DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY 1
1. Giovedì 21/10/2010 Presentazione del corso. Equazione del calore: derivazione dall ipotesi di Fourier. Legge di Fick ed equazione della diffusione. Equazione della corda vibrante. Equazione delle onde in più dimensioni. Per casa 1.1. Verificare che f(x ct) e g(x + ct) sono soluzioni dell equazione delle onde. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.4. 2. Lunedì 25/10/2010 Il Principio di Dirichlet. L equazione di Laplace come caso stazionario dell equazione delle onde e del calore. Problemi al contorno. Necessità di specificare il dominio di definizione della soluzione. Natura dei dati per l equazione di Laplace, e per le equazioni di evoluzione. Soluzioni per variabili separabili in dimensione spaziale 1. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1. 3. Mercoledì 27/10/2010 Soluzioni per variabili separabili dell equazione delle onde. Onde stazionarie, armoniche, nodi. Onde stazionarie come soluzioni del problema di Cauchy e di problemi al contorno. Teorema 3.1. Le soluzioni dell equazione delle onde in dimensione spaziale uno (definite in un rettangolo) sono della forma Esercizio 6/300. Laplaciano per funzioni radiali. u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct). Paragrafi di riferimento sul testo: 2.4, 3.1, 3.2, 3.3. 2
4. Giovedì 28/10/2010 Dimostrazione della rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per l equazione delle onde in dimensione 1 mediante la formula di D Alembert. Esercizi 5/300, 1,2/310. Integrali di funzioni continue su intervalli illimitati. Paragrafi di riferimento sul testo: 10.1. 5. Mercoledì 3/11/2010 Analisi del comportamento della formula di D Alembert per dati iniziali funzioni caratteristiche dell intervallo (a, b). Problemi di Neumann e di Dirichlet per le equazioni di Laplace e del calore. Condizione necessaria per l esistenza di soluzioni del problema di Neumann per l equazione di Laplace. Principi di massimo e di minimo per l equazione di Laplace. Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2, 2.3, 2.8, 4.1. 6. Giovedì 4/11/2010 Principi di massimo e di minimo per l equazione del calore. Principi di massimo forte per le equazioni di Laplace e del calore. Esercizi: 11,13/430; 4/420. Reversibilità dell equazione delle onde e irreversibilità dell equazione del calore; ossia, con il cambiamento di variabile t t l equazione delle onde rimane invariata, mentre quella del calore no. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.3. 3
7. Lunedì 8/11/2010 Tentativo di risoluzione per separazione di variabili di problemi al contorno per l equazione del calore e quella delle onde. Autofunzioni del laplaciano; autovalori. Calcolo delle autofunzioni per il problema di Dirichlet in dimensione 1. Teorema 7.1. Gli autovalori dei problemi di Neumann e di Dirichlet sono non negativi. L autovalore nullo esiste solo nel problema di Neumann. Identità di Green. Teorema 7.2. Autofunzioni (per lo stesso problema) con autovalori diversi sono ortogonali, nel senso che ϕ 1 ϕ 2 = 0. Confronto con il caso delle matrici. Lemma di Hopf, e lemma di Hopf parabolico. Ω Esercizio 7.3. 6/420 (versione con dati di Dirichlet nulli): metodo delle soprasoluzioni. Per casa 7.4. 6/420 (versione con dati misti nulli). Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6, 4.5, 4.6, 5.1, 5.2. 8. Mercoledì 10/11/2010 Calcolo delle autofunzioni per il problema di Neumann in dimensione 1. Sviluppi in serie di autofunzioni di soluzioni di e.d.p. non omogenee, ma con dati al bordo omogenei: significato e uso delle condizioni al bordo per le autofunzioni. Problemi di Cauchy per e.d.o. che determinano i coefficienti dello sviluppo in serie. Questione della sviluppabilità di una funzione qualunque in serie di autofunzioni. Esercizio 8.1. 6/420 (anche versione con dati misti nulli, uso del lemma di Hopf), 20/470. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3. 4
9. Giovedì 11/11/2010 Teorema dell energia per l equazione del calore (Teorema 6.5). Applicazioni all unicità di soluzioni e alla dipendenza continua. Definizione di prodotto scalare e norma in L 2 (I). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare. Disuguaglianza f g f g. Convergenza in L 2 (I) di successioni e serie. Continuità del prodotto scalare rispetto alla convergenza in L 2 (I). Definizione di funzioni ortogonali. Funzioni ortogonali sono linearmente indipendenti. Lo spazio L 2 (I) ha dimensione infinita. Esercizio 9.1. 9/480; 1/490 (problema a frontiera libera per il cambiamento di fase). Paragrafi di riferimento sul testo: 6.2, 7.1, 7.2. 10. Lunedì 15/11/2010 Confronto del metodo di Fourier con la costruzione di integrali generali per sistemi di e.d.o. mediante autovettori e autovalori. Definizione di sistemi ortonormali {ϕ n } e di di sistemi ortonormali completi. Problema di determinare la migliore approssimazione di f nella forma k c n ϕ n, n=1 e scelta dei c n = (f, ϕ n ). Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval come criterio necessario e sufficiente per la completezza. Sistema dei seni, dei coseni e di Fourier. Esempio di risoluzione di un problema ai valori iniziali e al contorno per serie di Fourier; importanza della scelta del sistema ortonormale con le giuste condizioni al contorno. Esercizio: 23/480. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4. 5
11. Giovedì 18/11/2010 Un sistema ortonormale è completo se e solo se per ogni f e g (f, g) = (f, ϕ n )(g, ϕ n ). n=1 Se il sistema di Fourier è completo lo sono anche il sistema dei seni e quello dei coseni. Trasformazioni di sistemi ortonormali da un intervallo all altro. Esercizio 7/610 (varie versioni): riflessioni intorno a uno degli estremi. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.4, 8.1, 8.2, 8.3. 12. Mercoledì 24/11/2010 Il fenomeno di Gibbs. Sviluppi di funzioni regolari in serie di Fourier. Esercizi sul metodo di Fourier. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.4, 8.5. 13. Giovedì 25/11/2010 Se {ϕ n } [risp. {ψ m }] è completo in L 2 (I) [risp. L 2 (J)], allora {ϕ n ψ m } è completo in L 2 (I J). ((s.d.)) Sistemi ortonormali di autofunzioni del laplaciano in dimensione N > 1: il caso di Ω prodotto di intervalli e il caso generale. Esercizi sul metodo di Fourier per l equazione di Laplace. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.7, 9.1. 14. Lunedì 29/11/2010 Sospensione della didattica decisa dalla Facoltà. 15. Mercoledì 1/12/2010 Soluzioni dell equazione di Laplace a variabili separate in coordinate polari. Metodo di Fourier per l equazione di Laplace in coordinate polari. Esercizi sul metodo di Fourier in dimensione spaziale 2. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.2, 9.4. 16. Giovedì 2/12/2010 Autofunzioni del laplaciano nel cerchio; funzioni di Bessel. Esercizi sul metodo di Fourier in dimensione spaziale 2: 1/615. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5. 6
17. Lunedì 6/12/2010 La formula di Poisson nel cerchio come conseguenza della rappresentazione per serie della soluzione. Nuclei di approssimazione. Il teorema fondamentale: la convoluzione di una funzione integrabile e limitata con una famiglia ϕ λ di nuclei di approssimazione approssima il valore della funzione, nei punti di continuità, per λ 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.4, 11.1. Continuità di 18. Giovedì 9/12/2010 f ϕ λ (x), λ > 0, u(x, λ) = f(x), λ = 0, fino su λ = 0. (s.d.) La δ di Dirac come limite dei nuclei di approssimazione. Formula di rappresentazione della soluzione dell equazione di Laplace nel semispazio. Teorema di esistenza e unicità della soluzione limitata del problema nel semispazio per l equazione di Laplace. Teorema 18.1. Se u è la soluzione limitata del problema nel semispazio per l equazione di Laplace, con dato u 0, allora: m u 0 M = m u M ; u 0 < = u(x, y) C y. N R Esercizi 6, 17, 21/530. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.1, 11.2. 7
19. Lunedì 13/12/2010 Il problema di Cauchy per l equazione del calore. La formula di rappresentazione, la soluzione fondamentale. Comportamento asintotico di soluzioni con dato iniziale integrabile: Teorema 19.1. Se u è la soluzione limitata del problema di Cauchy per l equazione del calore, con dato u 0, allora: m u 0 M = m u M ; u 0 < = u(x, t) C t. N/2 R Il moto browniano e l equazione della diffusione: derivazione di Einstein. Il significato probabilistico della diffusività e della soluzione fondamentale. Spostamento medio in un intervallo (0, t) proporzionale a t. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.3, 1.2. 20. Mercoledì 15/12/2010 Proprietà qualitative dell equazione del calore: Propagazione con velocità infinita. Diffusione della massa come t. Effetto regolarizzante. Esercizi: 7,29/520 Paragrafi di riferimento sul testo: 11.4. 21. Lunedì 20/12/2010 Confronto tra l equazione della diffusione e un cammino aleatorio su una griglia discreta. La formula di Kirchhoff per la soluzione del problema di Cauchy per l equazione delle onde in dimensione N = 3; commenti qualitativi. Paragrafi di riferimento sul testo: 10.2. 22. Mercoledì 22/12/2010 Il metodo della discesa. La formula di Poisson per la soluzione del problema di Cauchy per l equazione delle onde in dimensione N = 2; commenti qualitativi. Il principio di Duhamel. Applicazione all equazione delle onde in dimensione N = 1 e N = 3, e all equazione del calore. Esercizi: 1/315, 1/350. Paragrafi di riferimento sul testo: 10.3, 12.1, 12.2, 12.3. 8
23. Lunedì 10/1/2011 Stima dell energia per l equazione delle onde omogenea (senza dimostrazione). Applicazioni all unicità e alla dipendenza continua dai dati. Stima dell energia per l equazione del calore non omogenea (con dimostrazione). Applicazione alla convergenza nel senso L 2 delle serie ottenute con il metodo di Fourier alla soluzione del problema ai valori iniziali e al contorno. Esercizio: 22/630. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, 6.2, 9.1. 24. Mercoledì 12/1/2011 Trasformata di Fourier: definizione e proprietà. Calcolo del nucleo integrale della formula di rappresentazione per il problema per l equazione di Laplace nel semipiano. Esercizi: 2/820. Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.3. 25. Giovedì 13/1/2011 Trasformata di Laplace: definizione e proprietà. Uso della trasformata di Laplace per risolvere problemi di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie. Esercizi: 1,4/960, 2/810, 1/525. Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3. 26. Mercoledì 19/1/2011 Uso della trasformata di Laplace per risolvere problemi per l equazione del calore: problema di Cauchy, problemi in un quarto di piano, problemi in una striscia. Esempio di adimensionalizzazione del problema: u t Du xx = 0, x > 0, t > 0, u x (0, t) = αu(0, t) + β, t > 0, u(x, 0) = 0, x > 0. 9
27. Giovedì 20/1/2011 L operatore bilaplaciano 2 : Autovalori e autofunzioni per il il bilaplaciano. Soluzioni a variabili separabili in R 2. Il metodo di Fourier in un rettangolo, con condizioni u = 0, u xx = 0 sui bordi. [Nel seguito la sigla APS indica il testo: A.P.S. Selvadurai, The biharmonic equations, Poisson s equations. (Partial differential equations in mechanics 2), Springer, 2000] Paragrafi di riferimento sul testo: APS pag. 339 344, 351 353. 28. Lunedì 24/1/2011 Varie condizioni al bordo per il bilaplaciano (in R 2 ). Soluzione polinomiale dei problemi e 2 u = 0, x < a/2, y < b/2, u xx + νu yy = λ, x = ±a/2, νu xx + u yy = µ, y = ±b/2, u xy = λ R, sulla frontiera; 2 u = 0, x < a/2, y < b/2, u xx = u yy = 0, u xy = λ R, sulla frontiera; sulla frontiera. Soluzione per serie del problema con carico concentrato 2 u = f(x)δ(y), u = u xx = 0, x = 0, π, 0 < x < π, < y < u(x, y) 0, per y. Paragrafi di riferimento sul testo: APS, pag. 332 339, 353 357. 10
29. Mercoledì 26/1/2011 Teorema: se uèarmonica, allora u, xu, yu, (x 2 +y 2 )usonobiarmoniche. Il bilaplaciano per funzioni radiali. Soluzione polinomiale del problema 2 u = P 0 R, u(a) = 0, u r (a) = 0. Soluzione del problema singolare 2 u = 2P 0 δ(x, y), u(a) = 0, u r (a) = 0 mediante la soluzione fondamentale r 2 ln r. r < a r < a Paragrafi di riferimento sul testo: APS, pag. 187 188, 305 312. Esercizi di ricapitolazione: 6/470, 17/420, 17/520, 17/610. 30. Giovedì 27/1/2011 11