Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata via Trieste, Padova

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata via Trieste, 63 353 Padova Programma del corso. Nota : Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Nota : Osservazioni sul rango di una matrice. Nota 3: Calcolo di determinanti. Esercizi Tipo. Testi degli esercizi per casa. Svolgimenti degli esercizi per casa. Typeset by AMS-TEX

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Corso di ALGEBRA LINEARE A, SGI Programma a.a. 8/9 Il testo di riferimento è: Algebra Lineare, E. Gregorio, S. Salce, ed. Libreria Progetto Padova Programma svolto nella prima settimana: 9/9/8 La forma algebrica, il modulo ed il coniugato di un numero complesso. La forma algebrica dell inverso di un numero complesso non nullo. Enunciato del Teorema fondamentale dell Algebra. Dal libro: Appendice A: da pag. 67 a pag. 7, pag. 73. Esercizi per casa: Esercizi e degli Esercizi per casa. 3/9/8 Matrici. Esempi. Tipi particolari di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Somma di due matrici. Proprietà della somma e del prodotto per uno scalare. Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna. Prodotto righe per colonne di matrici. Esempi. Dal libro: Da pag. a pag. 7. Esercizi per casa: Esercizi 3 e 4 degli Esercizi per casa. //8 Proprietà del prodotto righe per colonne. Premoltiplicazione e postmoltiplicazione per matrici diagonali. Esercizio 7 degli Esercizi per casa. Il prodotto righe per colonne non è commutativo. Esercizi teorici. Potenze di matrici quadrate. Dal libro: Da pag. 9 a pag.. Esercizi per casa: Esercizi 5 e 6 degli Esercizi per casa. Programma svolto nella seconda settimana: 6//8 Trasposta, coniugata ed H-trasposta di una matrice. Matrici simmetriche, anti-simmetriche, hermitiane, anti-hermitiane e loro proprietà. Parte hermitiana ed antihermitiana di una matrice quadrata. Esercizi teorici. Dal libro: Da pag. a pag. 6. Esercizi per casa: Esercizi 8, 9 e degli Esercizi per casa. 7//8 Esercizi teorici. Sottomatrici. Decomposizioni a blocchi e operazioni a blocchi. Casi particolari di decomposizioni a blocchi. Dal libro: Da pag. 7 a pag..

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI3 Esercizi per casa: Esercizio degli Esercizi per casa. 8//8 Esercizio Tipo. Scrittura matriciale di un sistema lineare. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Dal libro: Pag. 8; da pag. a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizio degli Esercizi per casa. Programma svolto nella terza settimana: 3//8 Matrici elementari ed operazioni elementari sulle righe di una matrice. Eliminazione di Gauss EG. Forma ridotta di Gauss di una matrice, colonne dominanti, colonne libere. Esempi. Dal libro: Pag. 46 e pag. 47; pag. 4. Nota file sulla pag. web. Esercizi per casa: Esercizi 3 e 4 degli Esercizi per casa. 4//8 Risoluzione di sistemi lineari. Esercizi Tipo e 3. Dal libro: Da pag. 5 a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizi e degli Esercizi per casa 3. 5//8 Rango di una matrice. Inverse destre, sinistre, bilatere. Esempi. Criteri per l esistenza di una inversa destra e per l esistenza di un inversa sinistra. Costruzione di un inversa destra. Esercizi teorici. Dal libro: Da pag. 3 a pag. 35. Nota file sulla pag. web. Programma svolto nella quarta settimana: //8 Esercizio Tipo 4. Come costruire le inverse sinistre di una matrice la cui trasposta abbia inverse destre. Esercizio Tipo 4bis. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell inversa. Esercizio Tipo 5. Dal libro: Da pag. 4 a pag. 46. Esercizi per casa: Esercizi 5, 6 e 7 degli Esercizi per casa 3. //8 Inverse di matrici. Inverse e trasposte delle matrici elementari. Decomposizioni a rango pieno. Decomposizione LU. Dal libro: Da pag. 47 a pag. 5. Esercizi per casa: Esercizi 3 e 4 degli Esercizi per casa 3 ed esercizi e degli Esercizi per casa 4. //8 Esercizio Tipo 6. Decomposizione P T LU.

4ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Dal libro: Da pag. 5 a pag. 58. Esercizi per casa: Esercizio 3 degli Esercizi per casa 4. Programma svolto nella quinta settimana: 7//8 Esercizio Tipo 7. Spazi vettoriali. Esempi. Dal libro: Da pag. 63 a pag. 68. Esercizi per casa: Esercizio 4 degli Esercizi per casa 4. 8//8 Sottospazi di spazi vettoriali. Esempi. Lo spazio nullo di una matrice. Insiemi di vettori. Sottoinsiemi ed unioni di insiemi di vettori. Combinazioni lineari. Sottospazi generati da insiemi di vettori. Dal libro: Da pag. 69 a pag. 73. Esercizi per casa: Esercizi, e 3 degli Esercizi per casa 5. 9//8 Insiemi di generatori. Esempi. Esercizio Tipo 8. Dal libro: Da pag. 73 a pag. 76. Esercizi per casa: Esercizi 4 e 5 degli Esercizi per casa 5. Programma svolto nella sesta settimana: 3//8 Insiemi di vettori linearmente dipendenti ed insiemi di vettori linearmente indipendenti. Prima domanda dell esercizio 7 degli Esercizi per casa 5. Esercizio Tipo 9. Basi. Esempi di basi. Caratterizzazione delle basi come insiemi di generatori minimali. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base. Come estrarre una base da un insieme di generatori. Dal libro: Da pag. 76 a pag. 8. Esercizi per casa: Esercizio 6 e seconda domanda dell esercizio 7 degli Esercizi per casa 5. 4//8 Esercizio Tipo. Caratterizzazione delle basi come insiemi linearmente indipendenti massimali. Teorema di Steinitz. Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Dimensione di uno spazio vettoriale. Definizione di somma e di somma diretta di sottospazi. Dal libro: Da pag. 8 a pag. 89. Esercizi per casa: Esercizi, e 3 degli Esercizi per casa 6. 5//8 Applicazioni lineari. Esempi. Applicazione lineare indotta da una matrice. Spazio nullo e spazio immagine di un applicazione lineare. Il caso di un applicazione

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI5 lineare indotta da una matrice. Teorema nullità+rango. I 4 sottospazi fondamentali di una matrice. Dal libro: Da pag. 9 a pag. 98. Esercizi per casa: Esercizi 4 e 6 degli Esercizi per casa 6. Programma svolto nella settima settimana: //8 Basi dello spazio nullo, dello spazio delle colonne e dello spazio delle righe di una matrice. Esercizi Tipo, e 3. Dal libro: Da pag. 98 a pag.. Esercizi per casa: Esercizi 5, 7 e 8 degli Esercizi per casa 6. //8 Teorema 5.. Basi ordinate. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata. Esempi. Applicazione delle coordinate. Matrice associata ad un applicazione lineare rispetto a fissate basi ordinate su dominio e codominio. Esercizio Tipo 4. Dal libro: Da pag. a pag. 3. Da pag. 5 a pag. 7. Pag.. Esercizi per casa: Esercizio degli Esercizi per casa 7. //8 Matrice di passaggio da una base ordinata ad un altra. Come cambia la matrice associata ad un applicazione lineare rispetto a fissate basi ordinate su dominio e codominio cambiando le basi. Esercizi Tipo 5 e 6. Dal libro: Da pag. 8 a pag. 9. Da pag. a pag. 4. Esercizi per casa: Esercizi e 3 degli Esercizi per casa 7. Programma svolto nell ottava settimana: 7//8 Interpretazione geometrica di R ed R 3. Regola del parallelogramma. Norme di vettori. Le norme.,. e.. Esercizio Tipo 7 ed esercizio 4 degli Esercizi per casa 7. Dal libro: Appendice C: da pag. 85 a pag. 9. Da pag. 9 a pag. 4. Esercizi per casa: Esercizio 5 degli Esercizi per casa 7. 8//8 Il coseno dell angolo tra due vettori di R. Prodotti interni. Il prodotto interno standard. La norma indotta da un prodotto interno. Il coseno dell angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo. Esercizio Tipo 8. Dal libro: Da pag 5 a pag. 33. Esercizi per casa: Esercizio e domanda a dell Esercizio degli Esercizi per casa 8.

6ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 9//8 Vettori ortogonali in uno spazio euclideo. Insiemi ortogonali e basi ortogonali. Basi ortonormali. L algoritmo di Gram-Schmidt. Esercizio Tipo 9. Dal libro: Da pag. 4 a pag. 4. Da pag. 44 a pag. 5. Esercizi per casa: Esercizio 3 e domanda b dell Esercizio degli Esercizi per casa 8. Programma svolto nella nona settimana: 4//8 Decomposizione Q R -non-normalizzata e decomposizione QR-normalizzata di una matrice A. Esercizio Tipo. Dal libro: Da pag.54 a pag. 57. Esercizi per casa: Esercizio degli Esercizi per casa 9. 5//8 Il complemento ortogonale di un sottospazio di uno spazio euclideo. La proiezione ortogonale di un vettore di uno spazio euclideo su di un sottospazio, ed il suo calcolo. Esercizio Tipo. Sistema delle equazioni normali. Dal libro: Da pag. 33 a pag. 4. Pag. 43. Da pag. 57 a pag. 58. Esercizi per casa: Esercizi 4 e 5, e domanda c dell esercizio degli Esercizi per casa 8. 6//8 Calcolo del determinante di una matrice. Proprietà del determinante. Esercizio Tipo. Dal libro: Nota 3 file sulla pag. web. Esercizi per casa: Esercizi, 3 e 4 degli Esercizi per casa 9.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI7 Nota : Matrici elementari ed operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A una matrice m n. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni: sommare ad una riga un altra riga di A moltiplicata per uno scalare, moltiplicare una riga di A per uno scalare non nullo, 3 scambiare due righe di A. Studiando i prodotti a blocchi abbiamo visto: la i-esima riga di A è uguale a e T i A; se C T s T s. T s t si può premoltiplicare ad A, allora CA s T A s T A... s T t A Sia B la matrice che si ottiene da A sommando alla i-esima riga di A la j-esima riga di A moltiplicata per lo scalare c, ossia sia B [b kr ] la matrice con tutte le righe diverse dalla i-esima uguali alle corrispondenti righe di A [a kr ], e con i-esima riga il vettore riga b i b i... b in a i + ca j a i + ca j... a in + ca jn. Allora da e segue che B E ij ca dove E ij c è la matrice che ha tutte le righe uguali a quelle della matrice I m, tranne eventualmente la i-esima, che è e T i + ce T j ed è uguale alla i-esima riga di I m solo se c. Dunque E ij c si ottiene da I m sommando alla i-esima riga di I m la j-esima riga di I m moltiplicata per lo scalare c. Per indicare che B è la matrice ottenuta dalla matrice A eseguendo l operazione elementare sommare alla i-esima riga la j-esima riga moltiplicata per lo scalare c, scriviamo: Eij c A B. Sia B la matrice che si ottiene da A moltiplicando la i-esima riga di A per lo scalare c c, ossia sia B [b kr ] la matrice con tutte le righe diverse dalla i-esima uguali alle corrispondenti righe di A [a kr ], ed con i-esima riga il vettore riga Allora da e segue che b i b i... b in ca i ca i... ca in. B E i ca dove E i c è la matrice che ha tutte le righe uguali a quelle della matrice I m, tranne eventualmente la i-esima, che è ce i T ed è uguale alla i-esima riga di I m solo se c.

8ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Dunque E i c si ottiene da I m moltiplicando la i-esima riga di I m per lo scalare per lo scalare c c. Per indicare che B è la matrice ottenuta dalla matrice A eseguendo l operazione elementare moltiplicare la i-esima riga per lo scalare non nullo c, scriviamo: A Eic B. 3 Sia B la matrice che si ottiene da A scambiando la i-esima riga di A con la j-esima, ossia sia B [b kr ] la matrice con tutte le righe diverse dalla i-esima e dalla j-esima uguali alle corrispondenti righe di A, e con i-esima e j-esima riga rispettivamente: Allora da e segue che b i b i... b in a j a j... a jn, b j b j... b jn a i a i... a in. B E ij A dove E ij è la matrice che si ottiene da I m scambiando la i-esima riga di I m con la j-esima. Per indicare che B è la matrice ottenuta dalla matrice A eseguendo l operazione elementare scambiare la i-esima riga con la j-esima riga, scriviamo: A Eij B. N.B. Le matrici E ij c,e i c e E ij si chiamano matrici elementari, sono il risultato delle operazioni elementari sulle righe di una matrice identica, e la loro premoltiplicazione per una matrice A produce le operazioni elementari sulle righe di A.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI9 Nota : Osservazioni sul rango di una matrice Sia A una matrice m n. Se U ed U sono due forme ridotte di Gauss per A, allora il numero delle righe non nulle di U è uguale al numero delle righe non nulle di U. Ció dipende dal fatto che l esistenza di diverse forme ridotte di Gauss per una matrice dipende esclusivamente dalla eventuale possibilità di fare delle scelte negli scambi di righe in una EG su A, e gli scambi di righe non decrescono il numero delle righe non nulle. Il numero delle righe non nulle di una forma ridotta di Gauss di A dipende quindi esclusivamente da A e non dalle operazioni elementari che si fanno in una EG su A e si chiama il rango di A piú avanti nel corso daremo un altra definizione di rango di una matrice, equivalente a questa. Si indica con il simbolo rka. Siano A una matrice m n di rango k ed U una forma ridotta di Gauss per A. Poichè ogni scalino di U è alto una riga, allora k numero delle righe non nulle di U numero delle colonne dominanti di U. 3 Se A una matrice m n di rango k allora k m e k n. Infatti se U è ua forma ridotta di Gauss per A allora U è m n e k numero delle righe non nulle di U numero delle righe di U m k numero delle colonne dominanti di U numero delle colonne di U n

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Nota 3: Calcolo di determinanti Sia A una matrice quadrata di ordine n. Il determinante di A è un numero che dipende da A. Esso si indica con il simbolo deta, oppure DetA. Impariamo a calcolarlo, cominciando con i casi n,, 3. Il caso n. Se A a, è DetA a. a a Il caso n. Se A, è DetA a a a a a a. 3 Esempio. Il determinante di A è DetA 5 3 4 4 5. a a Abbiamo detto che Det a a a a a a. Osserviamo che a a a + Det a a la somma degli indici di a Det a a la somma degli indici di a il determinante della matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna di A il determinante della matrice che si ottiene da A a la somma degli indici di a sopprimendo la riga e la colonna in cui si trova a e a a a + Det a a la somma degli indici di a Det a a la somma degli indici di a il determinante della matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna di A il determinante della matrice che si ottiene da A a la somma degli indici di a sopprimendo la riga e la colonna in cui si trova a. Indicando con i simboli C C la matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna, la matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna,

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ed inoltre abbiamo: A + DetC, A + DetC, a a Det a a a A + a A. Si tenga a mente che a ed a sono gli elementi della a riga di A. a a Quindi se A, quello che abbiamo fatto per calcolare DetA è stato: a a mettere in evidenza gli elementi della a riga di A: a a, a a per ciascuna posizione, j della a riga di A posto, e posto, costruire la matrice C j ottenuta sopprimendo da A la a riga e la j esima colonna di A, calcolare DetC j, calcolare +j, calcolare A j +j DetC j, 3 calcolare il prodotto a a A A Il caso n3. Sia A a a a 3 a a a 3. Per calcolare DetA procediamo come a 3 a 3 a 33 abbiamo fatto nel caso n. Mettiamo in evidenza gli elementi della a riga di A: a a a 3 a a a 3. a 3 a 3 a 33. per ciascuna posizione, j della a riga di A posto,, posto, e posto, 3 costruiamo la matrice C j ottenuta sopprimendo da A la a riga e la j esima colonna di A: a a C 3, C a 3 a 33 a a 3 a 3 a 33, C 3 a a a 3 a 3.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI calcoliamo DetC j, usando il caso n, ossia il caso precedente a quello che stiamo analizzando ora che è n 3: a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 a a DetC 3 Det a a 3 a a 3 a a 3, 3 calcoliamo +j : +, +, +3, calcoliamo A j +j DetC j : A + DetC a a 33 a 3 a 3, A + DetC a a 33 a 3 a 3, A 3 +3 DetC 3 a a 3 a a 3. 3 Il determinante di A è il prodotto Det a a a 3 a a a 3 a a a 3 A A a A + a A + a 3 A 3 a 3 a 3 a 33 A 3 a + DetC + a + DetC + a 3 +3 DetC 3 Esempio. Calcoliamo il determinante della matrice A 3 4. 6 3 In questo caso abbiamo per cui C DetA 3 + Det a 3, a, a 3, 4, C 6 3 4, C 3 3 4 + + Det 6 3, 6 4 + +3 Det 3 33 4 + 8 + 3 6 8. 6 Quello che abbiamo fatto è quindi: a per le matrici porre Det a a,

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 3 b dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici sapendo come calcolare il determinante delle matrici, ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n si veda il punto a, c dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici 3 3 sapendo come calcolare il determinante delle matrici, ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n 3 sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n si veda il punto b. Procediamo quindi allo stesso modo, dando una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici n n sapendo come calcolare il determinante delle matrici n n, ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n. Sia dunque A a ij una matrice n n. Cominciamo con il dare la seguente definizione: Def.. Per ogni i n e j n si chiama matrice complementare dell elemento a ij od anche matrice complementare di posto i,j in A, e si indica con il simbolo C ij, la matrice che si ottiene da A sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna. Dunque C ij è una matrice n n. i 3 4 7 3 8 Esempio 3. Se A + i 5 5 7, allora 6i 5i 4i 7 + i 34 4 6i 4i i 3 4 togliendo la a riga 7 3 8 i 3 e la 4 a colonna + i 5 5 7 + i 5 7 C 4 6i 4i 6i 5i 4i 7 + i 34 4i 7 + i 34 4 6i 4i i 3 4 togliendo la 3 7 3 8 a riga i 3 4 e la 5 a colonna 7 3 + i 5 5 7 C 35 + i 5 5 6i 5i 4i 7 + i 34 4 6i 7 + i 34 4 6i 4i Def.. Per ogni i n e j n si chiama cofattore di posto i,j di A, e si indica con il simbolo A ij, il numero A ij i+j Det C ij,

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI dove C ij è la matrice complementare di posto i, j in A. Si ha: Formula del determinante di una matrice sviluppato rispetto alla a riga se A a ij è una matrice n n allora DetA a A + a A +... + a,n A,n + a n A n dove A, A,..., A,n, A n sono i cofattori di A di posti,,,,...,, n,, n ossia i posti della a riga rispettivamente. 5 3 6 4 Esempio 4. Calcoliamo il determinante della matrice A. 7 5 Usando la formula dello sviluppo del determinante rispetto alla a riga di A abbiamo: DetA A + 5 A + A 3 + 3 A 4 A 5A + 3A 4. Dobbiamo quindi calcolare A,A ed A 4. A + Det 4 7 5 Det 4 7 5 + Det 5 + + Det + 4, A + Det 6 4 5 6 4 Det 5 6 + Det 5 + + Det 6 + 4 6 4, + 4 +3 Det 7 + 4 +3 Det 7 5 5

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 5 A 4 +4 Det 6 7 5 Det 6 7 5 6 + Det 7 5 + + Det 6. Dunque otteniamo: + +3 Det 5 DetA A 5A + 3A 4 5 + 3 58. 7 Si puó dimostrare il seguente Teorema. Sia A una matrice n n. Allora, fissato i {,..., n} si ha che a i A i +a i A i +...+a i,n A i,n +a in A in a A +a A +...+a,n A,n +a n A n, ossia che DetA a i A i + a i A i +... + a i,n A i,n + a in A in. si chiama lo sviluppo di Laplace del determinante di A rispetto alla i-esima riga di A. Quindi, per calcolare il determinante di una matrice A, si puó partire mettendo in evidenza gli elementi di una riga qualunque, e non necessariamente la a, come abbiamo fatto fino ad ora. a a Esempio 5. Sia A una matrice. Sviluppiamo il determinante a a di A rispetto alla a riga di A: mettiamo in evidenza gli elementi della a riga di A: a a, a a C è la matrice che si ottiene da A togliendo la a riga e la a colonna, quindi C a ; C è la matrice che si ottiene da A togliendo la a riga e la a colonna, quindi C a. Allora a A + a A a + DetC + a + DetC a Det a + a Det a a a + a a a a a a dà lo stesso risultato che abbiamo ottenuto partendo dalla a riga.

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Conviene quindi sviluppare il determinante rispetto alla riga che contiene piú zeri. 5 3 6 4 Esempio 6. Riconsideriamo la matrice dell Esempio 4, A, 7 5 e calcoliamo il suo determinante rispetto alla 3 a riga che contiene due zeri. Allora 5 3 5 DetA 3+ Det 4 + 3+4 Det 6. 7 5 7 5 Calcoliamo separatamente Det 5 3 4 e Det 5 6. Per entrambe 7 5 7 5 queste matrici 3 3 non è conveniente calcolare il determinante rispetto alla 3 a riga, ma è indifferente scegliere la a o la a. Per fare esercizio scegliamo in entrambi i casi la a riga: Det 5 3 4 7 5 + Det 3 5 5 4 5 3 + 3 Det 5 6 6 + 5 Det 7 5 7 5 6 5 + 5 5 + 6 + 4 +3 Det + + Det 5 7 5 5 Quindi DetA 3 + 6 58 lo stesso numero che avevamo ottenuto sviluppando il determinante rispetto alla a riga. Cosí come si puó sviluppare il determinante di una matrice rispetto ad una qualunque sua riga, lo si puó sviluppare rispetto ad una qualunque sua colonna, dal momento che vale il seguente Teorema. Sia A una matrice n n. Allora, fissati j {,..., n} e si ha che DetA a j A j + a j A j +... + a n,j A n,j + a nj A nj. si chiama lo sviluppo di Laplace del determinante di A rispetto alla j-esima colonna di A. Conviene quindi sviluppare il determinante rispetto alla riga oppure alla colonna che contiene piú zeri.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 7 5 3 6 4 Esempio 7. Riconsideriamo la matrice degli Esempi 4 e 6, A, 7 5 e calcoliamo il suo determinante rispetto alla 3 a colonna che contiene tre zeri. Allora DetA +3 Det 6 4 + +3 Det 5 3 + 7 7 + 3+3 Det 5 3 6 4 + 5 4+3 Det 5 3 6 4 7 5Det 5 3 6 4 Calcoliamo Det 5 3 6 4, ad esempio rispetto alla a colonna: Det 5 3 6 4 5 + Det 6 4 + + Det 5 + 8 + + 6 + 6 6 3 + 3+ Det 3 6 4 quindi DetA 5 6 58 si noti che è lo stesso numero che abbiamo ottenuto sviluppando il determinante rispetto alla a oppure alla 3 a riga. Proprietà del determinante. Sia A una matrice n n. Se A ha una riga risp. una colonna nulla, oppure se A ha due righe risp. due colonne uguali, allora DetA. Se A è la matrice che si ottiene da A mediante lo scambio di due righe risp. due colonne allora DetA DetA. 3 Se A è la matrice che si ottiene da A sommando ad una riga risp. ad una colonna di A un altra riga risp. un altra colonna di A moltiplicata per un numero c, allora DetA DetA. 4 Se A è la matrice che si ottiene da A moltiplicando una riga risp. una colonna di A per un numero c, allora DetA cdeta. 5 DetA T DetA.

8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 6 Se B è un altra matrice n n allora DetABDetA DetB. 7 A è non singolare se e solo se DetA, e se A è non singolare si ha N.B. DetA DetA. Per quanto riguarda la proprietà 7, si ricordi che avevamo già osservato che una a b matrice A è non singolare se e solo se il numero ad bc, e tale c d numero è proprio DetA. Esercizio. Si provi che il determinante di una matrice triangolare superiore risp. inferiore è il prodotto degli elementi diagonali. Sia T una matrice n n triangolare superiore la dimostrazione è simile per le matrici triangolari inferiori: Chiamiamo: T t t t 33 t 44..... O........ t nn T la matrice che si ottiene da T sopprimendo la a riga e la a colonna T è triangolare superiore n n : T. t t 33 t 44... O... t nn T la matrice che si ottiene da T sopprimendo la a riga e la a colonna T è triangolare superiore n n : t 33, t 44 T.... O,... t nn.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 9 e cosí via per ogni k,..., n chiamiamo T k la matrice che si ottiene da T k sopprimendo la a riga e la a colonna. T k è una matrice triangolare superiore n k n k. Sviluppiamo il determinante di T ripetto alla a colonna di T: DetT t + DetT t DetT. Sviluppiamo il determinante di T ripetto alla a colonna di T : Cosí procedendo otteniamo: DetT t DetT t t + DetT t t DetT. DetT t t DetT t t t 33 DetT 3 t t t 33 t 44 DetT 4... t t... t n,n DetT n t t... t n,n Det t nn t t... t n,n t nn. In particolare da ció segue: Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi diagonali, poichè le matrici diagonali sono particolari matrici triangolari superiori. Esercizio. Sia A una matrice n n. Si provi che per ogni scalare c si ha: DetcA c n DetA. Si ha: DetcA DetcI n A DetcI n DetA. cacinacin A proprietà 6 del det. Poichè ci n è una matrice scalare n n, in particolare una matrice diagonale, per l esercizio precedente si ha che DetcI n prodotto degli elementi diagonali di ci n. Tali elementi sono tutti uguali a c, ed il loro prodotto ha n fattori perchè ci n è n n, dunque DetcI n c n, per cui DetcA c n DetA.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO Sia A vt una matrice quadrata a blocchi di ordine n >, dove w B v,w R n e B è una matrice quadrata reale di ordine n. Si supponga che A soddisfi la seguente condizione: AA T I n. a Si provi che v T v e che ww T + BB T I n. b Si provi che se n 3 allora B O Suggerimento: si supponga B O e, utilizzando quanto provato in a, si provi che se n si arriva ad una contraddizione. a Da A vt, si ottiene che A T wt, pertanto il w B v B T prodotto AA T calcolato a blocchi è AA T vt wt w B v B T + vt v w T + v T B T vt v v T B T. w + Bv ww T + BB T Bv ww T + BB T La condizione diventa: vt v v T B T AA T I n T. Bv ww T + BB T I n è equivalente al seguente sistema di quattro condizioni: v T v v T B T T Bv ww T + BB T I n In particolare v T v prima equazione e ww T + BB T I n quarta equazione, per cui a è provato. Si osservi che la seconda equazione ossia v T B T T è equivalente alla terza ossia Bv, dal momento che si ottengono l una dall altra applicando la trasposizione. b Seguendo il suggerimento, si supponga B O. Ponendolo in ww T +BB T I n, trovata al punto a, si ottiene I n ww T + BB T ww T + OO T ww T + O ww T.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI w w Siano w, w,..., w n R tali che w.. Calcolando esplicitamente. w n ww T, e sostituendolo in si ottiene:... w............ I w n ww T............. w n w w. w n w w... w n w w w w w 3... w w n w w w w w 3... w w n............................... w n w w n w w n w 3... wn Da segue che w w. w n... a riga di I n a riga di ww T w w w w w 3... w w n, per cui w e w w i per ogni i. Siccome w implica w, da w w i per ogni i otteniamo w i per ogni i. T Se fosse n 3, sarebbe n, per cui I n e ww T particolare la seconda. Da si otterrebbe allora che avrebbero almeno righe, in... a riga di I n a riga di ww T w w w w w 3... w w n. In particolare si avrebbe w, una contraddizione a. Dunque se B O non puó essere n 3, per cui n < 3 che equivale all aver provato che se n 3 allora B O. N.B. : Si sarebbe potuto anche usare il procedimento suggerito nell esercizio degli Esercizi per casa, con w al posto di v e β. Si sarebbe ottenuto che il numero delle coordinate di w, ossia n, è uguale ad nell esercizio degli Esercizi per casa

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI si otteneva che il numero delle coordinate di v, ossia n, è uguale ad. Da n segue n. N.B. : Si supponga B O, per cui A vt vt. w B w O Se A soddisfa la condizione AA T I n, da b si ottiene n < 3, e quindi, essendo n >, n. In questo caso v,w,b sono matrici, ossia numeri. In particolare v T v v R e w T w w R. Da a si ottiene inoltre che v T v e, essendo B, che ww T ww T + BB T I n. Dunque v T v v e ww T w, per cui v, w {, }. Le matrici,,, sono esattamente le matrici A vt quadrate a blocchi di ordine n >, w B con B O, e tali che AA T I n.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 3 ESERCIZIO TIPO Risolvere il sistema lineare Ax b nei tre seguenti casi: a A 4 3 e b ; 3 3 7 b A 3 6 4 5 e b 4 ; 3 3 6 c A 4 8 4 e b 3 5. a Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: A b 4 3 E3 3E E 3 3 7 E 3 U d Poichè d è dominante, allora Ux d, e quindi anche Ax b, non ha soluzioni. Infatti: il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per x + x + x 3 x 3, e poichè l ultima equazione di non ha soluzioni, non ha soluzioni. b Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: A b 3 4 6 4 5 E3 E 3 4 3 3 6 4 8 E 3 3 4 4 8 U d. Il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per x + 3x x 3 + x 4 + x 5 4 x 3 + x 4 + 4x 5 8. x 5

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Poichè d è libera, Ux d ammette soluzioni. Poichè U ha esattamente due colonne libere la a e la 4 a, Ux d ha soluzioni. Scegliamo come parametri le variabili corrispondenti alle colonne libere di U e con la sostituzione all indietro otteniamo: x h x 4 k x 5 x 3 x 4 4x 5 + 8 k 4 + 8 k x 3x + x 3 x 4 x 5 + 4 3h + k k + 4 3h 5k Dunque l insieme delle soluzioni di Ux d, e quindi anche di Ax b, è 3h 5k h k h, k C. k c Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: A b 4 8 4 3 E3 E E 4 3 5 5 E 3 3 U d Il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per x x + x 3 x x 3 3. x 3 Poichè d è libera, Ux d ammette soluzioni. Poichè U non ha colonne libere, Ux d ha esattamente una soluzione. Con la sostituzione all indietro otteniamo: x 3 x x 3 + 3 + 3 5 x x x 3 5 8 Dunque l unica soluzione di Ux d, e quindi anche di Ax b, è il vettore 8 5.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 5 ESERCIZIO TIPO 3 Si risolva il sistema lineare Aαx bα dipendente dal parametro complesso α dove 3 3α 3 3α α + α + α + Aα e bα. α α + i α α α + 3 Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema. 3 3α 3 3α α + α + α + Aα bα E3 E E 3 α α + i α α α + 3 α α α α α E4 α Bα cα. α i α i α α + 3 α + i i i CASO α i Bi ci è una forma ridotta di Gauss per Ai bi, quindi Aix bi è equivalente a Bix ci che è una forma compatta per { x + ix + x 3 i x + ix 3 Poichè ci è libera, Bix ci ammette soluzioni. Poichè Bi ha esattamente una colonna libera, Bix ci ha soluzioni. Scegliamo come parametro la variabile corrispondente alla colonna libera di Bi la 3 a e con la sostituzione all indietro da otteniamo x 3 h x ix 3 + ih + x ix x 3 + i i ih + h + i h i h + i h L insieme delle soluzioni del sistema Bix ci e quindi l insieme delle soluzioni del sistema Aix bi è h ih + h C. h CASO α i

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI α α α Bα cα E3 α i α i α + α α α α α E 4 α i α Cα dα. α + α + i i i i Sottocaso α i C i d i è una forma ridotta di Gauss per A i b i, quindi A ix b i è equivalente a C ix d i che è una forma compatta per x ix + x 3 i x ix 3 x 3 Poichè d i è libera, C ix d i ammette soluzioni. Poichè tutte le colonne di C i sono dominanti, C ix d i ammette un unica soluzione. Con la sostituzione all indietro da otteniamo x 3 x ix 3 + x ix x 3 i i i L unica soluzione di C ix d i e quindi di A ix b i è v. Sottocaso α / {i, i} α α α α α Cα dα E4 α+i α Dα α + i eα è una forma ridotta di Gauss per Aα bα. Poichè eα è dominante, Dαx eα e quindi di Aαx bα non ammette soluzioni.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 7 ESERCIZIO TIPO 4 Si trovino tutte le inverse destre della matrice A 4 6. 4 Un inversa destra di A è una matrice 3 R tale che se R c c, allora c è soluzione di Ax e e c è soluzione di Ax e. Cerchiamo tutte le soluzioni di e. A I 4 6 E E 4 3 U b b. è equivalente a Ux b che è una forma compatta per { x x + 3x 3 x 3 Scegliamo come parametro la variabile corrispondente all unica colonna libera di U la a e con la sostituzione all indietro otteniamo x 3 x h x x 3x 3 + h + 3 + h + L insieme delle soluzioni di è h + h h C. è equivalente a Ux b che è una forma compatta per { x x + 3x 3 x 3 Scegliamo come parametro la variabile corrispondente all unica colonna libera di U la a e con la sostituzione all indietro otteniamo x 3 x k x x 3x 3 k 3

8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI L insieme delle soluzioni di è k 3 k k C. h + k 3 Le inverse destre di A sono esattamente tutte le matrici del tipo Rh,k h k, al variare di h, k C. ESERCIZIO TIPO 4 bis Si trovino tutte le inverse sinistre della matrice A 4. 6 4. Poniamo B A T.. Cerchiamo tutte le inverse destre di B. Dall ESERCIZIO TIPO 4 sappiamo che h + k 3 sono tutte e sole le matrici del tipo h k con h, k C. 3. Una matrice è inversa sinistra di A se e solo se è la trasposta di una inversa destra di B. Quindi le inverse sinistre di A sono esattamente tutte le matrici del tipo h + h al variare di h, k C. k 3 k

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 9 ESERCIZIO TIPO 5 Sia Aα α α α, α α non singolare, si calcoli Aα. dove α R. Per quegli α R per cui Aα è Aα I 3 α α E α α α α α α E3 αe α α : A non ha inversa α α α E 3 +α α α : A non ha inversa + α α α α E3 α+α +α E α +α +α α α+α +α +α +α. +α +α Se α / {, α } α+α Aα +α +α +α.

3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 6 Sia Aα α 3α α α α + 9 α + 9 6 4 3 + α 3 6 3α α + 3α + 3 α +, dove α C. a Per ogni α / {, 3i, 3i} trovare una decomposizione Aα LαUα, scrivendo anche Lα come prodotto di matrici elementari. b Per ogni α / {, 3i, 3i} trovare una decomposizione a rango pieno Aα L αu α. Aα α 3α α α α + 9 α + 9 6 4 3 + α 3 6 3α α + 3α + 3 α + E 5 α E 4 E 3 E α α 3 α + 9 α + 9 α + 3α 4 α / {3i, 3i} α + 3 α + Bα 3α 3 α + E 5E 4E α +9 o CASO α nonchè α, 3i, 3i 3 Bα α + 3α 3 α + 3 E 53 α E 433α+3E 3 α+ Uα

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 3 Lα α α + 9 α + 3α 3 α + α + E αe 3 E 4 E 5 α + E α + 9E 4 E 5 E 3 α + E 43 3α 3E 53 α + o CASO α 3 B U L E E 3 E 4 E E 4 E 5 N.B. Se α {, 3i, 3i} non è possibile trovare una forma ridotta di Gauss di Aα senza fare scambi di righe, quindi Aα NON ha una decomposizione LαUα. Per ogni α / {,, 3i, 3i}, si ha una decomposizione a rango pieno Aα L αu α prendendo U α 3 α α + 9 e L α α + ; 3α 3 α + α + per α si ha una decomposizione a rango pieno A L U prendendo 3 U e L.

3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 7 3 9 6 6 4 Sia A 4. 7 6 4 4 a Si trovi una decomposizione A P T LU. b Si trovi una decomposizione a rango pieno per A. Applicando l algoritmo di Gauss ad A si ottiene: 3 9 6 6 4 E 5 E 4 E E A 4 3 7 6 4 4 3 4 4 8 7 4 3 6 4 Sia Allora E 57E 4 4E E 53E 3 6 3 4 3 4 4 8 7 4 3 6 4 E 34 E 544E 4 P E 34 E 3. 3 9 6 6 4 PA 4 7 6 4 4 3 9 6 4 7 6 6 4 4 4 E 3 Applichiamo l algoritmo di Gauss senza scambi di righe a PA. Otteniamo una decomposizione LU per PA: 3..

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 33 PA 3 9 6 4 7 6 6 4 4 4 E 5 E 4E 3 E 3 3 4 4 8 7 4 3 E 57E 3 4E 6 4 E 53E 3 6 3 E 544E 4 U, 3 4 ed L 3 4 6. 7 4 Dunque A P T LU dove 3 3 P, L 4 6 e U. 7 4 SI NOTI: H E 3 E 34 P

34 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI e che facendo un eliminazione di Gauss su HA si ottiene: 3 9 6 3 9 6 6 4 7 6 HA 4 6 4 7 6 4 4 4 4 4 3 4 8 E 5 E 3E E 3 4 7 4 3 E 57E 4 E 4. 8 6 4 Dunque HA non ha una decomposizione LU. Quindi è fondamentale, per costruire P, l ordine in cui si moltiplicano le matrici corrispondenti agli scambi di righe effettuati si parte dall ultimo procedendo a ritroso. Dall eliminazione di Gauss fatta su A si ottiene che E 54 4E 4 E 53 E 3 6 E 34E 5 7E 4 4E E 3E 5 E 4 E E A U. 3 Quindi la tentazione di intuire L direttamente da questa eliminazione di Gauss è fuorviante: posto B E 54 4E 4 E 53 E 3 6 E 57E 4 4E E 5 E 4 E E 3 il prodotto delle matrici elementari diverse da quelle corrispondenti agli scambi di righe, si ha che BPA U, e quindi PA B U, ossia B non è un buon candidato per L. 3 Mostriamo che esistono una forma ridotta di Gauss U per A, una matrice di permutazione P ed una matrice triangolare inferiore non singolare L tali che U U, P P, L L, ma A P T L U P T LU, ossia la decomposizione A P T LU non è unica. Facciamo una eliminazione di Gauss su A scegliendo degli scambi di riga diverse da quelli scelti nell eliminazione che abbiamo fatto precedentemente. 3 9 6 6 4 E 5 E 4 E E A 4 3 7 6 4 4 3 4 4 8 7 4 E 4

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 35 3 4 8 4 7 4 3 E 53 6E 3 8 4 E 57E 3 E 4 Sia P E 4. Allora E 544E 4 3 9 6 6 4 P A 4 7 6 4 4 E 5 E 4E E 3 E 53 6E 3 8 Quindi A P T L U con 3 4 8 4 7 4 3 4 3 8 6 4 3. 3 9 6 7 6 4 6 4 4 4 E 57E 3 E 4 E 544E 4 3. 3 P P, U U, L 3 4 8 L. 7 6 4 3 8 6 4

36 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Per trovare una decomposizione a rango pieno per A, partiamo, ad esmpio, dalla decomposizione A P T LU dove 3 3 P, L 4 6 e U. 7 4 Calcoliamo P T L: P T 3 3 P T L 4 6 : B 4 6 7 4 7 4 Allora A BU e si ottiene una decomposizione a rango pieno A B U prendendo 3 3 U e B 4 6 7 4

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 37 ESERCIZIO TIPO 8 Si provi che S v ;v 3 6 ;v 3 ;v 4 ;v 5 4 è un insieme di generatori di R 3. Sia S w ;w ;w 3 ;w 4 ;w 5 4 3. Si dica se S è un insieme di generatori di R 3. Per provare che S è un insieme di generatori di R 3 occorre provare che per ogni a b R 3 esistono α, α, α 3, α 4, α 5 R tali che c a b α v + α v + α 3 v 3 + α 4 v 4 + α 5 v 5 c α + α 3 6 + α 3 + α 4 + α 5 α + 3α + α 3 α + 6α + α 4 4 4α 3 α 4 + α 5 ossia che il sistema lineare α + 3α + α 3 a α + 6α + α 4 b 4α 3 α 4 + α 5 c nelle incognite α, α, α 3, α 4, α 5 ha soluzione qualunque siano a, b, c R. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene 3 a 6 b E 4 c E 3 4E / 3 a b a 4 c 3 a / a b/ c 4a + b U d. Poichè d è libera qualunque siano a, b, c R, allora ha soluzione qualunque siano a, b, c R, per cui S è un insieme di generatori di R 3. Per sapere se S è o meno un insieme di generatori di R 3 dobbiamo verificare se

38 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI per ogni a b c R 3 esistano o meno α, α, α 3, α 4, α 5 R tali che a b α w + α w + α 3 w 3 + α 4 w 4 + α 5 w 5 c α + α + α 3 + α 4 + α 5 4 3 α + α + α 3 + α 4 + 4α 5 α + α + α 4 + 3α 5 α 3 + α 4 + α 5 ossia se il sistema lineare α + α + α 3 + α 4 + 4α 5 a α + α + α 4 + 3α 5 b α 3 + α 4 + α 5 c nelle incognite α, α, α 3, α 4, α 5 abbia o meno soluzione per ogni a, b, c R. Se avesse soluzione per ogni a, b, c R allora S sarebbe un insieme di generatori di R 3, in caso contrario ossia se esistono a, b, c R per cui non ha soluzione no. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene 4 a 3 b 4 a b a E c c E 3 E 4 a a b U d. c + b a Poichè esistono a, b, c R per cui d è dominante ad esempio si prendano a b e c, allora S non è un insieme di generatori di R 3 in altre parole: poichè esistono dei vettori di R 3 che NON si possono esprimere come combinazione lineare degli elementi di S, ad esempio il vettore NON è un insieme di generatori di R 3., allora S

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 39 ESERCIZIO TIPO 9 Siano v 3, v, v 4 3, v 4 Si dica se S {v ;v ;v 3 ;v 4 } C 4 è linearmente dipendente o linearmente indipendente.. Siano α, β, δ, γ C tali che αv +βv +δv 3 +γv 4 α +β +δ +γ 3 4 Allora equivale a α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ è un sistema lineare nelle incognite α, β, δ, γ. ha sempre la soluzione nulla ossia α β δ γ. Se essa dovesse essere l unica soluzione di quindi se avesse un unica soluzione allora S sarebbe L.I., altrimenti, se ha anche una soluzione non nulla quindi se ha piú di una soluzione allora S è L.D. Vediamo allora quante soluzioni ha. Facendo una eliminazione di Gauss sulla sua matrice aumentata si ottiene 3 4 E 4E 3 3 U E 4 E 3 L ultima colonna di U osservato, soluzioni.., ossia, è libera, per cui ha, come avevamo già Poichè non tutte le colonne di U sono dominanti, il sistema non ha un unica soluzione, quindi S è L.D. α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ. Volendo risolvere, si ha che è equivalente ad { α + β + δ β + δ γ

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Scegliendo come parametri le variabili corrispondenti alle colonne non dominanti di U γ h δ k la 3 a e la 4 a, con la sostituzione all indietro si ottiene β δ + γ k + h α β δ k + h k k h k h Il sistema ha k + h soluzioni: tutti gli elementi dell insieme h, k C k. h Prendendo ad esempio h e k si ottiene α, β γ, δ e v + v + v 4 è una combinazione lineare nulla di {v ;v ;v 3 ;v 4 } con coefficienti non tutti nulli.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 4 ESERCIZIO TIPO S Sia W l insieme delle matrici reali triangolari superiori. L insieme { 3 C ;C ;C 3 ;C 4 è un insieme di generatori di W. Si trovi una base di W contenuta in S. ;C 5 ;C 6 } 4 4 Restringiamo un insieme di generatori di W. passaggio. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? C 4 è senz altro combinazione degli altri: C 4 O C + C + C 3 + C 5 + C 6, per cui togliamo subito C 4 togliamo comunque subito tutti gli eventuali vettori di S che siano nulli, e poniamo { } 3 4 S C ;C ;C 3 ;C 5 ;C 6. 4 passaggio. S è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? Poichè ma anche C C 6 C + C 3 + C 5 C 6 C 6 C C + C + C 3 + C 5 possiamo togliere da S il vettore C, oppure possiamo togliere da S il vettore C 6, ottenendo ancora un insieme di generatori di W. Dunque, guardiamo se tra i vettori di S ci siano coppie di vettori di cui l uno è multiplo dell altro, e per ciascuna di queste eventuali coppie togliamo uno di due vettori. In questo caso abbiamo individuato la coppia C,C 6 e scegliamo di togliere C. Poniamo S { C 3 ;C 3 ;C 5 ;C 6 } 4. 4 3 passaggio. S è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? Sia α C + α C 3 + α 3 C 5 + α 4 C 6 O una combinazione lineare nulla dei vettori di S. Allora da 3 4 α + α α +α +α 3 +α 4 + α 3 + α 4 3α + α 4α 4 4 α 3 4α 4

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI si ottiene il sistema lineare, nelle incognite α, α, α 3, α 4 α + α + α 3 + α 4 3α + α 4α 4 α 3 4α 4 Facendo una E.G. sulla sua matrice aumentata si ha: 3 4 E 3E 3 7 E 3 4, 4 4 4 per cui il sistema è equivalente al sistema α + α + α 3 + α 4 α + 3α 3 + 4α 4 α 3 4α 4 il cui insieme delle soluzioni è h 6h h R 4h h 6 Prendendo una sua soluzione non nulla, ad esempio si ponga h, si ottiene 4 C 6C 3 + 4C 5 + C 6 O, per cui C,C 3, C 5 e C 6 sono combinazioni lineari degli altri elementi di S e ciascuno di loro puó essere scelto come elemento da eliminare da S. Scegliamo di togliere da S la matrice C combinazione lineare degli altri elementi di S e poniamo { } 4 S 3 C 3 ;C 5 ;C 6 4 4 passaggio. S 3 è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S 3 vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S 3? Sia α C 3 +α C 5 +α 3 C 6 O una combinazione lineare nulla dei vettori di S 3. Allora da 4 α + α α + α + α 3 + α 3 α 4α 3 4 α 4α 3 si ottiene il sistema lineare, nelle incognite α, α, α 3 α + α + α 3 α 4α 3 α 4α 3

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 43 Facendo una E.G. sulla sua matrice aumentata si ottiene: 4 E 6 E3 E 4 4 6 E3 6 L unica soluzione del sistema è quella nulla, per cui S 3 è linearmente indipendente, ed è una base di W contenuta in S.

44 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 4i α + i 4i Sia A α α, dove α C. + + 8i α + i α + Per ogni α C si dica qual è rka α e si trovino una base B α di CA α ed una base D α di RA α. C α U α 4i 4i α + i 4i A α α E3 E α + i + + 8i α B + α α + i α + α + i α + 4i 4i o α + i CASO α i B α α E4 α ie α+i + α + α + i α + α + 4i o Sottocaso α i, i : E 43 α E 3 α C α α + + α + rka α 3, D α ; ;, B α + i α ; ; 4i α + i 4i o Sottocaso α i : C i U i rka i, D i ; 4i, B i i ; i 4i 4i 4i α + + 8i α + 4i o CASO α i : B i U i, rka i, D i, B i 4i

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 45 ESERCIZIO TIPO Si trovi una base dello spazio nullo NA della matrice A. 4 3 Poichè NA NU per ogni forma ridotta di Gauss U di A, troviamo una base dello spazio nullo di una forma ridotta di Gauss per A. A 4 3 E U U è una forma ridotta di Gauss per A. Per il teorema nullità + rango si ha Poichè dim NU numero delle colonne di U - rku 4. x x x NU x 3 x 4 { x + x + x 3 x 3 + x 4 scegliendo come parametri le variabili corrispondenti alle colonne libere di U la a e la 4 a con la sostituzione all indietro si ottiene Quindi x h x 4 k x 3 x 4 k x x x 3 h k h + k h + k h NA NU h, k C k k e chiamando v l elemento di NA che si ottiene ponendo h e k e v l elemento di NA che si ottiene ponendo h e k, si ha che una base di NA è v ;v.

46 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 3 Sia B {v ;v ;...;v n } K n, dove K {R, C}. Per vedere se B è una base o meno di K n si puó procedere nel seguente modo: si costruisce la matrice n n A v v... v n le cui colonne sono gli elementi di B; dal momento che sappiamo che esiste una base di CA contenuta in B, dim CA rka n ogni base di CA ha n elementi B è una base di CA; 3 osserviamo che se V è uno spazio vettoriale ed U un suo sottospazio, si ha che U V dim U dim V. Da e 3 segue che per la matrice A costruita in si ha: rka n B è una base di K n. ESERCIZIO Si dica per quali α R l insieme B α α ; ; α + α + è una base di R 3. Costruiamo una matrice le cui colonne siano gli elementi di B α : A α α α +. α + Il problema diventa stabilire per quali α R si ha che rka α 3. Facciamo un eliminazione di Gauss su A α. A α α α + E3 E α α B α α + α CASO: α B U, rka rku 3 B NON E una base di R 3. CASO: α B α α E3/αE /α /α α U α rka α rku α 3 B α E una base di R 3.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 47 ESERCIZIO TIPO 4 Si consideri l applicazione lineare f : C C 3 definita da a f 4a + b 3a. b a b Si determini la matrice A associata ad f rispetto alle basi ordinate B { } ; 6 4 su dominio e codominio rispettivamente. La matrice che cerchiamo è A f 6 a, b 6 e D ; 3 ; C D f C 6 D f. Poichè 4 4 6, f 4 a, b 4 4 6, allora A C D 4 6 C D 4 6. Piuttosto che calcolare separatamente C D 8 3 e C D 6, e calcoliamo C D a b per un generico vettore 3 8 c a b R 3, e specializziamo la formula ottenuta ai due diversi vettori 4 6 e c 4 6. Poichè C D a b c α β δ a b c α + β 3 + δ α + δ 3β α δ allora α + δ a 3β b α δ c α a + c/ β b/3 δ a c/ C D a a + c/ b b/3. c a c/

48 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI Ponendo a 4, b 6 e c otteniamo C D 4 6 ; ponendo a 4, b 6 e c otteniamo C D 4 6 7. Quindi 3 A 7. 3

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 49 ESERCIZIO TIPO 5 Si calcoli la matrice di passaggio M B B da B a B, dove B e B sono le seguenti basi ordinate di R 3 : B ; 3 ;, B 3 ; 3 ; 5. La matrice di passaggio M B B da B a B è M B B C B 3 C B 3 C B 5. Nell ESERCIZIO TIPO 4 abbiamo calcolato C B a a + c/ b b/3. c a c/ Specializzando la formula ottenuta ai tre diversi vettori 3, 3 C B 3, C B 3, C B 5 3., 5 otteniamo Dunque M B B 3.

5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 6 Sia A 7 la matrice associata ad un applicazione lineare 3 f : C C 3 rispetto alle basi ordinate B { } ; 6 4 e D ; 3 ; su dominio e codominio rispettivamente. Si determini la matrice A associata ad f rispetto alle basi ordinate B { } 6 ; 8 4 su dominio e codominio rispettivamente. e D 3 ; 3 ; 5 La matrice che cerchiamo è A M D D AM B B dove M D D è la matrice di passaggio da D a D, e M B B è la matrice di passaggio da B a B. Nell ESERCIZIO TIPO 5 abbiamo calcolato M D D 3. Calcoliamo la sua inversa: M D D I 3 3 E3 3 E 3 E3 E3 3 E3 I 3 M D D. Calcoliamo 3 M D D M D D. M B B C B 6 8 C B. 4

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 5 a a Calcoliamo C B per un generico vettore C b b, e specializziamo la formula 6 ottenuta ai due diversi vettori e. Poichè 8 4 a α C B b β risolvendo il sistema lineare a b { α + β a 6α 4β b 6 Ponendo a 6 e b 8 otteniamo C B 8 C B 4. Quindi M B B α + β 6 4 a a+b C B b 3a b. 6 C B C 8 B 4 α + β 6α 4β nelle incognite α e βsi ottiene ; ponendo a e b 4 otteniamo. Dunque A M D D AM B B 36 9 4 3 7 3 53 9 6. 37

5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 7 Si verifichi che φ : R a R definita da φ a a + a + a a è una norma. φ φ + +. Sia v a a. Poichè φv, per provare che v φv > basta provare che ossia basta provare che Ora: φv a v a v φv, φv v. { a + a a a { a + a a a a a v. a αa φαv φα φ αa a αa + αa + αa αa α a + a + α a a α a + a + a a α φv. 3 Siano v a e w a b. b a + b φv + w φ a a + b + b + a + b + a + b a + b a + a + b + b + a a + b b a + a + b + b + a a + b b φv + φw.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 53 ESERCIZIO TIPO 8 Si verifichi che.. : C C C definita da è un prodotto interno. Siano x x x x e y x y y y. y x y + x y y x? x y y x y x + y x y x + y x x y. Siano x x x, y y y, z z z, w x αy + βw? αx y + βx w w w e α, β C. x αy + βw x αy + βw + x αy + βw αx y + βx w + αx y + βx w αx y + x y + βx w + x w αx y + βx w. 3? x x x? x x R + > + x x x x + x x x + x Essendo x, si ha che x oppure x, per cui x R + > oppure x R + >. Quindi x + x R + >.

54 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 9 Si trovi una base ortonormale del sottospazio di C 4 i V ; ; ;. i i MODO Troviamo una base B di V. Poniamo w, w i i, w 3, w 4 i e costruiamo la matrice A w w w 3 w 4, ossia una matrice tale che CA V. i i i A i E 3 i E 4E 3 i i i i i U E 34 E 3 i i Dunque B {w,w,w 4 } è una base di CA V. Troviamo una base ortogonale B di V : poniamo v w,v w e v 3 w 4, e applichiamo l algoritmo di Gram-Schmidt a {v ;v ;v 3 }.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 8/9, GEMMA PARMEGGIANI 55 u v i u v α u, u α u v u u u v α u v i u i i i i u v u H v i i i u u u H u i i α i/ u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 i i α 3 u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 i i i i u u u H u i 5 α 3 5 i