1 Convessità olomorfa

1 Convessità olomorfa Esercizio 1 Sia f O(C n ) e sia X = {f = 0}; dimostrare che, per ogni K compatto di X, l inviluppo K O(Cn ) è contenuto in X. Esercizio 2 Fissato un reale δ (0, 2π), consideriamo in C 2 l insieme compatto K = {z 2 = 0, z 1 = e it con δ t 2π} { z 2 = 1, z 1 = e it con 0 t δ} Dimostrare che K O(C2 ) contiene il disco D = {z 2 = 0, z 1 1}. Esercizio 3 In C 2 consideriamo le coordinate z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2. i. Dimostrare che il 2 piano reale π = {x 2 = y 1 = 0} è olomorficamente ii. Dimostrare che l insieme K = {x 2 1 + y 2 2 = 1, x 2 = y 1 = 0} è olomorficamente iii. Dimostrare che ogni compatto K del piano π è olomorficamente (Hint: ogni chiuso è luogo di zeri di una funzione continua e i polinomi reali sono densi nelle continue per convergenza uniforme sui compatti) Bonus Per quali piani π il risultato dell esercizio precedente rimane vero? Se al posto di π consideriamo l iperpiano reale H = {x 1 = 0} e prendiamo K = {x 1 = 0, x 2 2 + y 2 1 + y 2 2 = 1}, è ancora vero che H e K sono olomorficamente convessi? Esercizio 4 Dimostrare che il dominio di C 2 non è di olomorfia. Ω = { z 1 2 + x 2 2 > ρ 2 } Esercizio 5 Dimostrare che l inviluppo olomorfo di Γ = {z 1 = z 2 z 2 2 } C 2 incontra in un aperto (di C) ogni retta complessa della forma z 1 = k 2 z 2 con k R. NB: L inviluppo olomorfo di un insieme non compatto è l unione degli inviluppi olomorfi di tutti i compatti in esso contenuti. NB2: L inviluppo convesso di Γ è tutto lo spazio C 2, ma non ne conosco una dimostrazione con tecniche elementari. 1.1 Complementi Nei prossimi esercizi vogliamo dimostrare che, se K è un compatto olomorficamente convesso in C n, allora π k (C n \ K) = 0 e H k (C n \ K; G) = 0 per ogni G abeliano e 1 k n 1. Esercizio 6 Dimostrare che, fissato U intorno di K, possiamo trovare una funzione di esaustione ρ : C n R, liscia, fortemente plurisubarmonica e una costante reale R > 0 tali che i. ρ < 0 su K e ρ > 0 su C n \ U; 1

ii. ρ(z) = z 2 se z R; iii. ρ è una funzione di Morse con un numero finito di punti critici, tutti di indice minore o uguale a n, di modo che 0 non sia valore critico. Esercizio 7 Sia X t = {ρ t}. i. Si fissi c R 2 e si calcolino omotopia e omologia di X c. ii. Siano poi t 1 <... < t m i punti critici di ρ e siano s, t reali tali che t j 1 < t < t j < s < t j+1 ; si determinino omologia e omotopia di X t rispetto a X s (in dimensione 1 k n 1). Esercizio 8 Utilizzando l esercizio precedente, dimostrare che omologia e omotopia di X 0 C n \ U rispetto a X c sono nulle in dimensione positiva < n e concludere che π k (X 0 ) = H k (X 0 ; G) = 0 se 1 k n 1. Concludere con un opportuno passaggio al limite su U. I prossimi esercizi riguardano invece i domini di Reinhardt logaritmicamente convessi e il loro legame con le serie di potenze in più variabili. Esercizio 9 Si consideri in C n la serie di potenze I a Iz I (in notazione multiindice) e sia D il suo dominio di convergenza. Dimostrare che i. D è un dominio di Reinhardt completo; ii. un sottoinsieme di R n è convesso se e solo se, per ogni suoi due punti x, y, il loro punto medio appartiene ancora all insieme; iii. D è logaritmicamente Esercizio 10 Indichiamo con K M,D l inviluppo di K rispetto ai monomi in D, ovvero l insieme {x D : f(x) sup f f(z) C[z], monomio} K Diremo che un dominio D è monomialmente convesso se K M,D è compatto in D per ogni K compatto in D. i. Dimostrare che un dominio monomialmente convesso è anche olomorficamente ii. Dimostrare che, se K è un dominio di Reinhardt compatto, completo e logaritmicamente convesso in D, allora per ogni punto a di (C ) n \K posso trovare (per convessità) un multiindice I tale che z I K < a I. iii. Dimostrare che, se a (C ) j 0 C n, la proiezione su C j non cambia la situazione e quindi si può riapplicare il punto precedente. iv. Dedurne che K è monomialmente Esercizio 11 Dimostrare che esiste una funzione che è illimitata in ogni intorno di ogni punto del bordo di un insieme olomorficamente convesso e dedurne che ogni dominio di Reinhardt completo e logaritmicamente convesso è il dominio di convergenza di una serie di potenze. 2

2 Forma di Levi Esercizio 12 Sia S = {ρ = 0} C 2 un ipersuperficie reale differenziabile; dimostrare che la forma di Levi di S è definita positiva se e solo se il determinante 0 ρ z1 ρ z2 det ρ z1 ρ z1z 21 ρ z1z 2 ρ z2 ρ z2z 1 ρ z2z 2 non si annulla mai su S. Esercizio 13 Calcolare la forma di Levi dell ellissoide in C 3 e calcolarne la segnatura 1. E n = { z 1 2 + z 2 n+2 + z 3 2n+4 = 1} Esercizio 14 Si consideri l ellissoide E 0 ; nel punto (1, 0, 0), la sua forma di Levi ha un autovalore nullo con autovettore (0, 0, 1). Si consideri il disco analitico dato da ζ (1, 0, ζ) = φ(ζ), con ζ = {z C : z < 1}; allora dist(φ(ζ), E 0 ) lim ζ 0 φ(ζ) φ(0) 2 = 0 Ovvero esiste un disco analitico che ha come tangente l autovettore di autovalore 0 e che ha ordine di contatto con E 0 maggiore di 2. Esercizio 15 Dimostrare che non ci possono essere dischi analitici contenuti nel bordo della palla unitaria di C 2. (Hint: Il modulo di una funzione olomorfa è subarmonico e armonico se e solo se la funzione è costante.) Esercizio 16 Calcolare la forma di Levi per le ipersuperfici definite da i. ρ(z) = 2x n + n 1 j=1 z j pj con p j N ii. ρ(z) = 2x n + n 1 j=1 f j(z) 2 con f j O iii. ρ(z) = 2x 2 + z 1 8 + k z 1 6 x 2 1 Per quali valori di k, nel terzo caso, l ipersuperficie sarà fortemente Leviconvessa vicino all origine? Nel secondo caso, se le f j non dipendono da z n, si trovi una formula per il determinante della forma di Levi. Esercizio 17 Dimostrare che, se λ è abbastanza piccolo, allora Ω λ = {x 1 + z 2 4 + 2λR(z 2 z 2 3 } è un dominio strettamente pseudo Esercizio 18 Sia r R e sia T 1 = { z 1 2 + z 2 2 = r 2 + 2 z 1 1} in C 2 ; si dimostri che tale ipersuperficie è fortemente Leviconvessa per 0 < r < 1. 1 Si intende, ovviamente, la segnatura della forma di Levi considerata come forma bilineare sul tangente dell ipersuperficie. 3

Sia poi T 2 = { z 1 2 + z 2 2 = r 2 + 2 x 2 1 + x2 2 1 in C 2 ; si dimostr che tale ipersuperficie è realmente isometrica a T 1, ma è fortemente Leviconvessa solo per 0 < r < 1/2. Se ne concluda che T 1 e T 2, per opportuno valore di r, sono isometriche come ipersuperfici di R 4 ma non biolomorfe. 3 Varietà complesse e quasi complesse Esercizio 19 Sia (M, J) una varietà complessa. Una sezione C di T 1,0 M si dice campo olomorfo di vettori se manda germi di funzione olomorfa in germi di funzione olomorfa; dimostrare che Z è un campo olomorfo di vettori se e solo se, fissando coordinate complesse z 1,..., z n nell intorno di ogni punto si ha con Z α funzioni olomorfe. Z = Z α z α Esercizio 20 Sia (M, J) una varietà complessa. Una sezione C di T R M si dice campo olomorfo reale di vettori se X ijx è un campo olomorfo di vettori. Dimostrare che le seguenti sono equivalenti: X è un campo olomorfo reale di vettori L X J = 0 il flusso di X consiste di trasformazioni olomorfe di M. Esercizio 21 Sia a(m) l insieme dei campi olomorfi reali su M; dimostrare che a(m) ha struttura di algebra di Lie complessa. Bonus: Se M è una varietà complessa chiusa, a(m) ha dimensione finita. Esercizio 22 Sia M = (C 2 \ {0})/(z 2z) una superficie di Hopf; dimostrare che M(M) = M(CP 1 ), dove M(X) è lo spazio delle funzioni meromorfe su X. (Hint: Sollevare m M(M) al rivestimento universale, estendere e dimostrare che passa al quoziente in CP 1.) Bonus: Cosa si può dire nel caso M = (C 2 \ {0})/((z 1, z 2 ) (2z 1, 3z 2 ))? Esercizio 23 Dato un reticolo Γ C n, isomorfo a Z 2n, scelte due basi {e 1,..., e n } di C n e {λ 1,..., λ 2n } di Γ, possiamo scrivere λ i = λ ji e j e quindi abbiamo la matrice λ 1,1 λ 1,2 λ 1,2n P =.. λ n,1 λ n,2 λ n,2n 4

detta matrice dei periodi del toro C n /Γ. Dimostrare che P è la matrice dei periodi di un toro complesso se e solo se la matrice ( ) P Π = P è non singolare. Esercizio 24 Determinare lo spazio delle 1 forme olomorfe sul toro C n /Γ; caratterizzare le funzioni olomorfe f : C n /Γ C m /Γ. Esercizio 25 Dimostrare che ogni gruppo di Lie complesso e compatto è un toro. (Si sfrutti la rappresentazione aggiunta). Dedurre che U(n) e SU(n) non sono gruppi di Lie complessi. Esercizio 26 Dimostrare che ogni 6 varietà ammette una struttura quasi complessa. Esercizio 27 Sia (M, J) una varietà quasi complessa; consideriamo una forma differenziale di tipo (1, 0) su M, ovvero una sezione C del fibrato Λ 1 (T 1,0 M) ; allora dφ Γ(M, Λ 2 (T C M) ) e dunque dφ = d 1,0 φ + d 0,1 φ + d 1,2 φ con d 1,0 φ una (2, 0) forma, d 0,1 φ una (1, 1) forma e d 1,2 φ una (0, 2) forma. Dimostrare che d 1,2 è un campo di tensori su M e che φ(n(x, Y )) = 8d 1,2 φ(x, Y ) per ogni (1, 0) forma φ e per ogni coppia di campi di vettori X, Y su M, con N il tensore di Nijenhuis. 5