Lezione 6. Assegnamento degli autovalori mediante retroazione dello stato F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6
Schema della lezione. ntroduzione 2. Assegnamento degli autovalori con stato accessibile 3. Ricostruzione dello stato 4. Assegnamento degli autovalori con stato non accessibile 5. l problema dell inseguimento 6. Matlab F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 2
. ntroduzione Con riferimento ai sistemi lineari, i problemi di controllo possono essere ricondotti a due classi fondamentali: Problemi di regolazione l sistema ha condizione iniziale dello stato non nulla e si intende riportare lo stato al valore zero con una velocità di convergenza assegnata (controllo del solo moto libero, non c è ingresso). Problemi di inseguimento (tracing) Si richiede che l uscita del sistema approssimi ( insegua ), secondo criteri assegnati, un andamento di riferimento (controllo del moto forzato). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 3
n questa lezione ci si propone di progettare una legge di controllo che sia funzione lineare e statica dello stato e che risolva (quando possibile) il problema della regolazione con velocità di convergenza assegnata, cioè consenta di posizionare a piacere gli autovalori del sistema in anello chiuso. Ciò consentirà di modificare a piacere durata e forma dei transitori del sistema di partenza ed anche di stabilizzare sistemi instabili (sotto opportune ipotesi di raggiungibilità ed osservabilità). Tale problema verrà affrontato nei seguenti due casi: nformazione completa Lo stato del sistema è direttamente accessibile (misurabile). nformazione parziale Lo stato del sistema non è direttamente accessibile ma può essere ricostruito a partire dalle misure dell ingresso e dell uscita. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 4
2. Assegnamento degli autovalori con stato accessibile Si consideri un sistema SSO strettamente proprio, completamente raggiungibile descritto dalle equazioni A Bu C y Si può dimostrare che utilizzando la legge di controllo u K w dove w indica un (eventuale) ingresso ausiliario, è possibile assegnare gli autovalori del sistema in anello chiuso nelle posizioni desiderate. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 5
l sistema complessivo in anello chiuso può essere rappresentato mediante il seguente schema w + u y Note K Plant L ipotesi che il sistema sia strettamente proprio è di natura puramente tecnica e non lede la generalità. Trattandosi di un problema di regolazione, in moli testi non viene riportato l ingresso ausiliario. L ipotesi di completa raggiungibilità può essere rimossa, avendo cura di applicare questo metodo alla sola parte raggiungibile del sistema, purchè la parte non raggiungibile sia asintoticamente stabile. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 6
Procedimento per la determinazione di K Sostituendo la legge di controllo nell equazione di stato del sistema si ottiene: A Bu A B K w Cioè: A BK Bw Questa è l equazione di stato del sistema in anello chiuso. La sua matrice di stato è A BK. A cl l problema diventa quindi il seguente: Trovare K in modo che la matrice A BK abbia autovalori in posizione assegnata o i i,, n F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 7
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 8 Si supponga che il sistema sia in forma canonica di raggiungibilità. 2 n A B K ha dimensioni n, quindi: n K 2 2 n n cl BK A A Quindi:
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 9 2 2 n n cl BK A A Da cui, infine: Si osservi che A cl è una matrice di stato in forma canonica di raggiungibilità. coefficienti del suo polinomio caratteristico (a meno del segno) sono visibili nell ultima riga. Quindi, il polinomio caratteristico in anello chiuso è: 2 2 2 n n n n A cl Dal momento che sono noti i valori desiderati per gli autovalori del sistema in anello chiuso è possibile calcolare il polinomio caratteristico desiderato in anello chiuso: 2 2 p p p p n n n n i o i o A cl
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 Si può quindi facilmente trovare una soluzione al problema risolvendo il seguente sistema di n equazioni in n incognite. 2 2 2 p p p p n n n da cui si ottiene:,, per n i p i i i dove sono i coefficienti del polinomio caratteristico desiderato e i coefficienti del polinomio caratteristico del sistema da controllare.,, i n i p,, n i i
Se il sistema non fosse in forma canonica di raggiungibilità può essere messo in tale forma mediante un cambiamento di variabili di stato dove T ~ r M r M ~ T l problema può quindi essere risolto come precedentemente descritto trovando una soluzione K ~. La legge di controllo in questo caso sarà: ~ u K ~ w cioè u K T w ~ La soluzione del problema per il sistema che originalmente non era in forma canonica è quindi K K ~ T F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6
Nota Frequentemente si usa la seguente rappresentazione grafica per il problema dell assegnamento degli autovalori in retroazione. w + u B + + (+) z () C y A K Sistema Controllore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 2
Oppure la seguente, nel caso di assenza di un segnale esogeno nella legge di controllo. u B + + (+) () y C z A K Alternativamente, in caso di presenza di un segnale esogeno w B + + (+) z () C y A-BK F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 3
Procedimento. Verifico che la coppia ( A, B) sia raggiungibile. 2. Metto il sistema in forma canonica. Non mi serve tutta la forma ~ canonica ma solo le matrici ( A, B ~ ). 3. Calcolo il polinomio caratteristico o A cl desiderato in anello chiuso. 4. Risolvo il problema nello spazio di stato della forma canonica. Ottengo K ~. 5. Calcolo la trasformazione T ~ M r M r che lega le variabili di stato della forma canonica e quelle del sistema originario. 6. Calcolo la soluzione finale K K ~ T. 7. Verifico che A BK abbia gli autovalori desiderati. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 4
Esempio Si consideri il sistema descritto dalle seguenti matrici 2 A 2 B 2 C D Utilizzando la legge di controllo u K autovalori in anello chiuso in.,. 5 assegnare gli Note Si osservi che il sistema è completamente raggiungibile. Si verifichi che il sistema di partenza è instabile. l controllore che sarà progettato risolve quindi il problema della stabilizzazione. Si noti che la legge di controllo, in questo specifico esempio, non presenta alcun ingresso ausiliario. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 5
. Si scriva la forma canonica di raggiungibilità per il sistema. G z Cz A B D 4z z 2 2 z ~ A ~ B ~ C 2 ~ D 4 2. Si scriva il polinomio caratteristico desiderato in anello chiuso. 2 o p.6 ~..5.6. 5 A cl p.5 3. Si calcoli la soluzione nello spazio di stato della forma canonica. ~.6 ~ ~ K.5.4.5 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 6
4. Si calcoli la trasformazione per il cambiamento di variabili di stato dallo spazio originario a quello della forma canonica. ~ M r M r 2 2 ~ ~ ~ B AB T 6 B AB 4 ~ r M r M T 2 2 6 2 4 5. Si calcoli la legge di controllo da usare ~ 2 2 K K T 2 6 4 4 6. Verifica (calcolare gli autovalori di A BK) 2 2 9 3 A BK 2 4 4 2 29.5.4 9 2 9..5 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 7
Simulazione () 4 3 2-2 -2 2 () -3 2 3 4 5 6 7 8 9 indice temporale F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 8
3. Ricostruzione dello stato l problema precedente si può risolvere anche nel caso in cui lo stato non sia direttamente misurabile, ma possa essere ricostruito a partire dalle misure dell ingresso e dell uscita. Nel contesto di queste lezioni (completamente deterministico) si parla di ricostruzione asintotica dello stato. n contesto stocastico, invece, lo stato viene stimato mediante il Filtro di Kalman. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 9
Si consideri un sistema SSO strettamente proprio, completamente osservabile descritto dalle equazioni A Bu C y Si può verificare che è possibile definire un sistema dinamico il cui stato tende asintoticamente allo stato del sistema originario qualunque sia la condizione iniziale dello stato. Tale sistema si dice ricostruttore asintotico dello stato e utilizza come ingressi l ingresso u() e l uscita y() del sistema originario. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 2
l problema può essere rappresentato mediante il seguente schema u Plant y Ric ^ Note L ipotesi che il sistema sia strettamente proprio è di natura puramente tecnica e non lede la generalità. L ipotesi di completa osservabilità può essere rimossa, avendo cura di applicare questo metodo alla sola parte osservabile, purchè la parte non osservabile sia asintoticamente stabile. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 2
l ricostruttore asintotico dello stato può essere concepito nel seguente modo: Si costruisce una replica del sistema di cui si vuole ricostruire lo stato. La replica ed il sistema originario avranno però differenti condizioni iniziali dello stato, essendo lo stato non noto. Si aggiunge nell equazione di stato della replica un termine che contenga informazione sull errore di ricostruzione dello stato. Dal momento che lo stato non è noto, tale errore può essere costruito sulla base dell uscita. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 22
Plant y Ric L equazione di stato del ricostruttore può essere riscritta come segue: ˆ ˆ yˆ Replica del sistema A Bu C Aˆ Bu Ly yˆ Cˆ Aˆ Bu Ly Cˆ Correzione (che dà informazione sull errore) Quindi Ric ˆ yˆ A LCˆ Bu Ly Cˆ ngressi del ricostruttore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 23
Qual è l errore commesso nel ricostruire lo stato? Si definisca la variabile errore di ricostruzione Qual è la dinamica dell errore? e e e e ˆ ˆ A Bu A LCˆ Bu Ly A Bu A LCˆ Bu LC A LC A LCˆ A LC ˆ e A LCe F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 24
e A LCe Questa è l equazione di stato di un sistema dinamico con variabile di stato l errore e() e con ingresso nullo. Quindi, il movimento dell errore è puro movimento libero. Se tale sistema è as. stabile, ovvero A LC ha tutti autovalori con modulo minore di, qualsiasi sia la condizione iniziale e ˆ, ovvero qualsiasi sia la condizione iniziale dello stato, l errore tende asintoticamente a zero. Le caratteristiche del transitorio dipendono dalla posizione degli autovalori di A LC. l problema è trovare L in modo tale che l errore di ricostruzione dello stato tenda asintoticamente a zero con dinamica assegnata. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 25
Procedimento per la determinazione di L l problema di trovare L in modo tale che A LC abbia autovalori in posizione assegnata è equivalente a trovare L' in modo tale che A' C' L' abbia autovalori nella medesima posizione assegnata. Si consideri il sistema duale A ~ ~ ~, B, C del sistema A, B, C, definito dalle matrici ~ ~ ~ A A' B C' C B' ~ Definendo K L', il problema può, infine, essere posto nella seguente forma: ~ ~ ~ Trovare K ~ in modo che A BK abbia autovalori in posizione assegnata. Questo è esattamente il problema dell assegnamento degli autovalori in anello chiuso già visto precedentemente. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 26
Nota Frequentemente si usa la seguente rappresentazione grafica per descrivere il problema della ricostruzione dello stato. u B + + (+) z () C Sistema y u B A L + ^ (+) ^ ^ () y C + + z A + _ Ricostruttore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 27
Esempio Si consideri il sistema descritto dalle seguenti matrici A.2 4.8 B C 2 D Realizzare il ricostruttore asintotico dello stato in modo tale che la dinamica dell errore abbia autovalori in.. 4 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 28
. Risolvere il problema della regolazione a zero dello stato per il sistema duale. ~ A.2 4.8 ~ 2 B ~ C ~ D. Si scriva la forma canonica di raggiungibilità per il sistema. ~ G ~ ~ z Cz A ~ B ~ D z 2 3z 2.2 z.6.6 ~ A.6 ~ B ~ C 2.2 ~ D 3 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 29
.2 Si scriva il polinomio caratteristico desiderato in anello chiuso. 2 o p.5 ~..4.5. 4 A cl p.4.3 Si calcoli la soluzione nello spazio di stato della forma canonica. ~.5 ~ K.2.5 6 25 ~.6.4 5.4 Si calcoli la trasformazione per il cambiamento di variabili di stato dallo spazio originario a quello della forma canonica. ~ ~ ~ T M r M ~ ~ B ~ ~ AB ~ ~ AB 5 5 22 ~ ~ B M r M r 4 r ~ T 5 2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 3 4
.5 Si calcoli la legge di controllo da usare ~ ~ ~ 5 K K T 6 25 5 4 2 4 ~ ~ ~.6 Verifica (calcolare gli autovalori di A BK ) ~ ~ ~.2 4 2 3 A BK 72.8 4 4 72 46 2. l ricostruttore dello stato va realizzato usando L ~ K' 4 72 4.. 4 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 3
Simulazione 3 u 2 8sin. 4 25 2 5 ^ 2 5 ^ -5 - -5 2 3 4 5 6 7 8 9 indice temporale F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 32
2 5 5 ^ 2 ^ 2-5 2 3 4 5 6 7 8 9 indice temporale F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 33
e 2 () - e () -2 e e 2-3 -4-5 2 3 4 5 6 7 8 9 indice temporale F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 34
4. Assegnamento degli autovalori con ricostruzione dello stato Si consideri un sistema SSO strettamente proprio, completamente raggiungibile ed osservabile descritto dalle equazioni A Bu y C Si può dimostrare che utilizzando la legge di controllo (in retroazione) u Kˆ w dove w indica un (eventuale) ingresso ausiliario e ˆ indica lo stato ricostruito a partire da ingresso ed uscita, è possibile assegnare gli autovalori del sistema in anello chiuso nelle posizioni desiderate (facendo attenzione ad effettuare richieste compatibili ). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 35
l sistema complessivo in anello chiuso può essere rappresentato mediante il seguente schema w u y Plant + ^ Ric Note L ipotesi che il sistema sia strettamente proprio è di natura puramente tecnica e non lede la generalità. Trattandosi di un problema di regolazione, in moli testi non viene riportato l ingresso ausiliario. L ipotesi di completa raggiungibilità ed osservabilità può essere rimossa, avendo cura di applicare questo metodo alla sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema, purchè le parti non raggiungibili e/o non osservabili siano asintoticamente stabili. K F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 36
Plant Ric ˆ yˆ A Bu C y Aˆ Bu Ly yˆ Cˆ Cont u Kˆ w Sostituendo la legge di controllo nelle equazioni di stato del sistema e del ricostruttore si ha: Plant + Ric ˆ A BKˆ Bw Aˆ BKˆ Bw LCˆ LC F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 37
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 38 Si effettui il seguente cambiamento di variabili di stato: e ˆ ˆ e ˆ T w B B LC BK A LC BK A ˆ ˆ n n n n l sistema in anello chiuso (con ricostruttore dello stato) è descritto dalla seguente equazione di stato (unione delle due precedenti): Tale cambiamento di stato viene effettuato mediante la seguente trasformazione nfatti T ha dimensioni 2n 2n
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 39 LC A BK BK A LC BK A LC BK A T TA A cl cl ~ ~ B B B TB B cl cl w B e LC A BK BK A e l sistema in anello chiuso con ricostruttore dello stato è quindi descritto dalla seguente equazione di stato: Matrice di stato del sistema + controllore Matrice di stato del ricostruttore
Nota Sistema w + u B + + (+) z () C y u B A L + ^ ^ (+) ^ y () C + + z A + _ K Ricostruttore Controllore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 4
Nota 2 Utilizzando la seconda formulazione si può dare la seguente rappresentazione. w (+) B () + + + Sistema + Controllore z C y A BK K e(+) z e() A LC Ricostruttore F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 4
Nota 3 Lo schema del lucido precedente mostra chiaramente il cosiddetto principio di separazione: nel problema di assegnamento degli autovalori in anello chiuso con stato ricostruito è possibile progettare il controllore come se lo stato fosse noto e il ricostruttore come se il sistema fosse in anello aperto. Nota 4 Vi sono dei vincoli (ovvi e ragionevoli) sulle velocità relative di ricostruttore e controllore: il primo deve essere più veloce del secondo e quindi non tutte le posizioni degli autovalori di A LC e di A BK che si desidera assegnare sono sensate. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 42
Nota 5 l controllore che si ottiene è costituito dall unione del ricostruttore dinamico dello stato (di ordine n) e dall azione di controllo algebrica nello stato stimato. E facile mostrare che tale controllore è un regolatore dinamico in retroazione, con ingresso l uscita del processo ed uscita l ingresso del processo. nfatti: ˆ Aˆ Bu Ly yˆ Ric yˆ Cˆ Cont u Kˆ Eliminando l azione di controllo e la trasformazione di uscita si ottiene ˆ u Aˆ BKˆ Ly Cˆ Kˆ F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 43
nfine: ˆ u A BK LCˆ Ly Kˆ Questo è un sistema dinamico con ingresso y(), uscita u() e stato ˆ. La sua funzione di trasferimento è R z Kz A BK LC L u Plant y R(z) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 44
Esempio (solo simulazione) Si consideri il sistema descritto dalle seguenti matrici A.8. B C D Risolvere il problema dell assegnamento degli autovalori in anello chiuso in.9. 8 utilizzando un ricostruttore asintotico dello stato con dinamica dell errore con autovalori in.. 2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 45
Per il principio di separazione si può realizzare il ricostruttore dello stato ignorando il problema della regolazione:.47 L.792 Per lo stesso motivo si può progettare il regolatore come se lo stato fosse noto: K.677.92 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 46
e () 5-5 - e -5 e 2 () -2 e 2-25 -3 2 3 4 5 6 7 indice temporale l transitorio di ricostruzione dello stato si esaurisce in circa 4-5 passi. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 47
2 2 () 2 () - -2-3 -4-5 5 5 indice temporale l transitorio del sistema controllato si esaurisce in circa 5 passi. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 48
5. l problema dell inseguimento Quando l obiettivo del controllo è l inseguimento di un assegnato segnale di riferimento y () è possibile risolvere il problema sfruttando l ingresso ausiliario w() secondo il seguente schema: y + ε z z w + u K Plant y n questo schema è stata introdotta un azione di controllo integrale che agisce sull errore di inseguimento ε garantendo errore nullo a regime. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 49
l sistema di controllo è quindi costituito da un sistema SSO strettamente proprio, completamente raggiungibile descritto dalle equazioni A Bu y C e dalla legge di controllo con u K w z w z w w F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 5
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 5 Si osservi che l azione integrale descritta dall equazione z z w può essere scritta, mediante introduzione della variabile di stato ausiliaria () nella seguente forma: z z w dove z z
E facile notare che le precedenti equazioni definiscono un sistema dinamico con ingresso ε(), uscita w() e stato () descritto dalle seguenti equazioni: w La legge di controllo diventa quindi: u K K n n F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 52
F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 53 La legge di controllo è sempre una retroazione statica, ma utilizza un vettore di stato aumentato, composto dallo stato del sistema (di ordine n) e dallo stato dell integratore (di ordine ). E possibile scrivere l equazione di stato del sistema aumentato unendo le equazioni di stato del sistema e dell integratore. y u B C A y C y y Bu A e utilizzare la legge di controllo K u
E un problema di assegnamento degli autovalori in anello chiuso, con eventuale stima dello stato, per un sistema di ordine n+. Plant Cont z y u Aa z Bacu Bar y Caz K z a z n È lo stato aumentato Ka K n E il regolatore A n B n n A a B C ac B ar n Sono le matrici del sistema aumentato C a C n F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 54
Nota Si usa la seguente rappresentazione grafica. Controllore (parte dinamica) Sistema y + ε z z w + u B + + (+) z () C y A K Controllore (parte statica) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 55
Nota 2 Si può usare anche la seguente rappresentazione grafica per il problema considerato (a meno dell eventuale ricostruzione dello stato). y u B ar + B ac + + z(+) z z() C a y A a K a F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 56
6. Matlab comandi >> K=place(A,B,P) >> K=acer(A,B,P) consentono di risolvere il problema dell assegnamento degli autovalori (con due algoritmi diversi). Gli stessi comandi >> L=place(A,C,Ps) >> L=acer(A,C,Ps) consentono di risolvere il problema della ricostruzione dello stato. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 6 57