ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO
GEOMETRIA NELLO SPAZIO Gli enti fondamentali sono punto, retta, piano, e spazio. Con le lettere maiuscole (A,B,C,...) si indicano i punti, con le lettere minuscole si indicano le rette (a,b,c,...), con le lettere greche minuscole (α,β,γ,...) si indicano i piani. Le figure solide o solidi sono figure formate da punti che non appartengono tutti allo stesso piano.
POLIEDRI I poligoni sono detti facce del poliedro I lati del poligono sono detti spigoli del poliedro I vertici del poligono sono detti vertici del poliedro. Una diagonale del poliedro è un segmento che unisce due vertici che non appartengono alla stessa faccia.
RELAZIONE DI EULERO Consideriamo ad esempio una piramide a base quadrata. Dalla figura risulta evidente che la figura ha 5 facce, 8 spigoli e 5 vertici. E infatti risulta che 5+5-8 = 2
IL PRISMA Dati un poligono ed una retta r non appartenente al piano del poligono si chiama prisma indefinito l insieme delle rette parallele ad r e passanti per i punti del poligono. Le rette parallele ad r e passanti per i vertici del poligono costituiscono gli spigoli del prisma. Un prisma definito, o semplicemente prisma, è la parte di prisma indefinito compresa tra due piani paralleli che lo intersecano.
IL PRISMA Un prisma retto è un prisma in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. N.B. In un prisma retto le facce laterali sono rettangoli e l altezza coincide con gli spigoli laterali. Un parallelepipedo è un prisma retto le cui basi sono parallelogrammi. Le facce opposte (che non hanno vertici in comune) di un parallelepipedo sono congruenti e parallele. Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in un punto che le divide in due segmenti congruenti. Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli. Le lunghezze degli spigoli uscenti da uno stesso vertice si chiamano dimensioni. Un cubo è un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni uguali.
ANGOLOIDI E TRIEDRI Dato un poligono convesso ed un punto V non appartenente al suo piano si chiama angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono. Le semirette passanti per i vertici del poligono sono gli spigoli, l origine V delle semirette è il vertice, gli angoli di vertice V e lati due spigoli dell angolo de sono le facce. Un triedro è un angoloide con tre spigoli. In ogni angoloide di vertice V la somma degli angoli in V delle facce è minore di un angolo giro. In ogni angoloide l angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle rimanenti. In ogni triedro l angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre due.
LA PIRAMIDE La piramide è la parte di angoloide tra il vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli. Il vertice dell angoloide si chiama vertice della piramide. Il poligono di intersezione tra il piano e gli spigoli dell angoloide si chiama base della piramide. La distanza tra il vertice e la base della piramide si chiama altezza. La piramide, oltre che dalla base, è delimitata da dei triangoli detti facce laterali. Gli spigoli della base si chiamano spigoli di base mentre gli spigoli delle facce laterali si chiamano spigoli laterali.
LA PIRAMIDE Una piramide si dice retta se nella sua base è possibile inscrivere una circonferenza il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice sul piano contenente la base. In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano tutte per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti. Una qualunque di queste altezze si chiama apotema. Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare. La facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli tra loro congruenti.
POLIEDRI REGOLARI Un poliedro regolare è un poliedro in cui le facce sono poligoni regolari congruenti, gli angoloidi sono tutti congruenti e anche i diedri sono congruenti. Si chiama diedro del poliedro il diedro individuato da uno spigolo e le due facce del poliedro che contengono lo spigolo. Si chiama angoloide del poliedro l angoloide individuato da un vertice e dagli spigoli che escono da quel vertice.
SOLIDI DI ROTAZIONE Un solido di rotazione è un solido ottenuto dalla rotazione di una figura piana P intorno ad una retta r secondo un angolo α. Se α è un angolo giro si dice che la rotazione è completa.
SOLIDI DI ROTAZIONE IL CILINDRO E IL CONO Il cilindro è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Il lato attorno al quale avviene la rotazione si chiama altezza mentre gli altri due sono i raggi delle basi. Un cilindro è equilatero se l altezza e il diametro della base sono uguali. Il cono è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti. Il cateto attorno al quale avviene la rotazione si chiama altezza, l altro cateto è il raggio della base e l ipotenusa è l apotema. Un cono è equilatero se l altezza e il diametro della base sono uguali.
SOLIDI DI ROTAZIONE L A SFERA E LE SUE PARTI La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. Il centro del semicerchio è il centro della sfera e il raggio del semicerchio è il raggio della sfera. La calotta sferica e il segmento sferico a una base sono le parti di superficie sferica e di sfera in cui una superficie sferica e una sfera vengono divise da un piano secante. La zona sferica e il segmento sferico a due basi sono le parti di superficie sferica e di sfera comprese tra due piani paralleli secanti. Il fuso sferico e lo spicchio sferico sono le parti in cui una superficie sferica e una sfera vengono divise da due semipiani aventi come origine una retta passante per il centro della sfera.