Nel triangolo isoscele ABC di base AB, prolungare il lato AC e considerare sulla bisettrice dell angolo esterno di vertice C un punto E tale che CE AB. Dimostrare che ABEC è un parallelogramma. Ipotesi: ABC triangolo isoscele di base AB; CE bisettrice di BCD ; CE AB Tesi: ABEC parallelogramma. Dimostrazione: Evidentemente ÂCB+ BCD=π. Siccome per ipotesi CE è bisettrice di BCD allora possiamo dire che ÂCB+2 BCE=π dire che ÂCB+2 ÂBC =π. D'altra parte, per somma interna degli angoli di un triangolo è pure vero che ÂCB+ĈAB+ĈBA=π e siccome per ipotesi il triangolo ABC è isoscele con base AB possiamo Da queste considerazioni, con facili passaggi algebrici ne segue che ÂBC= BCE. Abbiamo così una coppia di angoli alterni interni congruenti osservando le rette AB e CE tagliate dalla trasversale CB. Per il teorema fondamentale delle rette parallele tagliate da una trasversale AB e CE sono parallele. Inoltre i segmenti AB e CE sono congruenti per ipotesi. In conclusione il quadrilatero ABEC ha due lati opposti congruenti e paralleli e quindi è un parallelogramma per uno dei teoremi caratteristici dei parallelogrammi.
2 La forma del corpo di una medusa è quella di un ombrello con un apertura nella parte inferiore dalla quale l acqua e le sostanze nutritive entrano in una cavità digerente. Da qui partono i canali radiali che trasportano il nutrimento in tutto l organismo. Un campione formato da 0 meduse ha determinato la seguente distribuzione del numero dei canali radiali. Numero di canali radiali: 2 6 7 8 Numero di esemplari di medusa: 2 8 8 2 2 Aggiungere le frequenze relative (quante meduse hanno una certa quantità di canali radiali rispetto al totale delle meduse); Determinare media aritmetica, mediana e moda; calcolare scarto semplice medio e deviazione standard. Aggiungiamo le frequenze relative. Il totale delle meduse è 0. Quindi 2 su 0 hanno 2 canali radiali, su 0 hanno canali radiali etc. Numero di canali radiali: 2 6 7 8 Numero di esemplari di medusa: 2 8 8 2 2 frequenze relative: 0,0 0,08 0,6 0,6 0,2 0,08 0,0 Se piace, si può usare anche la formula percentuale: Numero di canali radiali: 2 6 7 8 Numero di esemplari di medusa: 2 8 8 2 2 frequenze relative:,00% 8,00% 6,00% 6,00% 2,00% 8,00%,00% La media aritmetica ci dice quanti canali radiali ha in media una singola medusa, quindi faremo la somma di tutti (ma proprio tutti) i canali radiali e la divideremo per il totale delle meduse. M = 2 2+ + 8+ 8+6 2+7 +8 2 =,08 0 La mediana la individuo mettendo in ordine crescente (o decrescente) i dati e prendendo il dato centrale (se sono dispari) o la media aritmetica dei due dati centrali (se sono pari). Nel nostro caso basta osservare la tabella per capire che i dati al 2 e al 26 posto sono necessariamente entrambi, quindi la mediana è. La moda è il dato più ricorrente, anche in questo caso è, quello con la frequenza relativa maggiore. Infine passiamo a conteggiare gli scarti: lo scarto semplice è il valore assoluto della differenza tra singolo dato e media aritmetica. Lo scarti quadratico è lo scarto semplice al quadrato. Possiamo aggiungere scarti semplice e scarti quadratici alla nostra tabella. Numero di canali radiali: 2 6 7 8 Numero di esemplari di medusa: 2 8 8 2 2 frequenze relative:,00% 8,00% 6,00% 6,00% 2,00% 8,00%,00% Media aritmetica:,08 Scarti semplici:,08 2,08,08 0,08 0,92,92 2,92 Scarti quadratici: 9,86,26,66 0,006 0,86,686 8,26 Scarto semplice medio: 0,982 Varianza:,76 Deviazione standard:,226286 Per calcolare lo scarto semplice medio, calcolo la media aritmetica degli scarti semplici: 2,08 2+,08 +,08 8+,08 8+ 6,08 2+ 6,08 2+ 7,08 + 8,08 2 SSM = =0,982 0 Per calcolare la deviazione standard (o scarto quadratico medio) calcolo prima la varianza, ovvero la media aritmetica degli scarti quadratici:
V = (2,08)2 2+(,08) 2 +(,08) 2 8+(,08) 2 8+(6,08) 2 2+(6,08) 2 2+(7,08) 2 +(8,08) 2 2,76 0 La deviazione standard è la radice quadrata della varianza: DS= V,2 a Un gruppo di operai è stato intervistato sul tempo impiegato per recarsi da casa al lavoro. I dati raccolti, espressi in minuti, sono: 0,, 0, 2, 0,, 20, 60,, 20, 0,, 60, 0, 0. Calcola la media, la moda e la mediana dei tempi. Costruiamo una tabella che riporti tempi e le frequenze assolute: Tempi: 0 20 2 0 60 20 Operai Frequenze assolute: 2 La media aritmetica esprimerà il tempo medio per operaio, quindi sommiamo tutti i tempi e dividiamo per il numero degli operai. M = 0 + +20 +2 +0 +60 2+20 La moda è il dato più ricorrente, quindi è 0 che ha la frequenza assoluta più alta. Per la mediana occorre individuare il dato centrale dopo aver disposto i dati in ordine crescente (o decrescente), quindi ci occorre il dato all'8 posto. Osservando la tabella si nota che il valore 0 occupa i posti dall'8 al 2 e quindi è anche mediana. b Un gruppo di 6 studenti è stato intervistato sulle attività sportive praticate. I risultati sono i seguenti: calcio, tennis, ciclismo, calcio, pallacanestro, ciclismo, tennis, pallavolo, ciclismo, pallacanestro, calcio, tennis, pallavolo, pallacanestro, ciclismo, tennis. Raggruppa i dati e compila la tabella di frequenza; poi calcola le frequenze relative e percentuali. Si tratta soltanto di mettere in ordine i dati. Sport praticati: calcio tennis ciclismo pallacanestro pallavvolo totale studenti frequenze assolute: 2 6 frequenze relative: 0,87 0,2 0,2 0,87 0,2 freq.rel. In percentuale: 8,7% 2,00% 2,00% 8,7% 2,0% Ovviamente le frequenze relative si ottengono dividendo la frequenza assoluta per il totale degli studenti, mentre la forma percentuale si ottiene moltiplicando per 00. Per esempio, per quanti riguarda il calcio: 6 =0,87=8,7 00 = 8,7 %
a x 2 + x+ 2 >0 x 2 + x 2 + 2 >0 x 2 >0 x<0 b 2 x (+x)> 2 2 x x> 2 2 x x> 2 + 2 x> 2 x< c x ( x)< x 2 +2 x x 2 < x 2 +2 x<2 d 6 x+7> (9 x ) 6 x+7> x 6 x x> 7 x> 8 x> 8
e 2 (x+ 2 )>2( x+ 2 ) 2 (x 2 ) 2 x+ >2 x+ 2 x+ 2 x 2 x+ 2 x>+ 0> 2 In questo caso la disequazione è impossibile. f x <2(x 2 ) x <2 x x 2 x< x< 8 x> 8 g 7 x > 2 x+ 2 7 2 x 2 > 2 x 7 2 x+ 2 x> 2 x> x> 6
h x 0 + 2 (x 2 )> 2 ( x 2 ) x 0 0 + 2 x > 2 x x 0 + 2 x 2 x> 0 x 0 + 20 x 0 0 x> 0 x> 0 x< 9 2 i (x )(x+2)+( x)(2 x+) 2 x 2 x 2 x+2 x 2+2 x+ 2 x 2 x 2 x 2 2 In questo caso la disequazione è indeterminata. j ( x )+ x 0 < 0 x 6 ( 8 x 20 ) 20 x+ x 6 < 0 x x+ 2 20 x+ x+0 x+ x< 2 + 6 6 x< 2 x< 2
k (x )(x+) (x ) 2 < (x )(x+) (x ) 2 < 6 x<++9 6 x< x< 6 l (x ) 2 x<( x )(x+) x 2 2 x+ x<x 2 9 x< 0 x>2 m ( x )+2( x+) 2 > x(6 x+) 2 x 20 x +8 x 2 +2 x+2>8 x 2 + x 2 x 20 x +2 x x+2 x> + 2 9 x> x> 9 n (2 x ) 2 (2+x) (2 x+)( 2 x )+2(x+) x 2 x+ 6 x x 2 9+2 x+6 x x 2 x 9+6 +6 9 x 2 x 2 9
o ( x )( x+) ( 2 x) 2+ (x+)2 9 x 2 <0 9 x 2 + x x2 + x 2 + 2 x+ 9 x 2 <0 2 x 7 <0 2 x< 7 x< 7 6 p x 2 ( 2 x)+(x 2) ( 2 x)+(2 x+)( 2 x) 2 x 2 x +x 6 x 2 +2 x 8 +0 x+ x 2 2 x 8 0 x 2 x 0 x 8 2 x x 2 q ( x) 2< 9 x(x 2)+(x 9 x ) x 9 0 9 x+ 2 9 x 2 < 9 x 2 0 9 x+ 20 9 x 2 9 <0 Questa equazione è impossibile.
r 2 (x )+( x 2 2 ) < x2 + x 2 x+ +2 2 2 x 2 2 x +9 x+ < x 2 + x x 2 +2 2 x x x +x< 2 +2+ 2 9 6 x < 6 x> a 6 x y=0 2 x y=8 6 x+ y= 0 2 x y=8 6 x= 2 x= 2 x+6 y= 20 2 x y=8 y= 2 y= x= y= b x y= x+2 y= 6 x 0 y=8 x+0 y= x= x= x y= x 6 y= y= y= x= y= c x y= x y=0 x+ y= x y=0 x= x= x+6 y=2 x y=0 2 y=2 y= x= y=
d 2 x y= 7 x y= 2 x+ y= 7 x y= x= 2 x= 2 x+7 y= 2 x 2 y=2 y= 9 y= 9 x= 2 y= 9 e x+7 y=2 x 2 y= 6 x+ y= 28 x y= 2 x= 7 x= 2 2 x 28 y= 8 2 x 6 y= 9 y= 7 y= 2 x= 2 y= 2 f x y= x+ y=8 x y=2 x+ y=8 x=20 x= x+ y= x+ y=8 y= y= x= y= g x+2 y= 2 x+ y= x+2 y= 2 x 2 y=60 2x=7 x= 2 x+2 y=0 2 x+ y= 2 y=2 y= x= y=
h x+ y= x+2 y= x+ y= 2 x y=2 x=6 x=2 x+ y= x+2 y= 6 y= y= 2 x=2 y= 2 i x y= x+ y= x y= x+ y= x= x= x y= x y= y= 6 y= x= y= j 2 x+ y=8 x+ y=2 2 x y= 8 x+ y=2 x= 6 x= 6 2 x+ y=8 2 x+2 y=2 y=2 y= 2 x= 6 y= 2 k 2 x y=0 x+ y= 6 x y=0 x+ y= 7 x= x= 7 2 x y=0 2 x 6 y= 2 7 y= 2 y= 2 7 x= 7 y= 2 7
l 2 x y=7 x+ y= 6 x y=2 x+ y= 0 x=2 x= 2 x+2 y= x+ y= y= 0 y= 2 x= 2 y= 2 m x= x+2 y=0 Uso il metodo di sostituzione: ( )+2 y=0 x= x= 2 y= x= y= 2 n 2 x y= 2 x+ y= 8 x 2 y=6 6 x+2 y= 2 x=9 x= 9 2 2 x y= 2 x+ y= y= x= 9 2 y= o x+ y=0 x+ y= 2 x y= 0 x+ y= 2 2 x= 2 x= 6 x+ y=0 x+ y= 2 2 y=8 y= x= 6 y=
p x+ y=20 x+7 y=20 x 7 y= 0 x+7 y=20 0 x= 20 x= x y= 20 x+7 y=20 6 y=0 y=0 x= y=0 q 2 x y=7 x y= 6 x+ y= 2 x y= x= 6 x=6 2 x y=7 2 x+6 y= 2 y= x=6 y= r x y= x+ y=9 x y= x+ y=9 2 x=2 x=6 x+ y= x+ y=9 2 y=6 y= x=6 y= z Consideriamo due rette parallele tagliate da una trasversale e i due gruppi di angoli che vengono determinati. Uno di questi angoli ha ampiezza 6, quale ampiezza hanno tutti gli altri? Consideriamo prima gli angoli convessi formati dalla retta incidente con una sola delle due rette parallele: oltre al primo angolo, ne individuiamo un altro di 6, il suo opposto al vertice. Gli altri due angoli sono supplementari ai primi due e quindi la loro ampiezza è 80-6 =. Per il teorema fondamentale delle parallele tagliate da una trasversale gli altri quattro angoli sono congruenti ai quattro descritti sopra. Nel disegno si può vedere una possibile disposizione degli angoli.
2 z Sui lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele consideriamo due segmenti congruenti BD e CE. Dimostrare che DE è parallelo a BC. Ipotesi: ABC triangolo isoscele con AB AC ; BD CE. Tesi: DE BC. Dimostrazione: Osserviamo subito che AD AE perché differenze di segmenti congruenti. Quindi il triangolo ADE è isoscele. Nei triangoli isosceli anche gli angoli alla base sono congruenti, quindi B Ĉ D Ê per quanto riguarda il triangolo ABC isoscele per ipotesi; per quanto riguarda il triangolo ADE isoscele per quanto osservato sopra. Osserviamo adesso che i triangoli ADE e ABC hanno l'angolo  in comune, quindi, considerato anche che la somma interna degli angoli di un triangolo è 80, siamo in grado di dire che ciascun 80  angolo alla base dei due triangoli isosceli ha ampiezza. 2 Quello che ci interessa è che, per fissare le idee, abbiamo B D. Tali angoli sono corrispondenti per le rette DE e BC tagliate dalla trasversale AB. Per il teorema fondamentale delle parallele tagliate da una trasversale abbiamo la tesi. z Consideriamo un parallelogramma ABCD. Dimostrare che i triangoli ABC e ACD sono congruenti. Ipotesi: ABCD parallelogramma; Tesi: triangoli ABC ACD Dimostrazione: I parallelogrammi hanno i lati opposti congruenti e anche gli angoli opposti sono congruenti. Quindi i triangoli ABC e ACD hanno due lati congruenti e l'angolo compreso congruente, per il primo criterio di congruenza abbiamo la tesi.
z Dimostrare che se per i vertici di un triangolo si conducono tre segmenti congruenti, paralleli e nello stesso verso, i loro secondi estremi sono vertici di un triangolo congruente a quello dato all'inizio. Ipotesi: CF AD BE CF AD BE Tesi: i triangoli ABC FDE Dimostrazione: Utilizzeremo le proprietà dei parallelogrammi. Osserviamo per primo il quadrilatero ADFC: i due lati CF e AD sono congruenti e paralleli per ipotesi, allora ADFC è un parallelogramma. In particolare DF AC. Possiamo fare analoghi ragionamenti per altri due quadrilateri e osservare che AB DE e che CB FE. I triangoli ABC e FDE sono dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza. z Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Consideriamo i punti D sul lato AB e E sul lato AC tali che AD AE. Dimostrare che il quadrilatero BCED è un trapezio isoscele. Ipotesi: ABC isoscele con AB AC ; AD AE Tesi: BCED trapezio isoscele Dimostrazione: La figura è la stessa della domanda 2z e da lì possiamo importare anche parte della dimostrazione. Rispondendo alla domanda 2z abbiamo infatti già dimostrato che BC DE. Ovviamente BD e EC non possono essere paralleli, perché le rette che definiscono si incontrano in C. Dunque possiamo affermare che il quadrilatero BCED è un trapezio con basi BC e DE. Siccome per ipotesi AD AE possiamo affermare che BD CE in quanto differenze di segmenti congruenti, allora il trapezio è pure isoscele come ci chiede la tesi.