Esercitazione Scritta di Controlli Autoatici 2-2-28 Si consideri il sistea eccanico in figura. I k 2 r F θ b k Figura : Modello del sistea. EssoècostituitodaundiscodiinerziaI,alcuiinterno,inunascanalaturadiaetrale,èpostauna assa ancorata al centro del disco ediante una olla di costante elastica k 2 e lunghezza a riposo nulla. Ildiscoèliberodiruotareinunpianoorizzontaleintornoalsuoassecentraleedèsoggettoaduna coppiaelasticadicostantek eadunacoppiadiattritoviscosodicostanteb. Indicandoconθl angolo forato dalla scanalatura rispetto ad un riferiento dato, con r l elongazione della olla e con F la forza di controllo sulla assa, la dinaica del sistea può essere espressa dalle seguenti equazioni: ( I+r 2 ) θ+2rṙ θ+b θ+k θ= Si dispone della isura dell elongazione r. r θ 2 r+k 2 r=f. A Si calcolino gli equilibri del sistea e le corrispettive forze e si linearizzi il sistea rispetto all equilibrio studiandone raggiungibilità ed osservabilità. Si dia una interpretazione fisica dei rsultati. B Dati i seguenti valori nuerici: = kg, I = 3 kg/ 2, k = N/rad, k 2 = 5 N/, b=ns/rade F =2.5 N, si porti il sistea in fora standard di Kalanese ne studi la stabilizzabilità e la detettabilità. Si riporti esplicitaente il sottosistea raggiungibile e osservabile; C Si progetti un copensatore che, usando solo la isura dell uscita, stabilizzi asintoticaente il sistea nell equilibrio dato precedenteente; D Si effettui una siulazione del sistea a ciclo chiuso ottenuto connettendo il controllore con il odello non lineare del sistea.
Soluzione A Iponendo le condizioni di equilibrio si ottiene: =k θ = k 2 r+f, dacuisihachequalunquevaloredell elongazionerpuòesserepuntodiequilibrioapattochevisia una forza di controllo in grado di bilanciare quella della olla. In particolare il punto di equilibrio èdatoda [ θ r θ ṙ ] T = [ r ] T, cuicorrispondeunaforza F =k 2 r. Leequazionidelsisteanonlineareinvariabilidistatotraslate x=[ x, x 2, x 3, x 4 ] T =[x x,x 2 x 2,x 3 x 3,x 4 x 4 ] T =[θ,r r, θ,ṙ] T,sonoleseguenti: x = x 3 x 2 = x 4 x 3 = I+( x 2 + x 2 ) 2[ 2( x 2+ x 2 )( x 3 )( x 4 ) b( x 3 ) k ( x )] x 4 =( x 3 ) 2 ( x 2 + x 2 ) k 2 ( x 2+ x 2 )+ F+ F. Il sistea linearizzato nell equilibrio precedente è dato da: x=a x+bũ ỹ=c x, con A= k b, B= I+ x 2 2 I+ x, 2 2 k2 C= [ ]. Valutiao la raggiungibilità del sistea: R= [ B AB A 2 B A 3 B ] = k2 2. k2 2 La atrice di raggiungibilità ha rango 2, quindi il sistea non è copletaente raggiungibile traite la forza F. È fisicante evidente che il sottospazio di raggiungibilità non contiene oti che coinvolgono le rotazioni del disco, che non sono controllabili dall ingresso radiale F. La atrice di osservabilità è data da: C O= CA CA 2 = k2 CA 3, k2 che ha evidenteente rango 2. Il sistea non è quindi copletaente osservabile dalla isura dell uscita r. Dalla analisi dello spazio inosservabile risulta che la posizione e la velocità angolare del disco non hanno influsso sulla variabile isurata r. Questo coincide con la intuizione fisica solo nelle ipotesi in cui è valida la linearizzazione, cioè di basse velocità angolari.
B SostituendoivalorinuericiinA,ReO,etenendocontoche r= F k 2 =.25,siha: A=.5748 3 5.748, 5 R= 5, 5 O= 5. 5 Allo scopo di portare il sistea in fora canonica, consideriao i sottospazi di raggiungibilità e di inosservabilità. Dalla atrice di raggiungibilità si ha che il sottospazio di raggiungibilità può essere descritto coe segue: R=span,, entre il sottospazio di inosservabilità: Ō=ker(O)=span,. SivedecheR Ō={ },quindiglistatiraggiungibilisonoancheosservabili. Sihaquindichela atricedicabiodibaseingradodiportareilsisteainforacanonicaèsepliceente T = [ ] T RO T RŌ =. Il sistea in fora di Kalan risulta Â=T AT = Ĉ=CT = [ ]. 5 5.748.5748 3, ˆB=T B= Dacuisivedecheilsistearaggiungibileeosservabileèdatoda: [ ] [ A RO =, B 5 RO = C ] RO = [ ]. Talesisteaèetastabileavendoautovaloriiaginaripuriin± 5i,entreglialtriautovalori (relativi al sottosistea non raggiungibile o non osservabile) sono a parte reale negativa. Quindi il sistea risulta non asintoticaente stabile a stabilizzabile e detettabile. In particolare, il sistea raggiungibile e osservabile, è l unico a partecipare al rapporto ingresso-uscita, quindi G(s)=C(sI A) B=C RO (si A RO ) B RO = (s+5) 2. C Progettiao il copensatore basato su regolatore direttaente sul sottosistea raggiungibile e osservabile. CalcoliaolaatriceK RO diretroazionedeglistatiinododaallocareipolidelsistea
aciclochiuso,cioègliautovaloridellaatricea RO B RO K RO,inp= [ 5 ]. Utilizzando il coando Matlab Kro = place(aro,bro,p) si ottiene: K RO = [ 25 ]. SipuòrealizzareunosservatorediLuenbergerperricostruirelostato. LaatriceL RO diiniezione delleusciteècalcolatainodochelaatricedinaicadellostiatorea RO L RO C RO abbiaautovalori q = 2p. Sepre ipiegando il coando Matlab Lro = transpose(place(aro,cro,q)), si ottiene: [ ] 5 L RO =. 55 Il copensatore basato sul regolatore appena progettato ha dinaica K RO (si A RO +B RO K RO +L RO C RO ) L RO e si costruisce col coando rsys = reg(sysro,kro,lro), dove Sysro = ss(aro,bro,cro,). D Uno schea Siulink del sistea stabilizzato, rappresentato rispetto a variabili traslate, è riportato infigura2. s Integratore theta_tilde r_tilde x punto MATLAB Function Sistea non lineare in variabili traslate thetadot_tilde rdot_tilde u_tilde x = Ax+Bu y = Cx+Du y_tilde Cs* u u_tilde controllore C Figura 2: Schea Siulink del sistea non lineare stabilizzato con controllore lineare. Il sistea è rappresentato rispetto a variabili traslate. Il blocco Siulink Sistea non lineare in variabili traslate contiene la seguente funzione: function out = SisteaNONLineare(in) % Ingressi del blocco x_tilde = in(); x2_tilde = in(2); x3_tilde = in(3); x4_tilde = in(4); u_tilde = in(5); % Costanti del sistea e punto di equilibrio ParaetriSistea; % Dinaica del sistea dot_x_tilde = x3_tilde; dot_x2_tilde = x4_tilde; dot_x3_tilde = inv(i+*(x2_tilde+x2_bar)^2)*(-2**(x2_tilde+x2_bar)*... (x3_tilde+x3_bar)*(x4_tilde+x4_bar)-b*(x3_tilde+x3_bar)-... k*(x_tilde+x_bar));
dot_x4_tilde = (x3_tilde+x3_bar)^2*(x2_tilde+x2_bar)-k2/*(x2_tilde+x2_bar)+... (u_tilde+u_bar)/; % Uscite del blocco out() = dot_x_tilde; out(2) = dot_x2_tilde; out(3) = dot_x3_tilde; out(4) = dot_x4_tilde; dove lo script ParaetriSistea contiene i valori nuerici di tutti i paraetri del sistea e il punto di equilibrio. Il blocco controllore contiene le atrici del regolatore precedenteente progettato. Per valutare il controllore lineare, consideriao l evoluzione del sistea a ciclo chiuso a partire da condizioniiniziali[ x, x 2, x 3, x 4 ] T =[,.4,,] T. Lefigure3,4,5e6riportanol andaentodello scostaentodalpuntodiequilibriodellevariabiliθ,r, θeṙrispettivaente..8.6.4 θ_tilde.2.2.4.6.5.5 2 2.5 tepo (s) Figura 3: Andaento dello scostaento di θ rispetto al valore di equilibrio. Nella figura 7, invece, è riportato l andaento della forza F rispetto al suo valore di equilibrio.
.8.7.6.5 r_tilde.4.3.2..5.5 2 2.5 tepo (s) Figura 4: Andaento dello scostaento di r rispetto al valore di equilibrio. 5 θdot_tilde 5 5 2.5.5 2 2.5 tepo (s) Figura5: Andaentodelloscostaentodi θrispettoalvalorediequilibrio.
5 4 3 2 rdot_tilde 2 3.5.5 2 2.5 tepo (s) Figura 6: Andaento dello scostaento di ṙ rispetto al valore di equilibrio. 2 u_tilde 2 3 4 5 6 7.5.5 2 2.5 tepo (s) Figura 7: Andaento della forza F rispetto al suo valore di equilibrio.