Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

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1 PROBLEMA Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA CORSO SPERIMENTALE Tema di: MATEMATICA (Sessione ordinaria 00) Due numeri e y hanno somma e quoziente uguali ad un numero reale a non nullo. Riferito il piano ad un sistema S di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche (,y):. si interpreti e discuta il problema graficamente al variare di a;. si trovi l equazione cartesiana del luogo dei punti P(,y) che soddisfano al problema; 3. si rappresentino in S sia la curva che la curva simmetrica di rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante; 4. si determini l area della regione finita di piano del primo quadrante delimitata da e da e se ne dia un approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati; 5. si calcoli y nel caso che sia uguale a e si colga la particolarità del risultato. Il problema può essere impostato considerando: () y a a y oppure () y a y a Con riferimento al punto 3 del testo, il sistema () e () rappresentano i due luoghi simmetrici rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante. Per semplicità di trattazione è più conveniente partire dal sistema (). Punto. L equazione + y = a rappresenta il fascio di rette parallele alla bisettrice del II e IV quadrante, esclusa detta bisettrice (a 0). Invece y = a sono le rette del fascio proprio per l origine, esclusi gli assi cartesiani. Fissato un a 0, restano fissate due rette, una in ogni fascio. Se a = - dette rette sono parallele e, non avendo punti comuni, il problema non ha soluzione. Se a - si ha sempre una soluzione. Punto. Dal sistema () si ottiene l equazione cartesiana del luogo ponendo: y y, che, posto in forma implicita, ci dà la conica + y = y. Essendo il discriminante =, essa è una iperbole. Per studiarla come funzione esplicitiamo rispetto a y. Si ha:

2 y Punto 3. Il grafico di questa funzione è riportato sotto. In esso sono indicati gli asintoti ( =, y = - -) e la bisettrice del I e III quadrante. Questa funzione è definibile in ] -, [ ], + [. Essendo: lim, la retta = è un asintoto verticale per la funzione. Dividendo numeratore e denominatore si ha: Pertanto la retta y = è un asintoto obliquo. La derivata è data da: // // +

3 ( ) y '. ( ) ( ) Riportiamo brevemente uno schema relativo al segno della derivata. - min + + ma - () 0 Gli estremi relativi hanno coordinate min (0, 0); ma (, - 4). Trattandosi di una iperbole, è inutile lo studio della y. Di seguito è riportato il grafico con l aggiunta della curva simmetrica rispetto alla y =. Il grafico è ottenuto scambiando l asse X con l asse Y, come se si osservasse il foglio in trasparenza in modo che l asse Y si veda al posto dell asse X e l asse X al posto di Y (stesso orientamento). Punto 4. Al fine di determinare l area voluta, osserviamo che la retta y = la divide in due parti simmetriche, quindi uguali.

4 Poiché il sistema: y y ha soluzione y y L area cercata sarà data da S = s, con s 3 d d ( ) d log log Questo integrale può essere stimato mediante un metodo numerico. Noi adottiamo ad esempio il metodo dei trapezi di Bezout. L intervallo d integrazione [0, ½] viene diviso in N = 0 parti uguali di ampiezza h = (/ 0)/N. La formula da applicare è: N h A f ( 0 ) f ( i ) f ( N ) i Per il calcolo ci serviamo di una tabella. a b n h 0 0,5 0 0,05 N f() f() 0 0 0,0000 0,05 0,0474 0,0947 0, 0,0889 0, ,5 0,35 0,47 4 0, 0,500 0, ,5 0,667 0, ,3 0,74 0, ,35 0,65 0,33 8 0,4 0,333 0, ,45 0,088 0, ,5 0,0000 tot.,49 Integrale 0,056 Area 0,5 Naturalmente i candidati agli esami potevano usare un N più piccolo per non dilungarsi nel calcolo. 0 4.

5 Punto 5. Utilizzando il sistema () si ha: + y = /y. Da cui, posto =, si ricava y + y = 0. Questa equazione ha soluzioni date da: 5 y. Utilizzando, invece, il sistema () non si può attribuire il valore = in quanto la funzione non è ivi definita. Prof. Ettore Limoli