Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio e del Paesaggio Agro-Forestale Corso di Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Prof. Ing. S. Pascuzzi
Materiale di studio ü Appunti dalle lezioni ü BIGATTI Anna Maria ROBBIANO Lorenzo MATEMATICA DI BASE Casa Editrice Ambrosiana ü ZWIRNER Giuseppe ISTITUZIONI DI MATEMATICHE Parte prima CEDAM Editrice
Funzioni di una variabile reale 3
Concetto di funzione reale di una variabile Quantità costanti (a,b,c,..) Quantità variabili (,y,z, ) Avviene che di due quantità variabili ( e y), il valore assunto dalla y dipenda dal valore attribuito alla Esempio: y = 2 (area quadrato di lato ) y = k/ (legge di Boyle-Mariotte) y =½g 2 (caduta di un grave nel vuoto) Si dice che y è funzione della variabile L insieme I dei valori che si possono attribuire alla, perché esista il corrispondente valore della y, dicesi l insieme di esistenza o di definizione della funzione y 4
Concetto di funzione reale di una variabile Definizione Una variabile y si dice funzione della variabile nell insieme I (insieme di esistenza della funzione), quando esiste una legge, di natura qualsiasi, la quale faccia corrispondere ad ogni valore dato alla, dell insieme I, un valore ed uno solo per la y. y = f() y I variabile indipendente variabile dipendente o funzione insieme di esistenza o di definizione della funzione y 5
Concetto di funzione reale di una variabile Quando esiste un complesso di operazioni matematiche ben definite che faccia passare dal valore della al valore corrispondente della y, si dice che la funzione data è esprimibile analiticamente. Funzioni elementarmente calcolabili Esempi: y y = + 5 + 7 I. D.: = log 10 I. D.: > 0 ( 5,7) 2 y = sen log 4 I. D.: < 2 < + 2 Funzioni empiriche osservazioni o dati sperimentali conosciute solo in base ad 6
Funzione di variabile reale Una funzione f è una regola che per ogni valore in un sottoinsieme D R fornisce un unico valore in R. L insieme D si chiama dominio della funzione, L insieme di tutti i possibili valori che fornisce si chiama immagine della funzione. 7
Insieme di esistenza di una funzione Dipende dal legame che intercede fra le due variabili Si determina esaminando per quali valori della variabile indipendente hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore della funzione y Somma, differenza, prodotto Sempre possibili Divisione Perde significato quando il denominatore è nullo Radice ad indice pari Radicando positivo o nullo Logaritmo (base positiva 1) Numero positivo 8
9 Trovare l insieme di esistenza della funzione: 2 1 + = y 0 2 1 + R. Le operazioni da eseguire sul valore dato alla sono sempre possibili, qualunque sia questo valore > + 0 2 0 1 9 7 3 2 + = y < + 0 2 0 1 Trovare l insieme di esistenza della funzione: < -2 e 1
Trovare l insieme di esistenza della funzione: 2 2 3 > 0 ( 2 log 2 3) y = 2 ( 2 ) 2 25 > 0 12 25 2 12 0 Risolvendo il sistema formato dalle prime due disequazione si trova : 5 < < 1 3 < < 5 Il polinomio 2 - - 12 si annulla per = -3 e = 4, valori che si escludono dall insieme di esistenza della funzione -5-3 -1 3 4 5 5 < < 3 3 < < 1 3 < < 4 4 < < 5 10
Rappresentazione grafica di una funzione L insieme di tutti i punti del piano le cui coordinate soddisfano l equazione: y = f() chiamasi grafico o diagramma della funzione f() 11
Funzioni polinomiali y = a 0 n + a 1 n 1 + a 2 n 2 +... + a n 1 + a n Il Dominio di ogni funzione polinomiale è R Funzioni polinomiali razionali f () = p() q() = a 0 n + a 1 n 1 +... + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 +... + b m 1 + b m Il Dominio di funzione razionale è R-(Z) dove Z è l insieme delle radici reali del denominatore q() 12
Funzione potenza (esponente naturale positivo) f ( ) = n Definiamo la n-esima potenza di come il prodotto di con se stesso n volte: n =... (n volte) n è una funzione polinomiale: il Dominio è R Se n è dispari, n è crescente in tutto R; se n è pari è decrescente in ]-,0] e crescente in [0,+ [ Proprietà delle potenze n y n = ( y) n m n = m+n ( m ) n = m n 13
Funzione potenza (esponente intero negativo o nullo) f () = 0 =1 f () = n = 1 n n N R Il Dominio di n con n intero negativo o nullo è R-0 14
Funzioni esponenziali f () = a base a R fissata Se a>0, la funzione esponenziale f()=a ha dominio R e assume solo valori positivi, cioè l immagine è ]0,+ [ La funzione f () = a è crescente se a ]1,+ [ è costante uguale a 1 se a=1 è decrescente se a ]0,1[ 15
Funzioni periodiche e trigonometriche Una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono periodicamente La funzione y=sen ha periodo 2π, cioè : sen( + 2π) = sen La funzione y=cos ha periodo 2π, cioè : cos( + 2π) = cos 16
Funzioni trigonometriche La funzione y=tg ha periodo π, cioè : tg( + π) = tg 17
Valore assoluto f () = funzione che ad valore reale di associa il suo valore assoluto (chiamato modulo) " = # se < 0 $ se 0 Il dominio è R, e l immagine è [0, [ 18
Data una funzione, - si può sommare una costante; - si può moltiplicare una costante Operazioni tra funzioni Le funzioni si possono sommare e moltiplicare tra di loro. Da f() = si ottengono tutte le funzioni potenza n che, moltiplicate per una costante e poi sommate, danno luogo a tutte le funzioni polinomiali; per esempio: y = a 0 n + a 1 n 1 + a 2 n 2 +... + a n 1 + a n 19
Composizione di funzioni La funzione: f è composta da: f 1 ( ) = sin( ) ( ) 2 ( ) = 2 e f 2 ( ) = sin( ) Cioè se al posto di in f 1 () mettiamo f 2 () otteniamo proprio f(): f ( ) ( ) = f 1 f ( 2 ) Anche la funzione: g( ) = sin( 2 ) è composta dalle funzioni f 1 () e f 2 (), ma in ordine scambiato: f 1 f 2 Emerge che: ( ( )) f 2 f 1 ( ) ( ) g ( ) ( ) = f 2 f ( 1 ) L operazione di composizione non è commutativa 20
Determinazione dell insieme di definizione nella composizione di funzioni L espressione: f ( 1 f ( 2 ) ) è definita se: il valore appartiene al dominio di f 2 e il valore di f 2 () appartiene al dominio di f 1 21
Inversa di una funzione La funzione g() è l inversa della funzione f() se risulta: g(f()) = per ogni nel dominio di f(), e f(g())= per ogni nel dominio di g() Perché la funzione f() sia invertibile è necessario che f() sia iniettiva, cioè che ogni valore y=f() dell immagine (codominio) sia assunto per un solo valore di 22
Inversa di una funzione La funzione f ( ) = 3 g( ) 3 ha inversa = Infatti 3 è definita qualunque sia reale e si hanno le uguaglianze ( ) 3 = f g ( ) ( ) 3 = g f ( ( )) = 3 3 = Per ogni funzione f() il grafico dell inversa è simmetrico al grafico di f() rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante 23
Funzioni inverse delle funzioni esponenziali f () = a base a>0 Ogni funzione esponenziale f() = a ha dominio R e immagine è ]0,+ [ se a se a ]1,+ [ la funzione è strettamente crescente ]0,1[ la funzione è strettamente decrescente Per ogni a 1 si ha: a 1 = a 2 se e solo se: 1 = 2 la funzione è quindi iniettiva 24
Definizione di logaritmo Fissato un numero reale positivo a 1, preso un qualsiasi numero reale b>0, è univocamente definito l esponente da dare ad a per ottenere b. Tale esponente si chiama logaritmo in base a di b e si denota log a (b). Il dominio di log a è (0,+ ), e l immagine è R La funzione f () = log a ( ) è inversa della funzione g() = a Infatti si ha: a log a( ) = ( 0,+ ) log a ( a ) = R log a 1 Si ricorda che: ( ) = 0 log a ( a) =1 25
Per ogni, y >0 si ha: log a log a log a Proprietà dei logaritmi ( y) = log ( a ) + log ( a y) ( n ) = n log a " $ # y % ' = log a & ( ) log ( a y) log a ( n ) = 1 n log a ( ) Cambio base: log a ( ) = log a ( b) log b ( ) 26
Funzioni trigonometriche inverse y = sen ( ) nell insieme di esistenza non è crescente né decrescente, quindi non è invertibile. Se si considera l intervallo [-π/2,π/2], la funzione y= sen() è sempre crescente ed assume tutti i valori da -1 a +1 Perciò nell intervallo [-π/2,π/2], la funzione y = sen() è invertibile e la funzione inversa si indica : ( ) = arcsen y che si legge: «è uguale all arco che ha il seno eguale ad y» 27
Funzioni trigonometriche inverse y = cos ( ) nell insieme di esistenza non è crescente né decrescente, quindi non è invertibile. Se si considera l intervallo [0,π], la funzione y= cos() è decrescente ed assume tutti i valori da -1 a +1 Perciò nell intervallo [0,π], la funzione y = cos è invertibile e la funzione inversa si indica : ( ) = arccos y che si legge: «è uguale all arco che ha il coseno eguale ad y» 28
Funzioni inverse delle funzioni circolari y = tg ( ) Se si considera l intervallo ]-π/2,π/2[, la funzione y= tg() è crescente ed assume tutti i valori da - a + Perciò nell intervallo ]-π/2,π/2[, la funzione y = tg () è invertibile e la funzione inversa si indica : = arctg( y) y = cot g ( ) è invertibile nell intervallo ]0,π[, e la funzione inversa è: = arccotg y ( ) 29