L insieme dei numeri reali Paolo Sarti 28 settembre 2007 1 Insiemi numerici fondamentali I numeri naturali sono gli interi positivi e lo zero 1. Sono così chiamati per il loro naturale utilizzo nell azione del contare. Def. 1 Un insieme è chiuso rispetto a un operazione se il risultato di questa, eseguita su tutti i possibili elementi dell insieme, è un elemento dell insieme stesso. L insieme N = {0, 1, 2, 3,...} è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, mentre non lo è rispetto a quelle di sottrazione e di divisione; per chiudere N rispetto alla sottrazione è necessario aggiungere gli interi negativi, costruendo così l insieme degli interi: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Per ottenere un insieme chiuso anche rispetto alla divisione è necessario un ulteriore ampliamento, che conduce all insieme Q = {m/n m, n Z, n 0} dei numeri razionali, cioè i numeri decimali illimitati periodici. Esso contiene N e Z come sottoinsiemi propri ed è chiuso rispetto alle quattro operazioni fondamentali. Lo sviluppo della Geometria e l introduzione delle operazioni trascendenti hanno tuttavia evidenziato l esistenza di grandezze incommensurabili (come la diagonale del quadrato con il suo lato, o la circonferenza rettificata con il suo diametro), le cui misure non possono essere espresse da numeri razionali. È necessario quindi introdurre altri numeri, gli irrazionali, così chiamati perché non possono essere scritti in forma frazionaria; sono decimali illimitati aperiodici. Alcuni di essi sono: 2, π, e, ln 3, cos π 6. Se indichiamo con I l insieme dei numeri irrazionali, osserviamo che esso non ha alcun elemento in comune con l insieme Q, sicché tali insiemi sono disgiunti. La loro unione genera l insieme dei numeri reali, chiuso rispetto alle quattro operazioni fondamentali e all elevamento a potenza con base reale positiva ed esponente reale. Valgono le seguenti relazioni strutturali: N Z Q R, I R, Q I =, Q I = R 1 Leopold Kronecker (1823 1891), matematico tedesco, disse: Dio creò i numeri naturali: il resto è opera dell uomo. 1
L insieme dei numeri reali - P. Sarti 2 Figura 1: L insieme dei numeri reali e i suoi sottoinsiemi che possono essere compendiate nel diagramma di Eulero-Venn in figura. Un ampliamento ulteriore porta alla costruzione dell insieme C dei numeri complessi, che vanta, rispetto ad R, proprietà di chiusura ancora maggiori. Il suo studio, tuttavia, va oltre lo scopo di questa trattazione. 2 Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità Def. 2 Un insieme A è finito se tale è il numero dei suoi elementi, cioè se esiste un intero positivo n tale che gli elementi di A siano in corrispondenza biunivoca con quelli dell insieme {1, 2,..., n}; in caso contrario, A è infinito. Def. 3 Dati due insiemi A e B, si dice che essi hanno la stessa cardinalità (o potenza, o che sono equipotenti) e si scrive: A B se gli elementi del primo sono in corrispondenza biunivoca con quelli del secondo. Osservazione. La cardinalità di un insieme finito coincide col numero dei suoi elementi; se un insieme è vuoto, risulta: #( ) = 0. Def. 4 Un insieme A è infinito se e solo se è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Esempio. Sia P l insieme dei numeri pari. P ed N sono infiniti ed equipotenti, pur essendo P N. Basta infatti osservare che, per un generico numero pari p, è: p = 2n, n N. Quindi il tutto (N) è numeroso come una sua parte (P ). È uno dei paradossi dell infinito. Il matematico tedesco Georg Cantor (1845 1918) ha classificato gli insiemi infiniti in base alla numerosità dei propri elementi, chiamando numerabili gli insiemi equipotenti ad N. La cardinalità di tali insiemi è indicata con ℵ 0, dove ℵ (alèph) è la prima lettera dell alfabeto ebraico; ℵ 0 è il primo numero cardinale transfinito, che rappresenta il livello più basso di infinito. Risulta: #(N) = #(Z) = ℵ 0.
L insieme dei numeri reali - P. Sarti 3 Cantor ha poi dimostrato che Q è numerabile, cioè: #(Q) = ℵ 0 e che esistono insiemi più che numerabili, aventi cioè cardinalità ℵ 1, ℵ 2,... superiore ad ℵ 0. In particolare, R è più che numerabile. Riferendosi a questa caratteristica, si dice che R ha la potenza del continuo e si pone #(R) = c. L esistenza di insiemi infiniti aventi cardinalità diverse pone immediatamente un altra questione, conosciuta come problema del continuo: esistono insiemi con cardinalità intermedia tra quella del numerabile (ℵ 0 ) e quella del continuo? In altre parole: c = ℵ 1? Il matematico tedesco David Hilbert ha formulato, nel 1900, la seguente Congettura (ipotesi del continuo) Non esiste alcun insieme con cardinalità intermedia tra quella del numerabile e quella del continuo. Il logico cecoslovacco Kurt Gödel ha dimostrato che la congettura di Hilbert è indecidibile e, nel 1940, che è costruibile una matematica (cantoriana) fondata sull accettazione dell ipotesi del continuo. È però altrettanto legittimo ipotizzare l esistenza di una matematica non cantoriana, in cui l ipotesi del continuo non vale. La costruibilità di tale teoria è stata dimostrata dal matematico americano Paul Cohen nel 1963. 3 Insiemi limitati Def. 5 Sia E un sottoinsieme non vuoto di R. E è superiormente limitato se M R : x E, x M. Analogamente, E è inferiormente limitato se m R : x E, x m. Osservazione. I numeri M e m nella precedente definizione sono, rispettivamente, un maggiorante ed un minorante dell insieme. Un insieme limitato superiormente (inferiormente) possiede infiniti maggioranti (minoranti). Un insieme limitato è sia superiormente che inferiormente limitato. Esempio. L insieme N è inferiormente limitato: 4, π o 0 sono alcuni dei suoi minoranti; non è invece limitato superiormente, pertanto N non è un insieme limitato. Osservazione. Gli aggettivi: finito e limitato non sono sinonimi. Ogni insieme finito di numeri reali è necessariamente limitato. Non è in generale vero il viceversa. Infatti l insieme E = {x R 0 < x < 1}, pur essendo limitato, possiede infiniti elementi. Def. 6 Sia E un insieme superiormente limitato. Il più piccolo dei suoi maggioranti si chiama estremo superiore (sup E). Se sup E E, allora è il massimo dell insieme (max E). Analogamente: sia E un insieme inferiormente limitato. Il più grande dei suoi minoranti si chiama estremo inferiore (inf E). Se inf E E, allora è il minimo dell insieme (min E). Esempio. Zero è l estremo superiore di R, ma non è il massimo. Per l insieme N, zero è estremo inferiore e minimo.
L insieme dei numeri reali - P. Sarti 4 4 Intervalli ed intorni Def. 7 Sia a, b R, a < b. Si chiama intervallo ogni insieme di numeri reali individuato da una delle condizioni seguenti: 1) a < x < b, 2) a x < b, 3) a < x b, 4) a x b, 5) x < a, 6) x a, 7) x > b, 8) x b. Gli intervalli individuati dalle condizioni 1)... 4) sono limitati, quelli individuati dalle condizioni 5)... 8) sono illimitati. La nomenclatura e la simbologia comunemente adottate sono le seguenti: {x R a < x < b} = (a, b) intervallo limitato aperto; {x R a x < b} = [a, b) i. limitato chiuso a sinistra e aperto a destra; {x R a < x b} = (a, b] i. limitato aperto a sinistra e chiuso a destra; {x R a x b} = [a, b] i. limitato chiuso; {x R x < a} = (, a) i. illimitato sinistro aperto; {x R x a} = (, a] i. illimitato sinistro chiuso; {x R x > b} = (b, + ) i. illimitato destro aperto; {x R x b} = [b, + ) i. illimitato destro chiuso. Osservazione. Le immagini geometriche degli intervalli illimitati sono semirette, quelle degli intervalli limitati sono segmenti. Gli estremi sono inclusi o meno a seconda della condizione che li definisce. Un intervallo è per definizione un sottoinsieme di R. Il viceversa è falso, infatti: {x Q 0 < x < 1} è un sottoinsieme di R, ma non è un intervallo. Def. 8 Sia x 0 R. Si chiama intorno completo di x 0 ogni intervallo limitato aperto contenente x 0. In particolare, gli intervalli aperti di centro x 0 si dicono intorni circolari (o simmetrici) di x 0. Si dice intorno sinistro (destro) di x 0 ogni intervallo aperto a sinistra (destra) che abbia x 0 come estremo destro (sinistro). Def. 9 Si chiama intorno di più (meno) infinito ogni intervallo illimitato destro (sinistro) aperto di estremo a, dove a è un opportuno numero reale. Osservazione. Se δ è un numero reale positivo, la scrittura: x x 0 < δ identifica un intorno circolare di centro x 0 e semiampiezza δ. Se E è un numero reale positivo, x > E identifica un intorno di infinito. La condizione precedente equivale infatti a: x < E x > E, quindi risulta: I( ) = I( ) I(+ ).
L insieme dei numeri reali - P. Sarti 5 5 Insiemi discreti, densi, continui Def. 10 Sia E un sottoinsieme non vuoto di numeri reali, e sia x 0 R. Si dice che x 0 è un punto di accumulazione di E se ogni intorno di x 0 contiene almeno un elemento di E distinto da x 0. Viceversa, se esiste un intorno di x 0 che non contenga oltre x 0, altri elementi di E, si dice che x 0 è un punto isolato. Un insieme interamente costituito da punti di accumulazione è denso, se tutti i suoi elementi sono isolati, allora è discreto. Osservazione. Se x 0 è punto di accumulazione di un insieme E, in ogni intorno di x 0 cadono infiniti punti di E. Teorema (Bolzano-Weierstrass) Ogni insieme di numeri reali infinito e limitato possiede almeno un punto di accumulazione. Osservazione. Un punto di accumulazione di un insieme può appartenere all insieme stesso, oppure non appartenervi; viceversa, un punto isolato è necessariamente un elemento dell insieme. Un numero reale può essere punto di accumulazione di un insieme solo sinistro (destro). L insieme di tutti i punti di accumulazione di un insieme E si chiama derivato di E. Esempio. Tutti i numeri reali sono punti di accumulazione di R; viceversa, N non ne possiede alcuno: tutti i suoi elementi sono isolati; 2 è punto di accumulazione sia di R che di Q: nel primo caso appartiene all insieme, nel secondo non vi appartiene. Esempio. L insieme: E = (1, π] { 7 2 }, ammette almeno un punto di accumulazione in virtù del teorema di Bolzano-Weierstrass. Tutti gli elementi di (1, π] sono punti di accumulazione; in particolare, π è punto di accumulazione sinistro. Infatti è possibile determinare un intorno destro di π nel quale non cada alcun elemento di E distinto da π. Si scelga ad esempio: I(π) = (π, π + 10 1 ). Il numero x = 7/2 è l unico punto isolato di E. È facile costruire un intorno di tale punto che non contenga altri elementi dell insieme: ad esempio: I(7/2) = (7/2 10 1, 7/2 + 10 1 ). Esempio. 4 è un punto isolato per l insieme Z. Si consideri, ad esempio, l intorno U = (4 δ, 4 + δ) con δ = 1/2 e si osservi che non contiene alcun intero distinto da 4. Potendo ripetere analogo ragionamento per qualunque altro elemento dell insieme, ne deduciamo che Z è discreto. Def. 11 Siano A, B due insiemi totalmente ordinati. Si dice che A è denso in B se: a, b B, a < b, x A a < x < b. Se A B, si dice che A è denso in sé o, più semplicemente, che A è denso. Osservazione. In base alla definizione precedente, possiamo affermare che Q è denso in N, in sé ed in R. Viceversa, N e Z sono discreti. Il concetto di insieme denso non va confuso con quello, più restrittivo, di insieme continuo. La continuità è una proprietà geometrica (propria di ciò
L insieme dei numeri reali - P. Sarti 6 che non presenta interruzioni) introdotta in modo formale con i postulati di Dedekind 2, di Archimede e di Cantor, oppure in modo più intuitivo con il seguente Postulato (continuità della retta) L insieme dei punti di una retta è in corrispondenza biunivoca con l insieme R. L insieme dei numeri razionali non gode di questa proprietà. Infatti, pur riuscendo ad addensare sulla retta infiniti numeri razionali, non ve n è alcuno che colmi le lacune lasciate dagli irrazionali. Allo stesso modo, anche l insieme degli irrazionali, pur essendo fitto a piacere, presenta dei buchi che non vengono riempiti da alcuno degli elementi dell insieme. Inoltre, le lacune di Q sono in prossimità degli elementi di I e viceversa, cioè Q e I sono due insiemi complementari e separati. La loro unione genera un insieme completo, cioè continuo, che è l insieme dei numeri reali. Riassumendo: Z è discreto e numerabile. Non è denso e non è continuo Q non è discreto ma è numerabile. È denso, ma non è continuo I non è discreto e non è numerabile. R non è discreto e non è numerabile. È denso, ma non è continuo È denso e continuo. 2 Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 1916), matematico tedesco.