Seminario didattico Lezione 8: Campo Magnetico Forze magnetiche
Esercizio n 1 Nel circuito in figura scorre una corrente I = 10 A. I raggi delle semicirconferenze sono r 1 = 8 cm ed r 2 = 12 cm. Determinare il campo B nel centro del circuito. O DATI: I=10 A R 1 =8 cm R 2 = 12 cm B(O) =? 2
Svolgimento esercizio 1 (1) Suddividiamo il circuito nelle 4 parti indicate in figura, il campo magnetico totale sarà la somma dei vari contributi: 2 Per un tratto infinitesimo lungo le parti 3 e 4 il contributo infinitesimo del campo magnetico risulta: 4 O 1 dl 2 3 O dl 4 r r dl 3 d B 3/0 = 0i d l 3/ 4 u r r 2 =0 z 4 u r2 O dl 1 u r1 3 Il prodotto vettoriale è nullo poiché i due vettori sono paralleli. Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 2 il contributo infinitesimo del campo magnetico risulta: d B 1/2 0 = 0 i d l 1/2 u r1/ 2 = 0i 2 r 1/2 dl 1/2 u z 2 r 1/2 3
Svolgimento esercizio 1 (2) Sia per il tratto 1 che per il tratto 3 il campo magnetico è uscente dal piano del disegno. La lunghezza infinitesima dell'arco di circonferenza è : dl=r d Pertanto il campo magnetico generato da un tratto infinitesimo di filo lungo le due circonferenze risulta: d B 1 O = 0i d r 1 u z d B 2 O = 0i d r 2 Per ottenere il campo magnetico totale in O è necessario integrare sull'angolo θ: u z d B O = 0 i u z 0 d r 2 2 d r 1 = 0 i u z 1 1 r 2 r = u z6.54 10 5 T 1 4
Esercizio n 2 Tre conduttori rettilinei paralleli e indefiniti, percorsi da una corrente I = 10 A passano per i vertici di un triangolo equilatero ABC di lato L =10 3 cm e sono perpendicolari al piano del triangolo. In B e C la corrente ha un verso entrante nel piano della figura, in A verso uscente. Determinare modulo direzione e verso del campo magnetico risultante nel centro del triangolo. DATI: I=10 A L =10 3 cm B(O) =? 5
Svolgimento esercizio 2 (1) Il campo magnetico risultante in O sarà la somma vettoriale dei tre contributi di campo magnetico dovuti ai tre fili (A, B,C). I vettori dei tre campi magnetici avranno la direzione ed il verso indicato in figura che è ottenuto dalla legge di Biot-Savart. I moduli dei tre vettori saranno uguali, poiché è identica la corrente che vi scorre e la distanza di ciascun filo al punto O, che è pari a: y cos 30 d= l 2 d= l 2cos 30 = l =10 cm 3 B C Ciascun campo magnetico risulta: 60 B A B O = 0 I 2 d u t u r B B 6
Svolgimento esercizio 2 (2) I campi magnetici totale in O scomposti lungo gli assi e y risultano: B A O = 0 I 2 d u B B O = 0 I 2 d u cos 360 60 u y sin 360 60 y B C O = 0 I 2 d u cos 60 u y sin 60 60 B C B A Il campo totale lungo l'asse y è nullo poiché le componenti dovute ai fili B e C sono uguali in modulo ed opposte. Il campo totale lungo risulta: B B B TOT O = 0 I 2 d u cos 60 cos 60 1 = 0 I d u = u 4.10 5 T 7
Esercizio n 2 n 3 Un filo conduttore vincolato in posizione orizzontale è percorso da una corrente I = 10 A. Un secondo filo conduttore, parallelo al primo, percorso dalla stessa corrente nello stesso verso, è posto inferiormente al primo, libero di muoversi. Determinare il valore della distanza d perché il filo inferiore sia in posizione di equilibrio, se la sua densità di massa per unità di lunghezza è λ M = 1 g/m. (Si considerino fili di lunghezza infinita). I I d DATI: I=10 A λ M = 1 g/m d =? 8
Svolgimento esercizio 3 (1) Affinchè il secondo filo sia in equilibrio la forza magnetica esercitata su di esso dal primo filo deve essere uguale ed opposta alla forza di gravità. y 1 2 I I df 12 d Il campo magnetico generato dal primo filo ad una distanza d risulta dalla legge di Biot-Savart: u r u t B d = 0 I 2 d u t u r B dp La forza esercitata dal primo filo su un tratto infinitesimo dl 2 del secondo risulta: df 12 =I 2 dl 2 u t B= 0 I 2 dl 2 2 d u y Dove è stato sostituito I 2 =I e il versore u y segue la direzione dell'asse y indicato in figura La forza peso per un tratto infinitesimo dl 2 del secondo filo risulta: dp= M dl 2 g u y 9
Svolgimento esercizio 3 (2) La risultante delle forze risulta: R= df 12 dp=0 0 I 2 2 d dl 2= M g dl 2 Da cui si ottiene la distanza a cui il secondo filo è in equilibrio: d= 0 I 2 =2.04 mm 2 M g 10
Esercizio n 4 Una spira di lato l = 0.5 m è posta a distanza l da un filo rettilineo percorso da una corrente I = 10 A. Filo e spira giacciono nello stesso piano orizzontale. La spira è percorsa da una corrente I = 2A. Calcolare la forza F, ortogonale al filo, che bisogna applicare alla spira per impedirle di andare verso il filo. I I' I' DATI: I=10 A I'=2 A l = 0.5 m F =? l l 11
Svolgimento esercizio 4 (1) I Il campo magnetico prodotto dal filo è entrante ed ha il seguente valore ad una distanza r: l 1 I' B y 4 2 l I' 3 B r = 0 I 2 r u t u r Calcolo la forza che agisce su ciascuno dei lati della spira: d F 1 =I ' dy 1 B l l F 1 = u l I ' dy B l = u 0 I I ' 2 l d F 2 =I ' d 2 B 2l F 2 = u y l I ' d B = u 0 I I ' y 2 l 2l 1 l d= u y 1) 2) 0 I I ' 2 l ln 2l l 12
3) 4) Svolgimento esercizio 4 (2) d F 3 =I ' dy 3 B 2l d F 4 =I ' d 4 B 2l F 4 = u y l I ' d B = u 0 I I ' y 2 l l l F 3 = u l I ' dy B 2l = u 0 I I ' l 2l 1 u y d= 0 I I ' 2 l ln 2l l I F 1 B F 4 I' 4 1 3 2 I' F 3 F 2 e F 4 hanno lo stesso modulo e verso opposto. La risultante delle forze avrà componente nulla lungo l'asse y. R= F 1 F 2 F 3 F 4 y F 2 R= F 1 F 3 = u 0 I I ' 2 1 1 2 = u 0 I I ' 13
Svolgimento esercizio 4 (3) Affinchè la spira resti ferma è necessario applicare una forza F opposta ed uguale in modulo alla risultante R delle forze dovute al campo magnetico: I R B I' I' F F= R= u 0 I I ' = u 2 10 6 N y 14
Esercizio n 5 Il filo conduttore di figura piegato ad U ha la distanza tra i fili 2a= 2cm ed è percorso dalla corrente i=0.5 A. Calcolare: a) il campo magnetico B C nel punto C e b) il campo magnetico B D in un punto D, molto lontano dal tratto di filo curvo, di cui si trascura l'effetto (assumendo che i fili siano infiniti) 2a D i C DATI: i=0.5 A 2a=2 cm B C =? B D =? i 15
Svolgimento esercizio 5 (1) a)il punto C è nel centro del semicerchio che chiude il conduttore ad U, calcoliamo il campo magnetico in C come la sovrapposizione dei campi dovuti alla parte rettilinea e il campo dovuto alla parte circolare. C i i 1 3 2 Il campo magnetico dovuto ad un singolo tratto infinitesimo ds lungo un tratto del filo è: db r = 0i ds r 2 u t u r Il campo magnetico per i due tratti rettilinei infiniti si ottiene in maniera analoga alla dimostrazione della legge di Biot-Savart, secondo la notazione in figura il campo infinitesimo è: ds u t θ a r u r C db r = 0i ds r 2 sen = 0i a d cos Integrando per cos(θ) che va da -1 a 0 ovvero θ da π a π/2 si ottiene la metà rispetto al valore della legge di Biot-Savart: B C 1/3 = 0i a u t u r = 0i a u 16
Svolgimento esercizio 5 (2) Il campo magnetico dovuto alla parte semicircolare del circuito risulta: dbc2 a = 0i ds a u B 2 C2 a = 0i a u a 2 = 0i 4 a u i 1 2 Dove si è sostituita la lunghezza della semi circonferenza pari a πa. Il Campo totale in C risulta: C 1 i 3 B C = B C1 B C3 B C2 = 0 i a 0i a 0i u 4 a B C = 0i 4 a 2 1 u =26 T 17
Svolgimento esercizio 5 (3) b) Il campo magnetico nel punto D molto lontano dalla parte curva risulta pari alla somma dei campi magnetici generati da due fili paralleli, infiniti e percorsi da corrente nel verso opposto. Ciascuno si otterrà dalla legge di Biot-Savart, per cui si ha: B D = B D1 B D2 = 0 i 2 a 0i u 2 a t u r = 0i a u = u 20 T i 1 D i 2 L'esercizio 7.12 del Mazzoldi prevede che il punto D sia all'estremo infinito dei fili e pertanto somma il campo generato da due semi fili paralleli. Il risultato è la metà di quello trovato qui. 18
Esercizio n 4 La corrente che percorre il tratto di filo conduttore di figura è I = 5 A. Calcolare il campo magnetico B P nel punto P. l= 2 cm P 1 cm DATI: I=5 A l = 2 cm B P =? 19
Svolgimento esercizio 6 (1) Per valutare il campo magnetico in P è necessario suddividere il conduttore in parti come indicato in figura. l= 2 cm Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 5 il contributo infinitesimo del campo risulta: 1 2 3 4 P 5 1 cm dl 1 r O r dl 5 d B 1/5 P = 0i d l 1/5 u r r 2 =0 Il prodotto vettoriale è sempre nullo poiché i vettori sono paralleli. Gli unici contributi non nulli si hanno dalle parti di lunghezza finita del conduttore (2/3/4). Il campo magnetico generato da un elemento infinitesimo di lunghezza dl del cavo (2/3/4) possiamo riscriverlo come : d B P = 0i dl u r r 2 = 0i dl u sen r 2 = 0i d cos u l 2 20
Svolgimento esercizio 6 (2) Il campo magnetico generato dal tratto 2 si ottiene integrando il campo magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero integrando tra θ= 90 e θ = θ 2 dl 2 θ 2 l/2 dl 2 u r 90 r ma u r l/2 B 2 P = 0 cos 2 0 i P d cos u l/2 Poiché si ha: = 0i cos 2 u l /2 l 2 =r ma cos 2 = l2 l 2 4 cos 2 cos 2 = cos 2 = 1 2 Il campo magnetico generato dal tratto 2 del conduttore (ed in maniera identica dal tratto 4) risulta: B 2/P = 0i 2 u l/2 21
Svolgimento esercizio 6 (3) Il campo magnetico generato dal tratto 3 si ottiene integrando il campo magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero integrando tra θ= π - θ 3 e θ = θ 3 dl 3 u r π θ 3 l/2 P cos 3 l/2 B 3 P = cos 3 u r r ma 0 i 4 dl 3 θ 3 l 2 =r ma cos 3 = l2 l2 4 cos 3 cos 3 =cos 2 = cos 3 = 1 2 d cos u = 0i l/2 2cos 3 u l/2 = 0 i2 4 2 u l /2 Il campo magnetico totale risulta: B P = B 2 P B P B 3 P B P =2 0 i 2 u l/2 0 i 2 2 u l /2 = 0 i 2 u l /2 = u 1.41T 22