Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a.

Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a. 2005-6 Martino Bardi Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Università di Padova via Belzoni 7, I-35131 Padova bardi@math.unipd.it 1

1 Superfici parametriche 4 2 Piano tangente e versore normale 6 3 Area di una superficie e integrali superficiali 7 4 Baricentri e insiemi generati da rotazioni. 9 5 Flusso di un campo e teorema della divergenza. 13 6 Formule di Gauss-Green nel piano. 15 7 Superfici con bordo e teorema del rotore. 21 8 Esercizi di autoverifica: Integrali multipli 23 9 Esercizi di autoverifica: Integrali curvilinei e forme differenziali 25 10 Esercizi di autoverifica: Integrali superficiali. 28 11 Esercizi di autoverifica: Funzioni implicite e estremi vincolati 29 12 Temi d esame di Matematica E 2002 30 13 Temi d esame di Matematica C 2002 37 14 Temi d esame di Matematica E 2003 39 15 Esercizi risolti di probabilità dai temi d esame di Matematica C 2003 45 16 Temi d esame di Matematica E 2004 50 17 Temi d esame di Matematica C per Ingegneria Elettronica 2004 e 2005 57 18 Temi d esame di Matematica C per Ingegneria Biomedica 2004 ed alcune soluzioni 61 19 Risultati dei temi d esame 76 2

Queste note presentano alcuni argomenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili che completano il testo [BDP] M. Bertsch, R. Dal Passo : Elementi di analisi matematica, Aracne, Roma, 2001. Il lettore troverà su quel libro tutte le notazioni e definizioni che non sono esplicitamente richiamate qui. La materia è presentata in maniera stringata ed essenziale, come richiesto dai programmi delle nuove lauree triennali. Per approfondimenti il lettore è rimandato a un buon testo di Analisi Matematica II delle vecchie lauree quinquennali (tra quelli usati a Padova negli ultimi anni ricordiamo il Pagani - Salsa, il Fusco - Marcellini - Sbordone, il Gilardi, il Barozzi - Gonzalez e il classico Chiffi). Nelle sezioni 8, 9, 10 e 11 presentiamo anche esercizi di autoverifica per gli studenti su tutti gli argomenti di analisi matematica dei corsi Matematica E e C. Ulteriori esercizi, anche svolti, su questi argomenti si trovano nei testi citati di Analisi II e in P. Marcellini, C. Sbordone : Esercitazioni di Matematica, 2 o Volume, parte seconda, Liguori, Napoli, 1995. La sezione 12 contiene i testi di tutte le prove scritte d esame di Matematica E dell a.a. 2001-2002; la metà circa degli esercizi di tali prove erano presenti anche nei temi d esame del corso di Matematica C dello stesso anno, quelli mancanti sono presentate nella sezione 13 scritta dal prof. Colombo. La sezione 14 contiene le prove d esame di Matematica E dell a.a. 2002-2003. Nella sezione 15 scritta dal prof. Ferrante si trovano gli esercizi di probabilità di tre appelli di Matematica C del 2003 con le soluzioni. La sezione 16 contiene le prove d esame di Matematica E dell a.a. 2003-2004; vari esercizi erano presenti anche nei temi di Matematica C per Ingegneria Elettronica, quelli mancanti sono nella sezione 17 scritta dal prof. Colombo. La sezione 18, dovuta al prof. Ferrante e al dott. Monti, contiene tutti gli appelli Matematica C per Ingegneria Biomedica del 2004 con alcune soluzioni, sia di esercizi di analisi che di probabilità. Infine, la sezione 19 dà i risultati di tutti gli esercizi delle sezioni 12, 13, 14, 16 e 17. Ringrazio vivamente i colleghi Colombo, Ferrante, Monti e Sartori per la collaborazione. Padova, aprile 2006 3

1 Superfici parametriche Definizione 1 Si dice superficie (parametrizzata e regolare) un insieme S R 3 con una sua parametrizzazione r : D R 3, dove D R 2 è la chiusura di un aperto connesso, S = im(r) = r(d), r è una funzione continua in D tale che (i) la restrizione di r a D (l interno di D) è iniettiva e di classe C 1, (ii) la matrice jacobiana J r (u, v) ha rango massimo, cioè 2, per ogni (u, v) D. Sottolineiamo che una superficie parametrizzata è una coppia (S, r), dove S è il sostegno della superficie e r ne è la parametrizzazione, e talvolta si parla anche della superficie S di equazione (x, y, z) = r(u, v). Si noti l analogia con le curve parametrizzate che descrivono insiemi dove ci si può muovere con un solo grado di libertà, e sono descritte come immagine di una funzione di un parametro che varia in R. Le superfici descrivono invece insiemi dello spazio tridimensionale sui quali ci si può muovere con due gradi di libertà. Un esempio di superficie studiato in Matematica B è un piano assegnato mediante equazioni parametriche. Altri esempi intuitivi di superfici sono la sfera e i grafici delle funzioni di due variabili di classe C 1, di cui si conosce già una descrizione analitica come insieme delle soluzioni di un equazione in 3 incognite, cioè come insiemi dei punti in cui si annulla una funzione R 3 R. La descrizione in forma parametrica è completamente diversa, perchè S è data come immagine della funzione r : R 2 D R 3. Vedremo tra poco come i tre esempi citati si scrivano in forma parametrica. Indicheremo spesso le componenti di r, oltre che con r i, i = 1, 2, 3, con r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Ricordiamo che J r (u, v) è la matrice 3 2 che ha per colonne le derivate parziali di r, cioè r u (u, v) = (x u (u, v), y u (u, v), z u (u, v)), r v (u, v) = (x v (u, v), y v (u, v), z v (u, v)). Pertanto la condizione di rango massimo (ii) dice che i vettori r u e r v sono linearmente indipendenti per ogni (u, v) D. I determinanti dei tre minori di J r si indicano con (y, z) (u, v) := y u z u, (z, x) (u, v) := z u x u, (x, y) (u, v) := x u y v z v 4 z v x v x v y u y v

e sono le tre componenti del vettore r u r v, il prodotto esterno dei vettori r u e r v. Pertanto la condizione (ii) equivale a (r u r v )(u, v) > 0 (u, v) D. Fissato v o e un intervallo I tale che I {v o } D, la funzione I R 3, v r(u, v o ) definisce una curva regolare (cioè di classe C 1 e con vettore tangente mai nullo) con sostegno γ 1 S. Analogamente, se J è un intervallo e {u o } J D, la funzione J R 3, u r(u o, v) definisce una curva regolare con sostegno γ 2 S. Queste sono le linee coordinate sulla superficie S passanti per il punto r(u o, v o ). Si noti che i vettori tangenti a γ 1 e γ 2 in tale punto sono, rispettivamente, r u (u o, v o ) e r v (u o, v o ). Esempio 2 (Superfici cartesiane) Se f : D R è continua in D e di classe C 1 in D, il grafico di f con la parametrizzazione r : D R 3, r(u, v) = (u, v, f(u, v)) è una superficie regolare. Infatti r è chiaramente iniettiva in D, e (x, y) (u, v) = 1 0 0 1 = 1 0 in tutto D, quindi J r ha rango 2 ovunque. Nel trattare le superfici cartesiane risulta naturale chiamare x, y i parametri, anzichè u, v. Il lettore disegni le linee coordinate. Esempio 3 (La sfera) Per R > 0 fissato, la parametrizzazione r(θ, ϕ) = (R sin ϕ cos θ, R sin ϕ sin θ, R cos ϕ), con (θ, ϕ) [0, 2π] [0, π], definisce una superficie che ha per sostegno la sfera di centro l origine e raggio R. Il significato geometrico dei parametri θ e ϕ è lo stesso che nelle coordinate sferiche di R 3 (almeno nella convenzione più comune, che è però l opposto di quello scelto in [BDP]!), cioè θ è la longitudine a partire dal piano xz e ϕ la colatitudine (lo studente si faccia un disegno!). Il lettore calcoli r θ r ϕ = R 2 sin ϕ e verifichi che valgono le condizioni (i) e (ii) della Definizione 1. Si osservi che in questo esempio le linee coordinate γ 1 e γ 2 sono, rispettivamente, i paralleli e i meridiani. 5

Esempio 4 (Cono circolare retto) Per k R fissato, si consideri la parametrizzazione r(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, kρ), con (ρ, θ) [0, R] [0, 2π], R > 0 fissato. Il lettore calcoli r ρ r θ 2 = ρ 2 (1+k 2 ) e verifichi che valgono le condizioni (i) e (ii) della Definizione 1. Il sostegno di questa superficie è un cono circolare retto di vertice nell origine e contenuto nel semispazio {(x, y, z) R 3 : z 0} se k > 0, nel semispazio {z 0} se k < 0. Esempio 5 (Cono a due falde) Consideriamo la parametrizzazione precedente ma con i parametri (ρ, θ) che variano in un insieme più grande, precisamente D = [ R, R] [0, 2π]. Questo non definisce più una superficie regolare perchè i punti del segmento {0} ]0, 2π[ sono interni a D e vengono tutti mandati da r nell origine, quindi non vale la condizione (i) delle Definizione 1. Il lettore verifichi che in tali punti fallisce anche la condizione di rango massimo della jacobiana. L immagine di questa parametrizzazione è il cono a due falde di equazione che invitiamo il lettore a disegnare. k 2 x 2 + k 2 y 2 z 2 = 0, R z R, Esercizio 6 Estendendo l esempio della sfera, si dia una parametrizzazione regolare dell ellissoide di equazione con a, b, c > 0. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1, Esercizio 7 Si dia una parametrizzazione regolare della superficie laterale del cilindro a base ellittica di equazione x 2 a 2 + y2 = 1, z I, b2 dove I R è un intervallo, limitato o illimitato. 2 Piano tangente e versore normale Abbiamo già osservato che i vettori r u (u o, v o ) e r v (u o, v o ) sono linearmente indipendenti e tangenti alle linee coordinate sulla superficie γ 1 e γ 2 passanti per P o = (x o, y o, z o ) = r(u o, v o ); ricordiamo anche che il vettore 6

r u r v (u o, v o ) è ortogonale ad essi. definizione. Questo ci motiva a dare la seguente Definizione 8 Se (S, r) è una superficie e (u o, v o ) D, si dice piano tangente a S in P o = r(u o, v o ) il piano passante per P o e individuato dai vettori r u (u o, v o ) e r v (u o, v o ). Inoltre N := (r u r v )(u o, v o ) si dice vettore normale e n := ru rv r versore normale a S in P u r v o. Poichè N è ortogonale al piano tangente in P o, l equazione di tale piano si può scrivere r u (u o, v o ) r v (u o, v o ) (P P o ) = 0, dove P = (x, y, z), ovvero, denotate con a o := (y, z) (u, v) (u (z, x) o, v o ), b o := (u, v) (u (x, y) o, v o ), c o := (u, v) (u o, v o ) le tre componenti di N, dove (x o, y o, z o ) = P o. a o (x x o ) + b o (y y o ) + c o (z z o ) = 0, Esercizio 9 Si scriva l equazione del piano tangente alla superficie cartesiana definita dalla funzione f (Esempio 2) e si verifichi che tale piano coincide con il piano tangente al grafico di f definito nel corso di Matematica B. Si può dimostrare che il piano tangente a S in P o è il piano che meglio approssima la superficie in un intorno di P o, in un senso che si può precisare come già fatto per i grafici cartesiani nel corso di Matematica B. Esercizio 10 Si scriva l equazione del piano tangente a ciascuna delle superfici degli esempi 3, 4, 5, e degli esercizi 6 e 7. 3 Area di una superficie e integrali superficiali Per motivare la definizione di area che daremo tra poco consideriamo il rettangolo R in D individuato dai punti (u, v) e (u + u, v + v), e la sua immagine r(r) S. Approssimiamo l area di r(r) con l area del parallelogramma contenuto nel piano tangente a S in r(u, v) e avente un vertice in r(u, v) e lati i vettori r u (u, v) u e r v (u, v) v applicati in tale 7

punto (il lettore si faccia un disegno). L area di questo parallelogramma è (r u r v )(u, v) u v. Grazie alle proprietà del piano tangente tale approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono gli incrementi u e v. L idea è quindi di sommare tutte le aree di questi parallelogrammi e di fare poi tendere u e v a zero. Questo si realizza mediante un integrale doppio e giustifica la seguente definizione. Definizione 11 Sia (S, r) una superficie (regolare) con dominio dei parametri D limitato e misurabile. Si dice area di S il numero A(S) := (r u r v )(u, v) du dv D ( ) (y, z) 2 ( ) (z, x) 2 ( ) (x, y) 2 = + + du dv ; (u, v) (u, v) (u, v) D se f : S R è continua l integrale di f sulla superficie S è f dσ := f(r(u, v)) (r u r v )(u, v) du dv. Il simbolo S D dσ = (r u r v )(u, v) du dv viene chiamato elemento infinitesimo d area, in virtù del fatto che A(S) = S dσ. Si noti che nel lato destro della definizione di S f dσ l integranda è una funzione continua in D, quindi l integrale doppio esiste poichè D è limitato e misurabile. Si osservi anche che se S è contenuta in un piano la definizione di integrale su S si riduce alla formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Infatti, se scegliamo gli assi cartesiani in modo che il piano che contiene S sia z = cost., si ha (r u r v )(u, v) = (x,y) (u,v), che è il fattore di ingrandimento delle aree nei cambiamenti di variabili per gli integrali doppi. Esempio 12 (Area di sottoinsiemi di una sfera) Consideriamo il pezzo Σ di sfera di centro l origine e raggio R racchiuso tra i meridiani θ = θ 1 e θ = θ 2 e i paralleli ϕ = ϕ 1 e ϕ = ϕ 2, con θ 1 < θ 2 e ϕ 1 < ϕ 2 (la parametrizzazione è quella dell Esempio 3). Non è difficile calcolare e quindi (r θ r ϕ )(θ, ϕ) = R 2 sin ϕ, A(Σ) = θ2 θ 1 ϕ2 dθ R 2 sin ϕ dϕ = R 2 (θ 2 θ 1 )(cos ϕ 1 cos ϕ 2 ). ϕ 1 8

In particolare, la buccia di uno spicchio ha area 2R 2 (θ 2 θ 1 ), la calotta sferica attorno al polo nord e sopra il parallelo ϕ = ϕ ha area 2πR 2 (1 cos ϕ), e l intera sfera ha area 4πR 2. Esempio 13 (Area dei grafici cartesiani) Nel caso particolare di una superficie cartesiana r(x, y) = (x, y, f(x, y)) si calcola facilmente che A(S) = 1 + (f x ) 2 + (f y ) 2 dx dy = 1+ f 2 dx dy, D e se g : S R è continua g dσ := S D g(x, y, f(x, y)) 1+ f 2 dx dy. Esercizio 14 Si ricalcoli l area di una calotta sferica parametrizzandola come superficie cartesiana. Esercizio 15 Si verifichi che l area del pezzo di paraboloide z = x 2 + y 2 con x 2 + y 2 R 2 è π[(1 + 4R 2 ) 3/2 1]/6. 4 Baricentri e insiemi generati da rotazioni. Sia (γ, s), s : [a, b] R 3, una curva regolare, e µ : γ [0, + ) sia una funzione continua che rappresenta la densità lineare di massa di γ. Allora la massa totale di γ è definita da M := γ µ ds = b a µ(s(t)) s (t) dt = b a D µ(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt. Si chiama baricentro della curva γ il punto (x B, y B, z B ) le cui coordinate sono la media su γ, pesata da µ, rispettivamente di x, y e z, cioè x B := 1 xµ(x, y, z) ds, y B := 1 yµ(x, y, z) ds, M γ M γ z B := 1 zµ(x, y, z) ds. M γ 9

Se la densità µ è una costante e l(γ) indica la lunghezza della curva, allora M = l(γ)µ, il baricentro è x B := 1 x ds, y B := 1 y ds, z B := 1 z ds, l(γ) γ l(γ) γ l(γ) γ e si chiama anche centroide (si noti che dipende solo da γ e non da µ). Esempio 16 Consideriamo una semicirconferenza omogenea di raggio R e calcoliamone il baricentro (ovvero il centroide). Prendiamo l origine nel centro della semicirconferenza e gli assi in modo che stia nel semipiano {y 0}, tutti gli altri casi si possono ottenere da questo mediante traslazioni e rotazioni. Una parametrizzazione della curva è s(t) = (R cos t, R sin t) per t [0, π]. Poichè la lunghezza è πr e s (t) = R troviamo x B = 1 πr π 0 R 2 cos t dt = 0, y B = 1 πr π 0 R 2 sin t dt = 2R π. Il fatto che l ascissa fosse 0 si poteva vedere facilmente anche dalla simmetria della curva rispetto all asse y. Lo studente calcoli per esercizio il baricentro di archi di circonferenza di apertura diversa da π. Sia ora Ω R 2 un insieme misurabile del piano e µ : Ω [0, + ) sia una funzione continua che rappresenta la densità superficiale di massa di Ω. Allora la massa totale di Ω è definita da M := µ(x, y) dx dy, e il baricentro di Ω, (x B, y B ), da x B := 1 xµ(x, y) dx dy, y B := 1 M Ω M Per µ costante otteniamo il centroide di coordinate x B := 1 x dx dy, y B := 1 Ω Ω Ω Ω Ω Ω yµ(x, y) dx dy. y dx dy. Esempio 17 Se Ω è l insieme dei punti del piano sotto la retta y = 1 e sopra la parabola y = x 2, si calcola facilmente Ω = 4/3 e 1 1 1 x 2 x dy dx = 0, 1 1 1 x 2 y dy dx = 4 5, quindi il centroide è (0, 3/5). Il fatto che l ascissa fosse 0 si poteva vedere facilmente anche dalla simmetria di Ω rispetto all asse y. 10

Nel caso di una superficie (S, r), µ : S [0, + ) rappresenta di nuovo la densità superficiale di massa, la massa totale di S è definita da M := µ dσ, e il baricentro di S da x B := 1 xµ(x, y, z) dσ, y B := 1 M S M z B := 1 zµ(x, y, z) dσ. M S S S yµ(x, y, z) dσ, Infine, sia E R 3 un insieme misurabile dello spazio tridimensionale e µ : E [0, + ) una funzione continua che ora rappresenta la densità tridimensionale di massa di E. Allora la massa totale di E è definita da M := µ(x, y, z) dx dy dz, E il baricentro di E, (x B, y B, z B ), da x B := 1 xµ(x, y, z) dx dy dz, y B := 1 yµ(x, y, z) dx dy dz, M E M E z B := 1 zµ(x, y, z) dx dy dz, M e per µ costante otteniamo il centroide di coordinate x B := 1 x dx dy dz, y B := 1 E 3 E E 3 z B := 1 z dx dy dz. E 3 E E E y dx dy dz, Un insieme di rotazione si ottiene a partire da un insieme A contenuto in un semipiano di R 3 delimitato da una retta r, facendolo ruotare attorno all asse r di un angolo non superiore a 2π. Per una descrizione analitica precisa prendiamo A nel semipiano {x 0} del piano xz e facciamolo ruotare attorno all asse z. L insieme ottenuto R(A) si descrive facilmente in coordinate cilindriche x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z, come l insieme tale che (ρ, z) A e θ [0, θ], dove θ 2π indica l ampiezza dell angolo di rotazione. Ci interessano in particolare i solidi di rotazione, ottenuti a partire da un 11

insieme piano A misurabile e con area positiva, di cui calcoleremo il volume, e le superfici di rotazione, generate da un curva piana rettificabile γ, di cui calcoleremo l area. Per calcolare il volume del solido di rotazione R(A) sfruttiamo la rappresentazione in coordinate cilindriche e otteniamo R(A) 3 = R(A) dx dy dz = θ 0 ( ) ρ dρ dz dθ A = θ x dx dz = θx B A 2, A dove x B indica l ascissa del baricentro di A e A 2 l area di A. Si noti che θx B è la lunghezza dell arco di circonferenza percorsa dal baricentro di A durante la rotazione attorno all asse z. Abbiamo quindi dimostrato un caso particolare del seguente classico teorema. Teorema 18 (di Pappo). Il volume del solido di rotazione generato da un insieme piano A è dato dall area di A per la lunghezza della curva percorsa dal baricentro di A. Il lettore può verificare per esercizio questo teorema nel caso di rotazioni attorno all asse x o all asse y. Esempio 19 (Volume racchiuso dal toro) Si consideri il cerchio di centro (R, 0) e raggio r, con r < R, nel semipiano {x 0} del piano xz. Il solido generato dalla rotazione di ampiezza 2π è il solido racchiuso dalla superficie del toro. Poichè il baricentro del cerchio ha ascissa R, e l area del cerchio è πr 2, il volume del solido di rotazione è 2π 2 r 2 R. Teorema 20 (di Guldino). L area della supeficie di rotazione generata da una curva piana γ è data dalla lunghezza di γ per la lunghezza della curva percorsa dal baricentro di γ. Esempio 21 (Area del toro) Il toro è la superficie generata dalla rotazione di ampiezza 2π attorno all asse z della circonferenza di centro (R, 0) e raggio r, con r < R, nel semipiano {x 0} del piano xz. Poichè il baricentro della circonferenza ha ascissa R, e la lunghezza della circonferenza è 2πr, il volume del solido di rotazione è 4π 2 rr. Esercizio 22 Tra i solidi di cui si è già calcolato il volume si riconoscano quelli che sono di rotazione rispetto a qualche asse e se ne ricalcoli il volume con il teorema di Pappo. 12

Esercizio 23 Si usi il teorema di Guldino per ricalcolare le aree dgli Esercizi 12 e 15. Esercizio 24 Data una parametrizzazione di una curva contenuta nel semipiano {x 0} del piano xz, si usino le coordinate cilindriche per parametrizzare la superficie di rotazione R(γ) e per calcolarne l area, verificando il teorema di Guldino in questo caso. 5 Flusso di un campo e teorema della divergenza. Sia (S, r) una superficie e n : S R 3 il campo dei versori normali ad S (vedi Definizione 8). Dato un campo vettoriale continuo F : S R 3, si dice flusso Φ di F attraverso S l integrale su S della componente normale F n, cioè S F n dσ. Dalle definizioni segue immediatamente che Φ = F n dσ = F(r(u, v)) (r u r v )(u, v) du dv. S D La motivazione del nome viene dalla dinamica dei fluidi: se F è il campo di velocità di un fluido, il flusso rappresenta la massa che attraversa la superficie nell unità di tempo nella direzione e verso di n. Per una superficie cartesiana r(x, y) = (x, y, f(x, y)) la formula per il flusso diventa Φ = F(x, y, f(x, y)) ( f x, f y, 1) dx dy, D di cui lasciamo la verifica al lettore. Chiamiamo dominio (con frontiera) regolare in R 3 un insieme Ω R 3 che è la chiusura di un aperto limitato e la cui frontiera Ω è sostegno di una superficie (parametrizzata e regolare). Data una parametrizzazione r : D R 3 di Ω, è definito il versore normale n(p ), almeno per ogni P r( D). Diciamo che la normale n è orientata verso l esterno di Ω se P + tn(p ) / Ω per tutti i t > 0 sufficientemente piccoli. Le superfici il cui sostegno S è la frontiera Ω di un dominio regolare si chiamano superfici chiuse. Si noti che l aggettivo chiuse ha qui un significato simile a quello di curva chiusa e completamente diverso da quello di insieme chiuso. Esempi di superfici chiuse sono sfere e ellissoidi, invece nessuna superficie cartesiana è chiusa. Il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa S = Ω si dice uscente da Ω se la normale è orientata verso l esterno. 13

Esercizio 25 Si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (x, 0, y) uscente dalla superficie sferica di centro l origine e raggio R, sia parametrizzando la superficie in coordinate sferiche, sia scrivendola in forma cartesiana come unione di due semisfere. Il risultato è 4πR 3 /3. Esempio 26 Sia E = kq r r 3 con r = (x, y, z) e k costante, il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q posta nell origine. Calcoliamo il flusso di E uscente dalla sfera di centro l origine e raggio R. La normale esterna è dunque Quindi n = r r = r R, F n = kq r r r 3 R = kq R 2. Φ = kq R 2 dσ = 4πkq. S R (0) Si noti che il flusso è proporzionale alla carica q e la costante non dipende dal raggio della sfera, un fatto collegato al cosiddetto Teorema di Gauss dell elettrostatica. Si chiama divergenza di un campo vettoriale di classe C 1 in R 3, F(x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)), il campo scalare div F = F := F 1 x + F 2 y + F 3 z. Teorema 27 (della divergenza, o di Gauss). Sia Ω un dominio regolare in R 3 con normale n alla frontiera Ω orientata verso l esterno di Ω. Se F : Ω R 3 è un campo vettoriale di classe C 1, allora div F dx dy dz = F n dσ, (1) Ω cioè l integrale in Ω della divergenza di F è uguale al flusso del campo F uscente da Ω. Ω 14

Per ricordare che nella formula (1) n è orientata verso l esterno di Ω, la si indica talvolta con n e e il flusso uscente con Ω F n e dσ. Se invece la parametrizzazione di Ω ha normale che punta verso l interno di Ω,, cioè P + tn(p ) Ω per t > 0 piccoli, allora si indica la normale con n i e vale la formula divf dx dy dz = F n i dσ. Ω Il teorema della divergenza vale ancora per domini con frontiera regolare a pezzi, cioè tali che Ω sia l unione di un numero finito di superfici S i, i = 1,..., n tali che S i S j ha area nulla per ogni i j (per esempio è vuoto, o è una curva regolare). In tal caso si definisce n f dσ := f dσ. Ω S i Ad esempio un parallelepipedo è un dominio con frontiera regolare a pezzi che non è regolare (per via degli spigoli...), e sono domini con frontiera regolare a pezzi tutti i domini semplici rispetto a uno degli assi definiti da funzioni di classe C 1. La dimostrazione del teorema della divergenza si può trovare su quasi ogni libro di Analisi Matematica II, almeno nel caso di domini con qualche proprietà supplementare. Nella prossima sezione dimostreremo la sua versione bidimensionale. Esercizio 28 Si ricalcoli il flusso dell Esercizio 25 usando il teorema della divergenza. Esercizio 29 Si calcoli il flusso del campo F = (x 3, y 3, z 3 ) uscente dalla sfera unitaria centrata nell origine. Il risultato è 12π/5. i=1 6 Formule di Gauss-Green nel piano. Sia D R 2 un dominio semplice rispetto a uno dei due assi. La sua frontiera D è il sostegno di una curva chiusa, che è regolare a tratti se le due funzioni che delimitano D sono di classe C 1. Se prendiamo una parametrizzazione di tale curva che la percorre in senso antiorario, diremo che la frontiera di D è orientata positivamente, e indicheremo la curva parametrica con + D. Possiamo quindi calcolare l integrale di una forma differenziale ω = F 1 dx + F 2 dy su + D. Se, ad esempio, D è semplice rispetto all asse y, cioè della forma Ω D = {(x, y) : a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x)} 15

con φ 1, φ 2 C 1 ([a, b]), risulta + D b ω = a b a + D F 1 dx + F 2 dy = ( F1 (x, φ 1 (x)) + F 2 (x, φ 1 (x))φ 1(x) ) φ2 (b) dx + F 2 (b, y) dy φ 1 (b) ( F1 (x, φ 2 (x)) + F 2 (x, φ 2 (x))φ 2(x) ) φ2 (a) dx F 2 (a, y) dy. (2) φ 1 (a) Teorema 30 (Formule di Gauss-Green). Se f C 1 (D), allora f dx dy = f dx, (3) D y + D f dx dy = f dy. (4) x D Dimostrazione. Proviamo solo la prima formula per D y-semplice. La formula di riduzione degli integrali doppi e il teorema fondamentale del calcolo danno D f dx dy = y b a ( φ2 (x) φ 1 (x) ) f y dy dx = b a + D (f(x, φ 2 (x)) f(x, φ 1 (x))) dx. D altra parte, il secondo membro di (3) è l opposto dell integrale su + D della forma ω = f dx che ha la seconda componente F 2 0, quindi (2) diventa in questo caso + D f dx = b a f(x, φ 1 (x)) dx b a f(x, φ 2 (x)) dx, e mettendo insieme le ultime due formule si ottiene (3). Lo studente dimostri per esercizio la (4) per D x-semplice. Le formule di Gauss-Green valgono per domini più generali di quelli semplici rispetto a un asse. Diremo che D R 2 è un dominio con frontiera regolare a pezzi se è l unione di un numero finito di domini y o x-semplici a due a due privi di punti interni in comune (cioè che si intersecano al più sulla 16

frontiera). Per un tale dominio la frontiera è unione di un numero finito di curve regolari a tratti, γ 1, γ 2,..., γ N. Come esempio di dominio con frontiera regolare a pezzi si pensi a una corona circolare B R (x o, y o ) \ B r (x o, y o ), R > r > 0; il lettore lo decomponga come unione di domini semplici e osservi che la frontiera è l unione delle due circonferenze γ 1 = S R (x o, y o ) e γ 2 = S r (x o, y o ). Dobbiamo definire l orientamento positivo delle curve γ j che compongono D, fatto ciò l integrale su + D di una forma differenziale ω sarà naturalmente N ω := ω. + D γ j Intuitivamente, l orientamento positivo è quello che deve seguire un osservatore che si trova in piedi sul piano, con la testa dalla parte del versore e 3 = e 1 e 2, per percorrere la curva vedendo il dominio D alla propria sinistra. Si noti che questo è coerente con l orientamento positivo già definito per i domini semplici, e che nell esempio della corona cicolare significa che la circonferenza più grande S R (x o, y o ) è percorsa in senso antiorario e quella più piccola S r (x o, y o ), invece, in senso orario. Questa definizione si rende più precisa associando a una curva regolare a tratti γ di parametrizzazione s : [a, b] R 2 il versore normale n che si ottiene ruotando di π/2 in senso orario il versore tangente T = s / s. Se scriviamo s(t) = (x(t), y(t)), lo studente può facilmente calcolare il versore normale alla curva nel punto s(t) γ ( y ) (t) n = s (t), x (t) s, s (t) = (x (t) (t)) 2 + (y (t)) 2. (5) Si noti che, dei due versori normali a T, n è quello con la proprietà che j=1 n T = e 3. Poichè D è l unione delle curve chiuse regolari a tratti γ j, j = 1,..., N, in ogni suo punto, tranne al più un numero finito, essa ammette versore tangente T e versore normale n. Definizione 31 Se D R 2 è un dominio con frontiera regolare a pezzi, si dice che la frontiera è orientata positivamente se il versore normale n è diretto in ogni punto P D verso l esterno di D, cioè P + tn(p ) / D per tutti i t > 0 abbastanza piccoli. Si noti che, nel caso particolare in cui D è il sostegno di un unica curva chiusa, questa definizione coincide con quella data all inizio della sezione, 17

perchè in tal caso il versore n punta verso l esterno di D se la curva è percorsa in senso antiorario. Si verifichi anche che l orientamento positivo nell esempio della corona circolare è proprio quello già descritto con considerazioni intuitive. Teorema 32 Le formule di Gauss-Green (3) e (4) restano valide per domini D con frontiera regolare a pezzi orientata positivamente. Dimostrazione. L idea della dimostrazione è di decomporre D in domini semplici D i, applicare le formule a ciascun D i e sommarle. Si conclude osservando che gli integrali su pezzi di curve contenute nella frontiera di due D i diversi si annullano a vicenda perchè tali curve sono percorse due volte in senso opposto. Corollario 33 (Calcolo di aree.) Se D è un dominio con frontiera regolare a pezzi orientata positivamente + D, allora D := D dx dy = y dx = x dy + D + D = 1 2 + D ( y dx + x dy). (6) Dimostrazione. La prima uguaglianza è la definizione di area, la seconda si ottiene da (3) prendendo f(x, y) = y, la terza si ottiene da (4) prendendo f(x, y) = x, infine l ultima è la media delle due precedenti. Esempio 34 L area racchiusa da un ellisse si può ottenere prendendo la parametrizzazione r(θ) = (a cos θ, b sin θ), θ [0, 2π], di + D e usando l ultima uguaglianza in (6): D = 1 2 2π 0 ( ab sin 2 θ + ab cos 2 θ ) dθ = πab. Esempio 35 La cicloide è la curva descritta dal tappo di una ruota di bicicletta di raggio unitario durante un giro completo della ruota, partendo dalla posizione più vicina a terra. Se si sceglie l origine degli assi cartesiani nella posizione iniziale del tappo, con un semplice argomento di trigonometria si trova la parametrizzazione r(t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2π]. Il lettore disegni questa curva. Usiamo la seconda uguaglianza in (6) per calcolare l area dell insieme D compreso tra la cicloide e l asse x. Per avere 18

l orientamento positivo della frontiera l asse x è percorso da sinistra a destra e la cicloide in senso opposto alla parametrizzazione scritta sopra. Poichè y 0 sull asse x abbiamo D = y dx = + D 2π 0 (1 cos t) 2 dt = 3π. Esercizio 36 Calcolare D 2y dx dy, dove D è l insieme descritto nell esempio precedente. Suggerimento: si usi la prima formula di Gauss-Green (3) per la funzione f(x, y) = y 2. Il risultato è 5π. Esercizio 37 Calcolare D x dx dy, dove D è l insieme dell ultimo esempio. Il risultato è 3π 2. Mediante le formule di Gauss-Green possiamo dimostrare la versione bidimensionale del teorema della divergenza di Gauss. Per domini nel piano il flusso uscente di un campo è espresso mediante un integrale curvilineo, anzichè superficiale. Teorema 38 (della divergenza nel piano). Sia D un dominio con frontiera regolare a pezzi, n = n e il versore normale esterno a D, e F : D R 2 un campo vettoriale di classe C 1. Allora divf dx dy = F n ds. (7) D Dimostrazione. Scriviamo (4) con f = F 1, (3) con f = F 2, e le sommiamo per ottenere ( F1 divf dx dy = D D x + F ) 2 dx dy = F 2 dx + F 1 dy. y + D Ora ci limitiamo al caso particolare di un dominio con frontiera un unica curva, che supponiamo orientata in senso antiorario dalla parametrizzazione s(t) = (x(t), y(t)), t [a, b]. Il versore normale esterno è allora dato dalla formula (5). Le definizioni di integrale curvilineo di 1 a e 2 a specie danno D b ( ) F n ds = F 1 (s(t)) y (t) a s (t) F 2(s(t)) x (t) s s (t) dt (t) b ( = F1 (s(t))y (t) F 2 (s(t))x (t) ) dt = F 2 dx + F 1 dy. a D + D 19

Mettendo insieme queste due formule otteniamo la (7). Ricordiamo che il rotore di un campo vettoriale F in R 3 è rotf := F. Un campo vettoriale nel piano F : D R 2, D R 2, si può considerare un campo in R 3 con la terza componente nulla e le altre indipendenti da z. In tal caso ( rotf = 0, 0, F 2 x F ) 1. y Il prossimo risultato, conseguenza immediata delle formule di Gauss-Green, afferma che il flusso di rotf attraverso D nella direzione di e 3 = e 1 e 2 è uguale al lavoro compiuto da F percorrendo D secondo l orientazione positiva; quest ultima quantità si chiama circuitazione di F lungo + D. Questa formula è un caso particolare del teorema del rotore per superfici che vedremo nella prossima sezione. Teorema 39 (del rotore nel piano, o formula di Stokes). Sia D R 2 un dominio con frontiera regolare a pezzi, F : D R 2 un campo di classe C 1. Allora rotf e 3 dx dy = F 1 dx + F 2 dy = F T ds, (8) D + D dove T è il versore tangente alla frontiera D orientata positivamente. Dimostrazione. La seconda uguaglianza segue subito dalle definizioni di integrali curvilinei di 1 a e 2 a specie. La prima uguaglianza si ottiene sommando la formula di Gauss-Green (3) con f = F 1 e la (4) con f = F 2. D Osservazione 40 La formula di Stokes permette di fare calcoli di integrali di forme differenziali chiuse (cioè ω = F 1 dx + F 2 dy per un campo F irrotazionale, F 1 / y = F 2 / x) del genere fatto nel Teorema 10.6 o nell Esercizio 10.7 di [BDP], p. 443, ma senza usare l omotopia. Consideriamo due curve chiuse semplici regolari a tratti γ 1 e γ 2, chiamiamo D 1 e D 2 rispettivamente i domini limitati che le hanno come frontiera, e supponiamo che γ 2 sia contenuta nell interno di D 1. Detto D = D 1 \ D 2 il dominio racchiuso tra esse e dato un campo vettoriale F : D R 2 di classe C 1 irrotazionale, se γ 1 e γ 2 hanno la stessa orientazione allora F 1 dx + F 2 dy = F 1 dx + F 2 dy. γ 1 γ 2 20

Infatti la differenza di questi due integrali è, per la formula (8), uguale a + o l integrale D rotf e 3 dx dy (a seconda dell orientazione oraria o antioraria delle due curve, il lettore si faccia un disegno), e quest ultimo è zero per un campo irrotazionale. 7 Superfici con bordo e teorema del rotore. Definizione 41 Siano D R 2 la chiusura di un aperto connesso e A R 2 un aperto che contiene D. Se r : A R 3 è di classe C 1, soddisfa le condizioni (i) r è iniettiva in D, (ii) J r (u, v) ha rango 2 per ogni (u, v) D, e S = r(d), la coppia (S, r) si dice superficie (regolare) con bordo. L insieme r( D) si dice bordo della superficie S. È chiaro che una superficie con bordo è anche una superficie nel senso della Definizione 1. Il viceversa non è vero in generale, ad esempio le superfici chiuse non sono superfici con bordo, lo si verifichi come esercizio nel caso della sfera. Spesso il bordo di S viene indicato con S, ma questa notazione va trattata con molta attenzione perchè è la stessa usata per la frontiera di S, che nel caso di una superficie coincide con S stessa ed è quindi ben diversa dal bordo. Esempio 42 Se f : A R è di classe C 1 con A aperto, A D, D come sopra, allora la superficie cartesiana D R 3, r(x, y) = (x, y, f(x, y)) è una superficie regolare con bordo, e il bordo è il grafico di f ristretta a D, cioè {(x, y, f(x, y)) : (x, y) D}. Per il prossimo teorema è necessario orientare il bordo di S positivamente rispetto all orientamento della superficie definito dal versore normale n := r u r v r u r v. Intuitivamente, l orientamento positivo è quello che deve percorrere un osservatore che si trova in piedi sul bordo di S, con la testa dalla parte di n, per vedere la superficie S alla propria sinistra. Cominciamo a definirlo nel caso più semplice in cui il dominio dei parametri è l insieme racchiuso da una singola curva regolare. 21

Definizione 43 Sia (S, r) una superficie con bordo tale che la frontiera D del dominio dei parametri è il sostegno di una curva chiusa regolare a tratti percorsa in senso antiorario dalla parametrizzazione s : [a, b] R 2. Si dice bordo orientato positivamente + S di S la curva chiusa regolare a tratti parametrizzata da r s : [a, b] R 3. Più in generale, se la frontiera D del dominio dei parametri è l unione dei sostegni di un numero finito di curve chiuse regolari a tratti γ i, parametrizzate da s i : [a i, b i ] R 2, i = 1,..., n, in modo da ottenere l orientamento positivo + D (v. Def. 31), si dice bordo orientato positivamente + S di S l insieme delle curve parametrizzate da r s i : [a i, b i ] R 3, i = 1,..., n. Si noti che l unione dei sostegni di tali curve è il bordo r( D) di S. Naturalmente l integrale su + S di una forma differenziale ω = F 1 dx+f 2 dy +F 3 dz, + S ω, si definisce sommando gli integrali di ω sulle curve appena definite. Questo integrale, che rappresenta il lavoro del campo di forze F lungo + S, si chiama anche circuitazione di F intorno al bordo di S. Ricordiamo che il rotore di un campo vettoriale F = (F 1, F 2, F 3 ) di classe C 1 in R 3 è il campo vettoriale rotf = F := ( F3 y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F 1 y Teorema 44 (del rotore, o di Stokes). Sia E R 3 un insieme aperto che contiene il sostegno della superficie con bordo (S, r), e F : E R 3 un campo vettoriale di classe C 1. Allora rotf n dσ = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, (9) S + S cioè il flusso del rotore di F attraverso S è uguale alla circuitazione di F intorno al bordo di S. La dimostrazione di questo teorema si può trovare in quasi tutti i libri di Analisi Matematica II. Nel caso particolare di una superficie S contenuta in un piano, si possono scegliere gli assi in modo che tale piano sia il piano xy e la normale n sia il versore e 3 dell asse z. In tal caso il Teorema 44 del rotore si riduce al Teorema 39 che abbiamo dimostrato con le formule di Gauss-Green. Come nel Teorema 39, anche in tre dimensioni possiamo scrivere la circuitazione come un integrale di 1 a anzichè di 2 a specie. Basta richiamare il versore tangente alla curva + S, cioè T := (r s) / (r s), e osservare che F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = F T ds. + S 22 + S ).

Allora il Teorema di Stokes si può anche scrivere rotf n ds = F T ds, S e spesso in questa formula si scrive S invece di + S perchè l informazione sull orientamento del bordo è già contenuta nel vettore T. Concludiamo la sezione con una versione del teorema del rotore che vale per superfici chiuse invece che con bordo. Teorema 45 (del rotore per le superfici chiuse). Sia E R 3 un insieme aperto che contiene il sostegno della superficie chiusa (S, r), e F : E R 3 un campo vettoriale di classe C 1. Allora rotf n ds = 0, (10) S cioè il flusso del rotore di F attraverso una superficie chiusa è nullo. Dimostrazione. Poichè S è una superficie chiusa, c è un aperto limitato Ω tale che S = Ω. Ci limitiamo al caso di campi definiti in un insieme aperto E che contiene tutto Ω, non solo Ω, e F di classe C 2 in E. In tal caso possiamo applicare il Teorema 27 della divergenza, e il lato sinistro di (10) risulta allora uguale a div rotf dx dy dz. Ω + S Ma quest ultimo integrale è nullo per l identità div rotf = 0, che si verifica esplicitando le derivate e osservando che, per il Teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste, tutti i termini si cancellano a due a due. Si raccomanda al lettore di fare questo calcolo. 8 Esercizi di autoverifica: Integrali multipli 1. Si calcoli I 1 (3 y) 2 dxdy 23

dove I è l insieme limitato del piano (x, y) compreso fra le curve di equazioni x = y 3 e y = 2 x 2, rispettivamente. 2. Si trovi il volume dell intersezione tra il cono dato da x 2 + y 2 < z 2 e la sfera data da x 2 + y 2 + z 2 < 2az. 3. Si trovi il volume del solido compreso fra le superfici di equazioni y = x 2, x = y 2, z = 0, z = y x 2 + 12. 4. Calcolare il volume del solido S così definito: S = {(x, y, z) R 3 2x 2 + 3y 2 + z 2 1, 2x 2 + 3y 2 1/2}. [ Risultato: π(2 2 1)/3 3 ] 5. Sia T = {(x, y) R 2 a x + y b, y > 0, x > 0}. Dire se l integrale tan(x + y) dxdy x + y T è un integrale generalizzato, se converge, e in caso affermativo calcolarlo, nei tre casi (i) a = π/6, b = π/3; (ii) a = 0, b = π/3; (iii) a = π/6, b = π/2. [ Si consiglia un cambiamento di variabili lineare. Risultato: (i) log( 3), (ii) log( 3/2), (iii) diverge. ] 6. Calcolare il volume dell insieme compreso tra il cilindro di equazione x 2 + y 2 = 1, il piano z = 0 e la superficie z = x. 7. Calcolare il volume dell insieme compreso tra la sfera x 2 + y 2 + z 2 4 e il cilindro (x 1) 2 + y 2 = 1. 8. Sia A l insieme dato dalle limitazioni 0 y x 2, 1 x 1. Calcolare l integrale (x 2 + y 2 )dxdy. A 9. Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando attorno all asse z i seguenti insiemi F 1 e F 2 : F 1 = {(x, z) R 2 1 < z < 2, 0 < x < logz}, F 2 = {(x, z) R 2 0 < z < 2, 0 < x < min(z, 2 z)}. 10. Determinare il volume del solido E = {(x, y, z) R 3 z 2 > x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 < a 2 } (a R). 11. Si disegni l insieme C = {(x, y, z) R 3 : z x2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 4} 3 24

e si calcoli 12. (28.5.2002) Disegnare l insieme C z dxdydz. T = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 2, y x} e calcolarne il baricentro (con densità costante = 1). [Risultato: ( (2 2 8)/3π, (8 2 2)/3π ) ] 13. (29.1.1996) Calcolare l integrale dx dy dz (x 2 + y 2 + z 2 ) 4/3, A dove A = {(x, y, z, ) R 3 : x 2 + y 2 + (z 2) 2 4}. [ Risultato: 9π4 1/3 /2 ] 9 Esercizi di autoverifica: Integrali curvilinei e forme differenziali 1. Trovare l ascissa del baricentro della curva piana così definita in coordinate polari: ρ = e kθ, 0 < θ < π, (k > 0). 2. Data la curva di equazioni x = R sin t y = R cos t z = ht dove 0 < t < 2, determinare l integrale su tale curva della funzione f(x, y, z) = xyz. 3. Calcolare γ x 2 xy (x 2 y 2 dx + ) 1/2 x 2 + y 2 dy, dove γ è la curva data da y = x 2 con 1/2 x 1/ 3 con l orientamento delle x crescenti. 4. Calcolare γ x 2 y dx + y x 2 + y 2 dy, dove γ è la curva data dalle equazioni parametriche x = cos t, y = sin t con π/4 t π/2. 25

5. Dire se la seguente forma differenziale è esatta e, in caso affermativo, calcolare un potenziale: ω = [1 + cos (x + y)] dx + cos (x + y) dy. Calcolare poi l integrale di ω sulla curva definita come segue: x = cos 47 t, y = sin 47 t, con 0 t π/2. 6. Dire se la seguente forma differenziale è esatta se ristretta al primo quadrante e, in caso affermativo, calcolare in tale insieme una sua primitiva (nota: primitiva = potenziale, cioè una funzione U tale che du = ω): ω(x, y) = x + 2y x 3 y dx + 1 x y 2 dy. 7. Dire se la seguente forma differenziale è esatta, nel suo insieme di definizione, e in caso affermativo calcolare una sua primitiva: ω(x, y) = x x 2 + y 2 dx + y x 2 + y 2 dy. Calcolare poi l integrale di ω esteso alla curva γ definita, in coordinate polari, nel modo seguente: ρ = 2 cos θ, con π θ π. 8. Dire se le seguenti forme differenziali lineari in tre variabili sono differenziali esatti e, in caso affermativo, calcolarne una primitiva: i) ii) x x 2 + y 2 + z 2 dx + y x 2 + y 2 + z 2 dy + z x 2 + y 2 + z 2 dz; y + z (x y z) 2 dx + x (x y z) 2 dy + x (x y z) 2 dz. 9. Per ogni k R si consideri la forma differenziale ω k definita in Ω = {(x, y) R 2 y > 0} da ( ) ( ) 2x ω k (x, y) = x 2 + y 2 + 2xyk e x2 y 2y dx + x 2 + y 2 + x2 e x2 y dy. Determinare i valori di k per i quali ω k risulta esatta in Ω. Per tali valori calcolare Γ ω k dove Γ è parametrizzata da φ : [0, π/2] R 2, ( [ ( t π ) ) 3 1 ] φ(t) = arctg t 1/3 sin + + 5 ; (sint) 3/2 + 1. 2 π 26

10. Calcolare l integrale γ ω dove e γ è la curva parametrizzata da ω(x, y) = y 2 x 1 dx + 2y logx dy γ(t) = ( t, arctg[2(2 sin 2 t) 1 cos(3t) ] ), t [π/2, π]. 11. Si calcoli l integrale della forma differenziale ω(x, y) = y 2 dx + (x 2 + y 2 ) dy lungo l ellisse di equazioni x 2 + y 2 /4 = 1 orientata in senso antiorario e percorsa una sola volta. 12. (5.9.96) Trovare una funzione g(x, y) in modo tale che la forma differenziale ω = xz dx + (2yz + cos y) dy + g(x, y) dz sia esatta in R 3. Trovare poi una primitiva di ω. 13. Stabilire in quali regioni del piano la forma differenziale 2(y x) 2(x y) dx + 1 (y x) 2 1 (y x) 2 dy è esatta. Calcolare poi il suo integrale lungo la curva parametrizzata da ( r(t) = t, sin(πt) 2 + cost + 3 ) 2 + t t [0, 1]. 14. Sia data la forma differenziale ω(x, y) = y(log y 1) x 2 + 1 dx + arctan x log y dy, definita in Ω = {(x, y) R 2 y > 0}. i. Si dica se ω è chiusa. ii. Si dica se ω è esatta e se ne trovino tutte le eventuali primitive. iii. Fra tutte le primitive si trovi quella che vale π nel punto ( 1, 1). iv. Si calcoli γ ω dove γ è la curva di equazione y = x3 + 3, x [ 1, 1]. 27

10 Esercizi di autoverifica: Integrali superficiali. 1. Calcolare l area di S = {(x, y, z) R 3 z 2 /4 x 2 y 2 = 1, z 4}. 2. Abbozzare il disegno e calcolare l area delle seguenti superfici: i) x = cos u y = sin u z = v con 0 u π, 0 v 1. ii) z = x 2 + y 2, 1 x 2 + y 2 2. 3. Sia γ l arco di cicloide di equazioni parametriche: { x = a(t sin t) y = a(1 cos t) dove 0 t 2π e a > 0. Calcolare l area della superficie data dalla rotazione di γ attorno all asse y. [ Risultato: 16π 2 a 2 ] 4. Calcolare l area della superficie di equazioni x = e u sinv y = e u sinv z = cosv dove 0 u log4, π 2 v π. 5. Si calcoli il flusso del campo vettoriale V : R 3 R 3, V (x, y, z) = (2x, 2y, z) attraverso la porzione di piano π = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0, x 2 + y 2 1, y 0} orientata dal vettore normale n = ( 1, 1, 1). 6. (20.6.1996) Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = xye 1 + xe 2 + e 3 uscente dalla superficie Σ = {(x, y, z) : z = 1 x 2 /2 y 2, x 2 /2 + y 2 < 1} nel verso delle z negative (si scelga cioè l orientamento ν di Σ che in (0, 0, 1) coincide con e 3 ). [ Risultato: π 2. ] 7. (11.6.98) Si disegni la superficie Σ di equazioni parametriche r(ϑ, y) = ( y 2 + 1 cos ϑ, y, y 2 + 1 sin ϑ), ϑ [0, 2π], y < 1 28

e si calcoli il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = x 2 e 1 + y/2e 2 + xe 3 uscente da Σ, orientata in modo che nel punto (1, 0, 0) il versore normale coincida con e 1. [ Risultato: 2π/3. ] 11 Esercizi di autoverifica: Funzioni implicite e estremi vincolati 1. Si consideri la funzione g : R 2 R, g(x, y) = xe y + 2y 1. i) Sia P o = (x o, y o ) R 2, con x o 0, un punto tale che g(p o ) = 0. È vero che l equazione g(x, y) = 0 definisce implicitamente, in un intorno di P o, un unica funzione continua y = f(x)? ii) Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione y = f(x) definita implicitamente dall equazione g(x, y) = 0 in un intorno di (0, 1 2 ). iii) Trovare tutti i punti Q = (x 1, y 1 ) R 2 tali che g(q) = 0 e g non soddisfa in Q le ipotesi del teorema di Dini per l esplicitabilità di y in funzione di x. 2. Si consideri la funzione g : R 2 R; g(x, y) = xy 2 + y + sinxy + 3(e x 1). i) Verificare che in un intorno di (0, 0) l equazione g(x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = φ(x). ii) Calcolare, giustificando la risposta, lim x 0 φ(x)+3x x. 3. Si consideri la funzione f(x, y) = logy + xy logx definita nell insieme Q = {(x, y) x > 0, y > 0} e sia L l insieme degli zeri di f in Q. (Si accetti, senza dimostrarlo, che L ). Si verifichi che per ogni (x o, y o ) L l insieme L coincide localmente col grafico di una funzione della sola x. Si trovino poi i punti (x o, y o ) L per i quali tale funzione ha derivata prima nulla in x o. 4. Si verifichi che l equazione F (x, y) = e x y + x 2 y 2 e(x + 1) + 1 = 0 definisce implicitamente, in un intorno di x = 0 una funzione y = y(x) tale che y(0) = 1. Si dimostri che x = 0 è di minimo per y(x). 5. Si consideri la funzione f : R 2 R definita da f(x, y) = 5 (x2 +3y 2). 29

Calcolare massimo e minimo assoluti di f nell insieme D = {(x, y) R 2 x 2 + (y + 2)2 4 1}. 6. Sia f(x, y) = e xy e sia E = { (x, y) R 2 x2 2 + y2 1}. Trovare massimo e minimo assoluti di f su E e i punti in cui sono assunti. 7. Sia L = {(x, y) R 2 x + y = 3, x 0, y 0}. Data la funzione ( f : L R f(x, y) = 1 + x ) ( 1 + y ), 2 2 trovarne i massimi e minimi assoluti e i punti di massimo e minimo assoluti. 8. Trovare la minima distanza del punto (0, 0) dall insieme Γ = {(x, y) R 2 (x 1) 3 y 2 = 0}. 9. Data la curva di equazione polare ρ = e θ, 0 θ 2π, scrivere l equazione della retta tangente nel punto di arrivo (θ = 2π). [Alcune soluzioni: 1. i) si; ii) f(x) = 1/2 + e 1/2 x/2 + ex 2 /4 + o(x 2 ) ; iii) (2e 3/2, 3/2). 3. ii) (e 1/2, e 1/2 ). 6. max E f = e 1/ 2 in (1, 1/ 2) e ( 1, 1/ 2), min E f = e 1/ 2 in ( 1, 1/ 2) e (1, 1/ 2). 8. la minima distanza è 1.] 12 Temi d esame di Matematica E 2002 Il tempo concesso per gli appelli ufficiali è due ore e 30 minuti. Primo compitino 28.5.2002 Tema 4 (Tempo: un ora e 30 minuti) 1) Tizio e Caio, ubriachi, devono tornare alle loro case in autobus e non si ricordano quale sia la linea giusta. Si trovano ad un capolinea dove sostano 12 autobus e ognuno di loro ne prende uno a caso indipendentemente dalla scelta dell altro. Sapendo che 1 autobus va bene per Tizio e 4 per Caio, calcolare la probabilità che almeno uno prenda l autobus giusto. 2) Due utenti di Internet richiedono (indipendentemente l uno dall altro e ad intervalli regolari di tempo) accesso alla medesima pagina web. È noto che la probabilità di successo è del 60%, e che l accesso viene concesso indipendentemente dai tentativi precedenti di entrambi gli utenti. Sia X i (i = 1, 2) la v.a. che conta il numero di tentativi necessari perché l utente i-esimo abbia accesso per la prima volta alla pagina. 30

a. Calcolare P (X i = k), per k = 1, 2,... b. Calcolare le probabilità condizionate P (X 2 X 1 X 2 = k), per k = 1, 2,... c. Calcolare P (X 2 X 1 ). (Ricordiamo la formula k 1 n=0 qn = (1 q k )/(1 q)). 3) Disegnare l insieme T = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 3, y x} e calcolarne il baricentro (con densità costante = 1). 4) Data la funzione f(x, y) = 0 per y 0, f(x, y) = ce 2 x e y/3 per y > 0, (i) si determini c in modo che f sia la densità di una variabile aleatoria continua vettoriale Z = (X, Y ); (ii) si calcolino le densità marginali f X e f Y ; (iii) si calcolino media e varianza di X e Y e Cov(X, Y ). 5) Si diano le definizioni di densità e di funzione di ripartizione di una variabile aleatoria discreta e si mostri il collegamento tra le due. 6) Si dia la definizione di densità normale N(2, 1 2 ) e se ne scriva la funzione di ripartizione. Facoltativo: Se ne calcolino media e varianza. 7) Facoltativo: Si fa una prova di trasmissione di un canale di telecomunicazioni. Lo strumento T trasmette con uguale probabilità il simbolo 0 ed il simbolo 1 allo strumento R. La linea è disturbata. Siano T i l evento T trasmette i e R i l evento R riceve i, i = 0, 1. Siano date le seguenti probabilità di errore: P (R 1 T 0 ) = 0.025, P (R 0 T 1 ) = 0.015. Sapendo che R ha ricevuto 0, calcolare la probabilità che da T sia stato trasmesso 0. Secondo compitino e primo appello 2.7.2002 Tema 1 Il secondo compitino consiste negli esercizi 3, 4, 5, 6, 7; l appello consiste negli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 7, l esercizio 6 è facoltativo. Tempo: un ora e 30 minuti per il compitino; due ore e 30 minuti per l appello. 1) Siano X e Y due v.a. indipendenti, con X N(0, 1) e Y N(1, 4). 31