Si consideri l insieme di funzioni 1 : f a,b (x) = 1 + ax + b x 2 Determinare i valori di a e b affinché f a,b abbia un estremo relativo in A(1, 3). Esercizio 2: studio di funzione Facendo riferimento all esercizio precedente, studiare f 2 3, 1 (x) = 1 2 3 3 x 1 f ) In particolare: 1. Determinare il dominio D della funzione f. 3x 2 (d ora in poi semplicemente 2. Studio del segno. Se hai svolto correttamente i (pochi) calcoli, lo studio del segno dovrebbe averti portato ad una disequazione in cui compare il polinomio P (x) = 3x 2 2x 3 1. Utilizzando la regola di Ruffini, fattorizzare tale polinomio in fattori irriducibili in R. 3. Determinare gli insiemi in cui f è positiva, negativa, nulla. 4. Si dica se f è pari, dispari o né pari né dispari. 5. Determinare l equazione degli asintoti 2 di f. Se un certo tipo di asintoto non è presente, scrivere no nella griglia. 6. Calcolare un espressione per f (x). 7. Stabilire gli intervalli di monotonia della f. 8. La funzione ha punti di massimo o minimo relativi? Se sì, determinarne le coordinate; se no, scrivere no nella griglia. 9. La funzione ha punti di massimo o minimo assoluti? Se sì, determinarne le coordinate; se no, scrivere no nella griglia. 10. Calcolare un espressione per f (x). 11. Determinare gli intervalli in cui f è concava e quelli in cui è convessa 3. 12. La funzione ha punti di flesso? Se sì, determinarne le coordinate; se no, scrivere no nella griglia. 13. Nel caso in cui la funzione abbia punti di flesso, specificare se si tratta di flessi a tangente verticale, orizzontale o obliqua; se non ne ha, scrivere no nella griglia. 14. Determinare le coordinate dei punti di discontinuità della funzione e la natura di tali discontinuità. 15. Tracciare un grafico cartesiano qualitativo della funzione. 1 Questo esercizio è identico, a parte i valori numerici, ad uno proposto nella prova della sessione straordinaria dell esame di maturità del 1978. 2 Si consiglia di utilizzare la regola di de l Hopital per calcolare l equazione dell asintoto obliquo di f. 3 Una funzione è convessa se il suo grafico giace al di sotto del segmento congiungente due qualsiasi punti di esso. 2
Esercizio 3: grafici derivati Sempre in riferimento alla f di cui all esercizio precedente: 1. Tracciare un grafico qualitativo di f 4. 2. Il grafico tracciato al punto precedente ha un asintoto orizzontale. Qual è l equazione di tale asintoto? 3. Tracciare un grafico qualitativo di 1/f(x). 4. Tracciare un grafico qualitativo di exp[f (x)]. Esercizio 4: esercizi di tipo teorico Sempre in riferimento alla f dell esercizio 2: 1. Si può applicare il teorema di Rolle, relativamente a f e all intervallo [ 1 2, 1]? Nel caso in cui si risponda no, indicare una ipotesi del teorema che non è soddisfatta. 2. Calcolare f(3). 3. Si intuisce dal grafico di f che esiste un valore x > 0 tale che f(x) = f(3). Si può applicare il teorema di Rolle nell intervallo [x, 3]? 4. In relazione alla domanda precedente: se si è risposto no, indicare un ipotesi del teorema che non è soddisfatta; se si è risposto sì determinare le ascisse dei punti di (x, 3) in cui si annulla la derivata prima di f. 5. Determinare, ad esempio con il metodo di bisezione, un valore di x corretto alla prima cifra decimale. 4 Tale grafico può essere tracciato con opportune considerazioni a partire dal grafico di f e perciò non è richiesto uno studio dettagliato di funzione; eventualmente ci si potrà basare sull espressione di f trovata nell esercizio precedente per controllare la correttezza del risultato. 3
Tabella 1: Griglia di correzione della verifica scritta (continua...). Es Risposta Punti assegnati Punti esercizio 1 a = 10 b = 10 2.1 D = 2 2.2 P (x) = 5 2.3 f(x) > 0 in 2 f(x) = 0 in 1 f(x) < 0 in 2 2.4 3 2.5 A.Vert.: 2 A.Orizz.: 1 A.Obl.: 4 2.6 f (x) = 4 2.7 f è crescente in 3 f è decrescente in 2 2.8 4 2.9 4 2.10 f (x) = 4 2.11 f è concava in 2 f è convessa in 1 4
Tabella 2: Griglia di correzione della verifica scritta (...continua). Es Risposta Punti assegnati Punti esercizio 2.12 4 2.13 4 2.14 5 2.15 Vedi grafico... 10 3.1 Vedi grafico... 8 3.2 15 3.3 Vedi grafico... 8 3.4 Vedi grafico... 12 4.1 5 4.2 f(3) = 3 4.3 5 4.4 4 4.5 x 10 tot. 159 5
Soluzioni degli esercizi Le risposte agli esercizi sono proposte nelle griglie 3 e 4. 6
Tabella 3: Griglia con le risposte corrette della verifica scritta (continua...). Es Risposta Punti assegnati Punti esercizio 1 a = 4 3 10 b = 2 3 10 2.1 D = R 0 2 2.2 P (x) = ( 2x 1)(x 1) 2 5 2.3 f(x) > 0 in (, 1/2) 2 f(x) = 0 in { 1/2; 1} 1 f(x) < 0 in ( 1/2, 0) (0, 1) (1, + ) 2 2.4 Né pari né dispari 3 2.5 A.Vert.: x = 0 2 A.Orizz.: no 1 A.Obl.: y = 2 3 x + 1 4 2.6 f (x) = 2x3 +2 3x 3 4 2.7 f è crescente in (0, 1) 3 f è decrescente in (, 0) (1, + ) 2 2.8 MAX rel (1, 0); no min rel 4 2.9 Né MAX né min assoluti 4 7
Tabella 4: Griglia con le risposte corrette della verifica scritta (...continua). Es Risposta Punti assegnati Punti esercizio 2.10 f (x) = 2 x 4 4 2.11 f è concava in D 2 f è convessa in 1 2.12 No 4 2.13 No 4 2.14 x = 0, II specie 5 2.15 Vedi grafico 1(a) 10 3.1 Vedi grafico 1(a) 8 3.2 y = 2 3 15 3.3 Vedi grafico 1(b) 8 3.4 Vedi grafico 1(c) 12 4.1 No, f non è continua 5 4.2 f(3) = 28 27 3 4.3 Sì 5 4.4 x = 1 4 4.5 x 0.4 10 tot. 159 8
(a) In nero il grafico di f(x); in rosso, tratteggiato, il grafico di f (x). (b) In nero il grafico di f(x); in rosso, tratteggiato, il grafico di 1/f(x). (c) In nero il grafico di f(x); in rosso, tratteggiato, il grafico di exp(f (x)). Figura 1: Grafici relativi all esercizio 3. 9