Esame di Analisi Matematica 18/9/13 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 1/13 A Esercizio 1. Sia C la regione aperta di R compresa tra le circonferenze di centro l origine e raggi 1 e 3. Sia ω una forma differenziale lineare chiusa definita su C. imostrare che ω è esatta se e solo se ω = dove è la circonferenza di centro l origine e raggio. Se ora è la regione aperta di R 3 compresa tra le sfere di centro l origine e raggi 1 e 3 e α una forma differenziale lineare chiusa definita su, qual è una condizione necessaria e sufficiente affinché α sia esatta? Risoluzione motivata: L insieme C del testo è connesso ma non semplicemente connesso. alla teoria si sa che la forma differenziale ω è esatta se e solo se ω = per qualunque curva chiusa β contenuta in C. Quindi in particolare, se ω β è esatta, essendo la curva data nel testo chiusa, si avrà ω =. Viceversa, se supponiamo che questo sia vero, per dimostrare che ω è esatta consideriamo una qualunque curva chiusa β contenuta in C e dimostriamo che ω =. Si β possono presentare due casi: o β circonda il buco di C (cioè il disco x + y 1, oppure non lo circonda. Nel primo caso, la curva β è chiaramente omotopa in C a, e dunque, essendo ω chiusa, β ω = ω =. Nel secondo caso, β è omotopa a un punto in C, e quindi, sempre per la chiusura di ω, β ω =. L insieme di R 3 del testo è semplicemente connesso, e dunque una forma chiusa α definita su di esso è esatta. 1
Esercizio. Studiare, al variare del parametro α R, continuità, derivabilità e differenziabilità in (, della funzione { cos(xy 3 f(x, y = (x +y se (x, y (,, α se (x, y = (,. cos t Risoluzione motivata: Continuità. Usando il limite notevole lim t t = 1/, si vede che la funzione data è continua se e solo se x y 6 lim (x,y (, (x + y =. α Passando a coordinate polari si ha x y 6 (x + y α = ρ8 4α cos θ sin 6 θ ρ 8 4α, e l ultimo membro tende a zero per 8 4α >, cioè per α <. Inoltre, sempre dall espressione della funzione in coordinate polari, si vede che se α = il limite non esiste, e se α > è infinito. Pertanto la funzione data è continua se e solo se α <. erivabilità. I rapporti incrementali della funzione nell origine sono f(x, f(, x f(, y f(, y = cos( 1 x 4α+1 = x, = cos( 1 y 4α+1 = y, e dunque f x (, = f y (, = per ogni α R. ifferenziabilità. In base alla definizione, e tenendo conto che le derivate parziali della funzione nell origine sono nulle, bisognerà verificare che f(x, y f(, f x (, x f y (, y cos(xy 3 1 lim = lim =, (x,y (, x + y (x,y (, (x + y α+1/ e ragionando come per lo studio della continuità si vede che questo è vero se e solo se α < 7/4.
Esercizio 3. Studiare la natura dei punti critici della funzione g(x, y = (x 4 + 16y 4 + 1 (x + y (x, y R, stabilendo in particolare se eventuali massimi o minimi relativi sono anche assoluti. Risoluzione motivata: Imponendo l annullarsi del gradiente della funzione data, si ottiene il sistema { gx (x, y = 8x 3 (x + y = g y (x, y = 18y 3 4(x + y =. Sottraendo dalla prima equazione la seconda divisa per si ottiene 8x 3 = 64y 3, cioè x = y, che sostituita nella prima equazione dà 3y 3 4y = 4y(8y 1 =, da cui si vede che i punti stazionari della g sono ( ( 1 1 P 1 = (,, P =,, P 3 = 1, 1. L hessiana di g è ( 4x H(x, y = 4 4 384y, 8 e pertanto, essendo H invariante per (x, y ( x, y, ( 1 4 H(P = H(P 3 = det H(P 4 4,3 = 384, e quindi P e P 3 sono minimi relativi di g. Si ha poi ( 4 H(P 1 = det H(P 4 8 1 =, per cui H(P 1 è semidefinita e non dà informazioni sulla natura del punto stazionario. Osservando però che g(x, = x 4 x + d dx g(x, x= = 8x 3 d x =, x= dx g(x, x= = 4x =, x= si vede che x g(x, ha un massimo in x =, mentre da g(x, x/ = 4x 4 + segue subito che x g(x, x/ ha un minimo per x =. Pertanto P 1 = (, è un punto di sella per g. Resta da stabilire se i due minimi relativi P, P 3 (per i quali g(p = g(p 3 = 1, sono anche minimi assoluti. A tale scopo calcoliamo lim (x,y g(x, y. Passando a coordinate polari si ha g(x, y = ρ 4 (cos 4 θ + 16 sin 4 θ + 1 ρ (cos θ + sin θ mρ 4 18ρ, avendo indicato con m > il minimo della funzione strettamente positiva θ [, π] cos 4 θ + 16 sin 4 θ + 1, e avendo usato la diseguaglianza ovvia (cos θ + sin θ 9. Si ha allora lim (x,y g(x, y lim ρ + mρ 4 18ρ = + e dunque P e P 3 sono minimi assoluti per g.
Esercizio 4. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z = ( x( + 3y, y, z z 3 z, (x, y, z R 3, attraverso la superficie = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 3, z 1}. orientata in modo che il versore normale nel punto (,, sia n = (1,,. Risoluzione motivata: Invece che calcolare direttamente l integrale di superficie, conviene utilizzare il teorema della divergenza. A tale scopo osserviamo che la superficie è la parte della sfera x + y + z = 3 compresa tra i piani z = ±1, e non è pertanto una superficie chiusa. Considerato allora l insieme := {(x, y, z R 3 : x + y + z 3, z 1}, cioè la parte della palla x + y + z 3 compresa tra i piani z = ±1, si ha che = +, dove ± := {(x, y, z R 3 : x + y + z 3, z = ±1} = {(x, y, z R 3 : x + y, z = ±1}, sono due dischi di raggio sui piani z = ±1. Pertanto dal teorema della divergenza segue div F dxdydz = F n dσ = F n dσ + F n dσ + F n dσ, + cioè F n dσ = div F dxdydz F n dσ F n dσ, + dove l orientamento di ± è definito dalla normale uscente da. Si ha allora div F = x x( + 3y + y y + z (z z 3 z = 5y + z 6z, e l insieme, espresso in coordinate cilindriche, diventa da cui div F dxdydz = = {(ρ, θ, z : θ [, π], z [, 1], ρ 3 z }, π dθ 3 z dz dz (z 6z dρ ρ(5ρ sin θ + z 6z = 3 z dρ ρ ( dz (6z z 3 18z + 6z 4 = [ 6z 3 + 6 5 z5 ] 1 ( + 1 = 48 5 5 π. ( π dz (z 6z (3 z dθ sin θ = dz (6z z 3 = per parità Si ha poi che le normali a ± uscenti da sono rispettivamente n ± = (,, ±1, e pertanto F n + dσ = (z z 3 z z=1 dσ = 3 Area( + = 6π + ± e analogamente F n dσ = π. In definitiva allora il flusso di F attraverso è F n dσ = ( 485 + 6 + 1 π = 3 5 π.
Esercizio 5. Calcolare l integrale complesso dove f(z = z + (1 e4z sin(3z f(zdz e è la circonferenza di centro (, e raggio 1 percorsa in senso antiorario. Risoluzione motivata: Poiché il denominatore della f si annulla per z = kπ/3, k Z, la f ha singolarità isolate nei punti z = ± nπ 3, ±i nπ 3, n N. i questi, soltanto l origine (corrispondente a n = è all interno della curva, e quindi per il teorema dei residui f(zdz i Res f(. Allo scopo di determinare il tipo di singolarità di f in z = e calcolare il residuo osserviamo che si ha, usando gli sviluppi di Taylor del seno e dell esponenziale, z + (1 e 4z sin(3z Poiché allora la funzione z 1+16z+o(z 1+o(z polo di ordine 1 per f e Res f( = 1/3, da cui = z + (4z + o(z 3z + o(z 3 = z + 16z + o(z 3z + o(z 3 = 1 3z 1 + 16z + o(z. 1 + o(z è olomorfa in un intorno di z = e tende a 1 per z, si ha che z = è un f(zdz i 3.