[A.S ] Questionario pag. 1 di 5. Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO A.S CORSO SPERIMENTALE - P.N.I. Tema di: MATEMATICA

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1 [A.S ] Questionario pag. 1 di 5 QUESTIONAIO Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO A.S COSO SPEIMENTALE - P.N.I. Tema di: MATEMATICA 1. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?. Si provi che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come sta a 4.. Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto. Come varia il suo volume? Come varia l'area della sua superficie? 4. Dati gli insiemi A ={1,,, 4} e B = {a, b, c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B? 5. Dare un esempio di funzione g, non costante, tale che: lim g( ) e g() Dare un esempio di funzione f() con un massimo relativo in (1, ) e un minimo relativo in (-1, ). 7. Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo. 8. Si trovino due numeri reali a e b, a b, che hanno somma e prodotto uguali. 9. Si dimostri che l'equazione e + = 0 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta. 10. Nel piano è data la seguente trasformazione: Di quale trasformazione si tratta? y y y isoluzione Quesito 1 La risposta al quesito si trova su qualsiasi testo di matematica. Quesito Se sezioniamo il nostro solido con un piano contenente i centri delle basi del cilindro, si ottiene un quadrato inscritto in una circonferenza. Indicando con il raggio della sfera, con r il raggio di base del cilindro, si ha: r poiché il diametro della sfera è la diagonale del quadrato di lato r.

2 [A.S ] Questionario pag. di 5 Pertanto si ha: S cilindro S sfera 4 ossia: S S cilindro sfera 4 4 r Quesito Se il rapporto di similitudine è, il rapporto delle superfici sarà = 9 e il rapporto dei volumi = 7. Quesito 4 Si tratta di calcolare le disposizioni con ripetizione di elementi su 4 posti. Detto numero è 4 = 81. Quesito 5 La funzione cercata può essere definita come segue: 1 g ( ) 4 per per Essa presenta in = una discontinuità eliminabile. Quesito 6 Un semplice esempio può essere dato dalla funzione: 1 5 f ( ) 4 per 1 per 1 1 per 1 Il grafico è di seguito riportato.

3 [A.S ] Questionario pag. di Quesito 7 Poiché il triangolo ha base assegnata b ed area assegnata, avrà pure altezza assegnata h. Introduciamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale come riportato in figura. y=h C A B I vertici del triangolo hanno coordinate: A(0, 0); B(b, 0); C(, h). Pertanto il perimetro è dato da: P h ( b) h b La derivata è: P h b ( b) h Per studiarne il segno, imponiamo P 0: h b ( b) h Supposto 0 < < b, elevando tutto al quadrato e semplificando, si ha: b/. Pertanto il triangolo di perimetro minimo è isoscele, ottenendosi per = b/. Quesito 8 Ponendo a+b=ab, si ricava b = a/(a-1). con a 1. Assegnando ad a un qualsiasi valore, diverso da 1, ricaviamo il corrispondente valore di b. Ad esempio se a=, si ha che b=/.

4 [A.S ] Questionario pag. 4 di 5 Quesito 9 isolvere l equazione data equivale a risolvere il sistema: y e y Il cui grafico, riportato sotto, ci mostra l unica soluzione. Per determinare detta soluzione effettuiamo una scansione, nell intervallo [-1; 0], della funzione y = e + con il metodo dicotomico o del dimezzamento. Sotto riportiamo una tabella costruita con ecel. 1 m Sgn(y 1 ) Sgn(y ) Sgn(y m ) -1,0000 0,0000-0, ,5000 0,0000-0, ,5000-0,500-0, ,750-0,500-0, ,15-0,500-0, ,81-0,500-0, ,656-0,500-0, ,578-0,500-0, ,578-0,59-0, ,578-0,559-0, ,578-0,568-0, ,578-0,57-0, ,578-0,576-0, ,577-0,576-0, ,576-0,576-0, Pertanto una soluzione approssimata a 4 cifre decimali esatte è: = -0,576. Punto 10 Il rapporto di affinità della trasformazione è: a c b d Poiché sono soddisfatte le condizioni:

5 [A.S ] Questionario pag. 5 di 5 a c b d ab cd 0 Si tratta di una similitudine diretta di rapporto k =. Si potrebbe verificare che l origine è un punto unito e non vi sono rette unite, ma questo non è espressamente richiesto. Soluzioni proposte dal prof. Ettore Limoli