Federica Gregorio e Cristian Tacelli

1 Sistemi lineari Federica Gregorio e Cristian Tacelli Un sistema lineare m n (m equazioni in n incognite) è un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (1). a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m dove a ij sono i coefficienti del sistema, b i i termini noti, x j le incognite, i = 1,, m, j = 1,, n. Un sistema lineare si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, i.e., esiste almeno una n-upla di elementi (x 1,, x n ) che soddisfi (1), altrimenti si dice incompatibile o impossibile. Può accadere che un sistema di equazioni lineari ammetta più di una soluzione. In quest ultimo caso si dimostra che ne ammette infinite. Esempio 1.1. (1) Il seguente sistema lineare di due equazioni in due incognite è impossibile. { x + y = 0 x + y = 1. (2) Il sistema { x + y = 0 3x + y = 1 è compatibile e ammette soluzione x = (x, y) = ( 1 2, 1 2 ). (3) Il sistema { x + y = 0 2x + 2y = 0 ammette come soluzione il vettore (x, y) = ( 1, 1) ma anche ( 2, 2). Infatti, ammette infinite soluzioni del tipo (x, y) = ( t, t), t R. 1

Possiamo scrivere (1) in forma matriciale Ax = B dove A = (a ij ) M m n (R) è la matrice dei coefficienti, x =. M n 1 (R) il vettore soluzione e B =. cerca il vettore x tale che Ax = B. 1.1 Metodo di Gauss b 1 b m x 1 x n M m 1 (R) il termine noto. Si Siano A M m n (R) e B M m 1 (R) e si consideri il sistema Ax = B. Definiamo (A B) M m (n+1) (R) come la matrice costituita da A e come ultima colonna il vettore B, cioè a 11 a 1n b 1 a 21 a 2n b 2 (A B) =..... a m1 a mn b m (A B) è detta matrice completa di (1). Il metodo di Gauss consiste nella trasformazione del sistema lineare in un sistema triangolare equivalente. Le trasformazioni consentite sono (i) scambio di righe; (ii) moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo; (iii) somma di una riga con una combinazione lineare delle altre. Queste operazioni non alterano l insieme delle soluzioni del sistema. Si ottiene dunque un sistema triangolare risolvibile col metodo di sostituzione all indietro. Cominciamo con un esempio. Esempio 1.2. x + y z = 1 x + 2y + z = 3 2x 3y + z = 2 2

Effettuiamo la riduzione del sistema ad un sistema triangolare tramite le matrici associate al sistema. Scriviamo dunque la matrice (A B) e la riduciamo a una matrice a scalini. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 0 1 2 2 0 1 2 2 2 3 1 2 0 5 3 0 0 0 13 10 Riscriviamo il sistema associato a quest ultima matrice x + y z = 1 y + 2z = 2 13z = 10. Questo è un sistema triangolare risolvibile dunque con una sostituzione all indietro. Cioè, ricaviamo la variabile z dall ultima equazione la sostituiamo nella seconda, ricaviamo y, sostituiamo nella prima e otteniamo x = 17, y = 6, z = 13 13 10. 13 Teorema 1.3 (Teorema di Rouchè-Capelli). Dati A M m n (R) e B M m 1 (R). Il sistema Ax = B ammette soluzione se e solo se rank A = rank(a B). Inoltre, se il sistema è compatibile e r = rank A = rank(a B), allora il sistema ammette un unica soluzione se e soltanto se r = n (r è uguale al numero delle incognite). Il sistema ammette infinite soluzioni (precisamente n r, i.e., infinite soluzioni dipendenti da n r parametri) se e soltanto se r < n. Proof. Dimostriamo solo la prima parte. Poiché ciascun sistema lineare è equivalente ad un sistema a scalini, considero il sistema triangolare. Esso è compatibile se e soltanto se il pivot più in basso si trova in A e quindi se e soltanto se A e (A B) hanno lo stesso numero di pivot, il che equivale a dire rank A = rank(a B). Infatti, se l ultimo pivot, chiamiamolo b, b 0, si trova nell ultima colonna si avrà nel sistema un equazione del tipo 0 = b che rende il sistema incompatibile. 3

1.2 Metodo di Cramer Consideriamo sistemi quadrati, n = m. Siano A M n (R) e B M n 1 (R). Definiamo la matrice B j M n (R) ottenuta sostituendo la colonna j-sima di A con B, cioè b 1 a 12 a 1n a 11 a 1(n 1) b 1 b 2 a 22 a 2n B 1 =...,, B a 21 a 2(n 1) b 2 n =... b n a n2 a nn a n1 a n(n 1) b n Teorema 1.4. Sia A M n (R) e B M n 1 (R). Se det A 0, allora il sistema Ax = B ammette un unica soluzione x M n 1 (R) data da x 1 = det B 1 det A, x 2 = det B 2 det A,, x n = det B n det A. Proof. Se det A 0, allora A è invertibile. Quindi x = A 1 B. Ricordiamo che A 1 = 1 det A (( 1)i+j det A ji ). Risulta dunque x = 1 det A ( 1) 1+1 det A 11 b 1 + + ( 1) 1+n det A n1 b n. ( 1) n+1 det A 1n b 1 + + ( 1) n+n det A nn b n = 1 det B 1 det A. det B n. 4

1.3 Sistemi omogenei Un sistema lineare si dice omogeneo se il vettore dei termini noti è il vettore nullo. Quindi un sistema omogeneo è del tipo Ax = 0 con A M m n (R). Un sistema omogeneo è sempre compatibile poichè esiste almeno la soluzione banale x = 0. La soluzione banale non è sempre l unica (vedi Esempio 1.1 (3)). Vogliamo dunque stabilire un criterio per capire quando il sistema ammette altre soluzioni oltre la banale. Sappiamo in generale che un sistema può essere incompatibile, avere infinite soluzioni o avere un unica soluzione. Per un sistema omogeneo la prima alternativa non si realizza mai, dunque o esiste un unica soluzione, la banale, o esistono infinite soluzioni. Come conseguenza del teorema di Rouché-Capelli otteniamo il seguente teorema. Teorema 1.5. Sia A M m n (R). Il sistema Ax = 0 ammette soluzioni non banali (e dunque infinite soluzioni) se e soltanto se rank A < n. Corollario 1.6. Sia A M m n (R) con m < n (numero di equazioni minori delle incognite). Il sistema Ax = 0 ammette soluzioni non banali (e dunque infinite soluzioni). Proof. Poichè A è m n, il rango di A è minore del minimo tra m e n, dunque m. Ma m < n, quindi rank A < n, quindi l asserto segue dal teorema precedente. Corollario 1.7. Sia A M n (R). Il sistema lineare omogeneo Ax = 0 ammette infinite soluzioni se e soltanto se det A = 0. Proof. Per il teorema precedente, si hanno infinite soluzioni se e soltanto se il rango di A è minore di n. Essendo la matrice quadrata di ordine n (e il numero di incognite n), il rango di A sarà minore di n se e soltanto se det A = 0. 1.4 Soluzioni di un sistema omogeneo Proposizione 1.8. Sia A M m n (R). Le soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0 formano un sottospazio vettoriale di R n. Proof. Denotiamo con S = {x R n Ax = 0} l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo. Per dimostrare che S è un sottospazio di R n utilizziamo la caratterizzazione e dimostriamo che la somma di elementi di S appartiene 5

a S e il prodotto di un elemento di S con uno scalare sta in S. Siano dunque x, y S. Poichè il sistema è lineare avremo che A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 quindi x + y è ancora soluzione del sistema. Lo stesso avviene se si considera x S e λ R. Avremo A(λx) = λax = λ0 = 0. Esempio 1.9. Consideriamo il seguente sistema lineare omogeneo. x + z = 0 4x + y = 0 6x + y + 2z = 0. Cerchiamo le soluzioni riducendo a scalini la matrice dei coefficienti. 1 0 1 1 0 1 4 1 0 0 1 4 6 1 2 0 0 0 Il rango di A è due, quindi per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette 1 soluzioni che troviamo risolvendo { x + z = 0 y 4z = 0. Otteniamo x = 4x e y = 4z. Le soluzioni di questo sistema formano un sottospazio vettoriale di R 3 di dimensione 1. S = {( z, 4z, z) z R}, dim S = 1, B S = {( 1, 4, 1)}. 6

1.5 Esercizi Discutere la compatibilità dei seguenti sistemi lineari. x + y = 1 1. x + y z = 0 2x + 2y 2z = 1 Proof. Riducendo a scalini la matrice completa 1 1 0 1 1 1 0 1 A B = 1 1 1 0 r 2 r 2 r 1 r 3 r 3 2r 1 0 0 1 1 2 2 2 1 0 0 2 1 r 3 r 3 2r 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 2. si ottiene rank A = 2 rank(a B) = 3 e quindi il sistema è incompatibile. x + y z = 1 x + 2y + z = 3 2x 3y + z = 2 2x + 3y = 4 Proof. Riducendo a scalini la matrice completa 1 1 1 1 1 1 1 1 A B = 1 2 1 3 r 2 r 2 r 1 r 3 r 3 2r 1 0 1 2 2 2 3 1 2 r 4 r 4 2r 1 0 5 3 0 2 3 0 4 0 1 2 2 r 3 r 3 +5r 2 1 1 1 1 0 1 2 2 0 0 13 10 0 0 0 0 3. si ottiene rank A = rank(a B) = 3 e quindi il sistema ammette un unica soluzione x T = ( 17, 6, 10 13 13 13). x y + z = 6 2x + y z = 3 x 2y + 2z = 9 5x + y z = 0 Proof. Riducendo a scalini la matrice completa 1 1 1 6 1 1 1 6 A B = 2 1 1 3 r 2 r 2 2r 1 r 3 r 3 +r 1 0 3 3 15 1 2 2 9 r 4 r 4 5r 1 0 3 3 15 5 1 1 0 0 6 6 30 7 1 1 1 6 0 3 3 15 0 0 0 0 0 0 0 0

si ottiene rank A = rank(a B) = 2 e quindi il sistema ammette 1 soluzioni date da { x y + z = 6 S = {(1, z 5, z) z R}. 3y 3z = 15 4. (h 1)y + hz = 1 hx + (h 1)y + z = 0 2x + z = 1 Proof. Consideriamo la matrice A B e riduciamola a scalini. 0 h 1 h 1 2 0 1 1 2 0 1 1 h h 1 1 0 r 1 r 3 h h 1 1 0 r 2 2r 2 +hr 1 0 2h 2 2 + h h 2 0 1 1 0 h 1 h 1 0 h 1 h 1 2 0 1 1 r 3 2r 3 r 2 0 2h 2 2 + h h 0 0 h 2 h 2 Se h 2, 1 il rank A = rank A B = 3 e quindi esiste un unica soluzione, ottenuta dal sistema 2x + z = 1 (2h 2)y + (2 + h)z = h (h 2)z = (h 2) Analizziamo il caso h = 1. 0 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 r 1 r 3 1 0 1 0 2 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 1 r 3 3r 3 r 2 0 0 3 1 0 0 0 2 S = {( 1, 2h + 2 2h 2, 1)}. r 2 2r 2 +r 1 2 0 1 1 0 0 3 1 0 0 1 1 In questo caso 2 = rank A rank(a B) = 3 e quindi il sistema è incompatibile. Analizziamo il caso h = 2. 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 r 1 r 3 2 1 1 0 r 2 r 2 +r 1 0 1 2 1 2 0 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 8

In questo caso rank A = rank A = 2 e quindi il sistema è compatibile e ammette 1 soluzioni date dal sistema { 2x + z = 1 S = {( 1 + z, 1 2z, z) : z R}. y + 2z = 1 2 5. x 4y + (1 h)z = 0 2y + hz = h hx + hz = 1 Proof. Il sistema è quadrato per cui possiamo utilizzare il teorema di 1 4 1 h Cramer. La matrice dei coefficienti è A = 0 2 h e ha determinante h 0 h det A = 2h 2. Per cui se h 0 il sistema ammette un unica soluzione data da 0 4 1 h 1 0 1 h h 2 h 0 h h 1 0 h x = = 4h2 2h 2 h 1 h ; y = = h2 1 2h 2 2h 2 2h 2 2h 1 4 0 0 2 h h 0 1 z = = 2h2 1 2h 2 h 2 per cui S = {( h2 1 1 1)}. 2h 2h h 2 Per h = 0 la matrice completa è 1 4 1 0 A B = 0 2 0 0 0 0 0 1 per cui il sistema è incompatibile in quanto 2 = rank A rank(a B) = 3. 9