Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1

Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica del prodotto per scalare, l insieme {(t, 2t ) t } rappresenta una retta per l origine. 4 2006 Politecnico di Torino 2

per l origine n In generale se A è un vettore non nullo, l insieme dei multipli ta al variare di t rappresenta una retta r passante per l origine. { ( ) } Dunque r = P t = ta t. Indichiamo questa rappresentazione con r : P t = ta oppure r : ta ( ) 5 { } Osservazione Osserviamo che ta t è il sottospazio n vettoriale di generato da A (quindi ha dimensione 1) e coincide anche con l insieme dei vettori paralleli a A (con la stessa direzione) più l origine. 6 2006 Politecnico di Torino 3

Esempio (1/4) 2 Siano P 0 = (1, -1) e P 1 = (2, 1) in. Sia r la retta per P 0 e P 1 e sia r 0 la parallela a r passante per O. Per la regola del parallelogramma, per ogni Q r 0 esiste un unico t tale che Q = t ( P1 P0) = t ( 1,2 ). Quindi r : t P P = t 1,2. ( ) ( ) 0 1 0 7 Esempio (2/4) 8 2006 Politecnico di Torino 4

Esempio (3/4) Se ora P r, sempre per la regola del parallelogramma, esiste un unico t tale che P = t (P 1 P 0 ) + P 0. Allora r può essere rappresentata al variare di t in come l insieme di punti ( ) = ( ) + = ( ) + ( ) P t t P1 P0 P0 t 1,2 1, 1. 9 Esempio (4/4) 10 2006 Politecnico di Torino 5

Parametrizzazioni n Se r è una retta in, esiste un vettore non n nullo A tale che, per ogni P 0 r, r coincide con l insieme di punti P ( t) = ta + P0 al variare di t. In altre parole r è l immagine dell applicazione n P : definita da P ( t) = ta + P0. Tale applicazione viene detta parametrizzazione di r e la variabile t è detta parametro. 11 parametriche n Viceversa, assegnati A, P 0 con A O, l insieme di punti P ( t) = ta + P0 al variare di t n in è una retta r in passante per P 0 = P (0). Una retta così rappresentata r si dice retta in forma parametrica (o retta parametrica) di direzione A e passante per P 0. Tale rappresentazione si indica con r : P t = ta + P oppure r : ta + P. ( ) 0 0 12 2006 Politecnico di Torino 6

parametriche e moti rettilinei Possiamo vedere una retta parametrica r : P ( t) = ta + P0 come il dato di un ente geometrico (la retta r ) e un ente algebrico (la parametrizzazione ta + P 0 ). Dal punto di vista fisico, l interpretazione più naturale è quella di un moto rettilineo uniforme di un corpo che ha come traiettoria la retta r e legge oraria P (t ): A è il vettore velocità, t è il tempo e P 0 la posizione iniziale (al tempo t = 0). 13 Osservazione In base alle considerazioni precedenti risulta che, dovendo operare con parametrizzazioni differenti della stessa retta o di rette distinte, è opportuno indicare i parametri con lettere differenti. Infatti, in un moto non conta solo sapere in che posizione si trova il corpo ma anche in che momento tale posizione viene occupata. 14 2006 Politecnico di Torino 7

parallele ( ) 0 Se r : P t = ta + P e s : Q( u) = ub + Q0 sono n rette parametriche in, per la definizione di parametrizzazione r e s sono parallele se e solo B = αa per un α non nullo, cioè se e solo se A e B hanno la stessa direzione. Questo giustifica il termine direzione di r con cui sono indicati A e B. 15 Cambiamento di parametro Il caso precedente comprende quello di due parametrizzazioni della stessa retta (r = s). In tal caso Q 0 r, cioè esiste 0 t tale che Q = t A + P Quindi e 0 0 0. ( ) α ( ) ( α ) Q u = u A + t A + P = u + t A + P ( ) Q( u) P t 0 0 0 0 = per t = αu + t 0. 16 2006 Politecnico di Torino 8

Esempio Consideriamo la retta parametrica in r : P t = t 1,2, 1 + 2, 1,0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 data da s : Q u = u 2, 4,2 + 1,1,1 è la parallela a r passante per (1, 1, 1); Le parametrizzazioni di r sono tutte e sole della forma ( 0 ) ( ) α ( 1,2, 1) ( 1,2, 1) ( 2, 1,0) Q u = u + t + = ( αu t )( 1,2, 1) ( 2, 1,0) = + + 0 con α 0. 17 2006 Politecnico di Torino 9

Retta per due punti (1/2) Abbiamo visto che, dati due punti P 0, P 1 distinti, l unica retta r passante per tali punti ammette la parametrizzazione ( ) ( ) r : P t = t P P + P 1 0 0 Possiamo chiamare tale parametrizzazione di r la parametrizzazione riferita alla coppia ordinata (P 0, P 1 ). n 19 Retta per due punti (2/2) Viceversa, se P (t ) = ta + P 0 è una parametrizzazione di una retta r e se poniamo P 1 = P (1) = A + P 0, allora A = P 1 P 0 e tale parametrizzazione è la parametrizzazione di r riferita a (P 0, P 1 ). Quindi abbiamo per una retta infinite parametrizzazioni determinate dalle coppie ordinate di punti distinti di r. 20 2006 Politecnico di Torino 10

Esempio 2 Se r è la retta in per P 0 = (1, -1) e P 1 = (2, 1), allora ( ) = t ( 1,2) + ( 1, 1 ), Q ( u) = u( 1, 2) + ( 2,1) P t sono le parametrizzazioni di r riferite a (P 0, P 1 ) e (P 1, P 0 ) rispettivamente. 21 Segmenti Possiamo rappresentare il segmento PP 0 1 n di estremi P 0, P 1 per mezzo della parametrizzazione riferita a (P 0, P 1 ). Infatti tale segmento è l insieme dei punti ( ) ( ) P t = t P P + P 1 0 0, 0 t 1 22 2006 Politecnico di Torino 11

Punti allineati n Se P 0, P 1, P 2 sono punti distinti di, allora tali punti sono allineati se e solo se P 2 appartiene alla retta r passante per P 0, P 1, quindi, se e solo se esiste tale che P t P P P cioè P P = t P P t = ( ) + ( ) 2 1 0 0 2 0 1 0. In conclusione, P 0, P 1, P 2 sono allineati se e solo se i vettori P 2 P 0, P 1 P 0 sono paralleli. 23 Esempio Siano P 0 = (1, -2, 1), P 1 = (3, 0, 3), P 2 = (2, -1, 2) 3 e P 3 = (0, -2, 1) punti di P 2 è allineato con P 0, P 1 in quanto P 2 P 0 = (1, 1, 1) = 1/2(2, 2, 2) = 1/2(P 1 P 0 ); P 3 non è allineato con P 1, P 2 in quanto P 3 P 0 = (1, 0, 0) e P 1 P 0 non sono paralleli. 24 2006 Politecnico di Torino 12

Esempio Se r è una retta parametrica nel piano con r : P ( t) = ( x ( t), y ( t) ) = t ( 1,2) + ( 1, 1 ), possiamo scrivere ( ) ( ) x t 1 1 t + 1 t = + = y t 2 1 2t 1 ( ) ( ) x t = t + 1 y t = 2t 1 da cui 26 2006 Politecnico di Torino 13

Equazioni parametriche Se A = (a, b) (0, 0) e P 0 = (x 0, y 0 ) allora le equazioni parametriche della retta di direzione A passante per P 0 sono 0 r : x = at + x y = bt + y 0 Per semplificare la notazione, si sottintende la dipendenza da t delle coordinate del punto P (t ). 27 Esempi Gli assi coordinati r x, r y hanno parametrizzazioni r x : te 1 e r y : ue 2 e quindi equazioni parametriche x t r x : = y = 0 x 0 r y : = y = u 28 2006 Politecnico di Torino 14

Forma cartesiana È noto che è possibile rappresentare una retta r 2 in con un equazione (equazione cartesiana di r ) del tipo ax + by + c = 0 con a, b, c e a, b non entrambi nulli (l equazione cartesiana è determinata a meno di multiplo 0). In tal caso poniamo r : ax + by + c = 0 e diciamo che r è in forma cartesiana. 29 Direzione ortogonale a una retta Se r : ax + by + c = 0, allora sappiamo che r 0 : ax + by = 0 è la parallela a r per O. Poiché ax + by = (a, b ). (x, y ), le soluzioni di ax + by = 0 sono i vettori (x, y ) tali che (a, b ). (x, y ) = 0. In conclusione la direzione ortogonale a r è data da (a, b ) e r ha direzione definita da (b, -a ) e a coefficiente angolare (se b 0). b 30 2006 Politecnico di Torino 15

Passaggio da forma cartesiana a parametrica (1/2) Se r : 2x y + 1 = 0, allora r ha direzione ortogonale (2, -1), e quindi direzione A = (1, 2). Poiché P 0 = (-1, -1) r, abbiamo che r : ta + P 0. Le equazioni parametriche sono x t 1 r : = y = 2t 1 31 Passaggio da forma cartesiana a parametrica (2/2) Alternativamente, possibile è esplicitare una variabile e assumere come parametro l altra: per esempio y = 2x + 1 (forma esplicita), da cui x t r : = y = 2t + 1 32 2006 Politecnico di Torino 16

Passaggio da forma parametrica a cartesiana Viceversa se x t 1 r : = y = 2t 1 possiamo ricavare t da una equazione e sostituire nell altra: per esempio t = x + 1, da cui y = 2(x + 1) -1 e 2x y + 1 = 0. 33 Esempio (1/2) Consideriamo le rette parametriche r : P (t ) = t (1, -3) + (-2, 1) e s : Q (u ) = u (3, 1) + (-3, 2). Possiamo determinare r s imponendo P (t ) = Q (u ), cioè t 2= 3u 3 3t + 1= u + 2 34 2006 Politecnico di Torino 17

Esempio (2/2) Dunque abbiamo il sistema quadrato t 3u 1 S : = 3t u = 1 2 1 da cui t = e u =. Sostituendo otteniamo 5 5 2 1 12 11 r s = P = Q =,. 5 5 5 5 35 Intersezioni di rette parametriche ( ) 0 Se r : P t = ta + P e s : ub + Q0, la condizione P (t ) = Q (u ) equivale al sistema S : ta ub = Q0 P0. La matrice dei coefficienti di S ha colonne A e B. Se A e B non sono paralleli, S è determinato e le rette sono incidenti. Se A e B sono paralleli, S è impossibile (rette parallele) o indeterminato (r = s ). 36 2006 Politecnico di Torino 18

Intersezioni di rette in generale L intersezione di due rette in forma cartesiana si studia con il sistema formato dalle due equazioni. Diamo un esempio nel caso una sola delle due rette sia in forma cartesiana. Se x t 1 r : = y = 2t 1 e s :3x 2y + 5= 0 sostituendo P (t ) = (t 1, 2t 1) nell equazione di s si ha 3(t 1) -2(2t - 1) + 5 = 0 da cui t = 4 e r s = (3, 7). 37 Proiezione ortogonale Se r e P sono una retta e un punto nel piano, la proiezione ortogonale p r (P ) di P su r è l intersezione dell unica retta ortogonale a r passante per P. Per il Teorema di Pitagora, abbiamo P pr ( P) P Q per ogni Q r, con = se e solo se Q = p r (P ). 38 2006 Politecnico di Torino 19

Distanza punto/retta Quindi p r (P ) è il punto di r con minima distanza da P. La distanza d (P, r ) di P da r è definita da d ( P, r) = d ( P, pr ( P) ) = P pr ( P). Ricordiamo che, se P = (x 0, y 0 ) e r : ax + by + c = 0, vale (, ) d P r = ax + by + c 0 0 a + b 2 2 39 Esempio Se r : t (1, 2) + (1, -1) e P = (2, -4), abbiamo r : 2x y 3 = 0, quindi la retta s ortogonale a r per P è s : u (2, -1) + (2, -4) e p r (P ) = r s = (0, -3). Abbiamo ( r ) ( ) ( ) d P, r = d P, p P = 5 e ( ) ( ) 2 2 1 4 3 d ( P, r) = = 5 5 40 2006 Politecnico di Torino 20

Equazioni parametriche Se A = (a, b, c ) (0, 0, 0) e P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), allora le equazioni parametriche della retta di direzione A passante per P 0 sono x = at + x 0 r : y = bt + y 0 z = ct + z 0 42 2006 Politecnico di Torino 21

Esempi (1/2) La retta nello spazio di direzione A = (3, -1, 2) passante per P 0 = (-1, 0, 4) ha equazioni parametriche x = 3t 1 y = t z = 2t + 4 43 Esempi (2/2) Gli assi coordinati nello spazio hanno equazioni parametriche x = t rx : y = 0 z = 0 x = 0 ry : y = u z = 0 x = 0 rz : y = 0 z = v 44 2006 Politecnico di Torino 22

Esempio (1/2) Siano r : P (t ) = ta + P 0 e s : Q (u ) = ub + Q 0 con equazioni parametriche x = 3t 1 r : y = t z = 2t + 4 x = u + 1 s : y = u z = u 2 Studiamo r s : come nel piano, la condizione P (t ) = Q (u ) equivale a un sistema lineare S a due incognite, ma in questo caso vi sono tre equazioni. 45 Esempio (2/2) Il sistema 3t u = 2 S : t + u = 0 2t u = 6 è impossibile, quindi r s = : le rette non si intersecano. D altra parte r e s non sono parallele, in quanto A = (3, -1, 2) e B = (1, -1, 1) non sono paralleli. 46 2006 Politecnico di Torino 23

Posizione reciproca di rette (1/6) Ricordiamo che due rette nello spazio si dicono complanari se esiste un piano che contiene entrambe. Dalla geometria euclidea sappiamo che due rette r 1 e r 2 (distinte) nello spazio possono essere in tre posizioni reciproche. 47 Posizione reciproca di rette (2/6) Incidenti: r 1 r 2 è un punto. Parallele: r 1 r 2 = e r 1 e r 2 sono complanari. Sghembe: r 1 e r 2 non sono complanari (e ovviamente r 1 r 2 = ). 48 2006 Politecnico di Torino 24

Posizione reciproca di rette (3/6) Se con ( ) = + : ( ) r : P t ta P 1 1 1 1 r P u = ua + P 2 2 2 2 = (,, ), A = ( a b c ) A a b c 1 1 1 1,,, 2 2 2 2 = (,, ), P = ( x, y, z ) P x y z 1 1 1 1 2 2 2 2 possiamo studiare le posizioni reciproche di r 1 e r 2 usando l algebra lineare. 49 Posizione reciproca di rette (4/6) Infatti da ta 1 + P 1 = ua 2 + P 2 otteniamo ta 1 ua 2 = P 2 P 1 da cui il sistema a1 a 2 x 2 x 1 t S : b1 b 2 y 2 y = 1 u c c z z 1 2 2 1 Indicata con A la matrice 3 x 2 dei coefficienti di S, B la colonna dei termini noti e M S la matrice 3 x 3 associata a S, applichiamo il Teorema di Rouchè-Capelli. 50 2006 Politecnico di Torino 25

Posizione reciproca di rette (5/6) Se A 1 e A 2 sono paralleli, allora r (A ) = 1. Se r (M S ) = 2, S è impossibile e le rette sono parallele Se r (M S ) = 1, S è indeterminato e le rette sono coincidenti. 51 Posizione reciproca di rette (6/6) Se A 1 e A 2 non sono paralleli, allora r (A ) = 2. Se r (M S ) = 3 (equivalentemente D (M S ) 0), S è impossibile e le rette sono sghembe. Se r (M S ) = 2, S è determinato e le rette sono incidenti. 52 2006 Politecnico di Torino 26

Esempio (1/4) Sia r : P (t ) = t (1, -1, 2) + (0, 1, -1). Se consideriamo al variare di k la famiglia di rette s k : Q k (u ) = u (2, k, 4) + (k, 0, 1), l intersezione r s k sarà data dal sistema con parametro 1 2 k t S k : 1 k 0 = u 2 4 1 53 Esempio (2/4) Se indichiamo con A k la matrice dei coefficienti di S k, abbiamo che r (A k ) = 2 se k -2 mentre r (A -2 ) = 1. Inoltre se M k è la matrice associata a S k, 1 2 k D( M k ) = det 1 k 0 = 2 + 3k + 2k 2 4 1 1 che si annulla per k = 2,. 2 2 54 2006 Politecnico di Torino 27

Esempio (3/4) Quindi Se k = -2 abbiamo r (M K ) = 2 e le rette sono parallele (non coincidenti). Se k = 1 2 le rette sono incidenti. Se k -2, le rette sono sghembe. 1 2 55 Esempio (4/4) Nel caso k = 1 2 ( t u ) = ( 1 1 ),,. 10 5 Sostituendo t =, abbiamo la soluzione 1 10 ( 1 4 ) r s =,,. 10 10 5 1 2 9 in P (t ) otteniamo 56 2006 Politecnico di Torino 28

Angoli tra rette Se r : P (t ) = ta + P 0 e s : Q (u ) = ub + Q 0 n sono rette parametriche in, l angolo convesso θ tra r e s è dato dall angolo tra A e B definito dall equazione A B cos θ =, 0 θ π. A B 58 2006 Politecnico di Torino 29

ortogonali Quindi r e s sono parallele se e solo se θ = 0, mentre r e s sono ortogonali se e solo se θ = π /2, il che equivale a A B e a A. B = 0. Osserviamo che, mentre nel piano due rette ortogonali sono sempre incidenti, nello spazio due rette possono essere ortogonali e sghembe. 59 Esempio (1/3) Sia r : P (t ) = t (1, -1, 2) + (1, 1, -1) e sia Q 0 = (3, -1, 0). Allora vi sono infinite rette ortogonali a r e passanti per Q 0 : sono tutte le rette con parametrizzazione del tipo Q (u ) = u (a, b, c ) + (3, -1, 0) con (a, b, c ). (1, -1, 2) = a b + 2c = 0. 60 2006 Politecnico di Torino 30

Esempio (2/3) Invece esiste un unica retta s per Q 0 ortogonale e incidente a r. Infatti le rette per Q 0 incidenti a r sono le rette per Q 0 e per un punto P (t ) di r, quindi le rette per Q 0 con direzione P (t ) Q 0. Imponendo P (t ) Q 0 A = 0 abbiamo ( 1, 1,2) ( 1,1, 1) ( 3, 1,0) ( 1, 1,2) t + = = t 2, t + 2,2t 1 1, 1,2 = 6t 6 = 0 ( ) ( ) da cui t = 1. 61 Esempio (3/3) La retta s ha quindi direzione P (1) Q 0 = (-1, 1, 1) e parametrizzazione Q (u ) = u (-1, 1, 1) + (3, -1, 0). Osserviamo che l unicità di s dipende dal fatto che Q 0 r : diversamente vi sono comunque infinite ortogonali incidenti. 62 2006 Politecnico di Torino 31

Proiezione ortogonale (1/3) Per l esempio precedente, possiamo dire che, se r : P (t ) = ta + P 0 è una retta parametrica e se P r, allora il punto di r avente minima distanza da P è il punto P (t 0 ) tale che P (t 0 ) P A. 63 Proiezione ortogonale (2/3) La condizione precedente si esprime come 2 ( ) ( ) ta + P P A = t A + P P A = da cui 0 0 0 t = ( ) P P A 0 0. 2 A 64 2006 Politecnico di Torino 32

Proiezione ortogonale (3/3) Il punto P (t 0 ) si dice proiezione di P su r e si denota con p r (P ). Come nel caso piano, p r (P ) è il punto di r con minima distanza da P e la distanza tra P e r èdefinita da d P, r = d P, p P = P p P. ( r ) r ( ) ( ) ( ) Nell esempio precedente ( ) ( ) ( ) p Q0 = P 1 = 2,0,1 e r d ( Q0, r ) = ( 2,0,1) ( 3, 1,0) = 3. 65 Distanza tra rette sghembe (1/5) Consideriamo le rette x = 3t 1 r1 : y = t z = 2t + 4 x = u + 1 r2 : y = u z = u 2 e determiniamo una retta s ortogonale e incidente a entrambe. Abbiamo 1 1 ( ) = ( ) + ( ) r : P t t 3, 1,2 1,0,4 2 2 ( ) = ( ) + ( ) r : P u u 1, 1,1 1,0, 2 e 66 2006 Politecnico di Torino 33

Distanza tra rette sghembe (2/5) Le rette incidenti a r 1 e r 2 sono tutte e sole le rette passanti per le coppie di punti P 1 (t ) e P 2 (u ) al variante di t e u. Quindi, tali rette hanno direzioni del tipo ( ) ( ) ( ) A, = P1 t P2 u = 3t u 2, t + u,2t u + 6 t u 67 Distanza tra rette sghembe (3/5) La retta s sarà ortogonale a r 1 e r 2 se e solo se At, u ( 3, 1,2) = At, u ( 1, 1,1) = 0 da cui il sistema 7t 3u 3 S : = 6 t 3 u = 4 68 2006 Politecnico di Torino 34

Distanza tra rette sghembe (4/5) S ha come unica soluzione 10, = 1, 3 ( t u) da cui otteniamo che s è la retta per i punti ( ) ( ) P1 = P1 1 = 2, 1,6 e ( 10 ) ( 13 10 4 ) P2 = P2 =,,, 3 3 3 3 cioè s : Q v v 7, 7, 14 2, 1,6 3 3 3 ( ) = ( ) + ( ) 69 Distanza tra rette sghembe (5/5) È evidente che la distanza d ( P1, P2) = P1 P2 = 7 è la minima distanza possibile tra un punto di r 1 e uno di r 2, quindi può essere considerata la distanza d (r 1, r 2 ) tra le due rette. 2 3 70 2006 Politecnico di Torino 35