Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 5 16.10.2018 Proiettori di spin. Effetti polarizzatori nello scattering Coulombiano. Analisi di Fourier del campo di Klein Gordon e del campo elettromagnetico anno accademico 2018-2019
Proiettori di spin Approfondiamo innanzitutto il significato dei proiettori di spin Lo spin non si conserva per una particella in movimento Abbiamo introdotto lo spin facendo riferimento al sistema di riposo Nel sistema di riposo la definizione di un proiettore è semplice L operatore di spin è S = ½ I possibili stati di un fermione possono essere descritti con i due spinori u con p = 0 e con polarizzazione ±ξ non dipende dalla rappresentazione Come nella teoria non relativistica si ha non dipende dalla rappresentazione Pertanto, nel sistema di riposo, i proiettori sono semplicemente Si ha ovviamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 120
Proiettori di spin Estendiamo le definizioni alle soluzioni di energia negativa v Abbiamo una complicazione aggiuntiva L interpretazione di hole associa lo spin fisico agli autovalori di ξ con i segni invertiti ξ interpretazione fisica ξ positrone rappresentazione matematica positrone Il valore della grandezza fisica associata all antiparticella è l autovalore in rosso cambiato di segno Ovviamente vogliamo un formalismo che superi questa difficoltà Un operatore il cui autovalore abbia il segno corretto automaticamente Possiamo utilizzare la proprietà che gli spinori u e v sono autovettori di γ 0 con autovalori +1 e 1 rispettivamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 121
Proiettori di spin Possiamo pertanto modificare l operatore ξ nel seguente modo Con questo operatore ovviamente ξ ξ Per quanto riguarda gli spinori u non cambia nulla dato che γ 0 u = u Gli operatori di proiezione, nel sistema di riposo, sono pertanto Proiettano gli stati con polarizzazione fisica ±ξ Si comportano allo stesso modo per gli spinori u e v Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 122
Proiettori di spin Fin qui abbiamo fatto considerazioni nel sistema di riposo della particella Possiamo ottenere gli spinori per una particella in movimento con una trasformazione di Lorentz y' y K' x' K x z' z Vogliamo trovare un operatore che Svolga il ruolo di ξ γ 0 nel sistema di riferimento K Agisca direttamente sugli spinori u(p,s) e v(p,s) Abbia autovalori +1 e 1 uguali a quelli di ξγ 0 nel sistema di riposo Cominciamo con scrivere in modo covariante l operatore ξγ 0 nel sistema K Abbiamo visto le seguenti espressioni di (diapositiva 69 1123 ) sottointesa la somma su j Utilizzando la terza espressione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 123
Proiettori di spin Riepilogando Dal momento che nel sistema di riposo s ν =(0,ξ) possiamo scrivere Si può dimostrare che L operatore si trasforma nell operatore L operatore applicato agli spinori u e v nel sistema K dà lo stesso risultato che dava nel sistema di riposo K Abbiamo pertanto trovato l operatore che applicato agli spinori di particelle in moto ci dice qual è lo spin nel sistema di riposo Ovviamente gli operatori sono gli operatori di proiezione che cercavamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 124
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Studiamo adesso eventuali effetti dovuti alla polarizzazione nella diffusione di Coulomb Ricordiamo comunque che le nostre sono formule approssimate al primo ordine Calcoliamo la sezione d urto per un elettrone con polarizzazione iniziale s i Abbiamo visto che in questo caso il tensore L μν diventa Sviluppando si ottiene Il primo termine è identico a quello del caso senza polarizzazione Sviluppando il secondo termine diventa Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 125
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Analizziamo i vari termini Il primo e l ultimo sono nulli Un numero dispari di matrici γ ( γ 5 equivale a 4 matrici γ ) Il secondo e il terzo sono diversi da zero. Ad esempio Tuttavia, nella diffusione Coulombiana il campo elettrostatico fa sopravvivere solo il termine μ = ν = 0 e pertanto il termine è nullo (antisimmetria di ε ρμσν ) Concludiamo che, al primo ordine, la sezione d urto non dipende dalla polarizzazione iniziale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 126
Tracce con la matrice γ 5 Riportiamo alcune tracce che coinvolgono la matrice γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 Innanzitutto Infatti γ 5 contiene tutte e 4 le matrici γ La traccia di 4 matrici γ porta ad una espressione che contiene tre tensori g μν con indici tutti differenti e quindi il risultato è zero Inoltre Se μ = ν rimane la traccia di γ 5 e quindi il risultato è zero Se μ ν allora con opportune commutazioni possono essere portate adiacenti alle corrispondenti matrici in γ 5 Il prodotto è ±1 e si eliminano quindi 2 matrici γ Rimane la traccia di 2 matrici con indici differenti quindi nulla Per finire Innanzitutto i 4 indici devono essere tutti differenti altrimenti, con opportune commutazioni, si ritorna al caso precedente e permutazioni Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 127
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Generalizziamo le regole per scrivere l elemento di matrice direttamente dal diagramma di Feynman (diapositiva 1200 115) al caso in cui i fermioni iniziale e finale siano polarizzati Si percorre da destra a sinistra il diagramma Stato finale con polarizzazione s f Vertice (interazione vettoriale) Stato iniziale con polarizzazione s i Vertice p i γ μ p f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 128
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Calcoliamo adesso la polarizzazione dello stato finale per una data polarizzazione dello stato iniziale In generale la polarizzazione è data da Le quantità N + e N sono il numero di particelle con polarizzazione rispettivamente parallela o antiparallela all asse di quantizzazione Il numero di interazioni è proporzionale al modulo quadrato dell elemento di matrice È evidente che nella somma N + + N la dipendenza da s f si cancella Nel denominatore rimane solo la dipendenza da s i Abbiamo visto nello scattering Coulombiano che contribuisce 0 Il risultato è (diapositiva 1197 114 ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 129
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Valutiamo adesso il numeratore Notiamo che i termini danno origine alle espressioni Nell espressione N + N la prima espressione si elide Pertanto sopravvive solo Sviluppando l espressione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 130
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb L espressione trovata è più semplice di quanto appaia a prima vista Analizziamo i vari termini nell ordine 1. Nullo: numero dispari di matrici γ 2. Non contribuisce: la traccia è proporzionale a ε ρσμν che è 0 per μ = ν 3. Da calcolare 4. Nullo: numero dispari di matrici γ 5. Come il punto 2 6. Nullo: numero dispari di matrici γ 7. Nullo: numero dispari di matrici γ 8. Da calcolare Pertanto sopravvivono solo due termini Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 131
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Le matrici γ 5 possono essere eliminate con opportune commutazioni Il primo termine è del tipo già visto Per il secondo termine occorre una nuova regola Lo sviluppo dell espressione è lasciato come esercizio Per il risultato finale occorre inoltre definire i vettori di spin s i e s f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 132
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Definiamo i vettori di polarizzazione Ricordiamo la definizione del vettore s (diapositiva 1160 78 ) Per la particella nello stato iniziale quantizziamo lo spin nella direzione del momento incidente x ' K' z ' y ' Per la particella nello stato finale quantizziamo lo spin nella direzione del momento uscente x ' y ' K' θ z ' Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 133
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb Il risultato è L interpretazione di questo risultato è la seguente Lo stato iniziale è completamente polarizzato (dato del problema) Abbiamo scelto polarizzato lungo p (elicità Right-Handed ) Lo stato finale ha una polarizzazione che dipende dall angolo La probabilità relativa di uno stato finale Right-Handed o di uno stato Left-Handed dipende dall angolo Alcuni casi notevoli θ = 0 P = 1 θ = π P = 1 conservazione spin β <<1 ( E m ) β 1 ( E >> m ) P = 1 Proiezione di lungo p f conservazione elicità Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 134
Conservazione dell elicità Quando la particella è ultra-relativistica il 4-vettore di spin assume una forma limite interessante Consideriamo lo spin nella direzione del momento Dal momento che p E Ricordiamo l espressione dei proiettori di spin Pertanto nel caso ultra-relativistico ricordiamo l equazione di Dirac Nel caso ultrarelativistico Proiettore di chiralità proiezione di spin e proiezione chirale coincidono Pertanto nel caso ultra-relativistico gli operatori di proiezione acquistano la forma indicata che contiene solo γ 5 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 135
Conservazione dell elicità Pertanto nel caso ultra-relativistico, dato uno spinore con polarizzazione arbitraria u possiamo scomporlo nei due stati di polarizzazione usando (1 γ 5 )/2 Polarizzazione Right-Handed Polarizzazione Left-Handed Ovviamente Calcoliamo anche gli aggiunti spinoriali delle due componenti Preliminarmente osserviamo che Veniamo agli aggiunti spinoriali delle proiezioni Analogamente per u Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 136
Conservazione dell elicità Siamo adesso in grado di verificare che nel caso ultra-relativistico nel caso di una corrente vettoriale l elicità è conservata L ampiezza per la transizione + è proporzionale all elemento di matrice Analogamente Sono invece diversi da zero gli elementi di matrice fra stati con la stessa elicità Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 137
Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon Consideriamo un campo (reale) φ(x) che soddisfa l equazione di Klein-Gordon Possiamo rappresentare il campo con un integrale di Fourier Se il campo è reale allora L applicazione di ( μ μ +m 2 ) a φ(x) dà Pertanto la funzione (k quadri-dimensionale) deve essere singolare Infatti deve essere E allo stesso tempo l integrale che dà φ(x) deve essere non nullo Avremo pertanto Possiamo eliminare la funzione δ(k 2 m 2 ) integrando su k 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 138
Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon Ricordiamo che Nel nostro caso (x = k 0 ) Pertanto Ci sono 2 zeri ( k 0 = E k ) Introducendo nell integrale di Fourier Inoltre, nel primo termine, possiamo utilizzare il fatto che gli integrali sono estesi da a + per sostituire k k Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 139
Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon Infine definiamo le due funzioni Sostituiamo nell integrale Per un campo reale ricordiamo che La condizione implica Il campo diventa Per finire notiamo che se scriviamo L equazione di Klein-Gordon impone che a(t) soddisfi l equazione dell oscillatore Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 140
Il campo elettromagnetico classico Applichiamo il formalismo appena esposto al campo elettromagnetico Equazioni di Maxwell Introduciamo i potenziali A e I campi E e B si ottengono dai potenziali come È noto che potenziali sono definiti a meno di una trasformazione di gauge Si può infatti verificare che si ottengono gli stessi campi E e B Sostituendo le espressioni di E e B nella seconda e terza equazione di Maxwell otteniamo le equazioni per i potenziali Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 141
Il campo elettromagnetico classico Si può utilizzare l indeterminazione dei potenziali per semplificare le equazioni Si fissa il gauge I gauge più utilizzati sono Il gauge di Lorentz Le equazioni dei potenziali diventano Il gauge di Coulomb o gauge di radiazione Le equazioni dei potenziali diventano Il gauge di Lorentz ha il vantaggio di essere covariante Non dipende dal sistema di riferimento Il gauge di Coulomb non è covariante Mette in evidenza il carattere trasversale dell onda elettromagnetica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 142
Onde elettromagnetiche Consideriamo adesso un campo elettromagnetico Utilizziamo il gauge di Coulomb Come abbiamo visto l equazione del potenziale scalare diventa Nel vuoto, quindi in assenza di sorgenti: ρ = 0 J = 0 Pertanto il potenziale elettrico è nullo = 0 L equazione per il potenziale vettore è Pertanto ciascuna delle componenti del potenziale soddisfa l equazione dell onda L analisi di Fourier del potenziale conduce alla rappresentazione integrale Come nel caso di Klein-Gordon, posto L equazione dell onda impone che a(t) soddisfi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 143
Onde elettromagnetiche La condizione del gauge di Coulomb permette di evidenziare la natura trasversale dell onda Pertanto le ampiezze a(k) devono essere perpendicolari al vettore d onda k Il vettore a(k) ha pertanto solo due gradi di libertà (stati di polarizzazione) Si introducono pertanto due vettori mutuamente perpendicolari e perpendicolari a k Possiamo infine calcolare i campi elettrico e magnetico Perché E e B siano reali deve essere Cohen-Tannoudji et al. Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 144
Onde elettromagnetiche L energia associata al campo elettromagnetico è data da Calcoliamo esplicitamente il primo integrale Cohen-Tannoudji et al. Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 145
Onde elettromagnetiche Analogamente si calcola l energia associata a B L energia totale è Vediamo che l energia del campo è la somma delle energie degli oscillatori in cui è stato scomposto il campo Notiamo che classicamente l energia e proporzionale al modulo quadrato dell ampiezza dell oscillazione Notiamo inoltre che hanno una energia proporzionale a ω k tutti gli oscillatori con momento 3-dimensionale k c = ω k Partendo da queste considerazioni si può calcolare, classicamente, lo spettro della radiazione in una cavità: lo spettro della radiazione del corpo nero Calcoliamo innanzitutto il numero degli oscillatori per unità di energia (o frequenza) corrispondenti ad una energia dω = cdk Tenendo conto che ogni oscillatore ha 2 gradi di libertà Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 146
Energia media dell oscillatore L energia del campo è espressa come somma delle energie di tanti oscillatori Quando la radiazione è in equilibrio all interno della cavità Il materiale delle pareti contiene oscillatori elettromagnetici che interagiscono con il campo Le pareti assorbono radiazione dagli oscillatori del campo Le pareti emettono radiazione che viene assorbita dagli oscillatori del campo Quando si è all equilibrio termico l energia assorbita è uguale a quella emessa Gli oscillatori sono in equilibrio termico La loro energia media può essere calcolata utilizzando la meccanica statistica La probabilità che un oscillatore abbia una energia U è data da L energia media dell oscillatore è pertanto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 147
Radiazione del corpo nero Questo è il risultato classico dell equipartizione dell energia Un ingrediente essenziale è stato aver assunto che l oscillatore può assumere un valore arbitrario di energia U Distribuzione continua dell energia Utilizziamo il risultato per calcolare la distribuzione di energia della radiazione del corpo nero Associamo ad ogni oscillatore una energia kt La densità di energia è pertanto Questa è la famosa legge di Rayleigh-Jeans È la previsione classica dello spettro della radiazione del corpo nero È in accordo con i dati solo a bassissime frequenze catastrofe ultravioletta Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 148
Ipotesi di Planck Per risolvere il problema precedente Planck ipotizzò che L oscillatore non può assumere tutte le energie possibili classicamente L energia non dipende dall ampiezza ma solo dalla frequenza ν = ω/2π L energia può assumere solo valori che sono un multiplo intero di hν Calcoliamo l energia media Preliminarmente la distribuzione di probabilità Calcoliamo innanzitutto il denominatore posto Otteniamo infine Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 149
Ipotesi di Planck Veniamo adesso al calcolo del valore medio posto Concludendo notiamo che se hν 0 La distribuzione dell energia nella cavità diventa L accordo con i dati sperimentali è perfetto L ipotesi critica è stata la natura discreta dell energia dell oscillatore Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 150