Costruzioni in zona sismica Lezione 11 Analisi dinamica e risposta di sistemi a più gradi di libertà
Lezione 11 Analisi modale
Lezione 11 Scopo e procedimento Le equazioni del moto, che sono accoppiate, sono trasformate in termini di coordinate modali ottenendo un sistema di equazioni differenziali disaccoppiate (equazioni modali). Ogni equazione modale viene risolta determinando il contributo del modo alla risposta. Le risposte modali vengono dunque combinate al fine di ottenere la risposta totale.
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI Equazioni del moto: Espansione modale: Equazioni del moto in coordinate modali:
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI Equazioni del moto in coordinate modali: Pre-moltiplicando per T n si ottiene:
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI Considerando le proprietà di ortogonalità: in forma compatta: dove:
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI Equazioni governanti la risposta q n (t) di un osc. Semplice con massa M n, rigidezza K n e forzante esterna P n (t). M n : massa generalizata del modo n K n : rigidezza generalizzata del modo n P n (t): forza generalizzata del modo n sono relative al solo modo n
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI Dividendo per Mn: Equazione governante la coordinata modale q n (t), l unica incognita nell equazione. Ci sono N equazioni dello stesso tipo per lo stesso modo.
Lecture 15 SISTEMI NON SMORZATI In forma matriciale: Dove M è una matrice diagonale contenente le masse modali generalizzate Mn, K contiene le rigidezze modali generalizzate Kn e P(t) è un vettore colonna che contiene le forze modali generalizzate Pn(t).
Lezione 11 SISTEMI NON SMORZATI esempio 2 Determinate la parte stazionaria della risposta del telaio riportato in figura utilizzando l analisi modale. 0.5181 1.0363 p 0 sin( t) 1.0363
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI Equazioni del moto: Equazioni del moto in coordinate modali:
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI Equazioni del moto in coordinate modali Pre-moltiplicando per T n :
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI Considerando la proprietà di ortogonalità: dove:
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI In forma matriciale: dove C è una matrice non diagonale con coefficienti C nr. Le equazioni sono accoppiate tramite lo smorzamento.
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI In forma matriciale: Le equazioni modali saranno disaccoppiate nel caso di sistemi classicamente smorzati: C nr =0 if n r
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI Dividendo per Mn: dove n è il rapporto di smorzamento relativo al modo n.
Lezione 11.b SISTEMI SMORZATI Esempio 1 Determinare la parte stazionaria della risposta ipotizzando uno smorzamento di Rayleigh ottenuto imponendo =0.05 per il primo e il secondo modo p 0 sin( t)
Lezione 11.b RISPOSTA DEI SISTEMI Utilizzando i metodi relaivi a sistemi a 1GdL q n Segue dunque: Combinando i contributi modali:
Lezione 11.b RISPOSTA DEI SISTEMI Questa procedura è detta analisi modale classica. Più precisamente metodo di sovrapposizione degli spostamenti modali. È valida per sistemi lineari classicamente smorzati.
Lezione 11 SOLLECITAZIONI Con l analisi modale è possibile derivare il contributo dei modi sulle sollecitazioni che nascono negli elementi. Le forze statiche equivalenti relative al modo n: Un analisi statica della struttura soggetta a queste forze ad ogni istante di tempo fornisce le sollecitazioni r n (t), e dunque quelle totali
Lezione 11.b esempio Determinare il taglio alla base considerando la sola parte stazionaria della risposta. p 0 sin( t)
Lezione 11.c Contributo dei modi di vibrazione
Lezione 11.c Espansione modale della forzante p(t)=s p(t) Consideriamo una condizione di eccitazione caratterizzata da forze p j (t) con la stessa legge di variazione nel tempo p(t) e da una distribuzione definita dal vettore s indipendente dal tempo: È possibile espandere il vettore s nel seguente modo:
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) Pre-moltiplicando entrambi i membri per T n e sfruttando l ortogonalità: Il contributo del modo n al vettore eccitazione s è: Che non dipende da come il modo è normalizzato.
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) L espansione di questa equazione ha la proprietà che il vettore forza s n p(t) implica la risposta solo per il modo n ma non per gli altri modi:
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) Una ulteriore proprietà è che la risposta dinamica corrispondente al modo n è dovuta interamente al vettore s n p(t).
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) esempio
Lezione 11.c esempio Modi naturali di vibrazione
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) esempio Consideriamo due differenti forzanti:
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) esempio Per il caso s=s a
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) Per il caso s=s b
Lezione 11.c Espansione modale di p(t)=s p(t) esempio I contributi dei modi superiori, specialmente il secondo e terzo modo, al vettore s sono più significativi per s b rispetto a s a, evidenziando che tali modi contribuiscono di più per il caso della seconda forzante s b emenoperilcasodi s a.
Lezione 11.c esempio Valutare il contributo dei modi alla forzante esterna. p 0 sin( t)
Lezione 11.d Analisi modale per il caso P(t)=sp(t)
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) Il fattore n è chiamato fattore di partecipazione modale: è una misura del grado con cui il modo n partecipa alla risposta. Inoltre n è indipendente dal tipo di normalizzazione.
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) La soluzione q n (t) considerando la risposta dell oscillatore semplice. Considerando il caso di massa unitaria e sostituendo u con D n : Confrontando le due equazioni:
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) Il contributo del modo n agli spostamenti modali u(t) u ( t) q n n n
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) Le forze statiche equivalenti sono: Il contributo del modo n, ovvero r n (t) a ogni risposta r(t) è determinato tramite un analisi statica della struttura soggetta a f n (t).
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) se r st n denota la risposta modale statica, ossia il valore statico di r dovuto alle forze esterne s n, allora: La risposta dinamica r n (t) è il prodotto dei risultati dovuti a due analisi: Analisi statica della struttura soggetta alle forze s n Analisi dinamica dell oscillatore semplice relativo al modo n del sistema eccitato dalla forza p(t)
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) Combinando i contributi alla risposta di tutti i modi si ottiene la risposta totale:
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) Il contributo r n del modo n alla quantità di risposta r Può essere espresso come: dove r st è il valore statico di r dovuto alle forze esterne s, mentre il fattore di contributo modale risulta:
Lezione 11.d Analisi modale per P(t)=sp(t) I fattori di contributo modale hanno tre importanti proprietà: Sono adimensionali Sono indipendenti dalla normalizzazione La loro somma su tutti i modi è unitaria
Lezione 11.d Quanti modi devono essere inclusi nell analisi? Se si considerano solo j modi, l errore sulla risposta statica è: Quindi l analisi modale può essere troncata quando il valore assoluto di e j diventa piccolo nei confronti della risposta r che interessa esaminare.