Uiversitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea i Matematica Tutorato di AM20 A.A. 203-204 - Docete: Prof. G.Macii Tutore: Matteo Bruo ed Emauele Padulao Soluzioi 5-2 Marzo 204. Al solito specificheremo gli sviluppi utilizzati per lo svolgimeto dei iti esercizio per esercizio : e x + l x+ e a : Gli sviluppi che ci iteressa utilizzare soo 2coshx sihx e x x + x2 2 x3 6 + ox3 l + x x x2 2 + x3 3 + ox3 Utilizzadoli abbiamo che e x + l x+ e 2coshx sihx coshx + x2 2 + ox3 sihx x + x3 6 + ox3 x + x2 2 x3 6 + x x2 2 + x3 3 + ox3 2 + x2 2 + ox3 x + x3 6 + ox3 x3 6 + x3 3 + ox3 x 2 + ox 3 x + x3 6 + ox3 6 + o + o 6 ; [ ] 4 cos2x + si 2 2x b 2 xe 2x : Gli sviluppi che dobbiamo utilizzare soo cosh2x 2x e x + x + x2 2 + x3 6 + ox3 cosx x2 2 + x4 24 + ox4 cosí da otteere che [ ] 4 cos2x + si 2 2x 2 xe 2x cosh2x 2x [ 4 [ 4 coshx + x2 2 + ox3 six x x3 6 + ox4 2x 2 + 2 ] 2 3 x4 + 2x 2 3 x3 + ox 3 + ox 4 x + 2x + 2x 2 + 4 3 x3 2x 2 2x + ox 4 ] 2x 2 + 2 3 x4 + 2x 2 4 3 x4 + ox 4 4 8 3 6 3 + o 4 3 + o 2 ; 3 x4 + ox 4 6 cosh x 6 cos x tax 3 c 5 si 2 x 5 arcsi 2 : Gli sviluppi che dobbiamo utilizzare x soo arcsix x + x3 6 + ox4 tax x + ox cosx x2 2 + ox3 six x x3 6 + ox3 coshx + x2 2 + ox3
2 per cocludere che 6 cosh x 6 cos x tax 3 5 si 2 x 5 arcsi 2 x d 6 + x 2 + ox 6 x 2 + ox x 3 + ox 3 2 2 5 x x3 6 + ox3 5 x + x3 6 + ox3 6x + oxx 3 + ox 3 6x 4 + ox 4 5 x 2 x4 3 x2 x4 3 + ox4 0x 4 + ox 4 6 + o 0 + o 3 5 ; arctasix x cosx + x 6 α, α R : Gli sviluppi da utilizzare soo arctacosx arctax x x3 3 + x5 5 + ox5 six x x3 6 + x5 20 + ox5 cosx x2 2 + x4 24 + ox5 e Applicadoli abbiamo che arctasix x cosx + x 6 α arctacosx arcta x x3 6 + x5 + + + x x2 2 + x4 20 + ox5 x 6 α arctacosx x 3 3 3 x5 30 3 x x3 6 + x5 20 + ox5 + 5 x 3 3 x5 30 3 24 + ox5 x x3 6 + x5 20 + ox5 5 + ox 5 x 6 α arctacosx x 3 x5 2 + ox5 + x5 5 + ox5 x 6 α arctacosx + 0 se α,, + 4 3π se α ± + se α, + x α + ox α 3 arctacosx x 5 5 + ox5 x 6 α arctacosx NB. I questo esercizio, fermado gli sviluppi prima del quito ordie avremmo semplicemete scoperto che il umeratore é u o-piccolo di x 4. Soo cose come queste a doverci far capire che dobbiamo aggiugere termii allo sviluppo, perché altrimeti o giugiamo ad ua determiazioe precisa del ite. x + e 2 si x abbiamo che x 3 x x + [ l + 4x x ] : Essedo l + [ x x + 4x l + ] 4x 4 x + 4x e 2 si x x 3 x [ l + x ] 4x 4 x + e 2 4 x 3. si x x ;
3 Applicado il cambio di variabile x y abbiamo che x + e 2 si x x 3 x [ l + x ] 4x 4 y 0 A questo puto utilizziamo gli sviluppi di Taylor e 2y3 siy y. e y + y + oy siy y y3 6 + oy3 per otteere che x + e 2 si x x 3 x f sil2x + e 2x + tax 2 e x + x + x2 2 + ox2 six x + ox Tramite essi troviamo che [ l + x ] 4x 4 y 0 2y 3 + oy 3 y3 6 + oy3 4 y 0 : Gli sviluppi che ci servoo soo 2 + o 3 ; + o 6 l + x x x2 2 + ox2 tax x + ox sil2x + e 2x + si 2x 2x 2 + ox 2 2x 2x 2 + ox 2 + tax 2 x 2 + ox 2 2x 2x 2 2x 2x 2 + ox 2 4 + o x 2 + ox 2 + o 4. 2. a Come giá visto ell esercizio 3. d del tutorato 3 abbiamo che + x l tah x x 2k+ x 2k +. k 0 Il ostro scopo é calcolare l3, cioé tah 4 5 essedo + x x 3 + x x 9 + x 9 9x x 4 5. I questo caso é arduo capire chi é f + ξ, ξ approccio umerico. Essedo per trovare l tale che k 0 k0 4 2k+, 098 2k + 52k+ 4 2k+, 09? 2k + 52k+ 0, 4 5, perció teteremo u possiamo procedere aumetado via via il valore di fio a giugere al valore desiderato.
4 Procededo i tale maiera scopriremo che il miimo che soddisfa quato richiesto é 6. Per tale valore di abbiamo che 6 k0 4 2k+, 093 2k + 52k+ metre per 5 il valore della serie é, 088 ; b x six x 2 abbiamo che : Essedo six k 0 k 2k +! x2k+ x six x 2 x six x 2 x k 0 k 2k +! x2k x x k 2k +! x2k k cioé x six x 2 k k+ 2k +! x2k Ovviamete dal risultato otteuto, per calcolare si2 ci basta iazitutto ritorare alla formula dello sviluppo i serie di McLauri di six per otteere che si2 k 0 k 2k +! 22k+ k0 k 2k +! 22k+ + R 2. Procededo i maiera aaloga a quato fatto el tutorato scorso adiamoci a stimare R 2 : Ora R 2 [ d 2+3 dx 2+3 ] six xξ 2 + 3! 2 2+3 22+3, ξ 0, 2. 2 + 3! 2 2+3 2 + 3! 2 + 3! 0 2 800 4 3. Vediamo se il risultato é soddisfacete : 3 k0 k 2k +! 22k+ 2 4 3 + 4 5 8 35 286 0, 907 35 e poiché si2 0, 909 abbiamo svolto il ostro lavoro correttamete. 3. Il raggio di covergeza r di ua serie di poteze 0 a x é pari a r sup a a a +. Trovato il valore di tale ite avremo che la serie coverge per x < r. Per vedere cosa accade sul bordo dell itervallo di covergeza r, r bisoga studiare la serie co x ±r e vedere se coverge.
5 a x : Abbiamo che la serie coverge x R i quato r sup sup ; b x e x per gli sviluppi i serie di McLauri, ergo la serie coverge! x R ; c + x 3 + 2 3 : Sia x3 y cosí da avere che + x 3 + 2 3 + y + 2 3. Calcoliamo il raggio di covergeza di questa serie : r + +2 +2 +3 3 3 3 + + + 3 + 2 2 3 quidi la serie coverge per y 3, 3. Torado alla variabile di parteza possiamo cocludere che la serie coverge per x 3 3, 3 3. Vediamo il comportameto al bordo dell itervallo di covergeza : Se x 3 3 abbiamo + + 2 che o coverge i quato il termie -esimo o tede a 0 per. Se x 3 3 abbiamo + + 2 che o coverge i quato il termie -esimo o ammette ite per. d x! : Pare evidete che se x la serie o puó covergere. Se x 0, abbiamo che x! < x < + i quato, tolti i primi due termii che soo uguali, per il resto la serie di destra cotiee tutti i termii della serie di siistra piú molti altri e poiché la serie di destra coverge, o puó o covergere ache quella di siistra. Se x 0 ovviamete la serie é ulla, metre se x, 0 la serie coverge per il criterio di Leibiz. Duque la serie coverge se x < ; e! x : Abbiamo che r ergo la serie coverge solo per x 0 ;! +! + 0
6 f x α, α R+ : Essedo r sup α sup α sup Duque la serie coverge per x < α R +. Vediamo cosa accade per x ± : Se Duque Se x g x : Essedo x x α < per e α l α < α > ; α. α < α R + per il criterio di Leibiz. r sup sup x [, se α 0, ] x [, ] se α > sup e l ; abbiamo che la serie coverge per x <. Sul bordo dell itervallo di covergeza abbiamo che se x e l ; se x. Duque la serie o coverge per x ± i quato i etrembi i casi il termie -esimo o tede a 0 ; h x l + : Essedo r sup l + abbiamo che la serie coverge per x <. Vediamo cosa accade per x ± : se x possiamo dire che la serie coverge per il criterio di Leibiz ; Se x possiamo otare che, essedo l + <, abbiamo che. Essedo le serie a termii positivi possiamo cocludere che l+ > e quidi la serie o coverge. l + > Duque la serie coverge per x [,.
7 i [ll3]x : Al solito usado il criterio della radice -esima scopriamo che r. Ache i questo caso, possiamo usare le stesse argometazioi dell esercizio g per cocludere che la serie diverge sul bordo dell itervallo di covergeza ; j 2 + 2 2 2 x : Abbiamo che r + 2 2 2 ++ + 2 2 +4 + 2 3 + 2 3 + 2 3 2 + 2 + + + 2 + 2 2 + + + duque la serie coverge per x <. Per x la serie coverge per il criterio di Leibiz. Essedo abbiamo che 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 + 2 3 ergo la serie o coverge per x, e quidi possiamo cocludere che la serie coverge per x [, ; x k : La serie coverge per x per quato visto ell esercizio f ; 2 l + x x + x : α + β : Aalizziamo le due serie distitamete : α : Per l esercizio f la serie coverge per x [, ; β : Essedo r sup abbiamo che la serie coverge per x <. Aalizziamo il comportameto sul bordo dell itervallo di covergeza : Per x la serie coverge per il criterio di Leibiz ; Per x la serie diverge baalmete. Duque β coverge per x, ]. Duque la serie α + β covergerá per gli x per cui covergoo etrambe le serie, ergo per x < ; m 2 + 3 x 2 x + 3 x : α + β : Ache i questo caso aalizziamo le due serie separatamete : + + + + + + +
8 α : Essedo 2 r 2 + 2 abbiamo che la serie coverge per x < 2. Essedo per x ± la serie pari a e rispettivamete abbiamo che la serie o coverge per x ± ; β : Essedo 3 r 3 + 3 abbiamo che la serie coverge per x < 3. Essedo per x ± la serie pari a e rispettivamete abbiamo che la serie o coverge per x ±. Duque la serie α + β covergerá per gli x per cui covergoo etrambe le serie, ergo per x < 3 ; x 2 0 2 + 2 : Essedo r 2 2 +2 2 + 2 +2+3 2 + 2 + 3 2 2 2 + 2 abbiamo che la serie coverge per x < 2. Sul bordo dell itervallo di covergeza abbiamo che la serie coverge perché per x ±2 la serie é pari a 0 2 + 2 e 0 2 + 2 rispettivamete e 0 2 + 2 che coverge ; 2 0 2 coverge per il criterio di Leibiz. + 2 Duque la serie coverge per x 2 ; o x, β > 0 : Effettuiamo la sostituzioe x y e studiamo la serie β Essedo r sup y β. β sup β abbiamo che la serie coverge per y <. Per vedere cosa accade sul bordo distiguiamo i piú casi :
9 Se β 0, abbiamo che Se y la serie coverge per il criterio di Leibiz ; Se y la serie coverge i quato β o, difatti 2 quidi β 2 β < 2 β 0 2 <. Duque, per β 0, la serie coverge per y ; Se β la serie o coverge per y ± per gli stessi motivi dell esercizio m ; Se β > la serie o coverge per y ± per le stesse argometazioi dell esercizio g. Duque y β < per y [, ] se β 0, y, se β Toriamo ora alla serie di parteza : essedo x y + abbiamo duque che. x β < per x [0, 2] se β 0, x 0, 2 se β. 4. Seguiremo la stessa scaletta presetata elle soluzioi dello scorso tutorato : a f x e ex : La fuzioe o ha puti di discotiuitá. Ioltre, essedo l espoeziale sempre positivo, avremo che f x > 0 x R. Poiché la fuzioe o ha puti di discotiuitá, o ha emmeo asitoti verticali. Poiché x eex y é u asitoto orizzotale per f x. Ioltre e ex x + eex + x + x duque la fuzioe va a + per x + seza avviciarsi u asitoto obliquo. Essedo f x f xe x > 0 x R la fuzioe é strettamete crescete e poiché f x f xex + f xe x f xe x e x + > 0 x R la fuzioe é sempre covessa. Nella Figura. possiamo vedere il grafico tracciabile mediate le iformazioi otteute ; b f 2 x x 3 2 x : La fuzioe o ha puti di discotiuitá, idi D R. Studiamoe il sego : f 2 x 0 x 0 2 x 0 x [, 2]. Quidi ell itervallo [, 2] la fuzioe é positiva, aulladosi agli estremi dell itervallo, e fuori da tale itervallo é egativa.
0 Figura : Grafico della fuzioe f x e ex. Essedo D R la fuzioe o ha asitoti verticali. Ioltre f f 2 x 2x x ± x + x e f 2 x + x x ergo la fuzioe o ha emmeo asitoti orizzotali/obliqui. Studiamo la derivata : f 2x 7 4x 3 3 2 x 2 0 x 7 4 quidi la fuzioe ha u massimo per x 7 4. Vediamo ache il sego di f 2 x : f 2 x 4x 0 4x 0 0 9 3 2 x 0 5 2 x > 0 2 < x 5 2. Duque quado x 2 la fuzioe ha u flesso a tagete verticale vedere esercizio. c dello scorso tutorato, metre quado x 5 2 ha u puto di flesso. Tra tali valori di x la fuzioe é covessa, altrove é cocava. I Figura 2. é possibile vedere il grafico della fuzioe ; Figura 2: Grafico della fuzioe f 2 x x 3 2 x. c f 3 x 2 l lx + 2 + l2 + x : La fuzioe ha u problema se x + 2 0 i quato il logaritmo o é defiito per tali valori di x. Ioltre deve essere lx + 2 0 altrimeti il primo dei due logaritmi esplode. Quidi la fuzioe
ha u puto di discotiuitá i x. Mettedo isieme queste iformazioi possiamo cocludere che D 2,, +. Il sego della fuzioe o é facilmete visibile, quidi cercheremo di trarre iformazioi al riguardo mediate lo studio dei puti successivi della scaletta. Passiamo a vedere gli asitoti della fuzioe : essa ha be 2 asitoti verticali, cioé x 2 ed x i quato f 3x f 3x x 2 + x ± metre o ha asitoti orizzotali/obliqui giacché f f 3 x 3x + e 0. x + x + x Passiamo allo studio della derivata : f 3x 2 + lx + 2 lx + 2 > 0 x + 2 lx + 2 0 2 + lx + 2 0 x 2+e 2 x > quidi per x 2 + e 2 la fuzioe ha u massimo, metre dopo l asitoto x risulta essere strettamete crescete. Essedo f 3 x l2 x + 2 + 2 lx + 2 + 2 x + 2 2 l 2 < 0 x D x + 2 possiamo cocludere che la fuzioe é sempre cocava. Notiamo che f 3 2 + e 2 2l2 < 0 per affermare che la fuzioe é sempre egativa tra i due asitoti, quidi diveterá positiva da u certo x α, + i poi. Mettedo isieme tutte le iformazioi otteute possiamo tracciare il grafico i Figura 3. ; Figura 3: Grafico della fuzioe f 3 x 2 l lx + 2 + l2 + x. l 3 x d f 4 x l3 x se x > 0 x x x 2 : Il puto x 0 é da escludere dal l3 x se x < 0 x 2 domiio i quato i esso il logaritmo esplode ed il deomiatore o é
2 defiito. Duque D R 0}. Notiamo che la fuzioe é dispari, quidi possiamo itarci a studiarla per x > 0 e per tracciare il grafico di f 4 x basterá ribaltare i risultati otteuti. Cosideriamo duque solamete f 4 + x l3 x. x 2 Partiamo dal sego : f + 4 x 0 lx 0 x > 0 x. Duque f 4 x 0 se x [, 0 [, +. x 0 é u asitoto verticale, difatti f 4x ± e y 0 é u asitoto orizzotale i quato f 4x 0. x ± No vi soo, duque, asitoti obliqui. Studiamo la derivata di f 4 x: D[f + 4 x] l2 x 3 2 lx x 3 0 3 2 lx 0 x e 3 2. Pertato per x e 3 2 la fuzioe ha u massimo. Per simmetria i x e 3 2 ha u miimo. Derivado acora scopriamo che D[D[f + 4 x]] 3 lx2 l2 x 5 lx + 2 x 4 0 lx 0 2 l 2 x 5 lx + 2 0 x x e x e 2 x [, e] [e 2, + quidi, quado x, e, e 2 abbiamo che f 4 + x ha u puto di flesso i particolare i x vi é u flesso a tagete orizzotale i quato D[f 4 + ] 0, ma i tal puto la derivata o cambia sego. Complessivamete duque la fuzioe ha 6 puti di flesso quado x ±, ± e, ±e 2. Dall aalisi effettuata possiamo cocludere che f 4 x é covessa se x [ e 2, e] [, 0 [, e] [e 2, + e cocava altrove. Duque il grafico di f 4 x é quello visibile i Fiugura 4.. NB. I puti di flesso o soo be visibili i quati i valori i cui la fuzioe cambia cocavitá soo tutti molto vicii tra di loro. Figura 4: Grafico della fuzioe f 4 x l3 x x x.