Pag. /5 Sessione ordinaria Seconda prova scritta QUESTIONARIO Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA CORSO SPERIMENTALE Tema di: MATEMATICA (Sessione ordinaria ). Provare che una sfera è equivalente ai /3 del cilindro circoscritto.. Determinare il numero delle soluzioni dell equazione: x x xe xe 3. Dimostrare che se p(x) è un polinomio, allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c è una radice di p( x). 4. Calcolare la derivata della funzione f ( x) arcsen x arccos x Quali conclusioni se ne possono trarre per la f(x)?. 5. Calcolare l integrale log x x dx. 6. Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un approssimazione dell integrale definito sen xdx e si confronti il risultato ottenuto con il valore esatto dell integrale. 7. Verificato che l equazione x e x ammette una sola radice positiva compresa tra e se ne calcoli un approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati. 8. Una classe è composta da ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi? 9. Spiegare il significato di sistema assiomatico con particolare riferimento alla sistemazione logica della geometria.. Dire, formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange, se è vero che: «se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media è 6 km/h, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell automobile deve indicare esattamente 6 km/h». Risposte ai quesiti. ) Il cilindro a base pari ad un cerchio massimo della sfera ed altezza pari al diametro, pertanto il suo volume è: 3 V(cil) π R R π R. Il volume della sfera è: 4 3 V(sfe) π R 3, pertanto il rapporto
Pag. /5 Sessione ordinaria Seconda prova scritta V(sfe) V(cil) 3. (c.v.d.) ) L equazione data può essere scritta nella forma: x x e e x. Risolvere quest equazione equivale a risolvere il sistema: x x y e e y x La prima funzione è simmetrica rispetto all asse Y (funzione pari), inoltre: y() = ed, essendo y = e x e -x, risulta crescente per x >. La seconda è un iperbole equilatera riferita agli assi. Il grafico del sistema è riportato sotto (Grafico ). 4 3 - - 3 4 5 6 Grafico È quindi semplice verificare che il sistema ammette un unica soluzione che cade nell intervallo [,5; ]. 3) Siano e due radici del polinomio p(x). Nell intervallo [, ] sono verificate le ipotesi del teorema di Rolle, essendo il polinomio una funzione continua e derivabile ed essendo, per ipotesi, p()=p()=. Per la tesi di Rolle deve esistere un punto ], [ in cui p ()=. (c.v.d.) 4) Essendo D ( arcsen x arccos x) x segue che la funzione è costante. x, 5) Essendo D[log(x)]=/x, l integrale è immediato e si ha:
Pag. 3/5 Sessione ordinaria Seconda prova scritta 6) L integrale esatto è dato da: π sen x dx cos x. log x dx log x cost. x Un approssimazione dell integrale può essere ottenuta col metodo di Bezout (metodo dei trapezi). Posto h=(b a)/n, dove n è il numero di divisioni dell intervallo [a, b] (ponendo: x a, x n b), si approssima l integrale mediante la formula: b n h (x) dx f (x ) f (x k ) f (x n ) a f. k A tale scopo prepariamo la seguente tabella, supponendo che l intervallo [, ] sia stato diviso in parti di ampiezza h = /. n x sen(x) sen(x),,,34,39,68,683,5878,756 3,945,89,68 4,566,95,9 5,578,, 6,885,95,9 7,99,89,68 8,533,5878,756 9,874,39,68 3,46, totale,675 Integrale,9835 7) Per verificare l unicità della soluzione dell equazione data, la riscriviamo: x = e -x. Risolvere detta equazione equivale a risolvere il sistema: y x x y e. I grafici di queste funzioni sono noti (funzioni elementari), pertanto il grafico del sistema è dato dal Grafico. La soluzione cade nell intervallo [,5; ]. Usando il metodo dicotomico si può ottenere un approssimazione di detta soluzione.
Pag. 4/5 Sessione ordinaria Seconda prova scritta - - 3 4 - Grafico Sotto è riportata una tabella per il calcolo. X X X m Y Y Y m,5,,75 -,65,63,776,5,75,65 -,65,776,897,5,65,565 -,65,897 -,73,565,65,5938 -,73,897,45,565,5938,578 -,73,45,7,565,578,573 -,73,7,5,565,573,5664 -,73,5 -,,5664,573,5684 -,,5,9,5664,5684,5674 -,,9,4,5664,5674,5669 -,,4 -,4,5669,5674,567 -,4,4,,567,5674,5673,,4,,567,5673,567,,,,567,567,567,,, L approssimazione a 4 cifre decimali è,567. 8) Su una classe di ragazzi e 4 ragazze, la probabilità che il primo estratto sia maschio è p = /6. La probabilità che il secondo estratto sia maschio, nell ipotesi di esito favorevole della prima prova, è p = /5. Così la probabilità che sia maschio il terzo estratto è p 3 = /4. Pertanto la probabilità voluta è data da: p = p p p 3 = /6 /5 /4 = /8. 9) Per la risposta a questo quesito si può consultare un qualsiasi manuale scolastico. ) La velocità v = v(t) è una funzione continua a cui è applicabile il teorema del valor medio. L area del trapezoide relativo alla v(t) rappresenta lo spazio percorso.
Pag. 5/5 Sessione ordinaria Seconda prova scritta v v = v(t) v = 6 t t t Il trapezoide relativo a v = v(t) e a v = 6 hanno la stessa area (stesso spazio percorso). Poiché i due grafici devono avere almeno un punto comune, il tachimetro deve necessariamente segnare, almeno una volta, 6 km/h. Prof. Ettore Limoli