Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A Pisa, 6 aprile cos ) sin se Domanda Sia f) = Allora se =. A) non ha derivata in = ) è derivabile C) ha un punto di cuspide D) ha un punto angoloso Domanda A) ) 7 + 7 + 5 5 e ) e ) C) + D) non esiste = C Domanda L insieme { R : cos } A) è itato superiormente ma non inferiormente ) non è itato C) è itato inferiormente ma non superiormente D) è itato Domanda n6 + n n 6 n ) n = n + A A) ) + C) D) 5 6 Domanda 5 A) ) e n)! n + en n!) = C) + D) e e C Domanda 6 La funzione F ) = log + t ) t dt + se ) sin se > A) è derivabile ) non è continua C) ha un punto di cuspide D) ha un punto angoloso D Domanda 7 A) ) tan) cos) d = C) log D) Domanda A) + d = ) C) D) log y = y + ) Domanda 9 Sia y) la soluzione del problema di Cauchy y) =. Allora y ) = D A) ) 5 C) D) Domanda Sia y) una qualsiasi soluzione dell equazione differenziale y = y + e. Allora A) ) dipende dalla soluzione scelta y) = + C C) + D) codice 969
Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A Pisa, 6 aprile Cognome) Nome) Numero di matricola) Esercizio Studiare la funzione f) = log ) determinandone insieme di definizione, asintoti compresi quelli obliqui), eventuali punti di discontinuità e di non derivabulità, estremi superiore e inferiore o massimo e minimo), punti di massimo e di minimo locali. Tracciare un grafico approssimativo della funzione. La funzione è definita quando l argomento del logaritmo è strettamente positivo,quindi se >, ), + ). Osserviamo ora che l argomento del valore assoluto cambia segno per = quindi avremo che log ) + se < f) = log ) + se. La funzione è continua in tutto il suo insieme di definizione, perché composizione e somma di funzioni continue. Cerchiamo ora gli eventuali asintoti calcolando i iti. log f) = log ) + = ) + ) = + ) = f) = + f) = log ) + = log + ) = f) = log ) + = log + ) + = + + log ) ) + log ) + = + + = ) =. Da questi risultati otteniamo che la funzione ha due asintoti verticali di equazione rispettivamente = e =, non ha asintoti orizzontali. Inoltre la funzione non è inferiormente itata, quindi non ha minimo. Ha invece sicuramente massimo e in particolare un punto di massimo locale nella semiretta, ) e un altro nella semiretta, + ). Li determineremo con il calcolo della derivata. Vediamo ora se ci sono asintoti obliqui. f) = log ) + log ) = + = + = f) = quindi non c è l asintoto obliquo per. log ) + = log ) = + f) + = log ) + log ) = + + + = + = f) ) = + + log ) + + = log ) + = + e anche in questo caso non c è l asintoto obliquo per +. Osserviamo ora che la funzione è somma e composizione di funzioni derivabili, eccetto il valore assoluto che non è derivabile quando l argomento si annulla. Risulta quindi che la funzione è sicuramente derivabile per. Verificheremo l eventuale derivabilità per = in seguito. Calcoliamo ora la derivata: f ) = + = + = + + se < se >.
Considerando anche il dominio della funzione avremo quindi + f ) = se, ), ) + + se, + ). Esaminiamo prima il caso, ), ). Il denominatore è positivo mentre per il numeratore abbiamo + >, ) +, + ). Di nuovo intersecando con il dominio, otteniamo f ) > se, ), ), f ) < se, ), f ) =. Vediamo ora il caso, + ). Nuovamente il denominatore è positivo. Per il numeratore abbiamo + + >, + ). Dato che + < risulta f ) <, + ). Riassumendo otteniamo che f è strettamente crescente in, ], strettamente decrescente in [, ), strettamente crescente in, ] e strettamente decrescente in [, + ). I punti di ascissa = e = sono di massimo locale; confrontiamo il valore assunto dalla funzione in tali punti per determinare il massimo di f. f ) Verifichiamo che f ) < f), infatti = log + ), f) = log. log + ) < log log + ) log < + + ) log < + che è sicuramente vera dato che + <, quindi il lato sinistro della disuguaglianza è negativo mentre il lato destro è positivo. Ne risulta che maf) = f) = log. Vediamo ora se la funzione è derivabile in =. Dato che f è continua in = possiamo calcolare le derivate destra e sinistra facendo il ite della derivata. f ) = f + ) = = 9 + 6 = 7 9 f +) = f + + ) = + + = 9 + 6 + = 9. La funzione non è quindi derivabile in = dove presenta un punto angoloso.
,5-7,5-5 -,5,5 5 7,5 -,5-5 Esercizio Calcolare l integrale cos d. Calcoliamo prima una primitiva della funzione cos integrando per parti. Integreremo cos e deriveremo cos. cos d = cos ) cos ) d = sin cos sin cos sin ) d = cos sin = cos sin cos sin d + cos) + d sin) sin d = cos sin cos d = cos sin + cos) d + + cos ) d cos d. Avendo ottenuto di nuovo l integrale di partenza con il segno opposto, possiamo portarlo al primo membro ottenendo, a meno di costanti additive, cos d = cos sin + cos) +. Allora risulta cos d = cos sin + cos) +. Per calcolare l integrale definito basta applicare il teorema di Torricelli ottenendo [ cos sin cos d = + cos) ] + = + + 6 ) + = 6 + 6.
Esercizio Risolvere il problema di Cauchy y = y y) =. Trovare poi l insieme di definizione della soluzione e calcolare l area compresa fra il grafico e la retta di equazione y =. L equazione è a variabili separabili. Avremo quindi y dy = d + c. Integrando otteniamo y = + c y + = c. Ricaviamo ora la costante c dalla condizione iniziale y) = quindi + = c y + =. Ricavando la y dobbiamo tenere conto del fatto che y) = >. Sceglieremo quindi la radice positiva, ottenendo y =. L insieme di definizione della soluzione sarebbe [, ] ma dobbiamo escludere i punti = e = perché i tali punti la funzione non è derivabile e y = renderebbe priva di senso l equazione differenziale. Quindi la soluzione è definita per, ). Per calcolare l area dovremmo valutare d ma possiamo calcolare questo integrale per via elementare, osservando che il grafico della funzione rappresenta una semicirconferenza di raggio centrata nell origine. Avremo quindi d =.