lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n. 5 3..7 Legge di Gauss Angolo solido Applicazioni della legge di Gauss Anno Accademico 7/8
La Legge di Gauss Abbiamo visto che il flusso del campo elettico di una caica attaveso una supeficie chiusa sfeica è uguale a Φ Inolte è indipendente dal aggio della sfea In ealtà c'è una condizione ancoa più fote È indipendente dalla foma della supeficie chiusa Pe convinceci di uesto conviene fae peliminamente una digessione sull'angolo solido Iniziamo dall'angolo piano Consideiamo un punto P sul piano Un angolo piano è la egione del piano l delimitata da due oiginanti da P Due cosa? Due semiette La "misua" dell'angolo piano è data dal appoto fa lunghezza di un aco e il aggio dell'aco È un numeo adimensionale La "misua" dell'angolo è indipendente da L'angolo completo misua π appoto fa la ciconfeenza e il aggio α l l l 3 P 3 l l 3 3 lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 9
L'angolo piano Consideiamo adesso un angolo infinitesimo dl è un aco di ciconfeenza infinitesimo Se invece di dl consideiamo un segmento abitaio ds compeso fa le semiette Poiettiamo ds sulla ciconfeenza La misua dell'angolo è dα ds cos θ dl ds cos θ dl dα ds θ dl dl P lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 9
L'angolo solido L'angolo solido è la genealizzazione nello spazio dei concetti pecedenti elativi all'angolo piano Un angolo solido è la egione dello spazio delimitata da una supeficie oiginante da P La supeficie può avee una foma abitaia S La "misua" dell'angolo solido è data dal appoto fa l'aea delimitata su una sfea e il uadato del aggio della sfea È un numeo adimensionale La "misua" dell'angolo è indipendente da P L'angolo completo misua 4π appoto fa la supeficie della sfea e il uadato del aggio Ω S lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 9
Angolo solido Anche in uesto caso consideiamo il caso in cui la supeficie di cui vogliamo calcolae l'angolo solido ispetto al punto P non sia un pate di una sfea Stiamo consideando una supeficie infinitesima Possiamo costuie una supefice, una sota di cono, unendo i punti del contono della supeficie con il punto P In uesto modo individuiamo una supefice su una sfea di aggio che scegliamo in modo che abbia punti di contatto con la supeficie In patica vogliamo che siano alla stessa distanza da P L'angolo solido sotteso da è dω L'angolo solido sotteso da deve essee lo stesso Consideiamo le nomali alle supefici Se α è l'angolo fa le nomali alle due supefici si avà cos α P ˆn dω α ˆ cos α lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 93
La legge di Gauss Siamo adesso in gado di compendee come il flusso attaveso una supeficie chiusa non dipenda dalla foma paticolae della supeficie Consideiamo una supeficie chiusa abitaia che acchiude una caica puntifome Suddividiamola in tante supefici infinitesime Il flusso attaveso ogni supeficie ( ) nˆ dφ ( ) cos θ La supeficie, che si tova ad un aggio sottende lo stesso angolo solido della supeficie che si tova sulla sfea di aggio cos θ ( ) dφ cos θ Ci siamo petanto ipotati al calcolo del flusso sulla sfea di aggio 4π 4π Φ θ ˆn ˆn θ θ ( ) ( ) cos θ lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 94
Legge di Gauss Fino ad oa abbiamo consideato il flusso di una singola caica puntifome Tutte le leggi e le opeazioni matematiche utilizzate sono lineai Vale il pincipio di sovapposizione Un campo geneato da un sistema di caiche più complicato può petanto essee visto come somma di più campi geneati ciascuno da una caica puntifome Si possono calcolae sepaatamente i flussi delle singole caiche contenute all'inteno della supeficie Φ Il flusso totale è uguale alla somma dei singoli flussi i Φ Φ i, N i i, N i i lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 95
Legge di Gauss Cosa succede se la caica è estena alla supeficie? Possiamo consideae un poblema simile con una supeficie come indicato in figua L'unione fa le due supefici è piccolissima Abbiamo appena visto che il flusso è indipendente dalla foma della supeficie Φ Possiamo inolte suddividee il flusso nei flussi attaveso die supefici ΦΦ +Φ La "stozzatua" può essee esa piccola, tascuabile Se chiamiamo Φ il flusso attaveso la supeficie che contiene la caica avemo Φ lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 96 +Φ Φ
Legge di Gauss Petanto l'enunciato della legge di Gauss vale anche uando la supeficie chiusa non contiene caiche Se all'inteno della supeficie non ci sono caiche il flusso totale è nullo Significa che il contibuto negativo al flusso è uguale al contibuto positivo Il contibuto al flusso è positivo uando l'angolo fa e la nomale è infeioe a π/ Il contibuto al flusso è negativo uando l'angolo fa e la nomale è supeioe a π/ lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 97
Campo di un guscio sfeico cavo Abbiamo già calcolato mediante un calcolo dietto il campo elettico all'inteno di un guscio sfeico di caica Q e aggio ( ) La legge di Gauss pemette di calcolae in modo molto semplice il campo elettico sia all'inteno che all'esteno del guscio Tuttavia è indispensabile utilizzae agomenti di simmetia pe stabilie: La diezione del campo elettico Popietà del modulo del campo elettico Nel poblema in esame affemiamo che sia all'inteno che all'esteno del guscio il campo elettico deve essee dietto lungo un aggio Qualsiasi alta diezione violeebbe l'isotopia dello spazio La distibuzione di caica in esame ha una simmetia sfeica Inolte ha lo stesso modulo su tutti i punti che giacciono su una sfea di aggio concentica con il guscio sfeico ( ) lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 98
Campo di un guscio sfeico cavo Consideiamo a uesto punto una supeficie sfeica di aggio < (intena al guscio) Il flusso del campo elettico è La legge di Gauss ci dice che Non c'è caica all'inteno della supeficie sfeica Petanto concludiamo che ( ) π Consideiamo a uesto punto una supeficie sfeica di aggio > Abbiamo la stessa espessione pe il flusso All'inteno della supeficie c'è la caica totale del guscio Q Otteniamo 4 ( ) 4π Φ Φ/ Notiamo che è uguale al campo di una caica puntifome Q nell'oigine ( ) < ( ) 4π Φ Q Q ( ) > 4π ( ) ( ) lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 99
Ancoa sul guscio sfeico cavo Possiamo utilizzae l'esempio del guscio sfeico cavo pe appofondie ulteiomente Le implicazioni della dipendenza del campo da / Il concetto di angolo solido Pe definizione un angolo solido sottende, a distanza, una supeficie dω La supeficie sulla sfea di aggio Consideiamo adesso un guscio sfeico di caica Q cavo e un punto abitaio P al suo inteno La supeficie del guscio può essee suddivisa in tante coppie costuite mediante coni con la stessa apetua Sottolineiamo che il punto P non è il cento della sfea Le due supefici individuate sulla sfea siano e Le distanze da P siano e ispettivamente Dimostiamo adesso che i campi elettici geneati dai due elementi di caica si elidono videntemente puntano in diezioni opposte P dω lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa
Ancoa sul guscio sfeico cavo Dobbiamo petanto dimostae che hanno lo stesso modulo I due campi sono geneati da caiche diffeenti poste a distanze diffeenti da P Le caiche dei due elementi sono P d d Vogliamo dimostae che Consideiamo la poiezione della sfea d d Le due supefici e sono entambe nomali ai aggi che oiginano dal cento del guscio C Tacciamo due elementi di supeficie sfeiche centate sul punto P: ' e ' Sono pependicolai alla coda AB, asse dei due coni Pe la definizione di angolo solido dω dω Inolte il tiangolo ABC è isoscele Gli angoli alla base sono uguali CAB ˆ CBA ˆ β A P C B lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa
Ancoa sul guscio sfeico cavo Dato che gli angoli alla base sono uguali abbiamo cos β cos β iepiloghiamo le alte elazioni tovate d Abbiamo petanto d d d dω cos cos Calcoliamo il appoto dei moduli dei campi elettici d k k β β dω d dω dω Petanto i due campi hanno lo stesso modulo e diezione opposta La somma è nulla d d + A P C B lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa
Campo di una sfea di caica Consideiamo adesso il campo elettico geneato da una sfea di caica La caica totale è Q, il aggio è La sfea ha una densità di caica unifome ρ Q π 4 3 3 ρ ( ) ρ < > ( ) Osseviamo che anche uesto poblema ha una simmetia sfeica Il campo è sempe adiale ispetto al cento della sfea Il modulo del campo ad una distanza è costante Consideiamo una supeficie sfeica di aggio >, estena alla sfea caica È la stessa condizione dell'esempio pecedente La caica dento la sfea è Q Abbiamo petanto Q ( ) > 4π Anche in uesto caso è lo stesso campo di una caica puntifome Q posta nell'oigine lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 3
Campo di una sfea di caica Consideiamo adesso una sfea di aggio <, intena alla sfea caica La caica all'inteno della sfea non è nulla Inolte è solo una pate della caica totale Q La caica all'inteno della sfea è Applichiamo la legge di Gauss icaviamo () ( ) ( ) 4π Φ 4 3 ρ π Q 3 Q 3 Q Q 3 4π 4 π 3 4π ( ) Q 3 3 3 3 4π Q ρ ( ) Q π 4 3 3 lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 4
uilibio in campo elettostatico La legge di Gauss pemette anche di tae un'impotante conclusione iguado la possibilità di costuie un campo elettostatico che abbia una posizione di euilibio stabile in un punto dove non ci sono caiche elettiche È essenziale la pecisazione "dove non ci sono caiche elettiche" Una posizione di euilibio stabile implica che la foza su una caica sia nulla Questo è possibile Deve anche esseci una "foza di ichiamo" pe spostamenti abitai In tutte le diezioni possibili Pe una caica positiva significa che nell'intono di una posizione di euilibio stabile il campo elettico punta sempe veso il punto di euilibio In tutte le diezioni nello spazio tidimensionale Pe una caica negativa si invete il veso del campo Possiamo alloa calcolae il flusso attaveso una supeficie Il flusso saebbe diveso da zeo Nella posizione di euilibio ci saebbe una caica d d fisse Φ d a Petanto la legge di Gauss implica che non ci possano essee posizioni di euilibio stabile dove non ci sono caiche elettiche lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 5
Discontinuità del campo elettico Il campo elettico è discontinuo uando si attavesa una supeficie con densità di caica Abbiamo visto due esempi ˆz Un piano infinito (esecitazione) Un guscio sfeico cavo All'inteno Sulla supeficie In entambi i casi la vaiazione della componente nomale è ˆz Δ Q ˆ ˆ 4π Q 4π La componente tangenziale è la stessa da entambe le pati della supeficie caica Δ Si tatta di popietà geneali Non limitate agli esempi tattati o alla densità unifome lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 6
Discontinuità del campo elettico saminiamo in maggioe dettaglio uesto ultimo punto Consideiamo un piano di caica molto sottile Non necessaiamente unifome saminiamolo in maggioe dettaglio localmente Consideiamo la cicuitazione di nella linea chiusa indicata d s Non è detto che il campo sia pependicolae al piano Le lunghezze delle linee osse veticali sono tascuabili ispetto a uelle oizzontali Le linee oizzontali sono vicinissime al piano e a esso paallele ds ds d s d s + d s Otteniamo petanto ds ds ( ) ds La componente di tangente alla supeficie è continua lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 7
Discontinuità del campo elettico Studiamo adesso la componente nomale In uesto caso utilizziamo la legge di Gauss Usiamo un cilindetto con le facce paallele al piano La supeficie lateale è tascuabile Il contibuto impotante al flusso è solo uello delle due facce paallele al piano Non è detto che il campo sia pependicolae al piano d a a a a Otteniamo petanto da da da La caica all'inteno del cilindo è d d + d ( ) da da da da La componente nomale di ha una discontinuità popozionale a da da da lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 8
Foza su uno stato di caica Consideiamo il guscio di caica sfeico che abbiamo già analizzato Il aggio è, la caica totale Q Q La densità supeficiale di caica Il campo elettico all'inteno è nullo 4π All'esteno il campo elettico è dato da 4π ( ) Petanto il campo sulla supeficie è 4π ( ) Q Q Notiamo che si applicano le condizioni di discontinuità del campo che avevamo tovato pecedentemente Ci chiediamo adesso uale foza si esecita su un elemento di caica della supeficie Un elemento di supeficie infinitesimo d da da u lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa 9
Foza su uno stato di caica La foza sull'elemento di caica da deiva dall'inteazione fa la caica d e il campo geneato da tutte le alte caiche Le caiche dell'elemento da esecitano foze sulle caiche dell'elemento stesso ma la loo isultante è nulla Conseguenza della teza legge di Newton Suddividiamo il campo elettico nel punto occupato dall'elemento da in due contibuti + uˆ s da Il campo elettico s geneato dalla sfea meno il piccolo elemento da Il campo elettico da geneato dall'elemento da Sappiamo inolte che un elemento cicolae da di caica genea un campo sull'asse Petanto tutte le alte caiche della sfea devono geneae un campo tale che la somma sia uella indicata da û ± uˆ + uˆ uˆ s uˆ uˆ s uˆ lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa
Foza su uno stato di caica Petanto la foza che viene esecitata sull'elemento da è d F d da s s La foza pe unità di supeficie df da Sostituendo il valoe tovato pe s df da La foza pe unità di supefice è chiamata anche pessione elettostatica icodiamo che il campo all'esteno è s uˆ Sull'elemento da c'è una foza peché' all'inteno la pessione è nulla mente all'esteno è divesa da zeo p p da df pda da û lettomagnetismo Pof. Fancesco agusa