ANAISI ODAE DEI SISTEI INEARI A TEPO CONTINUO Dr. Crisian Scchi ARSconrol ab Univrsià di odna Rggio Emilia Il movimno di un sisma TI & ( A( + Bu( y( C( + Du( Formula di agrang ( A A( τ + Bu( τ dτ A I + A + A n n + + A +! n! Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- Crisian Scchi Pag.
Analisi odal Il rmin A ha un ruolo crucial sia pr la drminazion dl movimno libro ch di qullo forzao obiivo dll analisi modal pr un sisma linar mpo invarian (TI è qullo di scoprir qual è da cosa dipnd l andamno dl rmin A, Un analisi accuraa dlla sruura di al rmin pora una conoscnza profonda dll dinamich inrinsch dl sisma di com ali dinamich si combinano nlla risposa libra nlla risposa forzaa Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 3 I modi dl sisma Si considri il sisma auonomo &( A( Il cui sao inizial sia ( Il movimno (libro dl sisma è dao da: A ( funzioni lmnari dl mpo ch compaiono all inrno dlla maric A prndono il nom di modi dl sisma in sam. Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 4 Crisian Scchi Pag.
Forma canonica di Jordan I modi di un sisma possono ssr facilmn vidnziai rami un cambio di bas nllo spazio dgli sai ch rasformi la maric A nlla corrispondn forma canonica di Jordan. Sia A una maric di sao n n di un sisma TI siano λ,, λ h gli auovalori disini di A siano r,, r h l loro rispiv molplicià algbrich. Il polinomio cararisico può cioè ssr dcomposo scrio com: Esis smpr una maric quadraa di dimnsion n non singolar T ch pora la maric A nlla sua forma canonica di Jordan T A T AT Crisian Scchi Analisi odal -- 5 Forma canonica di Jordan a forma canonica di Jordan dlla maric A è: J J A T AT J h ad ogni auovalor disino λ i corrispond un blocco di Jordan di dimnsion r i : dim J ir i i,,h Crisian Scchi Analisi odal -- 6 Crisian Scchi Pag. 3
Forma canonica di Jordan Ogni blocco di Jordan è una maric diagonal a blocchi d è formao da q i miniblocchi di Jordan: ognuno di quali ha dimnsion i ν i,j : Crisian Scchi Analisi odal -- 7 Procdura pr drminar la maric T Si drminano i q i auovori disini associai all auovalor λ i risolvndo: ( λ I A, j, K, q i v i, j i Nl caso in cui si abbia q i <r i è ncssario procdr, pr ogni auovori v i,j, alla drminazion dlla corrispondn cana v i,j (k di auovori gnralizzai k,,ν i,j. Tali can si drminano risolvndo iraivamn al sisma: Crisian Scchi ( ( ( λ ii A v i, j v i, j v i (3 ( ( λii A vi, j vi, j ( ν i, j ( ν i, j ( λ ii A vi, j vi, j (, j Analisi odal -- 8 Crisian Scchi Pag. 4
Procdura pr drminar la maric T a maric T ha com colonn l can di auovori gnralizzai T [ v ( i, j, v ( i, j, K, v ( ν i, i, j j ] Crisian Scchi Analisi odal -- 9 Proprià dll sponnzial di maric sponnzial di maric god dll sguni uili proprià: Sia T una maric non singolar; allora: sponnzial di una maric diagonal a blocchi è una maric diagonal a blocchi in cui ciascun blocco è l sponnzial dl blocco dlla maric di parnza: Crisian Scchi Analisi odal -- Crisian Scchi Pag. 5
Crisian Scchi Pag. 6 ovimno libro di sismi TI ovimno libro di sismi TI Dao il sisma auonomo ( ( A & la rasformazion: pr cui la maric di sao nll nuov coordina è in forma di Jordan ( ( A T Analisi odal -- Crisian Scchi pr cui la maric di sao nll nuov coordina è in forma di Jordan, abbiamo ch il movimno libro ( è dao da: ( T T A A ovimno libro di sismi TI ovimno libro di sismi TI Siccom è in forma canonica di Jordan J J J J quindi, pr calcolar il movimno libro, è sufficin sapr calcolar l sponnzial dl gnrico miniblocco di Jordan di dimnsion ν λ ( T T T T J J h h Analisi odal -- Crisian Scchi N I J + λ λ λ λ λ λ
Crisian Scchi Pag. 7 a maric N, ch ha ui gli lmni nulli rann qulli nlla sopradiagonal ch valgono, è una maric nilpon di ordin ν ovimno libro di sismi TI ovimno libro di sismi TI ν N N ν dim sponnzial di un miniblocco di Jordan si calcola com: N N I N I J I λ λ λ + ( ν λ λ n n n n N N Analisi odal -- 3 Crisian Scchi!! n n N n N n + + + +! (! ν ν λ ν N N N I ovimno libro di sismi TI ovimno libro di sismi TI! (! ( 3!! 3 ν ν ν ν! (! ( ( J ν ν λ Analisi odal -- 4 Crisian Scchi
ovimno libro di sismi TI All sprssion quasi diagonal ch cararizza la forma canonica di Jordan, si giung smpr, anch nl caso vi siano auovalori complssi coniugai. In quso caso, prò, i blocchi dlla forma di Jordan conngono di rmini complssi, prano, il loro uilizzo risula molo poco inuiivo nll analisi di sismi TI dl loro movimno. Pr ovviar quso inconvnin, nl caso di auovalori complssi coniugai, si applica una rasformazion nllo spazio dgli sai ch pora la maric in forma di Jordan ad avr sulla diagonal principal di blocchi rali di dimnsion. Si considri, ad smpio, una maric A di dimnsion 6 cararizzaa da una coppia di auovalori complssi coniugai λ, σ±jω di molplicià 3. Siano v, v, v 3 gli auovori associai a un auovalor v *, v *,v 3* gli auovori complssi coniugai associai al suo complsso coniugao. Crisian Scchi Analisi odal -- 5 ovimno libro di sismi TI Applicando la rasformazion di coordina: * * * T T [ v v v v v ] Si oin la forma di Jordan dlla maric A: 3 v3 Si ongono cioè du blocchi di Jordan ciascuno cosiuio da un solo miniblocco di dimnsion 3 Crisian Scchi Analisi odal -- 6 Crisian Scchi Pag. 8
ovimno libro di sismi TI Si indichi con v i,r v i,i rispivamn la par ral la par complssa dll auovor complsso i-simo (i,,3. Uilizzando la sgun rasformazion di coordina: ~ [ v v v v v v ] T ~ ~ T, R, I, R, I 3, R 3, I ~ ~ è possibil rasformar la maric A nll T sgun forma canonica ral di Jordan: Crisian Scchi Analisi odal -- 7 ovimno libro di sismi TI In al modo è possibil sprimr il movimno libro di sismi TI com combinazion linar di soli rmini rali. Infai: occorr prò dar una formula pr l sponnzial dlla maric E possibil mosrar ch, nll smpio considrao: Crisian Scchi Analisi odal -- 8 Crisian Scchi Pag. 9
odi di un sisma funzioni dl mpo ch compaiono ch compaiono nlla maric J i sono di modi dl sisma rlaivi all auovalor associao a J i funzioni dl mpo ch compaiono nll marici Ji, i,, h, cioè nlla maric sono d modi dl sisma. Crisian Scchi Analisi odal -- 9 Combinazion di modi di un sisma Il movimno libro può prano ssr dcomposo in h soomovimni libri: Crisian Scchi Analisi odal -- Crisian Scchi Pag.
Combinazion di modi di un sisma Il movimno di un sisma libro è la combinazion linar di modi dl sisma. I cofficini con cui i modi sono combinai sono dai da: o sao inizial a maric T ( T ( o sudio dll andamno di modi di un sisma ci consn di lgar il ipo di andamno dl movimno libro agli auovalori dlla maric di sao. E prano possibil bl cararizzar il movimno libro lb dl sisma dal smplic sudio dgli auovalori dlla maric di sao dlla loro molplicià. Crisian Scchi Analisi odal -- Analisi modal Auovalori rali disini Nl caso in cui gli auovalori dlla maric di sao siano ui rali disini, ncssariamn la forma di Jordan è una maric diagonal: a maric di ransizion dllo sao è, quindi: Crisian Scchi Analisi odal -- Crisian Scchi Pag.
Analisi modal Auovalori rali disini I modi dl sisma sono dai dall sguni funzioni: λ.5 λ λ. 5 Crisian Scchi Analisi odal -- 3 Analisi modal Auovalori complssi disini Nl caso in cui gli auovalori dlla maric di sao siano complssi coniugai disini, dl ipo λ i σ i ± ω i la maric di ransizion dllo sao: I modi dl sisma sono dai dall sguni funzioni: Crisian Scchi Analisi odal -- 4 Crisian Scchi Pag.
Analisi modal Auovalori complssi disini σ cos(ω dov λ,.5 ± j Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 5 Analisi modal Auovalori complssi disini σ cos(ω dov λ, ± j Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 6 Crisian Scchi Pag. 3
Analisi modal Auovalori complssi disini σ cos(ω dov λ, -.5 ±j Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 7 Analisi modal Auovalori rali mulipli Nl caso di auovalori mulipli, la maric di ransizion dllo sao è daa da: dov: Crisian Scchi Analisi odal -- 8 Crisian Scchi Pag. 4
Analisi modal Auovalori rali mulipli In quso caso i modi dl sisma sono: Crisian Scchi Analisi odal -- 9 Analisi modal Auovalori rali mulipli Si considri, ad smpio, il sisma in forma di Jordan con auovalor λ di molplicià : Il movimno libro dl sisma è dao da: Analizziamo i du modi dl sisma: Crisian Scchi Analisi odal -- 3 Crisian Scchi Pag. 5
Analisi modal Auovalori rali mulipli Auovalor doppio λ modi m m Auovalor doppio λ-.5 modi m m Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 3 Analisi modal Auovalori complssi mulipli Analogamn al caso di auovalori complssi coniugai mulipli, i modi associai agli auovalori complssi coniugai mulipli dl ipo σ ± jω sono: Dov ν è la dimnsion dl miniblocco di Jordan associao alla coppia di auovalori complssi coniugai. Crisian Scchi Analisi odal -- 3 Crisian Scchi Pag. 6
Analisi modal Auovalori complssi mulipli Considriamo un sisma con una coppia di auovalori complssi coniugai σ ± jω doppia. I modi rlaivi alla coppia sono Analizziamo l andamno dlla coppia di modi m ( m 3 (. andamno dll alra coppia di modi è analogo. Crisian Scchi Analisi odal -- 33 Analisi modal Auovalori complssi mulipli Auovalor doppio λ-.5 ± j modi m m 3 Auovalor doppio λ±j modi m m 3 Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 34 Crisian Scchi Pag. 7
Analisi modal In un gnrico sisma TI possono ssr prsni ui i ipi di auovalori analizzai finora. Prano, il movimno libro dl sisma è dao, in gnral, dalla combinazion linar di ui i ipi di modi visi finora. Crisian Scchi Analisi odal -- 35 Carar di convrgnza di modi Considriamo un sisma TI. Dirmo ch un modo m(, dfinio pr è: convrgn s: limiao, ma non convrgn s sis un numro ral << al ch 8 si abbia: non limiao (o divrgn s: Crisian Scchi Analisi odal -- 36 Crisian Scchi Pag. 8
Carar di convrgnza di modi Dall analisi modal faa, sgu la sgun: Proposizion: I modi dl sisma sono: convrgni s solo s ui gli auovalori di A hanno par ral ngaiva limiai s solo s gli auovalori di A hanno par ral ngaiva o nulla qulli a par ral nulla sono associai a miniblocchi di Jordan di dimnsion non limiai s almno un auovalor di A è a par ral posiiva oppur a par ral nulla ma associao a un miniblocco di Jordan di dimnsion maggior di. Crisian Scchi Analisi odal -- 37 Considrazioni I modi sono una proprià inrinsca dl sisma Il loro andamno può ssr ddoo da una smplic analisi dgli auovalori dlla maric di sao Dai modi dl sisma dipnd sia l andamno dl movimno libro ch il ransiorio dl movimno forzao Nl caso di sismi SISO rapprsnai da funzioni di rasfrimno i poli sono un sooinsim dgli auovalori dl sisma, prano, il ipo di ransiorio dlla risposa può ssr ddoo dalla posizion dalla molplicià di poli Crisian Scchi Analisi odal -- 38 Crisian Scchi Pag. 9
Esmpio Dao il sisma: A C Calcolar l uscia libra dl sisma a parir dallo sao inizial Crisian Scchi Analisi odal -- 39 Esmpio uscia libra è daa da: Pr por calcolar l sponnzial di maric, poro la maric di sao nlla forma canonica di Jordan. Gli auovalori dlla maric di sao sono l soluzioni di: Crisian Scchi Analisi odal -- 4 Crisian Scchi Pag.
Esmpio Gli auovori corrispondni a λ si drminano risolvndo: ( λ I A v v Si ongono du auovori linarmn indipndni: v v Crisian Scchi Analisi odal -- 4 Esmpio Gli auovori corrispondni a λ - si drminano risolvndo: ( λ I A v v Si oin un auovalor: v 3 Crisian Scchi Analisi odal -- 4 Crisian Scchi Pag.
Esmpio T [ v v ] v3.5.5 T.5.5 Facndo il cambio di variabil: T marici A C vngono rasforma in: Crisian Scchi Analisi odal -- 43 Esmpio A T AT Forma canonica di Jordan di A C CT [ ] Il movimno libro dl sisma è dao da: A A ( T( T T T Crisian Scchi Analisi odal -- 44 Crisian Scchi Pag.
Esmpio Uilizzando i dai dl problma: Crisian Scchi Analisi odal -- 45 Esmpio E quindi l uscia libra val: Crisian Scchi Analisi odal -- 46 Crisian Scchi Pag. 3
Conclusioni analisi modal consn di ricavar l dinamich fondamnali di un sisma TI da una smplic analisi dgli auovalori a forma canonica di Jordan consn di calcolar agvolmn quali sono i modi di un sisma Parndo dalla conoscnza di modi dl sisma è possibil capir qual sarà il ransiorio di un movimno oppur il movimno libro Crisian Scchi Conrollo di Sismi Roboici Analisi odal -- 47 ANAISI ODAE DEI SISTEI INEARI A TEPO CONTINUO Dr. Crisian Scchi ARSconrol ab Univrsià di odna Rggio Emilia Crisian Scchi Pag. 4
Esmpio Si considri un sisma massa-molla-smorzaor u k m b y Crisian Scchi Analisi odal -- 49 Esmpio Scglindo com variabili di sao pr dscrivr il sisma la posizion dlla massa ( la sua vlocià (, il sisma è dscrio da: Crisian Scchi Analisi odal -- 5 Crisian Scchi Pag. 5