Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #3

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1 Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #3 AA 5 6 Versione Indice Sistema a due gradi di libertà L oscillatore con due gradi di libertà La matrice di rigidezza 4 Esempio: matrice di rigidezza di un telaio a due piani 4 Moto del sistema a più gradi di libertà 5 Moto libero non smorzato 5 I modi naturali di vibrazione 7 3 Le Condizioni Iniziali 9 3 Esempio #: gdl 4 Moto forzato senza smorzamento 4 Esempio # 4 Esempio #3: battimenti 3 5 Moto libero con smorzamento 5 6 Moto forzato con smorzamento 6 3 Bibliografia 6

2 Sistema a due gradi di libertà La studio dei sistemi con gdl è cruciale: verranno messe in luce molte analogie con i sistemi ad un solo gdl e si introdurranno alcune nozioni chiave che hanno senso solo per sistemi con n > gdl; il prossimo passo cruciale sarà il passaggio ai problemi con gdl Il risultato fondamentale che dobbiamo tenere a mente è il seguente: un sistema con un grado di libertà ha una sola pulsazione naturale ed un solo fattore si smorzamento; il valore di questi due parametri determina la soluzione omogenea Anticipando quanto scopriremo nel seguito, l aspetto fondamentale dei sistemi ad n gradi di libertà è il seguente: un sistema ad n gradi di libertà ha n pulsazioni naturali ed n fattori si smorzamento; inoltre, ad ogni pulsazione naturale risulta associata una particolare configurazione detta modo di vibrare L oscillatore con due gradi di libertà Ripartiamo dall esempio usato per introdurre il problema dell isolamento dalle vibrazioni, con qualche modifica Dati quattro punti x i, solo i punti x e x sono mobili, mentre x e x 3 sono vincolati a restare fissi: tale sistema ha due gradi di libertà, e le sue configurazioni sono descritte dalle funzioni x τ) e x τ) Nella Fig) abbiamo indicato solo le forze interne che agiscono sui punti e : f ij è la forza agente sul punto i dovuta al punto j, e come ben noto, f ji f ij f c ẋ + k x f c ẋ ẋ ) + k x x ) f 3 c 3 ẋ + k 3 x x x τ) x τ) x f f 3 f f 3 Figura : Schema di un sistema con due gradi libertà in cui sono indicate le forze interne agenti sui punti x e x Il verso positivo è il destro Le equazioni di bilancio per ogni punto x i si scrivono come al solito: f ine i τ) fi in τ) + fi ext τ) τ T ) Nel nostro caso abbiamo omettiamo di indicare la dipendenza di x i da τ): f ine i τ) m i ẍ i, forza d inerzia, f in τ) f f c ẋ ẋ ) + k x x ) c ẋ k x, forza interna su x, f in τ) f f 3 c ẋ ẋ ) k x x ) c 3 ẋ k 3 x, forza interna su x ) Allora, le due equazioni di bilancio ) si riscrivono come segue: m ẍ + c + c ) ẋ c ẋ + k + k ) x k x f ext, m ẍ + c + c 3 ) ẋ c ẋ + k + k 3 ) x k x f ext, τ T 3) Le 3) costituiscono un sistema lineare di due equazioni accoppiate tra loro Le 3) possono essere convenientemente riscritte adottando una notazione matriciale: τ T devono valere: m ẍ c + c + c ẋ k + k + k x f ext m ẍ c c + c 3 ẋ k k + k 3 x f ext 4)

3 Possiamo introdurre una notazione ancora più compatta che sarà molto utile nel seguito; iniziamo definendo le seguenti matrici e vettori: m M, matrice di massa, m c + c C c, matrice di viscosità, c c + c 3 k + k K k, matrice di rigidezza, k k + k 3 5) x τ) xτ), vettore delle incognite, x τ) f ext fτ) τ) f ext, vettore dei carichi τ) Utilizzando le precedenti definizioni, le 3) si riscrivono in un sola riga: M ẍτ) + C ẋτ) + K xτ) fτ), τ T 6) alla quale vanno aggiunte le condizioni iniziali: x) x o, ẋ) v o, dove x o x x, v o v v, 7) È importante notare che le tre matrici appena introdotte sono tutte simmetriche; inoltre, M e K sono anche definite positive: M è simmetrica e definita positiva perché le forze d inerzia sono energetiche, ossia, perché esiste l energia cinetica; C e K sono simmetriche perché descrivono forze interne per le quali vale la f ij f ji Ad esempio, l elemento C della matrice di viscosità C descrive la forza viscosa che agisce sul punto x dovuta alla velocità del punto x ; l elemento C descrive la forza viscosa che agisce sul punto x dovuta alla velocità del punto x ; poiché tali forze hanno stessa intensità, deve essere C C ; lo stesso discorso vale per K Inoltre, K oltre che simmetrica è anche definita positiva perchè la forza elastica è energetica, ossia, esiste l energia elastica Le due energie menzionate si scrivono: Kxτ)) M ẋτ) ẋτ), energia cinetica; Exτ)) K xτ) xτ), energia elastica 8) L essere definita positiva vuol dire che, qualunque sia la velocità ẋ, positiva o negativa, ma diversa da zero, o qualunque sia lo spostamento, positivo o negativo, ma diverso da zero, le energie associate saranno sempre positive; tale proprietà si esprime in formule come segue: M ẋ ẋ > ẋ o, K x x > x o 9) Osservazione #: repetita juvant) le notazioni Kxτ)), Exτ)) alludono al fatto che l energia dipende dal moto xτ), incluse le sue derivate; per semplificare la notazione scriveremo sia Kx), oppure Kτ) per evidenziare la dipendenza dal tempo; lo stesso per E 3

4 Possiamo dunque affermare che la simmetria delle matrici che descrivono il moto di un sistema con n gradi di libertà, e la positiva definitezza delle matrici di massa e di rigidezza, è un aspetto tanto fondamentale quanto imprescindibile Osservazione #: Non confondere le applicazioni lineari od i vettori con le loro rappresentazione in componenti Abbiamo usato la seguente notazione per evidenziare tale distinzione: A è un applicazione lineare, A è la sua rappresentazione matriciale; le componenti della matrice A dipendono dalla scelta della base La matrice di rigidezza Osserviamo in dettaglio il significato meccanico della matrice di rigidezza; per un problema stazionario le equazioni 6) assumono la forma semplificata k k K x f, ossia, x f ext k k x f ext ) La matrice di rigidezza trasforma il vettore spostamento x nel vettore forza f: ogni componente k ij della matrice ha un significato immediato, che viene messo in luce esaminando come vengono trasformati gli n vettori spostamento che costituiscono la base naturale, ossia, i vettori che hanno una sola componente pari ad uno e tutte le altre uguali a zero Nel nostro esempio, essendo n, occorre considerare due soli vettori x: k k k k k k f ext f ext, k k k k k k f ext f ext ) Dalle ) si evince che k è la forza esterna che occorre applicare sul punto per provocarne uno spostamento unitario, mantenendo il punto fermo; analogamente, k è la forza da applicare sul punto per tenerlo fermo mentre il punto subisce uno spostamento unitario In questo modo, le forze associate allo spostamento x, ) evidenziano la prima colonna della matrice, e le forze associate ad x, ) evidenziano la seconda colonna Quanto detto vale per ogni componente della matrice di rigidezza, qualunque sia il numero n di gdl: l elemento k ij è la forza da applicare al punto i quando il solo punto j subisce uno spostamento unitario Dato uno schema strutturale modellato come un sistema ad n gdl, la matrice di rigidezza si costruisce per colonne, risolvendo n problemi stazionari in cui il dato è lo spostamento x,,,,,, ) con al j-esimo posto, e l incognita è la forza f f, f,, f n ) trovate le forze, abbiamo semplicemente f k j, k j,, k nj ) Esempio: matrice di rigidezza di un telaio a due piani Sotto le stesse ipotesi che abbiamo già formulato per modellare un telaio con un solo traverso rigido usando un sistema ad gdl, il telaio con due traversi rigidi di Fig) viene visto come un sistema con gdl: x x, x ), dove x i è lo spostamento del i-esimo traverso Per determinare le componenti della matrice di rigidezza dobbiamo risolvere due problemi stazionari in cui uno solo dei traversi subisce uno spostamento unitario mentre l altro rimane fermo Supponiamo per semplicità che tutti i pilastri abbiano la stessa rigidezza flessionale B e la stessa altezza h; dunque, la rigidezza equivalente di ogni pilastro sarà k p B/h 3 Quando x, ), vengono inflessi 4 pilastri: tutti e 4 sono collegati al primo traverso, ma solo sono collegati al secondo traverso, e dunque: per spostare in avanti il primo traverso serve una forza positiva pari a k 4 k p ; per mantenere fermo il secondo traverso serve una forza negativa pari a k k p ; 4

5 scrivono i suoi moti liberi I moti forzati sono quelli in cui ai traversi sono applicate ulteriori forze; in tal caso l equazione vettoriale) del moto diventa f A δ + Bδ f, con f f i In caso di applicazione statica delle forze f i, si ha l equazione di equilibrio Bδ f, che inquando componenti x, ), diviene vengono inflessi j B solo ijδ j i pilastri f i Questa che collegano ultima primo equazione e secondo traverso mostrae che la primadunque: colonna k della matrice k p, k elastica k p Possiamo è uguale allora scrivere: alle forze che bisogna applicare ai traversi per ottenere lo spostamento δ K B,δ,elasecondacolonnaèugualealleforze 4 ) che bisogna applicare ai traversi per ottenere lospostamento δ,δ Ledue h 3 f B B x δ δ h B x B δ δ h x x x x L Figura : Schema del portale con due traversi rigidi Le linee tratteggiate mostrano la configurazione di Figura riposo; a 4: sinistra Costruzione e a destra sono per mostrate colonne le configurazioni della matrice assunte elastica quando si sposta solo il primo od il secondo traverso, rispettivamente configurazioni del telaio sono illustrate in Figura 4 I valori delle forze applicate ai traversi sono Moto quelli deldegli sistema elementi a più della gradi matrice di libertà B nell equazione 6) LaLo coincidenza studio di un sistema della i-esima del tipo 6, colonna 7) verrà effettuato della matrice seguendo elastica esattamente congli il stessi vettore passi delle già forze che determina fatti per l analisi la deformata dello oscillatore in cuisemplice: l i-esimo) parametro moto libero senza di spostamento forzanti) nonha smorzato; valore) unitario e tutti moto gli non altri smorzato sono enulli, con forzanti vale per armoniche; qualsiasi 3) moto sistema non smorzato e fornisce e con forzanti un utile periodiche; metodo per 4) moto libero smorzato; 5) moto smorzato e con forzanti armoniche; costruire la matrice B Il telaiomoto a due libero campate non smorzato e tre piani di Figura 43 ha traversi rigidi e pilastri di massa e deformabilità assiale trascurabili; la sua configurazione è individuata dagli Il primo passo consiste nello studio del moto in assenza di smorzamento e senza forzanti, ossia spostamenti del sistema: orizzontali dei traversi δ, δ e δ 3 La deformazione dei pilastri del livello inferiore dipende dallo M ẍτ) spostamento + K xτ) o, δ τ, quella T ; x) dei pilastri x o, ẋ) del v o livello intermedio 3) da dove M e K sono due operatori simmetrici e definiti positivi Utilizziamo la tecnica vista per l oscillatore semplice, adattata al caso senza smorzamento: 5

6 Il sistema di equazioni di bilancio 3) è un sistema lineare che conviene riscrivere in forma compatta, mettendo in evidenza l operatore lineare L che lo descrive: L xτ) o, τ T, con L M d dτ + K 4) Si cercano le auto-funzioni dell operatore lineare, ossia quelle funzioni che vengono trasformate in se stesse, a meno di una costante; in questo caso, poiché il vettore delle funzioni incognite xτ) ha n componenti, cerchiamo auto-funzioni del tipo: qτ) u ϕτ), con u u u n 5) Le n componenti di queste auto-funzioni sono dette sincrone poiché hanno lo stesso andamento temporale e possono differire tra loro solo per le costanti u i La 5) inserita nella 4) fornisce L qτ) ϕτ) M u + ϕτ) K u 6) 3 Le auto-funzioni sono il punto di partenza per costruire le soluzioni dell equazione omogenea, ossia, per risolvere il caso con forzante nulla: L xτ) o, τ T L qτ) ϕτ) M u + ϕτ) K u o, τ T 7) Quest ultima espressione dà le indicazioni utili per caratterizzare la funzione incognita ϕτ): moltiplichiamo scalarmente il vettore L qτ) per u in modo da ottenere un equazione scalare ϕτ) M u u + ϕτ) K u u o, τ T 8) A questo punto possiamo definire il rapporto K u u M u u λ > 9) che è sicuramente uno scalare positivo, in quanto sia numeratore che denominatore sono positivi: si ricordi che gli operatori M e K sono simmetrici e definiti positivi Per evidenziare che λ è un numero reale positivo, poniamo: La 8) si riscrive semplicemente: λ ω, ω R ) ϕτ) + ω ϕτ), τ T ; ) quindi, la funzione incognita ϕτ) è tale che, derivata due volte, ritorna se stessa moltiplicata per ω, con ω reale Questo caso è identico a quello trovato per l oscillatore semplice: la ϕτ) deve essere la somma di due funzioni armoniche con pulsazione ω, definite a meno di due costanti; tale somma può essere riscritta in termini di una sola funzione armonica con sfasamento: ϕτ) a cosω τ) + b sinω τ) c cosω τ φ) ) 6

7 A questo punto dobbiamo determinare il valore di ω: riprendiamo l equazione di bilancio 7) e riscriviamola utilizzando il risultato ) appena trovato ω M + K )u ϕτ) o, τ T ; 3) per verificare tale equazione ad ogni istante abbiamo due sole possibilità: soluzione banale con auto-funzione nulla: u o, soluzione interessante con auto-funzione non nulla: ω M + K ) u o, u o 4) 4 La ricerca di soluzioni non banali fa emergere la differenza fondamentale rispetto al caso dell oscillatore semplice: non abbiamo più una equazione, ma dobbiamo esaminare un sistema di equazioni, che riscriviamo per comodità: ω M + K ) u o, u o 5) Ciò che vogliamo sono dei vettori u, diversi dallo zero, che vengano trasformati nello zero; questo è possibile solo se il sistema di equazioni è singolare, ossia, solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo Allora, la ricerca di soluzioni non banali porta alla equazione polinomiale in ω pω ) det ω M + K ), 6) detta determinante caratteristico Questa equazione prende il posto della equazione caratteristica associata all oscillatore semplice: ora si devono trovare gli zeri del polinomio pω ) di grado n, pari al numero dei gradi di libertà del sistema Le proprietà delle matrici M e K assicurano che tale polinomio ha sempre n radici positive: un sistema ad n gradi di libertà ha dunque n pulsazioni naturali che indicheremo con ω,, ω n ; ricordiamo che è possibile risolvere in modo esplicito l equazione pω ) solo solo per n < 5, ossia, solo per i sistemi con 4 gradi di libertà; negli altri casi si deve ricorrere a tecniche numeriche I modi naturali di vibrazione Ad ogni pulsazione naturale ω i corrisponde un vettore u i, soluzione del sistema 5) che riscriviamo come segue ω i M u i K u i, u i o 7) Tali vettori sono detti modi naturali, oppure modi propri, modi di vibrazione, od anche vettori modali, e sono tanti quante sono le pulsazioni; poiché le pulsazioni naturali rendono singolare il sistema, i modi u i potranno essere determinati solo a meno di una costante Una proprietà importante dei modi naturali è la seguente: M u i u j i j, 8) ossia, i modi sono ortogonali rispetto alla matrice di massa Tale proprietà è una diretta conseguenza della simmetria di M e K; infatti, moltiplicando la 7) per il modo u j, abbiamo ωi M u i u j K u i u j u i K u j ωj u i M u j ωj M u i u j, K Sym, K u j ωj M u j, M Sym; 9) 7

8 sottraendo il termine di destra da quello di sinistra si ottiene: ω i ω j ) M u i u j ω i ω j OR M u i u j 3) Dopo aver verificato che i modi siano ortogonali rispetto alla massa, ossia, che valga le 7), possiamo renderli anche ortonormali rispetto la massa: i modi sono stati determinati a meno di una costante arbitraria, che può essere scelta in modo da verificare la richiesta M u i u j δ ij 3) Esempio: supponiamo di avere a che fare con i seguenti due modi u i, determinati a meno delle costanti α e β, e della seguente matrice di massa M: m u α, u β, M ; 3) m Le costanti possono essere determinate richiedendo che sia verificata la 3), ossia, per il primo modo: m M u u α α α m m + m ) α 33) m + m e per il secondo modo m M u u m β β β m + m ) β Dunque, i due modi resi ortonormali rispetto la massa saranno: u, u m + m m + m m + m 34) 35) Possiamo ora scrivere la soluzione completa del problema omogeneo come combinazione lineari dei modi naturali, ognuno partecipante con la corrispondente auto-funzione; abbiamo: n pulsazioni naturali ω i, univocamente determinate; n auto-funzioni ϕ i τ) C i cosω i τ φ i ), definite a meno di due costanti; n modi naturali u i, inizialmente determinati a meno di una costante, e normalizzati rispetto la matrice di massa La soluzione sarà data dunque: x om τ) n u i C i cosω i τ φ i ) 36) i dove si intende che la costante arbitraria che definisce i modi naturali è assorbita dalla costante C i con cui rappresentiamo l ampiezza delle componenti armoniche ϕ i τ) Infine, le costanti C i e le fasi φ i saranno determinate dalle condizioni iniziali x o e ẋ o La matrice U costruita giustapponendo per colonne i vettori modali è detta matrice modale: u u U, ovvero, in breve U u u n ) 37) u n u n n 8

9 La matrice modale ha un ruolo molto importante in quanto consente di trasformare le matrici di massa e rigidezza in matrici diagonali; tale effetto si dimostra direttamente a partire dalla proprietà 3): invece di fare un prodotto scalare per volta, possiamo moltiplicare scalarmente tra loro tutti i modi usando la matrice modale: M u i u j δ ij U M U I 38) Allora, dalla 7) discende immediatamente: U K U Ω, Ω ω ωn 39) La 36) riscritta in forma matriciale mostra l utilità della matrice modale U nel rappresentare il vettore delle incognite xτ): x τ) u u u ϕ τ) xτ) U Φτ) 4) x n τ) u n ϕ n τ) u n u n dove con Φτ) abbiamo indicato il vettore delle funzioni armoniche: Φτ) ϕ τ),, ϕ n τ)) Si noti che l operazione xτ) U Φτ) è un cambiamento di base: x i τ) sono le componenti di xτ) rispetto la base canonica, mentre ϕ i τ) sono le componenti di xτ) rispetto alla base modale: xτ) x τ) x τ) x n τ) x τ) n + + x n τ) ϕ τ) u u u n + ϕ n τ) u u u n 4) n I modi di naturali rappresentano la base più comoda per rappresentare il vettore del moto xτ); analogamente, anche le operazioni del tipo U A U rappresentano un cambio di base per le matrici: U M U e U K U sono le matrici che rappresentano gli operatori di massa e di rigidezza nella base modale 3 Le Condizioni Iniziali Come già visto, ognuna delle n funzioni armoniche ϕ i τ) è definita a meno di costanti che vanno determinate dalle condizioni iniziali: ϕ i τ) C i cosω i τ φ i ) a i cosω i τ) + b i sinω i τ) 4) Vanno dunque trovate n ampiezze C i ed n fasi φ i, oppure, gli n + n scalari a i e b i Usando la rappresentazione modale del moto, abbiamo xτ) U Φτ), x) U Φ) x o, ẋ) U Φ) v o 43) Le condizioni iniziali 43) rappresentano un sistema lineare in n incognite; tale sistema ha una struttura a blocchi piuttosto semplice: innanzitutto, osserviamo che ϕ i ) C i cos φ i ) C i cos φ i a i, ϕ i ) ω i C i sin φ i ) ω i C i sin φ i ω i b i 44) 9

10 Usando la rappresentazione di ϕ i in termini di ampiezza e fase, abbiamo ) C cos φ ω C sin φ U ccos xo, c U c sin v cos, c sin 45) o C n cos φ n ω n C n sin φ n Usando la rappresentazione di ϕ i in termini delle costanti a i e b i abbiamo invece ) a ω b U a xo, a U b v, b 46) o a n ω n b n 3 Esempio #: gdl Consideriamo un sistema con gdl definito dalle seguenti matrici m k k M, K m k k 47) Le due pulsazioni naturali si trovano cercando gli zeri del polinomio di secondo grado in ω : pω ) det ω M + K ) m m ω 4 k m + k m ) ω + k k k 48) Le radici di pω ) sono date da: ω, k + k ) ± m m k + k ) 4 k k k 49) m m m m Si noti che se il sistema fosse disaccoppiato, k si otterrebbero le due pulsazioni naturali tipiche dell oscillatore semplice: ω k /m e ω k /m Per trovare i modi di vibrazione, scriviamo la 5) per componenti u i u u i, ω i m m ) k k + k k ) u u i 5) Come già detto, in modi non sono univocamente determinati; usiamo la 5) per ricavare il rapporto tra le componenti per i due modi: ) u k ωi m k u k k ωi m 5) i I due modi saranno rappresentati a meno di una costante arbitraria, ad esempio la prima componente u ) i ; possiamo allora scrivere: u u k ω m, u u k ω m 5) k k I modi definiti dalla 5) sono ortogonali tra loro rispetto l operatore di massa, e rimane ora da renderli orto-normali; quest ultima richiesta determina le due costanti u ed u M u i u j δ ij u m + m k ω k ), u m + m k ω k ) 53)

11 La soluzione del problema omogeneo sarà data dunque: x om τ) u C cosω τ φ ) + u C cosω τ φ ) 54) Le costanti C i e le fasi φ i sono determinate dalle condizioni iniziali: poniamo x o x o, x o ) e ẋ o v o, v o ); allora, dalla 54) si ottiene un sistema di 4 equazioni che consente di trovare le 4 costanti: x o u ) C cos φ + u ) C cos φ, x o u ) C cos φ + u ) C cos φ, v o ω u ) C sin φ + ω u ) C sin φ, 55) v o ω u ) C sin φ + ω u ) C sin φ Il sistema 55) ha la tipica struttura a blocchi 45): ) U ccos xo C cos φ, c U c cos sin C cos φ ẋ o ω C, c sin sin φ ω C sin φ 56) Posto J u det U), determinante della matrice modale, abbiamo C cos φ u ) x o u ) x o J u, C cos φ u ) x o + u ) x o J u, C sin φ u ) v o u ) v o ω J u, C sin φ u ) v o + u ) v o ω J u 57) Per utilizzare direttamente quanto appena trovato usiamo la seguente relazione trigonometrica cosω τ φ) cosω τ) cosφ) + sinω τ) sinφ) 58) La 54), con le 57, 58), si riscrive: xτ) u u ) x o u ) x o J u + u u ) x o u ) x o J u cosω τ) + u ) ) v o u ) v o sinω τ) ω J u cosω τ) + u ) ) v o u ) v o sinω τ) ω J u 59) 4 Moto forzato senza smorzamento Possiamo ora affrontare il problema moto forzato in assenza di smorzamento M ẍτ) + K xτ) fτ), x) x o, ẋ) v o 6) La 6) costituisce un sistema di equazioni accoppiate tra di loro; possiamo cercare la soluzione in termini della matrice modale ponendo xτ) U Φτ) M U Φτ) + K U Φτ) fτ), x) U Φ) x o, ẋ) U Φ) v o 6) Moltiplicando a sinistra la 6) per U otteniamo un sistema disaccoppiato U M U Φτ) + U K U Φτ) U fτ) I Φτ) + Ω Φτ) U fτ) 6)

12 Il vettore ˆfτ) U fτ) è il vettore dei carichi rappresentato nella nuova base, duale a quella dei modi; per rendersene conto, scriviamo la potenza spesa dalle forze f sulle velocità ẋ: f ẋ f U Φ U f Φ ˆf Φ ; 63) dunque, ˆf è il vettore dei carichi che spende potenza su Φ Il sistema 6) è un insieme di n equazioni indipendenti: ϕ τ) + ω ϕ τ) ˆf, ϕ τ) + ω ϕ τ) ˆf, 64) ϕ n τ) + ω n ϕ n τ) ˆf n Per la soluzione di ognuna di tali equazioni si procede come nel caso dell oscillatore semplice, ossia, la soluzione generale sarà la somma della soluzione omogenea più l integrale particolare: 4 Esempio # ϕ i τ) ϕ i,om τ) + ϕ i,f τ) 65) Risolviamo esplicitamente l esempio di Fig, senza considerare lo smorzamento e ponendo m m m, k k k 3 k La 4) si riscrive m ẍ Il polinomio caratteristico fornisce: ẍ + k x x f ext f ext pω ) det ω M + K ) m ω 4 4 k m ω + 3 k ω k/m, ω 3 k/m 67) Per trovare i modi dobbiamo risolvere il sistema singolare ω i m + k ossia, dividendo tutto per k e ponendo ω i α i k/m α i I due modi sono dunque: + u u ) u, u i u u ) u u i 66) ; 68), con α, α 3 69) 7) Al primo modo corrisponde lo stesso spostamento per entrambe i gradi di libertà; nel secondo modo, invece, i due gradi di libertà sono uno opposto all altro

13 4 Esempio #3: battimenti Consideriamo due pendoli di lunghezza L e massa m connessi da una molla di rigidezza k posta a distanza a dal punto di sospensione La posizione di ogni pendolo è individuata dell angolo ϑ i che esso forma con la verticale; le equazioni di bilancio del momento) del sistema si scrivono come segue m L ϑ + k a ϑ ϑ ) m g L ϑ, 7) m L ϑ + k a ϑ ϑ ) m g L ϑ In questo esempio si considera come unica azione esterna la coppia dovuta al peso, coppia che risulta proporzionale alla posizione; per tale motivo, portiamo tale contributo nel membro sinistro dell equazione e lo inglobiamo nelle azioni elastiche Riscrivendo il tutto in forma matriciale abbiamo m L ϑ k a + + m g L k a ϑ k a k a + m g L ϑ Si noti che il sistema è accoppiato per il solo tramite della molla di rigidezza k; nel caso k avremmo due pendoli indipendenti, ognuno con pulsazione naturale pari a g/l Il polinomio caratteristico fornisce: ϑ 7) pω ) det ω M + K ) m g L + k a ω m L) k a ) 73) Le due pulsazioni naturali sono fornite dagli zeri del polinomio caratteristico: risolvendo pω ), si trova g g ω L, ω L + k a m L 74) Per trovare i modi dobbiamo risolvere il sistema singolare ωi m L k a + + m g L k a k a k a + m g L che ha soluzioni analoghe al caso precedente: ϑ, ϑ 3 ϑ ϑ ) ϑ ϑ i, 75) 76)

14 Nel primo modo i due pendoli si muovono appaiati e la molla rimane indeformata; nel secondo modo il movimento dei due pendoli è in opposizione di fase e la molla viene allungata e poi accorciata Il moto complessivo sarà la somma dei due moti armonici ϑ τ) c cosω τ φ ) + c cosω τ φ ) 77) ϑ τ) Le 4 contanti c i, φ i, con i,, possono essere determinate usando le condizioni iniziali; assumendo ϑ ), ϑ ) ϑ o, ϑ ) ϑ ), si ottiene Inserendo questi valori nella 77) si ottiene infine c ϑ o, c ϑ o, φ, φ 78) ϑ τ) ϑ o cosω τ) cosω τ), ϑ τ) ϑ o cosω τ) + cosω τ) 79) Possiamo rappresentare la soluzione 79) appena trovata in una forma più significativa che mette in luce una peculiare caratteristica; utilizziamo le formula trigonometriche che trasformano la somma di due funzioni armoniche in un prodotto: α + β cos β cos α ) sin sin α β La 79) si può quindi riscrivere come segue ω ω ϑ τ) ϑ o sin ω ω ϑ τ) ϑ o cos τ, α + β cos β + cos α ) cos ) ω + ω τ sin ) ω + ω cos τ ) τ, ) cos α β 8) Se k a è molto piccolo rispetto al termine m g L, il sistema risulta debolmente accoppiato; in questo caso è utile definire una pulsazione media ω m, ed una detta di battimento: ω b 8) ω m ω + ω g L + k m a g L 3, ω b ω ω k m a g L 3 8) In termini di ω m ed ω b, possiamo riscrivere ϑ τ) ϑ o sinω b τ) sinω m τ), ϑ τ) ϑ o cosω b τ) cosω m τ) 83) Le due equazioni 83) possono essere considerate come due funzioni armoniche con pulsazione ω m e con ampiezza variabile lentamente pari a ϑ o sinω b τ); la modulazione dell ampiezza viene chiamata battimento, vedi Fig3 Nel nostro caso, l intervallo di tempo tra due massimi è T m π/ω m, mentre il periodo del battimento, ossia, dell inviluppo è T b π/ω b 4

15 ϑ ϑ Inviluppo τ τ Figura 3: Il fenomeno del battimento è ben rappresentato dalla figura Sinistra: le due oscillazioni mostrano una variazione periodica dell ampiezza; inoltre, quando un gdl raggiunge l ampiezza massima, l altro ha ampiezza minima e viceversa L energia totale del sistema viene conservata, ma viene trasferita periodicamente da un gdl all altro Destra: viene mostrato solo il moto ϑ ed il suo inviluppo Il grafico è stato prodotto ω m 77 ed ω b 77, cui corrispondo periodi T m 3 e T b 8 ϑ 5 Moto libero con smorzamento Riscriviamo le equazioni 6) che regolano il moto di un sistema ad n gradi di libertà in presenza di smorzamento M ẍτ) + C ẋτ) + K xτ), τ T 84) Usiamo la rappresentazione del moto 4), ossia, poniamo xτ) U Φτ), dove U è la matrice modale associata ad M e K ricavata risolvendo il problema 5); le equazioni di bilancio del sistema smorzato si possono riscrivere come segue U M U Φτ) + U C U Φτ) + U K U Φτ), τ T 85) Questa rappresentazione, senza ulteriori assunzioni circa la matrice di smorzamento C, non è molto utile in quanto le equazioni rimangono accoppiate: la matrice modale rende diagonali le matrici di massa e di rigidezza, ma non quella della viscosità In generale, non è possibile trovare dei modi u i che rendano diagonali contemporaneamente tutte e tre le matrici; tale problema risiede nel fatto che le azioni viscose non sono energetiche e quindi la matrice C non è definita positiva Una ipotesi molto usata per ovviare a questo problema assume che lo smorzamento sia proporzionale alla massa ed alla rigidezza: C α M + β K; allora, possiamo diagonalizzare contemporaneamente tutte e tre le matrici e riscrivere la 86) come segue: I Φτ) + α I + β Ω) Φτ) + Ω Φτ), τ T 86) Il precedente sistema rappresenta un insieme di n equazioni disaccoppiate: ϕ i τ) + ζ i ω i ϕτ) + ω i ϕτ), τ T, con ζ i α + β ω i ω i 87) A questo punto, ognuna delle equazioni 87) si risolve con la tecnica vista per l oscillatore semplice con smorzamento 5

16 6 Moto forzato con smorzamento Riscriviamo le equazioni 84) con la presenza di una forzante M ẍτ) + C ẋτ) + K xτ) fτ), τ T 88) Tale sistema presenta lo stesso problema appena menzionato e viene affrontato facendo le stesse ipotesi sulla viscosità C già viste in precedenza La 88) si trasforma nella I Φτ) + α I + β Ω) Φτ) + Ω Φτ) ˆf, τ T, con ˆf U f 89) Il precedente sistema rappresenta un insieme di n equazioni disaccoppiate: ϕ i τ) + ζ i ω i ϕτ) + ω i ϕτ) ˆf i τ), τ T, con ζ i α + β ω i ω i 9) A questo punto, ognuna delle equazioni 9) si risolve con la tecnica vista per l oscillatore semplice smorzato in presenza di forzante 3 Bibliografia L Meirovitch Fundamentals of Vibrations, McGraw Hill, 6