Cotroll Automatc A Cors d laurea treal Igegera Elettroca, Iformatca, Telecomucazo a.a. 200/2002 Docete: Prof. Aurelo Pazz Emal: aurelo@ce.upr.t http://www.ce.upr.t/people/pazz/ Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003
5. Il luogo delle radc 5.2 Propretà del luogo delle radc 5.3 Esemp d luogh delle radc 5.4 Il cotoro delle radc 5.5 Complemet Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 2
5. Il luogo delle radc 5. Il Metodo del Luogo delle Radc Il progetto d u sstema retroazoe rchede la coosceza de pol retroazoat e delle varazo d quest al varare de pù mportat parametr d progetto: fra quest c è la costate d trasfermeto K del guadago d aello L(s). () = ( s z ) ( s z ) ( ) ( ) m Ls K s p s p Equazoe caratterstca del sstema retroazoe: + KG( s) = 0 zs () G(): s = : = ps () m = = ( s z ) ( s p ) Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 3
Defzoe: Luogo delle radc (dretto) è l luogo geometrco descrtto dalle radc dell eq. + K G (s) = 0 al varare d K da 0 a +. Luogo delle radc (verso) è l luogo geometrco descrtto dalle radc dell eq. + K G (s) = 0 al varare d K da 0 a. Se K > 0 allora: arg G( s) = π mod 2π + ( ) = 0 G() s = K Se K < 0 allora: arg G( s) = 0 mod 2π + ( ) = 0 G() s = K { KG s } { KG s } Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 4
Esempo: τ > 0, K (0, + ) K eq. car.: + = 0 s( + τ s) K + = 0 τ s s+ τ K K =, G( s) = τ s s+ τ K s ( +τ s) s ρ arg = π mod 2π s s+ τ jϕ s = ρe s + = ρ2e τ jϕ 2 ϕ + ϕ = π 2 ϕ 2 ϕ Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 5
5.2 Propretà del luogo delle radc Propretà : Il luogo ha tat ram quat soo pol d G (s). Og ramo parte da u polo d G (s) e terma uo zero d G (s) o u puto all fto. I ram s tersecao corrspodeza delle radc multple. Dm.: (s rcorda che m ) +K G ( s) = 0 p(s)+k z( s) = 0 (eq. polomale d grado ) K 0 G ( s) + s p, =, K + G ( s) 0 s z, =, m oppure s + Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 6
Propretà 2: Il luogo delle radc è smmetrco rspetto all asse reale. Dm.: Le radc complesse d u'eq. polomale a coeffcet real s presetao a coppe cougate. Propretà 3: Nel luogo delle radc dretto (K > 0) u puto dell asse reale fa parte del luogo se s lasca alla sua destra u umero totale dspar d zer e pol d G (s). Nel luogo delle radc verso (K < 0) u puto dell asse reale fa parte del luogo se s lasca alla sua destra u umero totale par d zer e pol d G (s). Esempo: Luogo dretto Luogo verso Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 7
Dm. P. 3 (ceo): Per l luogo dretto la propretà dscede faclmete dalla codzoe arg G (s) = π mod 2 π ; aalogamete per l luogo verso Def.: Agol d parteza e d arrvo el luogo tagete al luogo tagete al luogo agolo d arrvo su z agolo d parteza da p z p Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 8
Propretà 4: Nel luogo delle radc dretto (K > 0) l agolo d parteza da u polo p semplce è dato dalla relazoe: { } m agolo d p. da p = π + arg( p z ) arg( p p ) j j j= j l agolo d arrvo sullo zero z semplce è dato da { } agolo d a. su z = π + arg( z p ) arg( z z ) Se l luogo delle radc è verso (K < 0) elle relazo s sosttusce 0 a π. j j j= j Dm. (ceo): Determazoe dell'agolo d p. da ( ϕ ) jϕ S mpoe l cambo d varable s = p + ρe, ρ 0 + Qud s valuta al lmte la la relazoe arg G ( s) = π mod 2 π... p Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 9
Nota sulla Propretà 4 [luogo dretto] Se l polo p è multplo co molteplctà h > gl h agol d parteza φ da p s determao co la relazoe: m hϕ = π + arg( p z ) arg( p p ) mod 2π j j j= j Se lo zero z è multplo co molteplctà h > gl h agol d arrvo ψ su z s determao co la relazoe: hψ = π + arg( z p ) arg( z z ) mod 2π j j j= j Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 0
Propretà 5: Ua radce del luogo d molteplctà h corrspode a u puto comue ad h ram cu oltre all eq. + K G (s) = 0 soo soddsfatte le relazo D G (s) = 0, =,,h. Dm.: ( ) D + KG ( s) = 0, =,, h DG ( s) = 0, =,, h QED Ua radce doppa del luogo soddsfa l eq.: m = s p s z = = 0 Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003
Propretà 6: I corrspodeza d ua radce d molteplctà h l luogo preseta h ram etrat ed h ram uscet, alterat fra loro, le cu taget suddvdoo lo spazo crcostate settor ugual d π/h radat. Esemp: Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 2
ram partao da pol d G (s), d quest m termao sugl zer d G (s), rmaet m dvergoo all fto adagados ad astot rettle. Propretà 7: Gl astot del luogo delle radc formao ua stella d ragg co cetro el puto dell asse reale d ascssa m σ a = p z ( m) = = Se l luogo è dretto (K > 0) gl astot formao co l asse reale gl agol: ( ) ( ) ϑa, ν = 2ν + π m, ν = 0,,, m. Se l luogo è verso (K < 0) gl astot formao co l asse reale gl agol: ϑa, ν = 2 νπ ( m), ν = 0,,, m. Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 3
Astot del luogo dretto (K > 0) ( ) ρ : = m orde relatvo d G ( s) ρ = σ a 45 ρ = 4 σ a ρ = 2 σ a ρ = 3 σ a 60 ρ = 5 σ a 36 Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 4
Astot del luogo verso (K < 0) ( ) ρ : = m orde relatvo d G ( s) ρ = σ a ρ = 4 σ a ρ = 2 σ a 20 72 ρ = 3 σ a ρ = 5 σ a Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 5
5.3 Esemp d luogh delle radc Luogh (drett) del prmo orde Luogh (drett) del secodo orde Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 6
Luogh (drett) del secodo orde R R d R = dd 2 d 2 Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 7
5.4 Il cotoro delle radc 5. Il Metodo del Luogo delle Radc É u luogo delle radc (dell eq. carat.) per varazo d u parametro dverso dalla costate d trasfermeto del guadago d aello. Questa tecca è applcable quado l eq. caratterstca +L(s;p) = 0 co p parametro varate è rcoducble all eq. carat. stadard + K G (s) = 0 co K = K (p) fuzoe buvoca d p. Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 8
Cotoro delle radc per varazoe d u polo Rs () Ls ( ; τ ) =, Rs ( ) fuzoe razoale + τ s Rs () + Ls ( ; τ) = 0 + = 0 + τs+ Rs ( ) = 0 + τ s s + τ = 0 + Rs ( ) s Ls ( ; τ ) bpropra Rs ( ) mpropra bpropra + Rs ( ) s Ls ( ; τ ) stret. propra Rs ( ) propra mpropra + Rs ( ) Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 9
Esempo: K Ls (; τ ) = s( + τ s) K per τ = 0 + = 0 s K per τ > 0 + = 0 s( + τ s) 2 s s K + τ + = 0 2 s + τ = 0 s+ K Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 20
Cotoro delle radc per varazoe d uo zero ( τ ) Ls ( ; τ) = Rs ( ) + s, Rs ( ) fuzoe razoale ( ) + Ls ( ; τ) = 0 + Rs ( ) + τs = 0 + Rs ( )+ τsrs ( ) = 0 sr() s + τ = 0 + Rs ( ) sr() s Ls ( ; τ ) propra Rs ( ) stret. propra propra + Rs ( ) Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 2
L eq. caratterstca +L(s;p) = 0 è rcoducble alla forma stadard quado trasformata equazoe polomale suo coeffcet soo fuzo aff del parametro p. Esempo: s+ 5p + = 0 p s s ( + 3p) 2 s ps s p + 3 + + 5 = 0 ( 3s+ 5) p + = 0 2 s + s 5 s + + 3p 3 = 0 s s ( + ) + Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 22
5.5 Complemet 5. Il Metodo del Luogo delle Radc Teorema del barcetro del luogo delle radc m ( s z ) = + K = 0 + KG ( s; z,, zm ) = 0 ( s p ) = { pc pc2 pc} p p ( K ; z,, z ),,, sao le radc dell'eq. carat. C C m Se l guadago d aello ha orde relatvo ρ 2 vale la relazoe: p = p K e z, =,, m. C = = Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 23
Dm.: (s rcorda che ρ = m ) ( s z ) ( s z ) m + K = 0 ( s p ) ( s p m) β s + β s + 0 se ρ > 2 + K = 0 = se ρ = 2 2 2 β 2 s ps + = s p s s + + = = + = p p = 0 eq. carat. polomale ( )( ) ( ) s + = s pc s pc2 s pc = = p C QED Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 24
Sesbltà delle radc a varazo d K Sa s ua radce del luogo: S S K K : ds s = = = dk s dk dk s K K ds K K dk s = dove K( s) = () s ds G () s ds Propretà: Se s è ua radce multpla del luogo allora S =. s dg () s dk () s ds = ds = Dm.: Se è ua radce multpla 0 0. K Cosegueza: può o essere opportuo assegare (progettare) u valore d K corrspodete ad ua sesbltà fta Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 25
Grado d stabltà 5. Il Metodo del Luogo delle Radc Sa dato u sstema Σ astotcamete stable ( Re p < 0, =,.., ; dove p soo pol d Σ ): Def.: S defsce grado d stabltà d Σ (el pao complesso) { } G : = max Re p,re p,,rep S 2 È la dstaza mma de pol d Σ dall asse mmagaro (ovvero dal pao stable ). Nell potes che fra pol d Σ essta ua coppa domate vale approssmatvamete: 3 Ta G S Cotroll Automatc A Prof. Aurelo Pazz maggo 2003 26