Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Acceleratori di particelle Formulazione covariante dell'elettrodinamica Anno Accademico 2018/2019

2 Acceleratori di particelle Per accelerare una particella carica occorre un campo elettrico 0 KV 100 KV 200 KV 300 KV 400 KV 500 KV 600 KV Poco pratico: Per raggiungere elevate energie occorrono tensioni elevatissime 1 milione di volt per 1 MeV LHC raggiunge energie oltre i 6.5 TeV 1 TeV = ev = 10 6 MeV Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 509

3 Acceleratori di particelle Si fa in modo che il potenziale acceleratore viaggi con la particella 50 KV KV KV KV KV KV +50 KV Il potenziale che viaggia è un onda elettromagnetica Il campo elettrico deve essere longitudinale La velocità dell onda e della particella devono essere uguali Cavità risonanti: immagazzinano tanta energia ( ρ ~ E 2 ) Limitato dall emissione di elettroni dalle pareti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 510

4 Cavità acceleratrici LEP Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 511

5 Acceleratori lineari Per costruire un acceleratore si possono disporre tante cavità acceleratrici in serie ( Acceleratore Lineare ) L Acceleratore Lineare PEP II di SLAC (Stanford, California): fino a 9 GeV L'acceleratore SLC, sempre a SLAC: fino a 45 GeV Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 512

6 Acceleratori Circolari acceleratore lineare dipoli magnetici cavità acceleratrici Anello con alto vuoto ( Beam Pipe) Un campo magnetico perpendicolare al disegno confina le particelle in una orbita circolare Le particelle sono preaccelerate da un acceleratore lineare (LINAC) Vengono iniettate nell anello dell acceleratore: Il campo magnetico viene regolato in modo che p = 0.3 B R Le particelle seguono un orbita circolare Una cavità accelera le particelle ad ogni attraversamento Il campo magnetico aumenta in fase con l aumento di energia: sincrotrone Oltre ad aumentare l'energia della particella la cavità compensa l energia che la stessa perde per radiazione Essenziale per accelerare elettroni Per raggiungere energie molto elevate si utilizzano molte cavità Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 513

7 Cavità acceleratrici Una delle caratteristiche importanti di una cavità è l'energia che trasferisce ad una particella carica che la attraversa Il "gradiente" della cavità de/dx misurato usualmente in MeV/m Per le cavità superconduttrici di LEP si ha de/dx 5 MeV/m Valori massimi oggi dell'ordine di 50 MeV/m Troviamo una importante relazione fra il gradiente de/dx e la forza dp/dt Per una particella relativistica Inoltre Dalle relazioni trovate possiamo ricavare Calcoliamo esplicitamente dp/dt Preliminarmente calcoliamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 514

8 Formula di Larmor Calcoliamo adesso dp/dt Riscriviamo la formula di Larmor che abbiamo trovato nel caso di v a Possiamo adesso confrontare La potenza irradiata P La potenza assorbita dalla cavita de/dt Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 515

9 Acceleratore lineare Ricordiamo che Calcoliamo il rapporto Introduciamo il raggio classico dell'elettrone Abbiamo per particelle relativistiche β 1 Introducendo r e = m, m e c 2 = 0.5 MeV, de/dx = 50 MeV/m In un acceleratore lineare l'energia perduta per radiazione è trascurabile rispetto a quella guadagnata dalla cavità Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 516

10 Acceleratore circolare Per un acceleratore circolare le cose sono differenti Per mettere in evidenza i punti importanti supponiamo che la particella sia stata accelerata fino a raggiungere una energia E = mc 2 γ Mentre la particelle percorre l'orbita il modulo della velocità non cambia La direzione della velocità cambia continuamente La particella emette radiazione (tanta) Dopo l'accelerazione lo scopo della cavità è mantenere costante l'energia Calcoliamo l'energia irraggiata La formula di Larmor per v e a perpendicolari L'accelerazione centripeta e l'energia sono La potenza irradiata aumenta con la quarta potenza dell'energia E La potenza irradiata diminuisce con l'inverso del quadrato del raggio R dell'acceleratore A parità di R e E gli elettroni irraggiano molto di più dei protoni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 517

11 Acceleratore circolare Quanta energia viene irraggiata? Il tempo necessario per percorrere l'orbita è L'energia irraggiata in un'orbita è Calcoliamo nei seguenti casi ( β 1, R = 4.3 Km) Fascio di elettroni da 100 GeV (LEP 2): γ = Fascio di protoni da 100 GeV (confronto): γ = Fascio di protoni da 6.5 TeV (LHC): γ = Per convertire in ev occorre dividere per il valore numerico di e = Si ottengono i seguenti risultati Elettroni da 100 GeV (LEP 2): γ = ΔE = MeV Protoni da 100 GeV (confronto): γ = ΔE = ev Protoni da 6.5 TeV (LHC): γ = ΔE = 3.4 MeV Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 518

12 Formulazione covariante dell'elettrodinamica Riscriveremo adesso le leggi dell'elettrodinamica utilizzando una formulazione covariante Per approfondimenti si può consultare il testo Nolting W. - Theoretical Physics 4 - Special Theory of Relativity - Springer 2017 Attenzione Il testo del Griffiths utilizza una convenzione dei segni lievemente differente Il tensore F μν definito nella diapositiva ha i segni opposti a quelli utilizzati in questa parte del corso La convenzione oggi più utilizzata è quella vista nelle diapositive seguenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 519

13 Operatore di derivazione Consideriamo le quattro operazioni di derivazione Possiamo riscriverle in funzione delle componenti x μ (x 0 = ct) Le 4 derivate si trasformano come le componenti di un 4-vettore covariante Per dimostrarlo consideriamo innanzitutto un sistema inerziale S in moto rispetto al sistema inerziale S in cui le coordinate sono x μ Ricaviamo l espressione di x in funzione di x' Pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 520

14 Operatore di derivazione Calcoliamo la forma dell'operatore derivazione nel sistema inerziale S Si ha ovviamente La derivata di x α si calcola immediatamente Otteniamo pertanto Si trasforma in modo covariante Introduciamo una notazione più semplice Analogamente definiamo le componenti contravarianti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 521

15 Operatore di d Alembert Introduciamo l operatore di D Alembert (o d Alembertiano) È un operatore scalare È il prodotto scalare di un 4-vettore con se stesso Ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento In forma esplicita Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 522

16 Equazione di continuità Abbiamo visto che la carica elettrica è un'invariante relativistico ( e seg.) Abbiamo anche visto che la densità di carica ρ non è un invariante Anche la densità di corrente non è definita in modo covariante Consideriamo un sistema di riferimento S in cui abbiamo una densità di carica elettrica ρ 0 a riposo La carica contenuta in un volume dv 0 è In un sistema inerziale S in moto rispetto a S avremo Sappiamo che l'invarianza della carica richiede che Nel sistema inerziale S in cui le cariche sono in movimento avremo pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 523

17 Equazione di continuità L'evidente somiglianza con la definizione di quadri-momento suggerisce che ρ e J siano le componenti di un 4-vettore Alternativamente Utilizzando le espressioni covarianti introdotte possiamo esprimere in modo covariante anche l'equazione di continuità quadri-divergenza nulla Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 524

18 Potenziale vettore A μ Abbiamo visto che anche i potenziali obbediscono all'equazione non omogenea dell'onda (vedi diapositiva ) Elaboriamo la seconda equazione Utilizziamo l'operatore di d'alembert e introduciamo J μ Queste equazioni suggeriscono che anche φ e A siano le componenti di un quadri-vettore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 525

19 Potenziale vettore A μ Per finire esprimiamo in forma covariante il gauge di Lorentz Ricordiamo la formula della condizione (vedi diapositiva ) Elaboriamo In definitiva Ancora una volta una condizione sulla quadri-divergenza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 526

20 Il tensore campo elettromagnetico Ricordiamo la relazione fra i campi E e B e i potenziali (vedi diapositiva ) Scriviamo esplicitamente le componenti di B Cambiano gli indici delle componenti (x x 1, y x 2, z x 3 ) In forma più sintetica ( / x k = k = k, k = 1,2,3) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 527

21 Il tensore campo elettromagnetico Veniamo al campo elettrico Cambiamo gli indici (x x 1, y x 2, z x 3, ct = x 0 ) In una forma più sintetica ( / x 0 = 0 = 0, / x k = k = k, k = 1,2,3) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 528

22 Il tensore campo elettromagnetico Riassumendo Introduciamo il tensore campo elettromagnetico Una sorta di "rotore" quadri-dimensionale La quantità F μν F μν è un invariante relativistico Ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali È facile verificare che Non è possibile che un campo elettrostatico puro sia trasformato in un campo magnetostatico puro attraverso un cambio di sistema inerziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 529

23 Il tensore campo elettromagnetico È possibile e utile definire un altro tensore, il tensore duale di F μν Per la definizione si utilizza il tensore ε μνρσ di Levi Civita Un tensore totalmente anti-simmetrico a 4 indici Il tensore duale è definito come È ottenuto da F μν con la sostituzione Si può costruire un secondo invariante Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 530

24 Il tensore campo elettromagnetico Osservazioni Per un campo elettrostatico o magnetostatico puro Il primo invariante è positivo o negativo rispettivamente Il secondo invariante è nullo Il passaggio ad un altro sistema inerziale può fare comparire un altro campo Perpendicolare all'altro I moduli dei campi devono mantenere il segno del primo invariante Per i campi di un'onda elettromagnetica i due invarianti sono nulli I moduli dei campi E e B sono sempre nella relazione E = cb in ogni sistema inerziale I campi E e B sono ortogonali in tutti i sistemi inerziali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 531

25 Equazioni di Maxwell Le equazioni di Maxwell possono essere riformulate attraverso un formalismo covariante che utilizzi il tensore F μν Iniziamo con le due equazioni non omogenee (vedi diapositiva ) Possono essere riscritte come Osserviamo che nel secondo membro delle due equazioni sono presenti le componenti del quadri-vettore densità di corrente Deve essere possibile riscrivere il primo membro in modo che sia evidente che si tratta delle componenti di un quadrivettore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 532

26 Equazioni di Maxwell Consideriamo la prima equazione Elaboriamo il primo membro In definitiva Consideriamo la seconda equazione Consideriamo la componente x Analogamente per le altre componenti Otteniamo infine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 533

27 Equazioni di Maxwell Consideriamo adesso le equazioni omogenee (vedi diapositiva ) Queste due equazioni ci hanno permesso di introdurre i potenziali La divergenza di un rotore è nulla Il rotore di un gradiente è nullo L'introduzione dei potenziali rende automatico il rispetto delle due equazioni In totale si tratta di quattro equazioni Analizziamo la prima equazione Analogamente, per la componente x della seconda equazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 534

28 Equazioni di Maxwell Per le restanti due componenti si trova Ricordiamo le prime due Le quattro equazioni possono essere sintetizzate in In questa equazione gli indici αβγ Sono una scelta senza ripetizione di 3 di (0,1,2,3) Quattro possibilità: (0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (1,2,3) I tre termini dell'equazione hanno permutazioni cicliche di αβγ Una forma equivalente ma più compatta è Può essere formulata utilizzando il tensore duale L'equazione diventa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 535

29 Equazioni di Maxwell L'equazione omogenea implica che il tensore F μν sia derivabile dal potenziale A μ Applicando l'equazione al tensore F μν espresso con il potenziale A μ Sono considerazioni analoghe a quelle che hanno condotto all'introduzione dei potenziale nella formulazione non covariante Scrivere il tensore F μν nella forma data assicura che le equazioni di Maxwell omogenee siano soddisfatte sempre Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 536

30 Invarianza di gauge Ricordiamo la trasformazione di gauge generale (vedi diapositiva ) Per una arbitraria funzione λ(x,t) i campi E e B restano invariati se si applica ai potenziali la trasformazione Esprimiamo la trasformazione di gauge in forma covariante Per le componenti spaziali di A μ ricordiamo la definizione di μ e μ Otteniamo Per finire riscriviamo in forma covariante il gauge di Lorenz Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 537

31 Invarianza di gauge Si verifica facilmente che l'espressione del tensore F μν è invariante rispetto alle trasformazioni di gauge Applichiamo una trasformazione di gauge Calcoliamo il nuovo tensore del campo elettromagnetico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 538