Fracesco Carlcci Traccia per corso di Ecoomeria Modlo II Miimi qadrai IL MODELLO LINEARE GENERALE Idice del capiolo. Serie soriche, dai sezioali e logidiali... Dai logidiali...3. Il crierio dei miimi qadrai...4.3 I miimi qadrai el modello lieare semplice...7 Le sime dei miimi qadrai el modello lieare semplice...7.4 I miimi qadrai el modello lieare mliplo... La codizioe ecessaria per i miimi qadrai e le eqazioi ormali...3 L orogoalià dei residi rispeo alle variabili esplicaive...4 U esempio: il modello lieare semplice i ermii mariciali...5 La codizioe sfficiee per i miimi qadrai...6.5 La scomposizioe della deviaza ed il coefficiee di deermiazioe...8 Il coefficiee di deermiazioe i ermii mariciali...9 Il coefficiee di deermiazioe correo... Il coefficiee di deermiazioe per il modello co le variabili scaro....6 I residi come ei aleaori: le ipoesi deboli...4 Lo simaore dei miimi qadrai per il modello lieare semplice...7 Lo simaore dei miimi qadrai per il modello lieare mliplo...9.7 La sima della variaza dei residi...3 La disorsioe della variaza campioaria...3.8 Il eorema di Gass-Markov e gli simaori BLU...35.9 La marice di correlazioe degli simaori dei parameri di regressioe...37. La sima dei miimi qadrai di a fzioe delle imporazioi...39. Il crierio dei miimi qadrai vicolai...44 La sima dei miimi qadrai vicolai...45 Le sime dei miimi qadrai vicolai per a fzioe delle imporazioi..48 Il vicolo di omogeeià di grado zero si prezzi...5 Il doppio vicolo dell gagliaza delle elasicià e dell omogeeià si prezzi...5. Riferimei bibliografici...53 8/3/3;8. Edizioe.
Modlo II Miimi qadrai. Serie soriche, dai sezioali e logidiali Fi dall iizio è saa presa i cosiderazioe la semplice fzioe del cosmo di derivazioe keesiaa (I-.. ella qale cosmo e reddio, legai da a relazioe lieare, possoo essere riferii ad isai differei di empo,,,,, oppre ad ià di cosmo e di reddio (ad esempio famiglie, i,,, N, cosiderae allo sesso empo. Si possiede, allora, el primo caso campioe di osservazioi che formao serie soriche c α + β,,, (.. mere el secodo le osservazioi compogoo dai sezioali. c α + β i,,, N (.. i i U campioe emporale di ampiezza pò essere cosrio mediae idagii che si proraggoo el empo, oppre ramie a disaggregazioe emporale (ad esempio rimesralizzazioe o mesilizzazioe di dai aali, mere campioe sezioale di ampiezza N pò essere esrao da ichiesa pale el empo, ad esempio idagie slla spesa di grppo di famiglie oppre cesimeo. I modelli (.. e (.. soo aaloghi e differiscoo icamee el modo co ci i dai soo sai reperii. Naralmee esisoo modelli i ci dai soo coemporaeamee sezioali e emporali, come ell esempio segee c i α + β,,, ; i,,, N (..3 i i i rappreseaivo di a fzioe del cosmo ella qale ciasca famiglia i possiede a propria fzioe defiia dai parameri α i e β i, cosiderai cosai el periodo di osservazioe campioario, cioè per,,,. Se poiamo N c c i, α α i N i i N, i i e ell ipoesi che e le propesioi margiali al cosmo siao gali, β β... βn β, le eqazioi (..3 possoo essere sommae membro a membro i modo da dare c α + β,,, cosiedo qesa l aggregazioe sezioale delle (..3. Le serie soriche o emporali vegoo dee i liga iglese ime series mere i dai sezioali soo dei cross-secio daa. -
Modlo II Miimi qadrai U alro modo di aggregare le eqazioi (..3 è qello che si basa slla coosceza della disribzioe del reddio. Se la qoa di reddio posseda dalla i -esima famiglia i ogi empo è λ i, co il vicolo N λ i i si ha che i λ...,,..., ; i,,..., N (..4 i per ci, sosiedo le (..4 elle (..3 e eedo coo del vicolo, si oiee sommado membro a membro dove β N i λ i β Dai logidiali i c α + β, di ovo del ipo (.. ma co alra aggregazioe sezioale. Se il campioe di famiglie cosiderao ella (..3 rimae cosae egli empi, i dai ad esso relaivi, { c i } e { i } soo chiamai logidiali, alldedo al fao che campioe di più idividi viee segio lgo il empo. Per il raameo dei dai logidiali si sao procedre ecoomeriche specifiche che o sarao raae el presee modlo. I liga iglese i dai logidiali vegoo chiamai pael daa (dal ermie pael, che idica grppo di idividi. -3
Modlo II Miimi qadrai. Il crierio dei miimi qadrai Geeralmee i valori dei parameri di eqazioe o soo cooscii ed occorre simarli a parire da campioe di osservazioi. Voledo, ad esempio, deermiare i valori di α e β ella fzioe del cosmo (.., è ecessario disporre di campioe cosiio dagli cosmi [ c c... c ] e dai corrispodei reddii [... ], che possoo essere emporali o sezioali a secoda delle circosaze. I geerale, el prosiego, spporremo che i dai siao emporali, essedo relaivamee facile ilizzare el caso sezioale le eciche svilppae paredo da osservazioi emporali. Il campioe cosiio dalle c e dalle pò essere riporao i grafico del ipo illsrao ella figra., deo diagramma di dispersioe delle coppie di valori ( c,, dal qale risla evidee l ovvia circosaza che i geerale o esise a rea che passi esaamee per i i pi idividai da qesi dai, e che perao o esisoo valori di α e β che soddisfio perfeamee la (.. per oga delle coppie campioarie. Il diagramma di dispersioe di cosmi e reddio - Ialia 97-996 4, 35, 3, Y9 5,, 5,,, 4, 6, 8,,, CF9 Figra. Il diagramma di dispersioe di cosmi e reddio dai rimesrali ialiai 97:-996:3. Le serie ilizzae per cosrire il grafico soo qelle rappreseae ella figra I-.. -4
Modlo II Miimi qadrai Si pò, ivece, rovare a rea del ipo (.., e qidi a coppia di valori α e β, ale che araversi la vola di pi ( c, el diagramma di figra. co a disaza da qesi pi, misraa secodo le ordiae, che obbedisca ad paricolare crierio di oimo, scelo soggeivamee. Se il crierio fa deermiare i valori α e β, l eqazioe della rea è c α + β defiee i valori eorici ĉ per il cosmo, i fzioe delle campioarie e di α e β ; le differeze ra i valori osservai e qelli eorici per le c cosiiscoo i residi û c c c α β,,, Ad ogi coppia α, β corrispode a serie sorica di residi { û } diversa, per ci fiché ad α e a β o si dao valori deermiai è possibile cosiderare a serie o specificaa ma che si sppoe geeraa dal modello di residi { } c - α - β,,, (.. Si è deo che il crierio co il qale si deermiao α e β è soggeivo; spesso si sa il crierio dei miimi qadrai, svilppao idipedeemee dai maemaici K. F. Gass e A. M. Legedre ra la fie del dicioesimo e gli iizi del diciaovesimo secolo, mediae il qale i valori α e β soo calcolai miimizzado la somma dei qadrai dei residi dea deviaza dei residi 3. S ( α β ( c α β, (.. Qeso crierio si basa slla ricerca della rea che araversa la vola di pi ( c, i modo ale da miimizzare la somma dei qadrai delle disaze ra se sessa e i pi, co ali disaze prese rispeo all asse delle ordiae. Al poso di qeso crierio se e possoo scegliere alri, ad esempio qello basao slla miimizzazioe della somma dei valori assoli ( α, β c α β S' (..3 mediae il qale, ovviamee, si ricavao valori diversi, per α e β, dai precedei α e β. Geeralmee, co crieri differei si oegoo sime diverse per α e β. A prescidere dal crierio ilizzao, i parameri α e β soo spposi valere ideici 3 I liga iglese: Residal Sm of Sqares, deoaa co l acroimo RSS. -5
Modlo II Miimi qadrai per ogi coppia e cioè per ogi. Ipoizziamo, i alre parole, che la srra dell ecoomia, ella faispecie l eqazioe del cosmo, rimaga ialeraa el periodo campioario ovverosia che il campioe sia omogeeo. Osservazioe.- I ambede i crieri sopra idicai i valori egaivi e qelli posiivi delle soo raai alla sessa srega (simmericamee. Nel crierio defiio dalla (.. i residi iervegoo a comporre la deviaza i modo o lieare, i qao il loro coribo ad essa è proporzioale al loro qadrao. I ermii geomerici qeso eqivale a dire che la rea dei miimi qadrai del ipo (.. è deermiaa i modo che sia più sesibile ai pi più eseri ella vola ( c, che o a qelli più ieri (e vicii alla sessa rea. Osservazioe. - Le disaze soo prese parallelamee all asse delle ordiae ma porebbero essere parimei cosiderae parallelamee all asse delle ascisse, oppre ache orogoali alla rea che defiisce i valori eorici ĉ. -6
Modlo II Miimi qadrai.3 I miimi qadrai el modello lieare semplice Il modello (.. pò essere scrio ella forma poco più geerale - β - β,,, (.3. dove è la variabile edogea (il cosmo e esplicaiva (il reddio. I effei la o pò essere cosideraa geeralmee esogea poiché alvola rappresea edogea i alre eqazioi; ad esempio, la che cosiisce esogea ell eqazioe sigola (I-.. corrispode all edogea ella secoda eqazioe del sisema (I-.3.; è più coveiee, perao, chiamare la ella (.3. variabile esplicaiva (di. I qeso caso più geerale i valori eorici per le soo dai da,,, (.3. β + β mere le differeze ra i valori osservai e qelli eorici ŷ cosiiscoo i valori dei residi β + β,,, (.3.3 Se le variabili esplicaive soo k, il modello (.3. viee geeralizzao ell alro β + β + + β k k + (.3.4 che o ecessariamee corrispode ad a geerica eqazioe della forma ridoa (I-3.4.; i liea di pricipio le i soo variabili esplicaive di per ci la (.3.4 pò essere sia eqazioe qalsiasi del sisema (I-3.4., i forma ridoa, sia a del sisema (I-3.., i forma srrale, risola rispeo ad a variabile edogea. Il modello (.3.4 è deo lieare mliplo. La (.3. è a sa vola caso paricolare della segee g(,,,, k ; a, a,, a h,,, (.3.5 dove le i soo le variabili esplicaive, le a j soo i parameri del modello, variabili ello spazio paramerico A, e g è a fzioe che pò essere lieare, come ella formlazioe (.3.4, oppre o lieare. Le sime dei miimi qadrai el modello lieare semplice Le sime dei parameri a i possoo essere deermiae co il crierio dei miimi qadrai, per mezzo del qale si calcolao i valori â j per i qali si oiee il miimo della deviaza mi k h a,..., ah a,..., ah a,..., ah [ g(,,,..., ; a, a,..., a ] mi S( a, a,..., a mi h (.3.6-7
Modlo II Miimi qadrai Le codizioi ecessarie affiché valga la (.3.6 impogoo che siao soddisfae le eqazioi segei S( a, a,..., ah g(,,,..., k ; a, a,..., ah ai ai per i,,, h, dee eqazioi ormali. Qese possoo essere lieari oppre o lieari, a secoda delle (.3.5. Nel primo caso si perviee ai miimi qadrai (ordiari lieari (OLS: Ordiar Leas Sqares, i liga iglese; el secodo caso ai miimi qadrai o lieari (NLLS: No Liear Leas Sqares i iglese. Nel caso lieare della (.3. il crierio dei miimi qadrai (.3.6 compora la deermiazioe del miimo segee mi S β, β β, β ( β β mi ( β, β per il qale occorre rovare le derivae prime di S( β, β ed gagliarle a zero, oeedosi le de eqazioi ormali cioè S β S β ( β β ( ( β β ( Se si poe β β + β, + β, m, m (.3.7 (.3.8 dalla prima delle (.3.7 si ricava, dividedo per, β + (.3.9 β e dalla secoda, sosiedo il valore di β dao dalla (.3.9, ( β + β cioè -8
Modlo II Miimi qadrai m +β ( m dalle qali si oiee la sima dei miimi qadrai di β β m m m (.3. e, sosiedo ella (.3.9, qella di β β β (.3. Le sime β e β cosiiscoo effeivamee po di miimo per S( β, β i qao soo soddisfae ache le codizioi sfficiei, dae dalle S β S S S S >, >, > β ; β β β β ifai S β S S >, >, β β β dalle qali sege la erza codizioe ( m 4 ( > 4 Osservazioe.3 - Se ad e si dà l ierpreazioe (saisica di valori medi campioari, e a m e m qella di momei secodi campioari, la sima β è daa dal rapporo della covariaza slla variaza, ach esse campioarie. Osservazioe.4 Dalla (.3.9 sege che la rea di regressioe passa sempre el po ( β + β (.3., qali che siao i valori di β e β che soddisfao le eqazioi (.3.7. Osservazioe.5 Si oi che i corrispodeza del po di oimo le eqazioi ormali possoo essere scrie come sege ( β β ( β β (.3.3-9
Modlo II Miimi qadrai Di cosegeza, i residi simai el modello (.3. sommao a zero (e qidi hao media campioaria lla. Osservazioe.6 - Acora dall Osservazioe.4 e dalla (.3. sege che β + β β + β cioè è il valore medio campioario o solao delle osservae ma ache delle ŷ eoriche. -
Modlo II Miimi qadrai.4 I miimi qadrai el modello lieare mliplo Ci poiamo ora il problema di deermiare le sime dei miimi qadrai dei parameri del modello (.3.4 a parire da campioe omogeeo (el seso illsrao el paragrafo. di osservazioi, di ampiezza, relaivo alla [... ] e alle variabili esplicaive i, che riporiamo i forma mariciale 4 X.................. k k... k (.4. Nella X, di ordie k, corariamee a qao è cosediario ell algebra delle marici, il primo idice di ogi elemeo idica la coloa (e defiisce la variabile ed il secodo la riga (e deoa l elemeo del campioe o del empo. Ache el caso del modello lieare mliplo (.3.4, deo ache di regressioe lieare mlipla, i residi servoo a bilaciare i de membri dell eqazioe a vola che siao defiii i parameri b [ β, β,, β k ]. Similmee, ad a sima dei parameri b [ β, β, β ] corrispode a sima û, k per il resido i ogi empo e paricolare valore eorico ŷ β + β +... + β ' (.4. dove è la -esima riga della marice X. ( k k b Osservazioe.7 - Così, û è dao dalla differeza ra il valore osservao e qello eorico di. Il ermie addiivo misra o qao o è spiegao dalle variabili esplicaive i e per qeso moivo è chiamao residale; esso è cosiio ra l alro dalla possibile aggregazioe di: - variabili che o soo sae iserie ra le esplicaive (omesse e che ivece spiegherebbero pare di, - implsi accideali prodoi dal sisema ecoomico s, validi solao per alce e o i modo sisemaico per o il campioe, 4 I cocei di algebra mariciale ecessari alla compresioe dei passaggi sccessivi soo esposi el capiolo XIX-. -
Modlo II Miimi qadrai - elemei caraerisici di, ad esempio le sagioalià, che o si riesce a spiegare per mezzo delle i, - errori ella misrazioe della, - elemei di disrbo dovi al fao che la specificazioe della (.3.4 è lieare, mere avrebbe dovo essere o lieare rispeo ad alce delle variabili esplicaive. Osservazioe.8 - Da qesa caraerizzazioe sege che o ha seso cosiderare come errore, ache se i ale modo sovee viee chiamao a segio delle prime ilizzazioi del modello (.3.4 i demografia e elle scieze fisiche. Qesa deomiazioe, i ecoomeria, è chiaramee errore. Moli soo i crieri che si possoo ilizzare per oeere delle sime dei parameri b a parire da campioe e X; ra qesi, di ovo qello che miimizza la somma dei valori assoli dei residi, del ipo (..3, e qello dei miimi qadrai (.3.6, che ora divea mi b S ( ( b mi b' b (.4.3 Per oeere qeso miimo è ile riscrivere il modello (.3.4, per e le, i forma mariciale cioè............ dove [ ]. Allora la deviaza S(b è............... β k β k...... +......... k...... βk Xb + (.4.4 S ( b ( Xb ( Xb (.4.5 -
Modlo II Miimi qadrai La codizioe ecessaria per i miimi qadrai e le eqazioi ormali Facedo so delle defiizioi precedei è semplice deermiare le sime dei miimi qadrai di b co la miimizzazioe della deviaza (.4.5 che pò essere scria ella forma S(b (Xb (Xb Xb b + b Xb b + b Xb (.4.6 dove si è sfrao il fao che b è o scalare e qidi gale al so rasposo. La codizioe ecessaria affiché S(b sia miimizzaa cosise ell gagliaza a zero delle se derivae parziali rispeo a b, che possoo essere calcolae applicado le regole di derivazioe veoriale espose el paragrafo XIX-.9 el modo segee S( b X + Xb b (.4.7 essedo lle le derivae parziali della, cosae rispeo ai b. Dalla (.4.7 si oegoo le eqazioi ormali dei miimi qadrai Xb (.4.8 Raccogliedo i ermii le (.4.8 possoo essere espresse come (-Xb, per ci di fao le codizioi del primo ordie per la solzioe del problema dei miimi qadrai, cioè le eqazioi ormali, eqivalgoo a a codizioe di orogoalià fra le coloe di X, cioè le variabili esplicaive del modello, e i residi. 5 Se la marice X è iveribile, cioè se 6 si oiee la sima dei miimi qadrai ordiari de( (.4.9 b ( X (.4. Più olre, i qeso paragrafo, deermieremo la codizioe sfficiee per il miimo. I coclsioe, l ica ipoesi che è ecessario fare per calcolare la sima dei miimi qadrai b mediae la formla (.4., olre al reqisio dell omogeeià del campioe (,, è che valga la (.4.9. 5 Per la ozioe di orogoalià fra veori si veda il par. XIX-.. 6 Nel paragrafo XIX-.8 si mosra che il deermiae di X è oegaivo per a X qalsiasi. -3
Modlo II Miimi qadrai Osservazioe.9 Poiché il rago massimo di X è k, per i eoremi XIX-.4 e XIX-.3 la codizioe (.4.9 è eqivalee alla segee >k, r(k (.4. L orogoalià dei residi rispeo alle variabili esplicaive Poiché le eqazioi ormali (.4.8 soo soddisfae da b defiia dalla (.4., vale la relazioe X X b X( (.4. che viee ilizzaa per dimosrare l orogoalià delle sime [ ]... dei residi rispeo alle variabili esplicaive 7. Coereemee co la (.4. si ha Xb (.4.3 cosiio dalla differeza ra il veore dei valori osservai e qello ŷ dei valori eorici Xb (.4.4 formai dalla compoee sisemaica delle co i parameri β simai ramie il i crierio dei miimi qadrai. L orogoalià di û rispeo alle variabili esplicaive cosise, dqe, el fao che è X ( Xb Xb (.4.5 per la (.4.8. Traspoedo la (.4.5 si oiee, ovviamee, Le (.4.5 o (.4.6 geeralizzao le (.3.3. X (.4.6 L orogoalià mosraa dalla (.4.5 pò essere ierpreaa el seso che û è la proiezioe orogoale di sllo spazio orogoale a qello geerao dalle coloe di X. D alro cao ŷ cosise ella proiezioe orogoale di sllo spazio geerao dalle coloe di X, per ci û e ŷ soo orogoali. Ifai avedo sfrao le (.4.4 e (.4.5. b ' Le relazioi (.4.5 e (.4.6 permeoo di deermiare la segee scomposizioe del prodoo scalare che oeiamo i virù delle defiizioi (.4.3 e (.4.4 7 Talvola la sima û è idicaa co il simbolo e ed il veore û co e. -4
Modlo II Miimi qadrai -5 X X X X X X ' ' ' ' ( ( + + + + + + b b b b b b (.4.7 e che lega i valori osservai co i eorici e i residi simai. Se l eqazioe (.3.4 coiee l iercea, a delle coloe di X, ad esempio l lima, è cosiia da ià, per ci ache l lima riga di è formaa da, e dalla (.4.5 deriva che (.4.8 cioè il valor medio campioario dei residi simai è llo, se viee calcolaa l iercea. La (.4.8 geeralizza la prima delle (.3.3. I qeso caso, cosiderado la (.4., si ha ache che il valor medio campioario delle è gale al valor medio campioario delle ŷ simae (.4.9 Osservazioe. - L eqazioe i-esima del sisema (.4.5 pò essere scria ella forma ( i i b (.4. dove è il veore delle k variabili esplicaive al empo. Se i virù della preseza dell iercea è, ad esempio, k, per ogi, si oiee ovamee la (.4.8. U esempio: il modello lieare semplice i ermii mariciali Traiamo il caso del modello lieare semplice (.3. i ermii mariciali. La (.4.4 è i forma esplicia + β β........................ per ci la marice X è
Modlo II Miimi qadrai X X co deermiae de( X e aggia agg( X Si ha, allora, facedo so delle posizioi (.3.8 β ( β m m m m m m m sime gali alle (.3. e (.3., rispeivamee. La codizioe sfficiee per i miimi qadrai Deermiiamo ora le codizioi sfficiei affiché la deviaza (.4.6 possegga miimo el po esremae b rovao ramie la codizioe ecessaria (.4.. Se cosideriamo il differeziale del secodo ordie della fzioe S(b d S(b db Hdb (.4. dove db (db db db k ed H è la marice qadraa simmerica di ordie k, dea hessiaa, il ci elemeo geerico (i, j è S( b β β i j d S(b è posiivo o egaivo a secoda che H sia defiia posiiva o egaiva. Così la codizioe sfficiee affiché b corrispoda ad miimo (la posiivià del differeziale d S(b è che la marice S( b H X (.4. β β i j oea derivado la (.4.7 rispeo a b sia defiia posiiva. Ma per l ipoesi (.4. e il eorema XIX-.8 la X è defiia posiiva e qidi b è po di miimo. -6
Modlo II Miimi qadrai Dqe la codizioe (.4.9 oppre l eqivalee (.4. è ecessaria e sfficiee perché b sia miimo per S(b. Osservazioe. - I aalogia a qao asserio sopra, la codizioe sfficiee affiché b corrispoda ad massimo (la egaivià del differeziale d S(b è che la marice H sia defiia egaiva. Le codizioi sfficiei possoo essere dimosrae ache seza ricorrere al differeziale del secodo ordie (.4.. A qeso scopo scriviamo la deviaza S(b el modo segee S( b ( Xb ( Xb ( Xb + Xb Xb ( Xb + Xb Xb [( Xb X( b b] [( Xb X( b b] ( Xb ( Xb + ( b b X( b b (.4.3 dove si è sfrao il fao che i prodoi icrociai soo lli per la proprieà di orogoalià esposa ella (.4.6 8 da ci ache, raspoedo, ( Xb X( b b X( b b ( b b ( Xb Sfrado il corollario XIX-. del par. XIX-.8, dao che de( la forma qadraica i (b - b daa dalla ( b b X X( b b ella (.4.3 sarà maggiore di zero se (b -b. Allora, poiché b è veore di cosai, il miimo di S(b viee oeo se si prede b b dao dalla (.4., che qidi cosiisce il veore delle sime dei miimi qadrai dei parameri del modello (.4.4. Osservazioe. - La codizioe sfficiee cosisee ella defiiezza posiiva della marice X corrispode al fao che ( b b X X( b b > per qalsiasi b b, cioè alla disgagliaza ilizzaa per mosrare che la deviaza S(b è miima ella (.4.3 qado b b. 8 Nelle de gagliaze segei soo ilizzae le proprieà dell operazioe di rasposizioe di a marice, per le qali si veda il paragrafo XIX-.3. -7
Modlo II Miimi qadrai -8.5 La scomposizioe della deviaza ed il coefficiee di deermiazioe Esise a serie di idici che permeoo di misrare la capacià del modello lieare (.3.4 di adaarsi ai dai del campioe. Per defiire il primo di qesi idici sppoiamo, ovviamee seza perdere i geeralià, che il modello coega l iercea (che, simaa, pò ache valere zero e scompoiamo la deviaza delle el segee modo + + + ( ( ( ( ( ( (.5. dove come elle (.3.8. Il ermie miso è llo poiché ( ( β β i k i i k i i i avedo applicao le (.4.8 e (.4., per ci vale la scomposizioe della deviaza (oale di ella deviaza di regressioe ed i qella resida 9, essedo per la (.4.9 il valor medio campioario sia di che di ŷ, resida Dev. ( regress. di Dev. ( oale Dev. ( + (.5. Se dividiamo i de membri della (.5. e per la deviaza oale oeiamo (Dev. di regressioe/(dev. oale + (Dev. resida/(dev. oale per mezzo della qale defiiamo il coefficiee di deermiazioe oale Dev. resida Dev. oale Dev. regressio e di Dev. R (.5.3 pari al qadrao del coefficiee di correlazioe mlipla ra e l isieme delle variabili esplicaive. 9 I liga iglese: Dev. oale Toal Sm of Sqares (TSS; Dev. di regressioe Eplaied Sm of Sqares (ESS; Dev. resida Residal Sm of Sqares (RSS.
Modlo II Miimi qadrai Qado a la variabilià oale è spiegaa da qella di regressioe si ha che l adameo del modello è perfeo, la deviaza resida è lla ed R ; el caso opposo la pare sisemaica del modello o spiega iee e la variabilià oale coicide co qella resida, per ci R. I geerale dqe, si ha R (.5.4 Il coefficiee di deermiazioe i ermii mariciali Dal po di visa compazioale è alvola ile calcolare il coefficiee R per mezzo dei dai campioari e delle sime b ; per arrivare a qeso, osserviamo che la deviaza oale è e qella resida ( + (.5.5 ( ( Xb ( Xb Xb b + b Xb b + b ( Xb b (.5.6 dove si è ovamee sfrao il fao che b è o scalare e qidi gale al so rasposo, e si è ilizzaa la (.4.. Sosiedo qese relazioi ella (.5.3 si oiee R b (.5.7 b i fzioe del campioe, di b e di. Il coefficiee di deermiazioe (.5.7 è deo cerao. Se si elimia si oiee il coefficiee di deermiazioe o cerao: X X b b b ' R (.5.8 ' dove il pedice sa per ceered, che sigifica appo, i liga iglese, o cerao. Si oi che la (.5.8 deriva dalla scomposizioe (.4.7 della somma dei qadrai della variabile dipedee, mere la (.5.7 deriva dalla scomposizioe (.5. della deviaza, cioè della somma dei qadrai degli scari della variabile dipedee dalla propria media campioaria. I alre parole, la differeza fra i de coefficiei risiede el fao che la (.5.7 cofroa de deviaze, mere la (.5.8 de somme di qadrai. Ne cosege che il coefficiee o cerao (.5.8 è -9
Modlo II Miimi qadrai sempre posiivo, mere qello espresso dalla (.5.7 pò essere egaivo se dal modello viee omessa l iercea, perché i al caso l orogoalià (.4.6 o implica più il rislao (.4.8 e qidi il ermie miso ella scomposizioe (.5. o si alla. Il coefficiee o cerao R rivese paricolare imporaza ella cosrzioe di es diagosici sl modello, come si vedrà i segio ei modli III e VIII. Viceversa, per qao aiee alla valazioe della boà di adaameo del modello ai dai, e qidi alla scela delle variabili da cosiderare el modello sesso, si fa riferimeo al coefficiee cerao R o alla sa versioe correa, che passiamo a descrivere. Il coefficiee di deermiazioe correo Se si dividoo per le de deviaze ella (.5.3 si oiee R ( (.5.9 ( ( che mosra chiaramee come l R misri la proporzioe di variaza oale spiegaa dal modello di regressioe. Tavia ella (.5.9 si ilizzao gli simaori cosiii dalle variaze campioarie, che soo disori. Se a ali simaori disori si sosiiscoo qelli o disori si oiee coefficiee di deermiazioe leggermee diverso dall (.5.9, deo correo rispeo ai gradi di liberà, R k c (.5. ( Siamo così passai dal rapporo fra somme di qadrai (.5.8 e dal rapporo fra deviaze (.5.7 al rapporo fra variaze (.5., ell limo dei qali si iee esplicio coo del mero di variabili esplicaive k. Se, dao modello, gli si aggige a variabile esplicaiva qalsiasi, assolamee o sigificaiva, cioè o legaa da alca effeiva relazioe co la variabile dipedee, l R comqe ameerà. Al limie, iseredo el modello variabili esplicaive (cioè ae qae soo le osservazioi dispoibili si oerrà I liga iglese: goodess of fi. Il coefficiee correo è sao irodoo da Theil [96]. -
Modlo II Miimi qadrai adaameo perfeo ai dai (R, i cosegeza del fao che a vola di pi pò essere ierpolaa esaamee da iperpiao a dimesioi. L R c ivece dimiisce, poiché a parià di deviaze è R c < R come si pò ricavare comparado la (.5.9 co la (.5.. I qesa maiera il cofroo ra de modelli co diverso mero di variabili esplicaive, effeao ricercado qale dei de possiede coefficiee di deermiazioe maggiore, divea più sigificaivo i qao al modello co k più grade si aribisce o svaaggio, fzioe appo della sa maggiore dimesioe. Talvola soprallieara: R. La relazioe esisee ra R ed R è idicao mediae a c R c è preso rovaa k R c ( R + R (.5. k k k La (.5. mosra che qado k si avvicia molo a il coefficiee correo divea egaivo ededo a meo ifiio. Si oi che oosae qesa pealizzazioe possa apparire molo severa, i realà è possibile dimosrare che ache il coefficiee R c pò ameare (ache se o amea ecessariamee qado al modello vegoo aggie variabili irrilevai. Di cosegeza le misre di boà dell ierpolazioe, ache se cosiiscoo ile idicaore sieico della boà complessiva del modello, o possoo essere cosiderae come ica gida ella sraegia di specificazioe ecoomerica. Il coefficiee di deermiazioe per il modello co le variabili scaro Il coefficiee di deermiazioe defiio dalla (.5.3, o, i modo eqivalee, dalla (.5.7, pò essere calcolao ache araverso le variabili espresse come scari dai rispeivi valori medi. Se ell eqazioe (.3.4 si poe k, per ci il coefficiee β k divea l iercea della osra fzioe di regressioe, e si simao i parameri coi miimi qadrai, sommado i de membri dell eqazioe per i i empi e dividedo per si oiee β (.5. + β +... + β k k + β k + dove β è la sima del ermie oo e le soprallieare deoao i valori medi k campioari delle variabili; cosiderado poi che per la (.4.8 la somma dei residi R Ua descrizioe più rigorosa di qeso feomeo verrà foria el paragrafo.3 dopo aver irodoo i es di sigificaivià dei coefficiei. -
Modlo II Miimi qadrai simai è lla, facedo la differeza ra la (.3.4 simaa e la (.5. si oiee il modello degli scari rispeo ai valori medi β ( + β( +... + βk ( k k + (.5.3 ella qale il ermie oo o è più presee. Il coefficiee di deermiazioe per la (.5.3 è allora calcolao semplicemee applicado la (.5.7 all eqazioe (.5.3: qeso pò essere effeao parizioado la marice X origiale i modo da isolare l lima coloa formaa da i o ed idicaa co i 3 X[ X i] cosiderado il ovo veore dei parameri b [β β β k ], ed effeado le segei sosizioi, derivae dall so del modello (.5.: al poso di i si cosidera i / i ii / C i i C i ii / C X CX X C dove si è ilizzaa la marice di ceraggio C defiia dalla XIX-(..5 come C I ii e le se proprieà di simmeria e idempoeza dimosrae dalla (XIX-..6. Si ha allora i b C R (.5.4 C dove si è acora fao so dell idempoeza di C e b [ β β... β ]. i k Osservazioe.3 - Dalle (.5. e (.5.3 si rae che i residi simai co il modello degli scari soo gali a qelli simai co il modello (.3.4 qado qes limo coega l iercea. I alre parole, l irodzioe dell iercea vale a deprare i residi del modello i 3 La barra vericale ella (.5.3 idica semplicemee che la X è parizioaa i X e i. -
Modlo II Miimi qadrai dall iflsso delle medie delle variabili, qalora qese siao diverse da zero (come soo, ivece, per cosrzioe se il modello è cosrio co variabili scaro. D alra pare, abbiamo viso che la preseza dell iercea assicra il rislao (.4.8. Sege che ache le deviaza reside dei de modelli soo le sesse. Per l osservazioe.3 il coefficiee di deermiazioe cerao è ache esprimibile ramie l espressioe segee R C dalla qale è possibile derivare il corrispodee coefficiee di deermiazioe cerao correo per mezzo della correzioe rispeo ai gradi di liberà aaloga a qella effeaa ella (.5.. Scarsa sigificaivià ecoomica si ha qado ell eqazioe di regressioe (.3.4 sssise a fore edeza sia ella edogea che i a o più variabili esplicaive. I qeso caso R alo pò sigificare semplicemee bo adaameo della edeza di a qella delle esplicaive, e o ecessariamee a boa capacià esplicaiva della compoee sisemaica del modello a prescidere dall adameo edeziale. -3
Modlo II Miimi qadrai.6 I residi come ei aleaori: le ipoesi deboli Fiora i residi soo sai cosiderai come scari ra i valori osservai e qelli eorici di a variabile, per ogi empo : i sosaza, come eià deermiisiche seza collegamei ieremporali. È ora opporo esedere qesa cooazioe, sppoedo che ali residi cosiiscao realizzazioi di variabili aleaorie, 4,,, doae di proprieà socasiche (ipoesi che mao a secoda del grado di approfodimeo co ci si vole sdiare il modello (.3.4 oppre della diversa coformazioe dei dai campioari. Sppoedo sempre che l eqazioe (.3.4 rimaga ialeraa el periodo campioario, l isieme più semplice di ipoesi socasiche che possoo essere formlae rispeo ad essa è dao da (i i valori oi i, (ii E ( (iii E( s σ s s (.6. La prima ipoesi idica che le variabili esplicaive i soo cooscie. I paricolare, qidi, essa compora che le i, a differeza delle, siao misrae seza errori. La secoda ipoesi o è affao resriiva i qao se fosse E( µ,, ci si porebbe sempre ricodrre al caso di valor medio llo semplicemee aggigedo µ al ermie oo dell eqazioe (.3.4. L osservazioe.3 ci ricorda che l irodzioe dell iercea garaisce che i residi simai abbiao media campioaria lla, proprieà che è appo il corrispeivo campioario della secoda delle (.6.. La erza ipoesi delle (.6. è, viceversa, resriiva i qao presppoe sia che i residi siao o correlai ra di loro qado soo associai a empi diversi sia che abbiao i la sessa variaza σ. Ambede qese sooipoesi soo raramee verificae ella realà, ma soo molo ili ell irodzioe didaica della (.3.4 i ambiee socasico. Le ipoesi (.6.-(ii e (iii vegoo alora sieizzae dicedo che il resido della (.3.4 è rmore biaco, dove per rmore biaco si iede appo a 4 Idichiamo co a ilde a variabile aleaoria. Tale simbolo è ilizzao solao qado la variabile è cosideraa i a coeso dichiaraamee socasico (ad esempio soo il simbolo di valor medio E. I coesi più geerali (ad esempio i modello è soliamee omesso. -4
Modlo II Miimi qadrai sccessioe emporale di variabili aleaorie icorrelae co valor medio llo e variaza cosae. Si oi ache che le prime de delle (.6. implicao che sia E( i i,, poiché E( i i E(. 5 L ipoesi che alce variabili aleaorie abbiao la sessa variaza è dea di omoschedasicià 6, mere qella aleraiva di variaze diverse è chiamaa di eeroschedasicià. Poiché le ipoesi (.6. o presppogoo alca forma per la disribzioe delle, soo dee deboli; el caso corario, che esamieremo el prossimo capiolo, di asszioe di a specifica disribzioe, si ipoizzerao ipoesi fori per. L immersioe del modello (.3.4 ell ambiee socasico prodce come rislao che deve essere cosiderao come a variabile aleaoria. Si è deo, ifai, i precedeza, che le caraerisiche del membro a desra ell eqazioe (.3.4 devoo essere rispecchiae i qello a siisra: se la pare di desra è socasica (a casa di, così deve essere qella a siisra, per ci l eqazioe (.3.4 divea β + β +... + β (.6. k k + che idica chiaramee come la variabile edogea sia rappreseaa da modello scisso i a compoee sisemaica daa dalla combiazioe lieare k i β i i delle esplicaive, ed i a compoee aleaoria formaa dal resido. La prima compoee è dea sisemaica i qao rappresea la srra di i fzioe dei parameri cosiderai, ivariabili el empo i virù dell omogeeià (el seso illsrao el paragrafo. del campioe, e delle esplicaive, sppose oe per la prima delle (.6.. La compoee sisemaica qidi o coiee alc elemeo aleaorio. Qesa cosiderazioe è imporae ache perché mee i lce che le ipoesi socasiche (.6., che per moivi didaici e sorici vegoo spesso espose i ermii dei residi o osservabili, i effei possoo essere vise come ipoesi 5 Si raa di a cosegeza della proprieà di liearià dell operaore di valor medio o speraza maemaica, defiia dalla XXI-.3.6 6 Dai ermii greci οµοιοσ, gale, e σκεδασι σ, dispersioe. Ua defiizioe più rigorosa di omoschedasicià richiede l impiego delle disribzioi di probabilià codizioae ed è foria el par. XXI-.4-5
Modlo II Miimi qadrai slle variabili osservabili, cosiderae come realizzazioi di a variabile aleaoria. I paricolare, dalle (.6. scariscoo le segei ipoesi per Cov V E ( β + E j j ( E ( E( j [ ] ( E σ (, E[ ( E( ( E( ] E( s s s s I alre parole, la srra di covariaza ipoizzaa per la si applica galmee alla, il che, viso che le de variabili aleaorie differiscoo per a cosae addiiva (la pare sisemaica del modello, discede immediaamee da oe proprieà della variaza. 7 Qeso rislao o ha mero ieresse eorico, ma ha ache a rilevae imporaza praica perché ci permee di valare immediaamee, almeo i modo iformale, la plasibilià delle ipoesi (.6.. j β j s j 5 5 5 Reribzioi lorde Ialia 97-996 97. 974. 978. 98. 986. 99. 994. Figra. Le reribzioi lorde complessive i Ialia, dai rimesrali grezzi dal 97 al 996 (foe ISTAT. Ad esempio, se la osra variabile dipedee avesse adameo aalogo a qello della variabile rappreseaa ella figra. (le reribzioi lorde i Ialia dal 97 al 996 l ipoesi di cosaza delle variaza el empo sarebbe poco 7 Ua cosae addiiva pò essere elimiaa dall operaore di variaza: V( a+ V(, dao che la raslazioe deermiaa dall aggia della cosae ifleza la locazioe (e qidi la media ma o la dispersioe (e qidi la variaza della. -6
Modlo II Miimi qadrai plasibile, viso che la variabile i qesioe maifesa variabilià crescee col passare del empo. Qidi se fra le esplicaive o figrao variabili caraerizzae ach esse da a simile variabilià crescee, qesa si scaricherà sl resido dell eqazioe, deermiado la violazioe delle ipoesi socasiche deboli. Lo simaore dei miimi qadrai per il modello lieare semplice U secodo rislao dell approccio socasico rigarda le sime dei miimi qadrai dei parameri che, el caso della regressioe semplice, possoo essere acora calcolae mediae le (.3. e (.3. ma che se soo ierpreae i ermii aleaori, i fzioe delle defiie dalla β + β (.6.3 diveao 8 + β β m m m β β + m ( m ( β ( ( β + β + ( ( β + β + ( + β β + m ( ( β + β + β + m β ( β β + (.6.4 (.6.5 Le β e β i ambio socasico soo dqe simaori per β e β, rispeivamee. I loro valori medi soo, i virù delle ipoesi (socasiche deboli, E( β Eβ + ( β m (.6.6 8 Le β e β segei soo variabili aleaorie e, segedo la osra covezioe, dovrebbero essere idicae co a ilde, sovrapposa al cappello. Per semplicià di oazioe omeiamo la ilde, per ci β e β possoo idicare, i fzioe del coeso, sia le sime (.3. e (.3. sia le variabili aleaorie (simaori (.6.4 e (.6.5. Così el segio per qao rigarda le geeriche β j. -7
Modlo II Miimi qadrai -8 ( ( ( β + β β + β β E E E (.6.7 per ci gli simaori β e β soo o disori. 9 Calcoliamo ora le loro variaze: ( ( ( ] [( ( m m m E E Var σ σ β β β (.6.8 avedo ilizzao la relazioe ( ( m Iolre + σ σ + σ β β + + β β β β + + β β + β β β β β ( ( ] [( ] [( ( ( ( ( ] [( ( m m E E E E E E E Var (.6.9 dove el qaro passaggio si è ilizzaa la o correlazioe dei de faori ( β β e. Ifai la loro covariaza è lla 9 Uo simaore θ del paramero θ è deo o disoro se (θ E θ. La o disorsioe è a boa proprieà di o simaore se, come avviee di solio, la disribzioe di probabilià di θ è coceraa ioro al so valor medio. I qeso caso le sime, realizzazioi dello simaore, hao ala probabilià di rovarsi vicio al valore θ del paramero.
Modlo II Miimi qadrai Cov[( β β, ] E[( β β ] E ( m E E m σ m σ dove el qaro passaggio è saa ilizzaa la o correlazioe delle per idici diversi. Lo simaore dei miimi qadrai per il modello lieare mliplo Se le eqazioi (.3.4 soo sieizzae ella forma mariciale (.4.4 è coveiee riscrivere le ipoesi (.6. el modo segee X marice di cosai E( (.6. Cov( E( σ I co [... ] e dove la E ( idica la marice di dispersioe (o di covariaza, o di variaze e covariaze del veore di residi, essedo così formaa E E( E(... E( E E E ( (... (... ( σ σ I (.6......................... E( E(... E(... σ σ Osservazioe.4 - Gli elemei della diagoale pricipale della marice di dispersioe cosiiscoo le variaze delle variabili aleaorie del veore ; gli elemei fori di ale diagoale e formao le covariaze. La scrira delle variaze e delle covariaze ella (.6. iee coo del fao che i valori medi delle soo lli. Osservazioe.5 - La marice di dispersioe (.6. pò essere idicaa mediae il so elemeo geerico { E ( i j } (.6.... -9
Modlo II Miimi qadrai i j j i, essa è simmerica. Qesa proprieà di simmeria vale per qalsiasi marice di dispersioe (si veda la XXI-.3.6. e poiché E ( E( Le prime de ipoesi implicao che sia E( E(. I alre parole, le ipoesi deboli implicao che le coloe della marice X siao orogoali rispeo ai residi. Si oi che qesa codizioe eqivale di fao a imporre si momei della popolazioe a codizioe che abbiamo già viso essere verificaa dai momei campioari (si veda la (.4.5. I ermii socasici il modello mariciale (.4.4 è scrio Xb + (.6.3 dove [... ], co valor medio veoriale E ( Xb (.6.4 e marice di dispersioe Cov( Cov( Xb Cov( σ I (.6.5 La sima dei miimi qadrai b pò acora essere calcolaa mediae la (.4. ma se è ierpreaa i ermii aleaori, i fzioe della (.6.3, divea b ( ( X ( ( Xb + Xb + ( b + ( e rappresea qidi o simaore (qello dei miimi qadrai di b. (.6.6 Osservazioe.6 - Evideziamo che la validià dello simaore (.6.6 è sbordiaa all asszioe cogia delle ipoesi deboli (.6. e delle alre (.4.. Osservazioe.7 - Rimarchiamo la differeza (di ierpreazioe ra la sima b (.4., fzioe delle variabili osservae (,, e lo simaore b (.6.6, fzioe del veore aleaorio olre che delle X. Dalla (.6.6 si ricava il valor medio veoriale dello simaore b b b + ] E ( E[( X X b + ( E[ ] b (.6.7 che idica che lo simaore dei miimi qadrai è o disoro (o correo. Ci riferiamo qi alla ozioe di orogoalià i seso socasico defiia dalla XXI- (.3.. I passaggi segei sfrao la proprieà di liearià dell operaore E discssa el paragrafo XXI-.3 (si veda la XXI-(.3.3. -3
Modlo II Miimi qadrai Sempre ramie la (.6.6 si calcola facilmee la marice di dispersioe di b Cov( b E[( b b( b b ] E[( X( ] (.6.8 ( ( σ I X( σ ( dove si è impiegaa la erza delle ipoesi (.6.. Osservazioe.8 - La marice di dispersioe (.6.8, eedo ache coo dell Osservazioe.4 è formaa el modo segee Cov( b E[( b b( b b ] Var( β β β β β Cov(,... Cov(, k Cov( β β β β β, Var(... Cov(, k............ Cov( β β β β k, Cov( k,... Var( bk E[( β β ] E[( β β( β β]... [( β β ( β β ] [( β E E β ]............ E[( β k βk ( β β] E[( βk βk ( β β]... E[( β β( βk βk ] E[( β β( βk βk ]... E[( βk βk ] dove si è sfrao il rislao (.6.7 per la oazioe dei valori medi E β. ( i -3
Modlo II Miimi qadrai.7 La sima della variaza dei residi Dalla (.6.8 si oa che se la variaza dei residi è cooscia, lo è ache la marice di dispersioe di b ; alrimei σ deve essere simaa ramie o simaore che geeralmee ha a delle de forme σ σ k / (.7. /( k (.7. che discedoo i maiera arale dalla defiizioe di variaza. Il primo di qesi simaori cosiisce la variaza campioaria ed è disoro; il secodo o lo è, come si dimosra el segee eorema. che ilizza alce proprieà della raccia di a marice qadraa. La radice qadraa della sima della variaza dei residi (.7. è chiamaa errore sadard dell eqazioe (o della regressioe. Per la piea compresioe delle (.7. e (.7. cosiderae come simaori è ecessario cosiderare che ache il veore û è aleaorio qado è espresso i fzioe dello simaore b ramie la (.4.3. Dqe ache le û posseggoo la doppia fisioomia di sime e di simaori dei residi. La disorsioe della variaza campioaria Vale, dqe, il segee Teorema. - Lo simaore (.7. è o disoro. Ifai, i virù delle (.4.3 e (.4. si ha Xb X( Xb + Xb X( Xb + X( [ I X( ( Xb + ] M (.7.3 dove si è poso M I X( - (.7.4 marice qadraa di ordie. La M è simmerica, come il leore verifica facilmee, e idempoee, cioè ale che MM M; ifai I iglese: Sadard Error of he Eqaio (SEE oppre Sadard Error of he Regressio (SER. -3
Modlo II Miimi qadrai MM[I X( - ][I X( - ] I X( - X( - + X( - X( - (.7.5 I X( - M (si veda ache il paragrafo XIX-. Allora, adoperado qesa proprieà della M e la (.7.3 si ha M M MM M (.7.6 per ci, sfrado i rislai (..-(..3 del modlo XIX, E( E( M E r σ σ [ ( M ] E[ r( M ] r[ I X( ] σ { ri r[ X( ]} { r[( X] } σ ( ri σ ( k essedo X a marice qadraa di ordie k. Dqe e lo simaore (.7. è o disoro. E ( σ E( /( k σ k σ rm (.7.7 Il deomiaore k ella (.7. defiisce il mero dei gradi di liberà 3 del modello lieare (.3.4. Osservazioe.9 È ile sdiare la dimosrazioe del eorema. i primo logo perché cosiisce a semplice eserciazioe di calcolo mariciale; iolre è esempio di come i mole dimosrazioi di saisica maemaica si si la ecica di esegire dapprima dei passaggi mariciali [la (.7.3] e di effeare poi operazioi socasiche che ilizzao le espressioi rovae [la (.7.7]. Qesa sessa ecica è saa saa più sopra per mosrare la correezza dello simaore b. Nel eorema. si defiisce iolre la marice M e si sfra l operaore raccia, la proprieà di simmeria e qella defiia dalla (.7.5, chiamaa idempoeza; soo defiizioi e proprieà che riroveremo di freqee el segio. Si oi, ifie che û dao dalla (.7.3 è a rasformazioe lieare di, ramie M. Per mezzo del eorema. si calcola facilmee la disorsioe della variaza campioaria (.7.; ifai 3 I liga iglese: mber of Degrees of Freedom (DF. -33
Modlo II Miimi qadrai k k Dis ( σ σ E( σ σ E σ σ (.7.8 che ede a zero per ; lo simaore variaza campioaria è deo allora asioicamee o disoro e o si differezia molo da qello o disoro (.7. se è grade rispeo a k. Come già acceao, a sima della marice di dispersioe (.6.8 di b è oea sosiedo al σ a sa sima, ad esempio σ o σ dae dalle (.7. e (.7., dalle qali si oa che le sime delle variaze e delle covariaze dei parameri di regressioe soo, ceeris paribs, ao meo disperse qao più gradi soo i valori o -k. Di fodameale imporaza, qidi, per avere sime precise (co variaze piccole e poco correlae ra loro (co covariaze piccole è che o la differeza -k siao sfficieemee gradi. Qesa idicazioe, avia, è di caraere saisico. Da po di visa ecoomico, ivece, l igradimeo di, cioè dell ampiezza del campioe, pò comporare la violazioe del pricipio di omogeeià della srra dell ecoomia del periodo campioario, ecessaria affiché la compoee sisemaica del modello (.6. possa rappreseare ale srra i modo adegao. Per deermiare (o -k è allora ecessario rovare compromesso ra valore abbasaza grade per avere sime delle variaze e covariaze dei parameri β i precise, ed o sfficieemee piccolo i modo ale che la srra dell ecoomia o si modifichi roppo el periodo campioario. -34
Modlo II Miimi qadrai.8 Il eorema di Gass-Markov e gli simaori BLU Si è deo el paragrafo.6 che la o disorsioe è a boa proprieà per gli simaori; ra qelli lieari rispeo alle lo simaore b dei miimi qadrai o solao gode di qesa proprieà ma possiede variabilià miima el seso del eorema di Gass-Markov che eciamo e dimosriamo el prosiego, facedo so dell espressioe mariciale della variaza di a combiazioe lieare co pesi c [c c c k ] delle variabili raccole el veore aleaorio z [ z z... z ] k k c Var( z Var c z c c Cov( z z c Cov( i i i j i j z c i i j k (.8. La (.8. discede dal eorema si momei di a combiazioe lieare di variabili aleaorie eciao dalla XXI-(.3.3. Vale dqe il Teorema. (di Gass-Markov - Nella classe degli simaori lieari rispeo alle e o disori, se b è lo simaore dei miimi qadrai defiio dalla (.6.6 e b è qalsiasi alro simaore, si ha Var ( c b Var( c b (.8. dove c [c c c k ] è qalsiasi veore di cosai reali o e lle. Poiché b è o simaore lieare rispeo alle la sa combiazioe lieare c b pò essere espressa come fzioe lieare delle mediae i pesi h [h h h ] c b h (.8.3 per ci si ha, sfrado la (.6.4, h Xb h E ( E( h E( c b c b (.8.4 dove ell limo passaggio è saa sfraa la o disorsioe di b. Sege che h X c, per ci, i virù delle (.8., (.6.8 e (.8.4 Var ( c b c Cov( b c σ c ( c σ h X( h D alro cao dalla (.6.5, ed acora cosiderado la (.8., si ha Var( c b Var( h h Cov( h σ h h per ci la esi è dimosraa se si dimosra che Var( c b Var( c b σ [ h h h X( h] (.8.5 σ h [ I X( ] h σ h Mh -35
Modlo II Miimi qadrai dove M è la marice qadraa (.7.4. Ma la marice M, essedo simmerica e idempoee, è semidefiia posiiva per il eorema XIX-. e qidi vale la (.8.5, essedo σ sempre o egaivo. Gli simaori a variaza miima el seso del eorema di Gass-Markov soo dei oimi; sieicamee essi soo chiamai BLU, dalle iiziali dei ermii iglesi Bes (oimi, Liear (lieari, Ubiased (o disori. L so della sima dei miimi qadrai è sao i precedeza gisificao slla base dell ierpreazioe del relaivo crierio, foria el paragrafo.. Da po di visa socasico, l so dello simaore (e qidi della sima dei miimi qadrai è moivao proprio dal fao di essere BLU. Osservazioe. - Il eorema di Gass-Markov pò essere dimosrao ache soo ipoesi meo resriive di qelle sopra ilizzae, i alre parole le (.4.8 e (.6.. Ad esempio, se si sppoe che il rago di X sia iferiore a k o esise lo simaore ico (.6.6 dei miimi qadrai, ma il eorema di Gass-Markov pò acora essere dimosrao i virù delle sole eqazioi ormali (.4.8 che, ovviamee, coiao a sssisere. -36
Modlo II Miimi qadrai.9 La marice di correlazioe degli simaori dei parameri di regressioe Nelle applicazioi, pioso della marice di dispersioe (.6.8, è più ile cosiderare la marice delle correlazioi di b, che idica come gli simaori dei parameri di regressioe siao correlai ra di loro. Qeso perché le covariaze, così come le variaze, riseoo dell ià di misra delle variabili ed è qidi difficile valare se a covariaza sia rilevae o rascrabile. I coefficiei di correlazioe soo ivece ormalizzai fra e per ci l idividazioe di qelli più elevai (cioè più prossimi i valore assolo all ià è immediaa. Tale marice è daa dalla Corr ( b σ D Cov( b D σ σ D [ σ ( ] D σ D [( ] D (.9. dove D è la marice diagoale i ci elemei olli a ii soo le radici qadrae arimeiche degli elemei diagoali di ( -. Esempio.9 - Sppoiamo che sia, co k, per ci Cov( b σ ( a σd σ a σ a a a a Poiché l iversa di a marice diagoale A è a marice che ha per elemei diagoali gli iversi degli elemei diagoali di A, si ha Corr( b σ / a / a σ a a a a / a / a σ / a / a a a / a a a / a a / a a a / a a (.9. marice che coiee, al di fori della diagoale pricipale, i coefficiei di correlazioe ra le coppie di simaori dei miimi qadrai dei parameri b. -37
Modlo II Miimi qadrai Osservazioe. - Il coefficiee di correlazioe lieare ra le de variabili aleaorie β e β è dao da Cov( β, β ρ ( β, β a / / / aa (.9.3 [ Var( β [ Var( β] σ a σ a] σ a che si rirova ei de elemei della (.9. fori della diagoale pricipale, gali poiché la marice di dispersioe è simmerica. Si oi, alresì, come la srra del coefficiee di correlazioe (.9.3 sia simile a qella della marice di correlazioe (.9., co la marice delle variaze e delle covariaze divisa per le radici qadrae arimeiche delle variaze degli simaori dei parameri dispose lgo la diagoale della marice σd. Osservazioe. - Geeralizzado il caso defiio dalla (.9.3 si oiee che il coefficiee di correlazioe ra de simaori β i e β j è dao dall elemeo a ij della marice ( - diviso per il prodoo a ii a jj dei de elemei diagoali di poso i e j della marice D, come ache idicao ella (.9.. I geerale, se la correlazioe fra β i e β j è elevaa ciò sigifica che a scosamei di β i dalla propria media β i sarao associai scosamei (posiivi o egaivi, a secoda del sego di ρ(β i, β j di β j dalla propria media β j. Dao che, come abbiamo appea ricordao, le medie delle sime dei parameri coicidoo co i valori veri degli sessi (per la proprieà di o disorsioe, correlazioi elevae implicao che errori ella sima di paramero ederao ad essere associai a errori ella sima degli alri parameri. I qeso seso qidi l icorrelazioe delle sime coribisce alla robsezza del modello, poiché garaisce che errori accideali compii ella sima di o dei β i o si propaghio alle sime degli alri coefficiei. -38
Modlo II Miimi qadrai. La sima dei miimi qadrai di a fzioe delle imporazioi Simiamo co il crierio dei miimi qadrai ordiari la segee fzioe delle imporazioi per l Ialia dove l β + β l + β 3 l + β 4 l 3 + β 5 l 4 + (.. imporazioi di bei e servizi, cosmi fiali ieri delle famiglie + cosmi colleivi, ivesimei fissi lordi + esporazioi di bei e servizi + variazioi delle score, 3 deflaore implicio delle imporazioi, 4 deflaore implicio del prodoo iero lordo per ci β >, β 3 >, β 4 <, β 5 >. 4 35 3 5 5 La fzioe delle imporazioi Ialia 97-989 97: 973: 976: 979: 98: 985: 988: 9 8 7 6 5 4 3 Figra.3 La fzioe delle imporazioi i Ialia, dai rimesrali grezzi a prezzi 98 sl campioe 97:-989:4; soo le imporazioi di bei e servizi (scala di siisra, è la somma dei cosmi fiali ieri delle famiglie e colleivi (scala di desra e è la somma di ivesimei fissi lordi, esporazioi di bei e servizi e variazioi delle score (scala di desra; si veda la (... La (.. differisce dalle fzioi sadard delle imporazioi i qao: (i cosidera separaamee de compoei della domada aggregaa, e -39
Modlo II Miimi qadrai (ii cosidera separaamee i prezzi dei bei imporai e di qelli prodoi ieramee, cioè o impoe l ipoesi che la domada di bei imporai dipeda dal loro prezzo relaivo. La prima caraerisica è moivaa dal fao che si pò ipoizzare che la domada di bei imporai reagisca co diverse elasicià alla domada per cosmi e a qella per ivesimei. La secoda è moivaa dal fao che iserire ella fzioe di domada i prezzi relaivi sigifica di fao imporre vicolo si parameri dell eqazioe. Vedremo più avai, el corso di qeso capiolo, come pò essere formlao qeso vicolo, mere el prossimo capiolo sdieremo i meodi saisici che permeoo di verificare se esso sia o meo respio dai dai campioari..6 Valori sorici e simai delle imporazioi Ialia 97-989.4. 9.8 9.6 9.4 97. 973. 976. 979. 98. 985. 988. sime Figra.4 I valori sorici delle imporazioi e qelli simai co l eqazioe (... Per simare la (.. ilizziamo dai rimesrali el periodo campioario che va dal primo rimesre del 97 al qaro del 989 (97: 989:4, grezzi (cioè o deprai delle sagioalià, a prezzi 98 e di foe ISTAT (989. Le serie, e soo rappreseae ella figra.3. 4 Si vede facilmee come la serie dei cosmi abbia adameo più livellao di qelle delle alre compoei del prodoo. È qeso fao silizzao che abbiamo già icorao el capiolo I- (si vedao ad esempio le figre I-. e I-.4 e i relaivi commei e che 4 Le serie soriche impiegae i qeso esempio possoo essere scaricae dalla home page della Traccia el sio Iere hp://ecoomeria.e. -4