Esercitazioi di Geometria II Letizia Perigotti - perigotti@sciece.uit.it 20 aprile 2012 Esercizio 1. Dimostrare che la famiglia degli itervalli chiusi e limitati B 1 = {[a, b] R : a < b} o è base di alcua topologia su R, metre la famiglia B 2 = {[q, x] R : q Q, x R \ Q} è base di ua topologia su R. Quali soo le topologie geerate dalle due famiglie? Esercizio 1. Sappiamo che ua famiglia B di sottoisiemi di u isieme o vuoto X è ua base per ua topologia su X se e solo se (a) X = B B B, (b) dati comuque A, B B, l itersezioe A B è uioe di elemeti di B. Cosideriamo la famiglia B 1. Essa verifica la codizioe (a) ma o la codizioe (b). Per ogi tera di umeri reali a < b < c si ha ifatti [a, b] [b, c] = {b} e l isieme {b} o può i alcu modo esser scritto come uioe di itervalli [x, y] co x, y R e x < y. La famiglia B 2 verifica ivece ambedue le codizioi. La prima è data, per esempio, da R = Z[, 2 + ]. La secoda si ottiee osservado che ua qualsiasi itersezioe o vuota di due itervalli [q 1, x 1 ] e [q 2, x 2 ] è acora del tipo [q, x], co q Q e x R\Q. No otterrò mai solo u sigoletto i quato estremo destro ed estremo siistro di due itervalli diversi o possoo mai coicidere (il primo è irrazioale, il secodo razioale). Per rispodere alla secoda domada, osserviamo che, el caso della prima famiglia, ogi sigoletto è u aperto (i quato otteibile come itersezioe di due aperti). Dal fatto che qualsiasi arbitraria uioe di aperti è essa stessa u aperto segue che ogi possibile sottoisieme di R è u aperto ella topologia geerata da B 1. Di cosegueza tale famiglia geera la topologia discreta. La topologia τ 2 geerata dalla famiglia B 2 è costituita da tutte le uioi arbitrarie e le itersezioi fiite degli elemeti di B 2. Osserviamo che (q, x) = [ q + 1, x 1 ], (q, x] = appartegoo a τ 2 per qualiasi q Q e x R \ Q. 1 [q + 1, x ], [q, x) = [ q, x 1 ]
2 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Sia ora p Q. Allora si ha Sia ivece y R \ Q e sia [q, p) = [ q + 1, p 2 ] y = α, α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 τ 2. la sua scrittura decimale. Defiiamo la successioe {p } Q come p := α, α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 9. Facciamo u esempio. Se y = π = 3, 1415926535897, allora p 1 = 3, 19, p 2 = 3, 149, p 3 = 3, 1419,... Ricordado che u umero è irrazioale se e solo se possiede ifiite cifre decimali o periodiche, la successioe p verifica p Q N, p > y N, p y. Di cosegueza, si ha (y, x] = [p, x] τ 2. Mettedo isieme i vari pezzi, la topologia τ 2 deve coteere itervalli del tipo (a, b) a, b R [q, x] q Q, x R \ Q [q, b) q Q, b R (a, x] a R, x R \ Q Scritto i altro modo, possiamo vederla come la topologia geerata da itervalli del tipo (a, b) a, b R [q, + ) q Q. (, x] x R \ Q La topologia τ 2 può quidi esser vista come l uioe di tre topologie (euclidea, semirette razioali chiuse a siistra, semirette irrazioali chiuse a destra) tra loro o cofrotabili.
20 APRILE 2012 3 Esercizio 2. Sia S la famiglia di sottoisiemi di N costituita da, N e da tutti i sottoisiemi della forma Si rispoda ai segueti quesiti A = {m } = {, + 1, + 2,...}, N. (1) Si dimostri che S è ua topologia. (2) Trovare i puti di accumulazioe dell isieme A = {3, 7, 51, 107} e determiare A. (3) Determiare i sottoisiemi di N il cui derivato è N. Esercizio 2. (1) Per costruzioe S cotiee N e l isieme vuoto. Rimae da cotrollare che sia chiusa per itersezioi fiite e per uioi arbitrarie. Osserviamo che A m = [, ) N. Cotrolliamo che sia chiusa per itersezioi fiite. Basta cotrollare su due elemeti geerici: A A m = A max,m S. Cosideriamo u uioe arbitraria di elemeti di S: ( ) { (α, ) N A i = [ i, ) N = [α, ) N i I i I Osserviamo che, i ambedue i casi, otteiamo acora u itervallo del tipo A m. Di cosegueza S rappreseta ua topologia su N. Nota: Cosideriamo (R, τ) co τ la topologia geerata dagli itervalli del tipo (a, ) co a R. Allora S è semplicemete la topologia idotta su N. (2) Ricordiamo che u puto x X è di accumulazioe per S X se e solo se ogi itoro di x cotiee almeo u puto di S diverso da x. Sia N. Gli itori aperti di soo tutti e solo gli aperti del tipo A m co m. Di cosegueza, u puto è di accumulazioe per A = {3, 7, 51, 107} se e solo se ogi aperto del tipo A m co m cotiee almeo u puto di A \ {}. Ciò implica che ogi < max A è di accumulazioe per A, i quato ogi itoro aperto di è del tipo A m co m e di cosegueza cotiee di sicuro l elemeto max A i quato max A >. Viceversa, se max A, allora l itoro A o cotiee alcu elemeto di A \ {} i quato, per costruzioe, A \{} cotiee solo elemeti < max A. I coclusioe, i puti di accumulazioe di A soo dati da D(A) = { N : < 107} e quidi la chiusura di A è data da A = A D(A) = { N : 107}. (3) Nel puto precedete abbiamo dimostrare che se N N è u sottoisieme fiito, allora N = { N : max N} N.
4 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Se N è ivece u sottoisieme ifiito, allora qualsiasi aperto del tipo A iterseca N. Ifatti, se esistesse A 0 o itersecate N, ciò forzerebbe ogi elemeto N a verificare 0 e questo implicherebbe la fiitezza di N, cotro la ostra ipotesi iiziale. Ciò sigifica che qualsiasi puto di N è di accumulazioe per N e duque D(N) = N = N. Mettedo isieme le due cose, abbiamo dimostrato che D(N) = N N è ifiito.
20 APRILE 2012 5 Esercizio 3. Si cosideri il seguete sottoisieme di R: { } S = + 1 : N. Si rispoda ai segueti quesiti (1) Si dimostri che S = S {1} ella topologia euclidea. (2) Si dimostri che S = R ella topologia cofiita. Esercizio 3. (1) Dimostriamo iazitutto che 1 S. Sappiamo che 1 = lim x := lim + 1 e duque che, per defiizioe di limite, ε > 0 0 N t.c. 0 x D ε (1). Fissiamo u itoro W qualsiasi di 1. Allora, per defiizioe di base di ua topologia, esiste ua palla B di raggio ε cetrata i 1 e coteuta i W. Per defiizioe di limite, esiste u idice 0 a partire dal quale tutti gli elemeti della successioe x soo coteuti i B e quidi ache i W. Ciò dimostra che 1 è di accumulazioe per S e quidi appartiee alla sua chiusura. Suppoiamo ora che y / S {1} sia di accumulazioe per S e cosidero la seguete successioe di itori di y: B k (y) =: { x R : x y < 1 k Essedo di accumulazioe per S, avrei che }. k N k t.c. y x k < 1 k. Ciò sigifica che la sottosuccessioe x k di x tede al valore y. Tuttavia ciò o è possibile, perché y 1 ed essedo x covergete a 1 ache ogi sua sottosuccessioe covergete deve covergere allo stesso limite. (2) Nel caso di R co la topologia cofiita, essedo R ifiito, ogi aperto deve essere ifiito egli stesso (per poter avere complemetare fiito). Sia A u aperto di R e sia p S u suo puto qualsiasi. Osserviamo che A (S \ {p}) = A c (S \ {p}) c = R Poiché A è fiito e (S \ {p}) = N = ℵ 0, ciò o è mai possibile. Ciò sigifica che qualsiasi aperto di R iterseca S e che duque S = R.
6 ESERCITAZIONI DI GEOMETRIA II Esercizio 4. Su R si cosiderio le segueti topologie E = topologia euclidea I s = {(, b) : b R} { } R I d = {(a, + ) : b R} { } R J s = {(a, b] : b R} { } R J d = {[a, b) : b R} { } R C = topologia dei cofiiti Determiare, i ciascua delle topologie elecate, frotiera, chiusura e itero del sottoisieme A = [a, b] R per a < b due umeri reali. Esercizio 4. Nel caso euclideo, come è già oto, si ha A = {a, b}, A = [a, b], A= (a, b). Cosideriamo le diverse topologie. (I s ) Ogi aperto del tipo (, c) iterseca A e R \ A ogiqualvolta c > a. Sicuramete c A per ogi c > a. Cosideriamo u itoro aperto di x = a: ach esso, i quato aperto, sarà del tipo (, c) co c > a e dovrà itersecare per forza l itervallo (a, b]. Di cosegueza A = A = [a, + ). I puti iteri di A soo ivece quei puti per i quali esiste almeo u itoro iteramete coteuto i A. Poiché ogi aperto i I s è del tipo (, x), essu itoro aperto di essu puto può essere iteramete coteuto i [a, b] e duque A=. (I d ) Co ragioameti esattamete aaloghi e simmetrici rispetto al puto precedete, si vede come A = A = (, b], A=. (J s ) Sicuramete ogi puto di (a, b) ammette u itoro strettamete coteuto i A = [a, b] e duque A (a, b) =. Aalogamete per ogi puto di A c = (, a) (b, + ). Cosideriamo allora i due puti {a, b}. Il puto b R o appartiee alla frotiera i quato, per esempio, il suo itoro defiito da ( ] a + b N b = 2, b verifica N b A. Il puto a R ivece appartiee alla frotiera i quato qualsiasi suo itoro del tipo (a ε 1, a + ε 1 ] deve itersecare sia A che il suo complemetare. Per lo stesso motivo, i puti di (a, b) soo ovviamete iteri ad A ed itero è ache il puto b R poiché, per esempio, N b è u suo itoro iteramete coteuto i A. A = {a}, A = [a, b], A= (a, b].
20 APRILE 2012 7 (J d ) Co ragioameti esattamete aaloghi e simmetrici rispetto al puto precedete, si vede come A = {b}, A = [a, b], A= [a, b). (C) Ogi aperto U di R deve avere complemetare fiito. Osserviamo che U [a, b] = [a, b] U c. Poiché U c è fiito per ogi aperto U di R, tale U c o può mai coteere l itervallo [a, b]. Di cosegueza ogi aperto di R iterseca sempre [a, b] (e - per lo stesso motivo - iterseca sempre ache il suo complemetare). Ciò sigifica che ogi puto di R è di frotiera per A e duque A = R, A = R, A=.