L'indice di volatilità VIX: il termometro della paura

Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Paolo Pianca L'indice di volatilità VIX: il termometro della paura Quaderno di Didattica n. 33/2010 Febbraio 2010

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circolazione di appunti e note a scopo didattico. Si richiede di tener conto della loro natura provvisoria per eventuali citazioni o ogni altro uso. Quaderno di Didattica n. 33/2010 Febbraio 2010

L indice di volatilità VIX: il termometro della paura Paolo PIANCA Dipartimento di Matematica Applicata Università Ca Foscari di Venezia Dorsoduro 3825/e, 30123 VENEZIA Sommario L indice VIX viene calcolato e diffuso in tempo reale dal CBOE con l obiettivo di stimare la volatilità implicita di un opzione sintetica che scade dopo trenta giorni ed emessa sull indice azionario S&P 500. Il VIX ha sostituito il vecchio indice VXO che viene tuttora diffuso e utilizzato dagli operatori e che prevede di calcolare la volatilità implicita di opzioni at-the-money basandosi sulla formula di Black e Scholes e utilizzando come indice azionario di riferimento lo S&P 100. Per il calcolo del VIX si considerano solo prezzi di mercato di opzioni call e put out-of-the-money e pertanto si riesce a isolare la volatilità attesa dagli altri fattori che influenzano il prezzo delle opzioni quali le variazioni del prezzo del bene sottostante, i dividendi, i tassi di interesse e il tempo alla scadenza. La formula utilizzata è un approssimazione del valore teorico dei contratti variance swap e in quanto tale è inficiata da diversi errori con implicazioni negative su tutti i numerosi contratti di Borsa che interagiscono con la volatilità implicita. L impatto sui mercati della consistenza della volatilità implicita è talmente elevato da avere indotto il CBOE ha introdurre negli ultimi anni sia contratti future sia diverse tipologie di contratti di opzione che hanno come bene sottostante l indice VIX. Keywords: indici di volatilità, volatilità implicite, errori di approssimazione, titoli derivati sul VIX. JEL classification: G13 1 Introduzione Le volatilità implicite calcolate con il modello di Black e Scholes sono comunemente utilizzate per predire la volatilità futura, ma in numerosi contributi scientifici si sono evidenziate alcune distorsioni associate a tale pratica, rilevando l inconsistenza di prevedere i cambiamenti di volatilità facendo leva su 1

un modello basato sull ipotesi di una volatilità costante. Si è pensato, quindi, di stimare la volatilità implicita utilizzando procedure alternative quali i modelli a volatilità stocastica ma una soluzione migliore si ottiene ricorrendo a tecniche che non sono collegate con un modello specifico (model free) e che basandosi esclusivamente sulla conoscenza dei prezzi di mercato non soffrono delle incongruenze degli approcci tradizionali. Questo cambiamento nel calcolo della volalità implicita è stato recepito anche dagli organismi preposti al controllo delle negoziazioni che avvengono sui mercati ufficiali dando luogo alla costruzione di indici di volatilità calcolati esclusivamente in base ai prezzi di mercato di opzioni out-of-the-money, emesse su un indice azionario che sintetizza l andamento di un particolare mercato. Nel 1993 il Chicago Board Options Exchange (CBOE) ha proposto un indice di volatilità implicita del mercato azionario chiamato VIX. Tale indice, diffuso in tempo reale durante tutto il periodo di negoziazione giornaliera, ha lo scopo di sintetizzare le aspettative future della volatilità del mercato nei prossimi 30 giorni. Al momento del suo debutto, il calcolo dell indice era basato sulla volatilità implicita (calcolato utilizzando il modello di Black e Scholes) di opzioni (americane) emesse sull indice azionario S&P 100 (OEX). Dal 22 settembre 2003, il CBOE ha apportato numerose e sostanziali modifiche al calcolo del VIX. Un cambiamento chiave riguarda il fatto che il nuovo indice di volatilità implicita VIX non si basa più su un modello teorico ma viene calcolato direttamente dai prezzi delle opzioni mediante una formula che approssima il concetto di varianza futura sviluppato da Demeterfi et al. in [8]. La nuova procedura di calcolo prende spunto da un pionieristico contributo di Breeden e Litzenberger [1] i quali mostrano come dai prezzi delle opzioni si possa estrarre l intera distribuzione neutrale al rischio dei prezzi del bene sottostante. Un altro interessante cambiamento nel calcolo del nuovo VIX riguarda l aver sostituito la volatilit implicita di opzioni (americane) at the money sull indice OEX con un insieme di prezzi delle opzioni (europee) emesse sull indice S&P 500 (SPX); questo cambiamento è stato adottato in quanto l indice SPX è diventato l indice di riferimento più importante sia per gli investitori istituzionali sia per i mercati dei titoli derivati. Il VIX è valutato in termini percentuali ed è noto anche come indice della paura dato che, nei momenti di indecisione e di caduta dei pezzi di mercato, l indice tende ad assumere valori molto elevati, mentre nei periodi di calma si mantiene attorno a valori piuttosto bassi. La procedura adottata dal CBOE per il calcolo del VIX è inficiata da un insieme di errori di approssimazione che creano non pochi problemi sia in riferimento alle transazioni OTC (over the counter) dei contratti di tipo variance swap sia in riferimento alle negoziazioni di contratti derivati sull indice 2

VIX, recentemente introdotti dal CBOE. Attualmente, in molti mercati evoluti, con l eccezione di quello italiano e di pochi altri, sono presenti uno o più indici di volatilità i cui valori vengono resi disponibili agli operatori, durante tutto il periodo di negoziazione, con lo scopo di offrire delle precise indicazioni sull evoluzione futura delle quotazioni dei titoli finanziari. La struttura di questo contributo è la seguente. Il paragrafo 2 descrive le procedure analitiche adottate dal CBOE per il calcolo del VIX presentando sia la vecchia tecnica basata sulla volatilità implicita sia la nuova metodologia che considera esclusivamente i prezzi di mercato di opzioni out-of-the-money sull indice S&P 500. Nei paragrafi 3 e 4 si presentano rispettivamente un e- sempio di calcolo diretto di tutte le grandezze che debbono essere considerate nel computo dell indice e un analisi degli errori di approssimazioni che inficiano il vero valore dell indice VIX. Il paragrafo 5 illustra le caratteristiche fondamentali degli indici di volatilità presenti nei mercati azionari evoluti. Il paragrafo 6 descrive i contratti future e di opzione (ordinarie e binarie) che hanno come bene sottostante l indice di volatilità VIX e che sono stati recentemente introdotti nel mercato ufficiale di Chicago. Infine, nel paragrafo 7, vengono riportate alcune considerazioni conclusive sull impiego, sull utilità, sui pregi e sulle limitazioni dell indice VIX. 2 L indice VIX Il calcolo di un indice di volatilità fu proposto per la prima volta nel 1977 da Gastineau [13] e quindi ripreso da Cox-Rubinstein in [7], da Brenner a Galay [2] e da Whaley [19]. Gastineau propone l uso di una media di volatilità implicite calcolate dai prezzi di opzioni at-the-money emesse su 14 titoli azionari con scadenze comprese fra i tre e i sei mesi, combinando tale media con una misura della volatilità storica del mercato azionario. Cox e Rubinstein suggeriscono un miglioramento della procedura di calcolo di Gastineau, considerando più opzioni call su ciascun titolo e introducendo uno schema di pesi per le volatilità che rende l indice in-the-money e il tempo alla scadenza costante. Brenner e Galai propongono l introduzione di un indice di volatilità che vale per i mercati dei titoli azionari, obbligazionari e dei tassi di cambio; l indice una mistura basata sulla volatilità storica, sulle volatilità implicite di opzioni o su una combinazione pesata di volatilità storiche e implicite. La metodologia di calcolo proposta da Whaley nel 1993 viene adottata nello stesso anno dal Chicago Board Options Exchange (CBOE); tale metodologia è descritta in dettaglio nel seguito di questo paragrafo. Ben presto l indice di volatilità VIX diviene il benchmark per la misu- 3

5-10 estremo compiacimento 35-40 ansietà molto alta 10-15 alto compiacimento 40-45 ansietà estremamente alta 15-20 moderato compiacimento 45-50 quasi panico 20-25 basso compiacimento 50-55 panico moderato 25-30 ansietà moderata 55-60 panico 30-35 ansietà elevata 60-65 panico intenso oltre 65 panico estremo Tabella 1: Livello di ansietà al variare del VIX razione della volatilità del mercato azionario americano. Citato in centinaia di articoli scientifici e divulgativi, l indice VIX misura le aspettative di mercato sulla volatilità a breve termine e in quanto tale viene interpretato come una ricetta magica per prevedere l andamento delle Borse. Negli anni successivi al lancio del VIX sia gli accademici sia i practitioner hanno mutato il modo di intendere la volatilità e questi cambiamenti hanno portato alla costruzione di una nuova metodologia per il calcolo dell indice di volatilità implicita. La nuova procedura di calcolo prescinde da ogni modello di pricing, considera un ampio intervallo di prezzi di esercizio, si basa su una media pesata dei prezzi di opzioni call e put out-of-the-money e assume come indice di riferimento lo S&P 500. Un valore basso dell indice sta a significare che il mercato non ha paura, ma come è ben risaputo quanto tutto tace bisogna cominciare a preoccuparsi. All aumentare dei valori del VIX aumenta la sensazione di cambiamenti futuri nelle quotazioni di mercato, senza peraltro poter stabilire a priori se si tratta di una variazione positiva o negativa degli indici azionari. La tabella 1 riporta un tentativo di classificare i vari livelli di ansietà collegati a intervalli di valori dell indice VIX. A differenza di un indice azionario il cui valore ha significato che dipende essenzialmente dalla sua storia, un indice di volatilità (quale ad esempio il VIX) ha una semplice interpretazione probabilistica che riguarda l intervallo atteso del tasso di variazione dell indice (S&P 500) nei prossimi 30 giorni. La figura 1 fornisce una tecnica 1 pronta e rapida per interpretare il livello dell indice VIX. Per capire come poter utilizzare la figura supponiamo che il valore corrente dell indice sia 60. Consideriamo la retta etichettata 50 % ; in corrispondenza del valore 60 tale retta vale circa l 11.50 %. Questo valore si può interpretare affermando che, se il valore del VIX è 60 allora nei prossimi 1 La tecnica su cui si fonda la costruzione della figura si basa sulle seguenti due ipotesi: il tasso di variazione dell indice S&P 500 si distribuisce in modo normale e la sua media nei prossimi 30 giorni è nulla. Entrambe le ipotesi sono facilmente accettabili. 4

! " " %$# Figura 1: Ampiezza attesa della variazione dell indice S&P 500 nei prossimi 30 giorni condizionata al livello corrente dell indice VIX. 30 giorni con probabilità 1/2 il tasso di variazione dell indice S&P 500 sarà maggiore o minore dell 11.50 %. Le rette etichettate 75 % e 95 % presentano probabilità diverse per lo stesso valore dell indice; con livello dell indice VIX pari a 60, la retta 75 % ( 95 % ) indica che si ha una probabilità 0.75 (0.95) che il tasso di variazione dell indice S&P 500 nei prossimi 30 giorni stia nell intervallo [-0.20,0.20] ([-0.34,0.34]). Viceversa, la probabilità che nei prossimi 30 giorni il tasso di variazioni dell indice superi il 20 % (il 34 %) è dello 0.25 % (del 5 %). Le rette rappresentate in figura sono state costruite in base alle seguenti relazioni 2 : Tasso di variazione atteso al 50 % = 0.1947 V IX Tasso di variazione atteso al 75 % = 0.3321 V IX Tasso di variazione atteso al 95 % = 0.5658 V IX. 2 Queste relazioni derivano dalle proprietà della distribuzione normale standardizzata. Un numero casuale estratto da tale distribuzione ha probabilità del 50 % di distare da zero per meno di 0.6745 volte lo scarto quadratico medio; ha probabilità del 75 % di distare da zero per meno di 1.1504 volte lo scarto quadratico medio e con una probabilità del 95% di distare da zero per meno di 1.9600 volte lo scarto quadratico medio. Dato che il VIX rappresenta uno scarto quadratico medio su base annua, per trasformare in volatilità mensili si deve scalare (dividere) ciascuno dei precedenti coefficienti per la radice quadrata di 12 (ad esempio, 0.6745/ 12 = 0.1947.) 5

prima scadenza (N) seconda scadenza (SN) call put call put X l < S σ X l c,n σ X l p,sn σ X l c,sn σ X l p,n X l S σ Xu c,n σ Xu p,n σ Xu c,sn σ Xu p,sn Tabella 2: Le 8 volatilità implicite utilizzate per il calcolo del VXO. Con un valore del VIX pari a 60, i valori esatti degli scostamenti dei tassi di variazione attesi sono 11.68 %, 19.92 % e 33.95 %. 2.1 Il vecchio indice di volatilità VXO La prima costruzione dell indice di volatilità, quella basata su un contributo scientifico di Whaley del 1993, utilizza quotazione di opzioni sull indice S&P 100 per il calcolo di una media delle volatilità implicite ottenute con la formula di Black e Scholes. Le volatilità implicite si riferiscono a otto opzioni at-the-money e alle due scadenze mensili più vicine. La serie di ciascuna opzione con scadenza pi vicina (indicata con N) definita come la serie che ha il minor tempo ala scadenza e che ha almeno 8 giorni 3 di calendario prima della scadenza. Le serie con la seconda scadenza pi vicina (indicata con SN) sono i contratti che scadono il mese successivo alla serie pi vicina (N). Per ciascuna delle due scadenze vengono calcolate le volatilit implicite di 4 opzioni, due call e due put, con prezzi di esercizio X l e X u che sono a cavallo del valore S corrente dell indice, come indicato in tabella 2. Il primo passo della procedura consiste nel mediare per ciascuna delle 4 categorie le volatilità implicite delle opzioni call e put, in modo da ottenere: σ X l N σ X l SN = σxl c,n +σx l p,n σ Xu 2 N = σxu c,n +σxu p,n (1) 2 = σxl c,sn +σx l p,sn σ Xu 2 SN = σxu c,sn +σxu p,sn (2) 2 Il secondo passo prevede di calcolare la volatilità implicita at the money per la prima (σ N ) e la seconda scadenza (σ SN ) interpolando le volatilità implicite 3 Il limite di 8 giorni prima della scadenza imposto in quanto opzioni con durata pi breve presentano una volatilit piuttosto elevata; tali opzioni, inoltre, possono presentare delle distorsioni nei prezzi dovute alle scarsa liquidit. 6

in e out of the money σ N σ SN = σ X l N X u S X u X l + σ X l N = σ X l SN Xu S X u X l + σ X l SN S X l X u X l (3) S X l X u X l (4) Infine, si interpola/estrapola tra le volatilità implicite della prima e della seconda scadenza in modo da ottenere la volatilità implicita a 30 giorni di calendario (22 giorni di negoziazione) N tn 22 22 N tn V XO = σ N + σ SN (5) N tsn N tn N tsn N tn dove N tn è il numero di giorni di negoziazione che mancano alla prima scadenza e N tsn è il numero di giorni di negoziazione che mancano alla seconda scadenza. Il VXO è basato sui giorni di negoziazione ma la volatilità implicita è basata sui giorni di calendario. Il CBOE trasforma trasforma tale volatilità in volatilità di giorni di negoziazione nel modo seguente σ t = σ c Nc Nt (6) dove σ t è la volatilità implicita relativa ai giorni di negoziazione, σ c è la volatilità implicita calcolata in base ai giorni di calendario, N c è il numero di giorni di calendario fina alla scadenza e N t è il numero di giorni di negoziazione fina alla scadenza calcolato come Il CBOE converte il numero di giorni effettivi in numero di giorni di negoziazione in base alla relazione Nc N t = N c 2, (7) 7 dove con si è indicata la funzione parte intera. L indice di volatilità VXO è tuttora calcolato dal CBOE e reso disponibile agli operatori; la serie storica dei valori, reperibile sul sito internet del CBOE raccoglie tutte le quotazioni a iniziare dall anno 1986. 2.2 Il nuovo VIX L obiettivo fondamentale del nuovo indice VIX rimane invariato e cioè stimare la volatilità del mercato (americano) a trenta giorni. Ci sono, comunque, delle importanti differenze. Mentre il vecchio indice, rietichettato con la sigla VXO, si basa sul calcolo della volatilità implicita (ottenuta dal modello di Black e Schioles) di opzioni at-the-money emesse sull indice S&P 7

100 (ticker OEX), il nuovo indice di volatilità, attivato dal CBOE dal 22 settembre 2003, è una media pesata dei prezzi di mercato di opzioni out-ofthe-money emesse sull indice S&P 500 (ticker SPX). Le motivazioni per la scelta dell indice S&P 500 sono dovute al fatto che tale indice è diventato negli ultimi anni il benchmark non solo per il mercato azionario ma anche per il mercato dei titoli derivati. All epoca t, la formula utilizzata dal CBOE per il calcolo della varianza implicita è dove: σv 2 IX = 2 T t i K i e rt(t t) Q Ki 2 t (K i,t) 1 [ ] 2 Ft 1 (8) T t K 0 - T è l epoca di scadenza comune a tutte le opzioni utilizzate per il calcolo dell indice, - F t è il livello forward dell indice S&P 500 calcolato in base ai prezzi delle opzioni e con la stessa scadenza, - K i è il prezzo d esercizio dell i-sima opzione out-of-the-money utilizzata nel calcolo, una call se K i < F e una put se K i > F, - Q t (K i,t) indica all epoca t la media dei prezzi disponibili bid e ask dell opzione out-of-the-money con prezzo d esercizio K i, - K 0 è il primo prezzo di esercizio minore o uguale al livello forward dell indice F t (K 0 F t ), - r t è all epoca t il tasso istantaneo di interesse per titoli non rischiosi con scadenza all epoca T, - K i indica la semisomma di due prezzi d esercizio a cavallo del prezzo d esercizio K i, K i = K i+1 K i 2 (Si osservi che nel caso del prezzo di esercizio minimo K è la differenza tra tale prezzo e quello immediatamente più elevato e che nel caso del prezzo di esercizio massimo K è la differenza tra tale prezzo e quello immediatamente inferiore). Una volta ottenuta una stima della varianza implicita, l indice VIX viene calcolato come la radice quadrata di tale varianza implicita moltiplicata per 100. 8

La relazione (8) usa solamente opzioni out-of-the-money con l eccezione del prezzo K 0 in corrispondenza del quale l opzione call risulta in-the-money. L ultimo termine della relazione (8) rappresenta l aggiustamento necessario per convertire, mediante la relazione di parità, questa opzione call in-themoney in un opzione put out-of-the-money (per maggiori dettagli si veda l esempio nel paragrafo seguente). Il calcolo comprende tutte le opzioni call negoziate con prezzo d esercizio maggiore di F t e tutte le put con prezzo d esercizio minore di F t. Per essere incluse le opzioni debbono avere un prezzo bid strettamente positivo. Per la determinazione del livello forward dell indice F t, il CBOE sceglie la coppia di opzioni call e put con i prezzi c t e p t la cui differenza assoluta è minima. Quindi il prezzo forward è determinato attraverso la relazione di parità F t = e r(t t) [c t (K, T) p t (K, T)] + K. (9) Il CBOE usa la relazione (8) per calcolare σv 2 IX (t,t) con le due scadenze più vicine T 1 e T 2, fra tutte le opzioni negoziate. Inoltre, la procedura adottata dal CBOE prevede di interpolare tra σv 2 IX (t,t 1) e σv 2 IX (t,t 2) per ottenere una stima σv 2 IX (t,t) con 30 giorni alla scadenza. L indice VIX rappresenta una volatilità su base annua espressa in termini percentuali di questo valore a 30 giorni, usando la convenzione attuale/365 per il calcolo dei giorni [ 365 V IX t = T 1 σv 2 IX 30 (t,t 1) NC 2 30 + T 2 σv 2 IX NC 2 NC (t,t 2) 30 NC ] 1 1 NC 2 NC 1 (10) dove NC 1 ed NC 2 rappresentano il numero di giorni di calendario che mancano alle due scadenze. Anche nel caso dell indice VIX, quando le opzioni in esame hanno scadenza minore o uguale a otto giorni, il CBOE passa a considerare contratti di opzione che si riferiscono al secondo e al terzo mese, in modo da minimizzare le anomalie nei prezzi che tipicamente si possono presentare quando si avvicina l epoca di scadenza. Le quotazioni dell indice VIX vengono rese note durante tutto il periodo di negoziazione e sono disponibili ad iniziare dal 1990; il valore massimo (intraday) toccato dall indice VIX è stato di 89.53 punti, valore raggiunto in data 24 ottobre 2008 in concomitanza con il momento forse più difficile della pesante crisi finanziaria che ha colpito recentemente la maggior parte dei mercati azionari evoluti. La tabella 3 presenta i valori minimi e massimi dei livelli di chiusura dell indice VIX negli anni 1990-2009 4. L andamento dell indice VIX e dell indice S&P 500 viene illustrato ricorrendo all aiuto di alcuni grafici. Nella prima figura viene rappresentato 4 Per quanto attiene ai dati del 2009 l analisi è limitata al primo bimestre. 9

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anno 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 minimo 14.74 13.95 11.51 9.31 9.94 10.36 12.00 17.09 16.23 17.42 massimo 36.47 36.20 20.51 17.30 23.87 15.74 21.99 38.20 45.74 32.98 anno 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 minimo 16.53 18.76 17.40 15.58 11.23 10.23 9.90 9.89 16.30 38.56 massimo 33.49 43.74 45.08 34.69 21.58 17.74 23.81 31.09 80.86 56.65 Tabella 3: Valori minimi e massimi (di chiusura) dell indice VIX negli anni 1990-2009 l andamento dell indice VIX e dell indice S&P 500 relativamente al periodo gennaio 1990-febbraio 2009. In primo luogo si può notare che il grafico dell indice VIX è molto più frastagliato e quindi la volatilità della volatilità dell indice S&P 500 è maggiore della volatilità dell indice stesso. Inoltre, si nota che in certi periodi i due indici tendono a muoversi in direzione opposta. A tal proposito si vedano le due figure successive che si riferiscono, rispettivamente, all anno 2001 caratterizzato da un crollo delle quotazioni in seguito all attentato delle Torri Gemelli e all anno 2008 caratterizzato da una costante diminuzione dei corsi dovuta alla pesante crisi economico-finanziaria mondiale. La correlazione inversa non è ovviamente perfetta: ad esempio negli anni 1996 e 1997 tutti è due gli indice hanno evidenziato un andamento crescente. Un interessante caratteristica dell indice VIX è legata a una specie di effetto weekend che si manifesta in un livello meno elevato dell indice al trascorrere dei giorni della settimana. In media il livello dell indice registrato il venerdì risulta di 0.5 punti base inferiore al livello del lunedì. 3 Un esempio di calcolo L algoritmo utilizzato dal CBOE per il calcolo dell indice di volatilità implicita VIX si basa sulla formula (8) e può essere schematizzato nei seguenti otto passi. Passo 1: Raccolta delle informazioni utili. Le informazioni necessarie per il calcolo dell indice VIX sono le quotazioni bid-ask di tutte le opzioni outof-the-money call e put sull indice S&P 500 che si riferiscono alla scadenza più vicina e a quella immediatamente successiva. Per ciascuna delle due scadenze considerate viene calcolato il tasso di interesse non rischioso e per ciascun prezzo di esercizio si calcola la differenza tra la quotazione media dei prezzi bid e ask della call e della put. 11

Passo 2: Calcolo del tempo alla scadenza in minuti e in anni. Il tempo alla scadenza viene inizialmente misurato in minuti ed è formato da tre componenti. Come prima cosa si deve calcolare il numero di minuti che intercorrono fra l epoca corrente e la mezzanotte del giorno corrente. Quindi si calcolano i minuti fra la mezzanotte del giorno corrente e la mezzanotte del giorno antecedente la scadenza dell opzione. Infine, si calcolano i minuti fra la mezzanotte del giorno prima della scadenza e il momento del giorno di scadenza in cui avviene il regolamento in contanti del contratto. Quest ultima quantità risulta ovviamente costante dato che il regolamento in contanti avviene alle 8.30 del giorno di scadenza e risulta 8.5 ore 60 minuti all ora = 510 minuti. La prima e la seconda componente dipendono rispettivamente dal momento del giorno in cui si effettua la valutazione e dal numero di giorni che mancano alla scadenza. Per esemplificare supponiamo di voler calcolare il livello dell indice alle 8.38 del 6 ottobre 2003. Il numero di minuti che mancano a mezzanotte del 6 ottobre è 22 minuti + 15 ore 60 minuti all ora = 922 minuti. In data 6 ottobre 2003, la prima e la seconda scadenza delle opzioni sull indice S&P 500 sono rispettivamente il 17 ottobre e il 21 novembre 2003 e il numero di giorni (includendo la data corrente e la data di scadenza) è, rispettivamente, 12 e 47. La data corrente e il giorno della scadenza sono già state incorporate. Il numero di muniti che mancano a mezzanotte del giorno corrente è 922 e il numero di minuti tra la mezzanotte del giorno prima della scadenza e il momento della scadenza è 510. Pertanto, riduciamo a 10 e a 45 il numero di giorni che mancano alla prima e alla seconda scadenza. Dato che in un giorno ci sono 1440 minuti, il numero di minuti della seconda componente, relativamente alla prima scadenza, è 10 giorni 1440 minuti per ciascun giorno = 14 400 minuti. e per la seconda scadenza si ha 45 giorni 1440 minuti per ciascun giorno = 64 800 minuti. Il numero totale di minuti sino alla prima scadenza, pertanto, è prima scadenza : 922 + 14 400 + 510 = 15 832 12

e per la seconda scadenza si ha seconda scadenza : 922 + 64 800 + 510 = 64 232. Ricordando che in 365 giorni il numero di minuti è 525 600, il tempo alla scadenza misurato in anni è calcolato come segue per la prima scadenza e T 1 = T 2 = 15 832 525 600 = 0.0301217656 64 232 525 600 = 0.1260121766 per la seconda. Passo 3: Calcolo del fattore di montante per ciascuna scadenza. Il fattore di montante è definito come il valore che una unità monetaria (1 dollaro nel caso del VIX) accumulerà alla data di scadenza dell opzione, qualora venga investito al tasso di interesse privo di rischio. Il 6 ottobre 2003 il tasso di interesse per investimenti privi di rischio (effettuati in America) con durata uguale alla prima scadenza era dello 0.920 % su base annua, mentre con durata uguale alla seconda scadenza era 0.850 %. Pertanto, i fattori di montante relativi rispettivamente alla prima e alla seconda scadenza erano: e e r 1T 1 = e 0.0092 0.0301217656 = 1.0002772 e r 2T 2 = e 0.0085 0.1260121766 = 1.0010717, rispettivamente. Passo 4: Identificazione dell opzione at-the-money per ciascuna scadenza. Per identificare le opzioni che per ciascuna scadenza intervengono nel computo dell indice, si deve come prima cosa calcolare il prezzo medio bidask per le opzioni call e put relativamente alla prima e alla seconda scadenza. Tale calcolo per quanto riguarda la prima scadenza è indicato nelle tabella 4 e per la seconda scadenza nella tabella 5. In corrispondenza di ciascun prezzo d esercizio per il quale siano disponibili prezzi call e put, si calcola la differenza assoluta delle quotazioni. Si osservi che le opzioni call e put con prezzi bid uguali a zero non vengono prese in considerazione. Nelle tabelle queste opzioni appaiono con carattere bold. Il prezzo d esercizio con la differenza assoluta più bassa individua l opzione at-the-money. In data 6 ottobre 2003 il prezzo d esercizio at-the-money è 1030 per la scadenza più vicina e 1035 per la seconda scadenza. 13

Passo 5: Calcolo per ciascuna scadenza del livello forward dell indice. Una volta identificata l opzione at-the-money, si può calcolare il livello implicito forward dell indice utilizzando la versione forward della relazione di parità valida per le opzioni call e put europee. F i = K i + e r it i (c i p i ) i = 1, 2, dove K i è il prezzo d esercizio che individua l opzione at-the-money, c i e p i sono i prezzi (calcolati come media bid-ask) della call e della put. Per la prima scadenza il prezzo forward è F 1 = 1030 + 1.00027712 (13.50 12.40) = 1031.10 Per la seconda scadenza delle opzioni at-the-money, il prezzo forward è F 2 = 1035 + 1.0010717 (23.90 28.90) = 1029.99 Passo 6: Identificazione delle serie di opzioni utilizzate nel calcolo del VIX. Nel calcolo del VIX vengono utilizzati solo i prezzi delle opzioni call e put out-of-the-money. Per distinguere tra opzioni in-the-money e out-of-the-money viene utilizzato il prezzo d esercizio K i,0 che é quel prezzo d esercizio appena sotto il livello forward calcolato al passo 5. Le opzioni call out-of-the-money sono quelle con prezzo d esercizio maggiore o uguale a K i,0 e le put out-of-the-money sono quelle con prezzo d esercizio minore o uguale a K i,0. Se qualcuna di queste serie ha prezzo bid uguale a zero allora viene eliminata 5. Nel caso in esame i prezzi d esercizio, appena sotto il livello forward dell indice, sono K 1,0 = 1030 per la prima scadenza e K 2,0 = 1025 per la seconda. Passo 7: Calcolo della varianza implicita per ciascuna scadenza. La formula per il calcolo della varianza implicita relativa alla prima scadenza è σ1 2 = 2 n 1 T 1 i=1 K 1,i e r 1T 1 Q(K K1,i 2 1,i ) 1 ( ) 2 F1 1 (11) T 1 K 1,0 dove T 1 è il tempo (espresso in anni) che manca alla prima scadenza, n 1 è il numero di opzioni della serie out-of-the-money per la prima scadenza, K 1,i è il prezzo d esercizio dell i-sima opzione, r 1 è il tasso di interesse che corrisponde alla prima scadenza, F 1 è il livello forward dell indice implicito dai prezzi call 5 Nel caso in cui i prezzi bid di due call (o put) con prezzi d esercizio adiacenti siano nulli, tutte le serie call (put) con prezzi d esercizio più alti (bassi) vengono eliminate anche se i loro prezzi bid sono positivi. 14

e put at-the-money, Q(K 1,i ) è il prezzo medio bid-ask dell opzione con prezzo d esercizio K 1,i e K 1,0 è il prezzo d esercizio appena sotto il prezzo forward implicito. La sommatoria include un unica opzione (call o put) per ciascun prezzo di esercizio tranne nel caso at-the-money in cui si considera sia la call sia la put. In tal caso, per evitare il doppio conteggio si considera la media del prezzo della call e della put. La stessa procedura è utilizzata per calcolare la varianza implicita relativa alla seconda scadenza, T 1 σ2 2 = 2 n 2 T 2 i=1 K 2,i e r 1T 1 Q(K K2,i 2 2,i ) 1 ( ) 2 F1 1. (12) T 2 K 2,0 Per illustrare il meccanismo di questi calcoli, iniziamo con l ultimo termine sulla destra (il fattore di spostamento). Per la prima scadenza si ha ( ) 2 ( ) 2 1 F1 1 1031.10 1 = K 1,0 0.03012177 1030 1 = 0.3789 10 4 e per la seconda scadenza si ha ( ) 2 1 F2 1 = K 2,0 T 2 1 0.12601218 ( ) 2 1029.99 1025 1 = 0.000189843 Per quanto riguarda la sommatoria che compare nel primo termine di destra il suo valore è 0.0005943786 per la prima scadenza e 0.0025376773 per la seconda scadenza. Pertanto, la varianza relativa alla prima scadenza è σ 2 1 = 2 0.03012177 0.00059438 0.3789 10 4 = 0.03942717 e quella relativa alla seconda è σ 2 2 = 2 0.00253768 0.00018843 = 0.04008827 0.12601218 Passo 8: Calcolo della volatilità annualizzata sulla base dei prossimi 30 giorni di calendario Le varianze dei contratti che si riferiscono alla prima e alla seconda scadenza corrispondono ai tempi alla scadenza di T 1 e T 2 anni. L indice VIX mantiene costante il tempo alla scadenza e la costante vale 30 giorni ovvero 30/365=0.0821917808 anni. Per ottenere la varianza su un intervallo di tempo di 30 giorni di calendario, si prevede di interpolare fra le varianze della prima e della seconda scadenza, ottenendo ( σ30giorni 2 T2 T 30giorni = T 2 T 1 ) σ 2 1T 1 + ( T30giorni T 1 15 T 2 T 1 ) σ 2 2T 2 = 0.00328583. (13)

Per avere il livello dell indice VIX si deve trasformare su base annua la varianza a 30-giorni ed estrarre la radice quadrata, V IX = σ30giorni 2 T 365giorni = 0.1999 ; T 30giorni questo valore moltiplicato per 100 rappresenta esattamente il livello dell indice VIX divulgato dal CBOE alle 8.38 (ora di Chicago) del giorno 6 ottobre 2003. 4 Errori di approssimazione nel calcolo del VIX Il calcolo del nuovo VIX è basato su un approssimazione della seguente formula proposta da Demeterfi et al. (si veda la loro relazione (26) in [8]) per sintetizzare il concetto di varianza implicita futura associata a un contratto 6 di tipo variance swap V ar DDKZ = 2 { [ ] S0 rt e rt 1 log S T S + e rt S 0 P(T,K) dk + e rt K 2 S 0 C(T, K) S K 2 } dk (14) dove S 0 è il prezzo corrente del bene sottostante ed S un prezzo arbitrario scelto in modo da essere vicino al prezzo forward del bene. Questo modo di 6 Un contratto variance swap è un contratto forward sulla varianza annualizzata realizzata sull andamento del prezzo di un titolo finanziario in un certo periodo n 1 V R = σr 2 1 ( = 252 log S(t ) 2 i+1). n 2 S(t i ) Per un operatore in posizione lunga il payoff alla scadenza è dove: i=1 σ 2 R K S(t i ) è la quotazione del titolo finanziario all epoca t i, n è il numero di giorni di negoziazione dall epoca di valutazione all epoca di scadenza del contratto, K è il prezzo di consegna che rappresenta il livello di varianza fissato inizialmente in modo che fra le parti contrattuali non ci siano inizialmente scambi di denaro. 16

calcolare l indice VIX oltre al vantaggio di utilizzare solo prezzi di mercato di opzioni out-of-the money e quindi di non richiedere un modello che descriva la dinamica dei prezzi del bene sottostante, non prevede di stimare i dividendi che vengono distribuiti durante il periodo di vita dell opzione. Si può dimostrare (si veda [16]) che la varianza V ar DDKZ è concettualmente identica alla varianza implicita indipendente dal modello formulata da Britten-Jones e Neuberger in [4] e definita da V ar BJN = 2erT T [ F0 0 P(T, K) ] C(T, K) + K 2 F 0 K 2 (15) dove F 0 è il prezzo forward con scadenza uguale a quella delle opzioni. Come dimostrato da Jiang e Tian in [15], la varianza implicita indipendente dal modello fornisce una previsione più efficiente e maggiori informazioni sulla volatilità futura rispetto sia alla varianza implicita sia alla varianza storica. Ci si deve pertanto attendere che il nuovo VIX sia più efficiente rispetto al vecchio nella determinazione dei valori di volatilità ottenuti dai prezzi di mercato delle opzioni. D altra parte la mole di calcoli richiesta per la costruzione del nuovo VIX è piuttosto consistente in quanto si richiede di calcolare un integrale di prezzi pesati su un intervallo infinito. La procedura adottata da CBOE per il calcolo del VIX, descritta precedentemente e sintetizzata nella relazione (8), è solo un approssimazione delle relazioni (14) e (15) e non tiene conto di alcuni accorgimenti che possono permettere di minimizzare gli errori di implementazione. Come conseguenza si hanno dei valori del VIX che sono sostanzialmente distorti, con un insieme di implicazioni negative sui titoli derivati che hanno come sottostante l indice di volatilità. Un primo errore originato dall implementazione del calcolo del VIX basato sulla relazione (8) è un errore di troncamento, causato dalla limitata disponibilà dei prezzi di esercizio. Per il calcolo della varianza implicita indipendente dal modello si richiede un intervallo infinito di prezzi di esercizio come indicato dalle relazione (14) e (15). Indicati con K L e con K U i prezzi di esercizio minimo e massimo negoziati sul mercato per una certa scadenza, il CBOE introduce, con la procedura usata, un errore di troncamento in quanto sostituisce un intervallo infinito di prezzi d esercizio con l intervallo finito [K L,K U ]. Si noti che la consistenza dell errore di troncamento può variare sostanzialmente nel tempo non solo in quanto il CBOE aggiunge nuovi prezzi di esercizio quando l indice si discosta dai prezzi di esercizio esistenti ma anche a causa delle restrizioni sulle opzioni da impiegare nel calcolo dell indice: ogni opzione con prezzo bid nullo viene considerata mal quotata e il corrispondente prezzo d esercizio viene escluso nel calcolo. 17