LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB 1 L ELETTRIZZAZIONE PER STROFINÌO I CONDUTTORI E GLI ISOLANTI 1 Sì, i due materiali sono isolanti e vengono elettrizzati per strofinìo con cariche di segno opposto, per cui esercitano su altri corpi elettrizzati forze di segno opposto. Le due strisce si respingono. Nel distacco dal tavolo, le due strisce si sono elettrizzate nello stesso modo. 3 Durante il moto, è possibile che la carrozzeria dell auto acquisti carica elettrica per strofinìo. La catena o striscia metallica consente di scaricare queste cariche in eccesso a terra ed evita che al momento di toccare la carrozzeria si prenda una scossa. 3 LA DEFINIZIONE OPERATIVA DELLA CARICA ELETTRICA 4 Avrebbe trovato, per la prima volta, una carica elettrica che è metà della carica elementare. 5 Perché la trasformazione descritta vìola il principio di conservazione della carica elettrica. 6 No, potrebbe anche avere avuto una carica negativa, di modulo decisamente maggiore della carica positiva iniziale. 7 n p e 94 1,6 1 19 C 1,5 1 17 C 8 Nel processo il nucleo perde due protoni, che sono presenti nella particella alfa, la cui carica elettrica quindi è il doppio della carica elementare, 3, 1 19 C. 9 In 1 s: 3 1 17 1,6 1 19 C 5 1 C In 1 h: 36 36( 5 1 C) 1 C 1

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB 1 n 1, C en A 1,6 1 19 C ( 6, 1 3 mol 1 ) 1, 1 5 mol 11 Il numero totale di protoni presenti nei tre nuclei è 1, per cui la carica elettrica totale dei tre nuclei è 1,6 1 18 C. 1 In base al principio di conservazione della carica elettrica, il nucleo deve avere un protone in più e quindi si trasforma in un nucleo di Protoattinio, il cui numero atomico è 91. 13 Il numero di elettroni sulla superficie è n e 7, 1 9 C 4,5 e 1,6 1 19 11 C Il numero di moli di elettroni è n n e 4,5 1 1 N A 6, 1 3 mol 7,5 1 1 14 mol La densità superficiale media di carica è σ S πrh + πr πr( h + r) 7, 1 19 C π,8 1 m 14 (, 1 m +,8 1 m) 4,8 1 6 C/m l S σ nn Ae σ ( 3,7 1 17 mol) ( 6, 1 3 mol 1 )( 1,6 1 19 C),6 1 m 5, 1 9 C/m 4 LA LEGGE DI COULOMB 15 Se la distanza tra i due oggetti è grande rispetto alle loro dimensioni, allora è lecito approssimarli a cariche puntiformi. In caso contrario, bisogna applicare la legge di Coulomb per ogni coppia di cariche (una su un oggetto, una sull altro) e sommare le forze ottenute.

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB 16 Le sfere A e B hanno cariche di segno opposto, come pure le sfere A e C. uindi le sfere B e C hanno cariche dello stesso segno, per cui si respingono. 17 La forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, per cui il grafico giusto è (b). 18 Il sistema è simmetrico per rotazioni di 6 attorno al baricentro, pertanto, una volta effettuata una rotazione di 6, rimane identico a se stesso e la forza totale non dovrebbe essere cambiata. D altro canto, la rotazione farebbe ruotare anche una forza totale non nulla. Dalla contraddizione delle due deduzioni, segue che la forza totale è nulla. 19 d F F 3, 1 1 C 8,99 1 9 N m / C,4 1 3 N 5,8 1 4 m Uguagliando la forza di Coulomb e la forza gravitazionale si ottiene: F G d G M d M G 7, 4 1 9 C 8,99 1 9 N m / C 6,67 1 11 N m / kg 86 14 kg Il risultato non dipende dalla distanza tra le palline. 1 ( 1,6 1 19 C),3 1 ( 1 1 m) 8 N q p q e d 8,99 1 9 N m / C ( 1,673 1 7 kg) ( 9,11 1 31 kg) 1, 1 ( 1 1 m) 47 N F G G m pm e d 6,67 1 11 N m / kg (, 1 9 C) ( 1,5 1 8 C) 3, 1 ( 3, 1 m) 4 N F 1 d 8,99 1 9 N m / C 3 d F 1 ( 7, 1 m) ( 1,5 1 3 N) ( 8,99 1 9 N m / C )( 6,3 1 9 C) 1,3 1 7 C 4 Indichiamo con la carica presente su ciascuna delle due sfere. Le sfere sono identiche, quindi, quando vengono in contatto, acquisiscono la stessa carica. In base al principio di conservazione della carica elettrica: 1) al primo contatto, la prima sfera carica cede metà della sua carica alla sfera mediatrice scarica; ) al secondo contatto, la seconda sfera cede un quarto della sua carica alla sfera mediatrice; 3

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB La forza tra le due sfere quindi alla fine è 1 F k 1 k d 1 3 4 3 d 8 1 d 3 8 F 5 Uguagliando la forza di Coulomb e la forza gravitazionale si ottiene: F G M G d G M d, 43 1 7 C 8,99 1 9 N m / C 6,67 1 11 N m / kg,8 13 kg 6 La carica di ciascuna sferetta è nn A e (,4 1 1 mol) 6, 1 3 mol 1 La forza di Coulomb è d 8,99 19 N m / C ( 1,6 1 19 C),3 1 7 C (,3 1 7 C) 3,5 1 3 N (, 37 m) 7 Indicando con F e F le forze di Coulomb prima e dopo il contatto e con 1 ( A + B ) 4,4 nc la carica di ciascuna sfera dopo il contatto, la variazione percentuale è data da F F F F F 1 1 A B ( 4, 4 nc),5 nc ( 6, 3 nc) 1,3 cioè il 3% in più. Il risultato non dipende dalla distanza fra le cariche. 8 Entrambe le forze applicate su sono orizzontali, rivolte verso sinistra: 1 3 F 1 + + F 3 r r (,5 1 9 C) ( 3, 1 9 C) F 1 1 r 8,99 1 9 N m / C 4,7 1 6 N (,1 m) 4

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB (,5 1 9 C) ( 3, 1 9 C) F 3 3 r 8,99 1 9 N m / C La forza totale sulla carica è F F 1 + F 3 4,7 1 6 N + 4, 7 1 6 N 9, 4 1 6 N 9 F AC A C AC 8,99 1 9 N m / C 4,7 1 6 N (,1 m) ( 73,5 1 9 C) ( 33,8 1 9 C) F BC B C BC 8,99 1 9 N m / C 3,9 1 4 N (,4 m) ( 18,1 1 9 C) ( 33,8 1 9 C) La forza totale che agisce sulla carica C è F AC + F BC 3,9 1 4 N + 3,8 1 4 N 7,7 1 4 N 3,8 1 4 N (,1 m) 3 Considerazioni preliminari. 1) Il modulo della carica A è maggiore di quello della carica B, quindi la distanza di C da A deve essere maggiore della distanza di C da B. ) Le forze esercitate dalle cariche A e B hanno versi uguali se la carica C è collocata fra le due cariche; quindi la forza totale non avrà mai valore zero. 3) Le forze esercitate dalle cariche A e B hanno versi opposti se la carica C è collocata dalla stessa parte rispetto ad esse; quindi, per la considerazione 1), la carica C va collocata a destra delle due cariche A e B. Indichiamo con x la distanza in centimetri della carica C dalla carica B (a destra di B) e imponiamo che la forza totale su C sia nulla. Poiché A 4 B si ha A C ( 6, cm + x) k 4x 36, cm + x +1,x cm 3x 1,x cm 36, cm B C 4 k B C x 6, cm + x B C x x, cm ± 4, cm +1, cm (, ± 4,) cm L unica soluzione accettabile per una distanza è quella positiva, quindi il punto C si trova a 6, cm a destra di B, cioè x C 8, cm. 31 Il modulo della carica A è minore di quello della carica B, quindi la distanza di C da A deve essere minore della distanza di B da A; inoltre le forze esercitate dalle cariche A e B hanno versi opposti se la carica C è collocata tra esse. Poiché B 9 A la condizione di equilibrio comporta che deve essere 5

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB x B x C 3( x C x A ) da cui si ricava x C 1, cm. 3 La sferetta subisce tre forze: la forza di Coulomb di modulo, diretta verso destra, la forzapeso di modulo F P, diretta verso il basso, e la tensione di modulo T della fune, nella direzione della fune verso il punto fisso S. In condizione di equilibrio, la somma delle tre forze è nulla. Le intensità delle forze nella direzione x e nella direzione y sono: T x T sen 3 T x F P T y T cos 3 T y sen 3 F P cos 3 T x T y T sen 3 F P T cos 3 La distanza tra le sferette risulta: F P tg 3 F P 3 mg 3 d q q mg 8,99 1 9 N m / C 3 ( 4,6 1 8 C) ( 1,8 1 8 C) ( 13 1 3 kg) ( 9,8 N/kg) 3,1 m uando il filo si spezza, viene meno la tensione T e la forza totale è F tot + F P 4 3 F P 3 F P e l accelerazione della sferetta è a F tot m g 11 m/s 3 33 La forza totale subita dalla carica è F F 1 + F 3 1 d 1 + 3 d 3 ( 8,99 1 9 N m / C )( 5, 1 1 C) 4, 1 1 C ( 3, 1 m) + 3, 1 1 C 4, 1 m, 1 6 N Per la forza totale subita dalla carica 1, calcoliamo le componenti delle singole forze: F 1x N 6

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB ( 5, 1 1 C) ( 4, 1 1 C), 1 ( 3, 1 m) 6 N F 1y k 1 8,99 1 9 N m / C d 1 F 31x k 3 1 x 1 x 3 x 1 x 3 + ( y 1 y 3 ) ( x 1 x 3 ) + ( y 1 y 3 ) ( 3, 1 1 C) ( 4, 1 1 C) 4, 1 ( 5, 1 m) 8,99 1 9 N m / C m 5, 1 m 3,5 1 7 N F 31y k 3 1 x 1 x 3 y 1 y 3 + ( y 1 y 3 ) ( x 1 x 3 ) + ( y 1 y 3 ) ( 3, 1 1 C) ( 4, 1 1 C) 3, 1 ( 5, 1 m) 8,99 1 9 N m / C La forza totale subita dalla carica 1 è m 5, 1 m,6 1 7 N F 1 F 31x + ( F 1y + F 31y ) ( 35 1 8 N) + ( 6 1 8 N),3 1 6 N 34 La forza totale subita dalla carica è F tot d + k ( d) + k ( 3d ) + k 1+ 1 d + 1 3 + 1 4 + π 6 π 6 8,99 19 N m / C ( 4d) + d ( 1, 1 9 C) ( 1, 1 m) 1,5 1 4 N 35 Uguagliando i moduli delle due forze esercitate sulla prima carica ks 1 d si ottiene s k 1 8,99 19 N m / C d 4 N/m ( 5,8 1 7 C),1 1 7 C 5,3 1 ( 7, 1 m) 3 m 5 L ESPERIMENTO DI COULOMB 7

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB 36 Per calcolare il momento della forza di Coulomb è necessario calcolare il seno dell angolo formato dal manubrio e dal segmento; il seno di 9 è 1. 37 M b L d ( 3, 1 m) ( 8,99 1 9 N m / C ) 9,7 1 8 C,5 1 m 4,1 1 3 N m 38 Imponiamo l uguaglianza dei moduli dei momenti della forza di Coulomb e della forza esercitato dal filo e poi ricaviamo il valore della carica elettrica. Si ottiene d cα ( 4, 1 m) L 18 rad (,1 m) ( 8,99 1 9 N m / C ) 1,6 1 3 m N / rad 8,π,8 1 8 C 39 Il braccio della forza è b M F Dall uguaglianza dei moduli dei momenti di torsione del filo e della forza di Coulomb si ottiene M b da cui si ricava 4bM 4M 4b F ( 3,11 1 N) 1,58 1 6 C M F 1,3 1 m N 8,99 1 9 N m / C 4 Dall uguaglianza dei moduli dei momenti torcente del filo e della forza di Coulomb si ottiene c L α L k B αd ( 3,8 1 8 C) ( 1,9 1 8 C) 1,4 1 m N / rad 6π (,5 1 m) (,14 m) 8,99 1 9 N m / C 18 rad 41 Poiché l angolo di rotazione misurato è direttamente proporzionale alla forza di Coulomb, risulta 8

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB α α 9,6 ( 1 1,8 1 7 C) 1,6 1 7 C 6 LA FORZA DI COULOMB NELLA MATERIA 4 Poiché la costante dielettrica del silicio è 1 volte quella del vuoto, le costanti dielettriche relative di tutte le sostanze verrebbero ridotte di un fattore 1. 43 ε ε 3,56 1 11 C / (m N) 8,99 1 9 N m / C 4, 44 1 8,99 19 N m / C F m d 39 1 3 N 45 F 1 8,99 19 N m / C d 8 46 F vuoto F polietilene ( 9, 1 7 C) 4,15 1 7 C 1 ( 6,47 1 m) ( 3,65 1 8 C) 7,1 1 8 C 1 8,99 19 N m / C F polietilene d 1,84 1 N,5 m 1, 1 4 N ( 3,65 1 8 C) 7,1 1 8 C,35 m,3 47 d 1 F 4,5 1 m,8 1 N 8,99 1 9 N m / C 1,5 1 7 C 48 F etanolo, acqua, etanolo F acqua 8 5,3,8 1 N 49 Le tre coppie di forze hanno intensità: F AB F BA A B d AB 8,99 19 N m / C 5 8,9 1 N A B x B x A ( 35 1 8 C) 51 1 8 C,1 m 6, 4 1 3 N F AC A A C d AC A C x A x C 9

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB 8,99 19 N m / C 5 ( 35 1 8 C) 68 1 8 C, 3 m 9,5 1 4 N F BC B B C d BC 8,99 19 N m / C 5 B C x B x C ( 51 1 8 C) 68 1 8 C, m 3,1 1 3 N Scelgo il verso positivo a destra. Tenendo conto dei versi delle forze, le componenti delle forze totali su ciascuna carica sono: F A F BA A 6, 4 1 3 N,95 1 3 N 5,5 1 3 N F B F AB B 6,4 1 3 N + 3,1 1 3 N 3,3 1 3 N F AC F BC,95 1 3 N 3,1 1 3 N, 1 3 N 5 Le componenti delle forze applicate sulla carica in A sono F BA,x A B ( x B x A ) + y B y A 8,99 19 N m / C 8 F BA,y A B ( x B x A ) + y B y A 8,99 19 N m / C 8 A,x A C ( x C x A ) + y C y A 8,99 19 N m / C 8 A,y N x A x B ( x B x A ) + ( y B y A ) (,9 1 8 C) 4,4 1 8 C (,5 m) +,3 y A y B ( x B x A ) + ( y B y A ) (,9 1 8 C) 4, 4 1 8 C (,5 m) +,3,5 m (,5 m) + (,3) 3,6 1 5 N x A x C ( x C x A ) + ( y C y A ) (,9 1 8 C) 5,1 1 8 C,3 m (,5 m) + (,3), 1 5 N,7 m L intensità della forza totale sulla carica in A è,7 m,7 m 3, 4 1 5 N F A ( F BA,x + A,x ) + ( F BA,y ) (, 1 5 N) + (, 1 5 N), 1 5 N 51 La somma delle forze esercitate dalle cariche in A e B sulla carica posta in C è diretta lungo l asse y ed è la somma delle due componenti verticali (uguali). Calcoliamo queste componenti: 1

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB F AC,y F BC,y A B d AC 8,99 19 N m / C 3,4 y C y A d AC ( 8 1 9 C) 46 1 9 C,3 m,3 m + (,4 m) (,3 m) + (,4 m) 8, 1 4 N L intensità della forza esercitata sulla carica in C dalla carica in D è F DC F AC,y + F BC,y ( 8, 1 4 N) 6,8 1 4 N 9,6 1 4 N La carica D è D F DC d DC 3,4,5 m ( 9,6 1 4 N) C 8,99 1 9 N m / C 7 L ELETRIZZAZIONE PER INDUZIONE ( 46 1 9 C) nc 5 No, perché i pezzetti di carta non sono carichi, ma vengono polarizzati da entrambi i materiali carichi e ne risultano attratti, indipendentemente dal segno della loro carica. 53 Si strofina con il panno la bacchetta di vetro, che si carica positivamente; si avvicina la bacchetta alla sfera. uesta ultima si carica negativamente per induzione; infine si stacca la sfera dal gancio prima di allontanare la bacchetta. PROBLEMI GENERALI 1 La forza di Coulomb è 1 r Le accelerazioni dei due oggetti sono 38 1 ( 9 C) ( 7 1 9 C) ( 3 1 m) ( 56 1 6 kg) a 1 m 1 1 r m 1 8,99 1 9 N m / C 38 1 ( 9 C) ( 7 1 9 C) ( 3 1 m) ( 89 1 6 kg) a m 1 r m 8,99 1 9 N m / C 8,3 m/s 5, m/s Poiché i due oggetti si respingono, la forza di repulsione diminuisce e quindi diminuirà anche l accelerazione. La velocità invece continua ad aumentare. Le componenti delle forze esercitate su 1 sono 11

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB ( 5, 1 9 C) (, 1 9 C) 5,6 1 ( 4 1 m) 7 N F 41,y k 4 1 8,99 1 9 N m / C d 41 ( 5, 1 9 C) (, 1 9 C) 5,6 1 ( 4 1 m) 7 N F 1,x k 1 8,99 1 9 N m / C d 1 F 31,x k 3 1 cos 45 d 31 ( 3, 1 9 C) (, 1 9 C) ( 4 1 m) 8,99 1 9 N m / C F 3,1,y F 3,1,x 1, 1 7 N L intensità della forza risultante sulla carica 1 è F 1 ( F 1,x + F 31,x ) + ( F 41,x + F 31,x ) 1, 1 7 N ( 5,6 1 7 N) + ( 1, 1 7 N) + ( 5,6 1 7 N) + ( 1, 1 7 N) 9,6 1 8 N La direzione è lungo la diagonale che connette le cariche 1 e 3 ; la forza è diretta verso 3. In acetone la forza totale si riduce di un fattore 1: F 1 F 1 9,6 1 8 N 1 4,6 1 9 N Le forze esercitate sulla carica posta nel centro del quadrato dalle cariche e 4 sono opposte e si annullano; le forze esercitate dalla cariche 1 e 3 sono parallele e concordi e la loro somma è diretta verso 3. La forza totale su è F TOT, F 1 + F 3 k 1 + k 3 k 1 + 3 d 1 d 3 d 1 d 3 ( 8,99 1 9 N m / C )( 3, 1 9 C), 1 9 C 1 m 3, 1 9 C + 1 m 1,7 1 6 N 3 L intensità della forza di Coulomb tra le sfere è in entrambi i casi (,8 1 7 C) ( 1,1 1 8 C) 1 d 8,99 1 9 N m / C La forza peso è F P mg ( 8, 1 6 kg) 9,8 N/kg Dalla condizione di equilibrio! F tot! T +! F P +! 7,8 1 5 N 1 4,9 1 5 N (, 4 m)

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB si ricava, nel primo caso, T F P 7,8 1 5 N 4,9 1 5 N,9 1 5 N Nel secondo caso si ha T F P + 7,8 1 5 N + 4,9 1 5 N 1, 3 1 4 N 4 Dall uguaglianza della forza elettrostatica e di quella gravitazionale si ricava: m G ( 9,16 1 8 kg) 6,67 1 11 N m / kg 8,99 1 9 N m / C 7,9 1 18 C uesta carica corrisponde a un numero di elettroni pari a n e 7,9 1 18 C 1,6 1 19 C 49 5 Le intensità delle forze di Coulomb in gioco sono ( 1,6 1 9 C) (,6 1 9 C) F 1 k 1 8,99 1 9 N m / C d 1 F 13 k 1 3 8,99 1 9 N m / C d 13,3 1 7 N (,4 m) ( 1,6 1 9 C) ( 4, 1 9 C) F 3 k 3 8,99 1 9 N m / C d 3 5,8 1 8 N (,4 m) (,6 1 9 C) ( 4, 1 9 C) Tenendo conto dei versi, le forze totali subite dalle tre sfere sono: F 1 F 1 F 13 1,7 1 7 N (verso destra),6 1 7 N (,6 m) F F 3 F 1 3, 1 8 N (verso destra) F 3 F 13 F 3, 1 7 N (verso sinistra) Le accelerazioni delle tre cariche sono: a 1 F 1 1, 7 1 7 N m 1 1 1 3 kg 1, 4 1 5 m/s a F 3, 1 8 N m 5 1 3 kg 1, 1 6 m/s a 3 F 3, 1 7 N m 3 4 1 3 kg 5, 1 6 m/s 6 Le distanze tra le cariche di segno opposto e tra le cariche negative sono uguali, i moduli delle 13

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB cariche sono uguali, pertanto le tre forze applicate su ciascuna carica negativa hanno uguale intensità e formano tra loro angoli di 6 : la loro somma quindi è nulla. 7 Uguagliando l intensità della forza elastica e della forza di Coulomb k( L L ) L si ottiene la lunghezza a riposo della molla: L L k L 8,99 19 N m / C ( 54 N/m) (,),79 m 8 Poiché la forza di Coulomb nel mezzo è F F + F, 1 3 N la costante dielettrica relativa del mezzo è F F 1,6 ( 4, 1 5 C) 4, 1 5 C, 79 m, 77 m 9 A ogni contatto, la carica della sfera C si dimezza, per cui le cariche delle due sfere sono A,4 1 9 C B 1, 1 9 C La forza di Coulomb tra le due sfere è (,4 1 9 C) ( 1, 1 9 C) F AB k A B 8,99 1 9 N m / C d AB L accelerazione della prima sfera è,9 1 5 N (,3) a F AB m,9 1 5 N,5 kg 5,8 1 5 m/s 1 La terza carica deve trovarsi tra le due cariche, supponiamo a distanza x dalla carica A e a distanza d x dalla carica B. La condizione di equilibrio elettrostatico conduce all equazione k A k B x d x ed essendo B 3 A si ricava: 14

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB k A 3 k A x d x x + dx d x d 1± 3 L unica soluzione accettabile è quella positiva: x ( 8, cm) 1+ 3,9 cm Il valore e il segno della carica non giocano alcun ruolo nella soluzione. 11 Imponiamo la condizione di equilibrio, uguagliando le intensità delle due forze, quella elastica e quella elettrostatica. Risulta che la costante elastica della molla è k L ( L L) 8,99 19 N m / C ( 3,1 1 6 C),98 m (,64 m) 14 N/m 1 Per ragioni di simmetria, la quarta carica va posta nel baricentro del triangolo. Chiamata L la distanza tra le tre cariche, la distanza della quarta da ciascuna delle altre tre è L / 3 Consideriamo le due forze applicate a una delle cariche: sono di uguale intensità F e formano un angolo di 6. La loro somma quindi dà una forza totale subita da ciascuna carica di intensità F F cos 3 F 3 diretta lungo l altezza relativa a ciascun lato e verso uscente da ogni vertice del triangolo. La quarta carica deve generare una forza opposta a questa, quindi deve essere di segno opposto alla altre tre. uesta carica dista da ciascun vertice d L cos 3 3 L 3 3 Ricordiamo che il baricentro di un triangolo è l intersezione delle mediane, che si dividono vicendevolmente in due parti, una doppia dell altra; la parte più lunga è quella che contiene il vertice. Ricaviamo il modulo della quarta carica: F d tot 3 L 3 13 Indichiamo con d 4, cm la distanza tra le due sfere quando sono scariche e con T, F P e F, rispettivamente, le intensità delle tensioni dei fili, delle forze-peso delle sfere e della forza elettrostatica tra le due sfere. Nella posizione finale, la distanza d tra le due sfere è aumentata e soddisfa la relazione d d x + d y ( d + L 1 senϕ 1 + L senϕ ) + ( L cosϕ L 1 cosϕ 1 ) d ( d + L 1 senϕ 1 + L senϕ ) + ( L cosϕ L 1 cosϕ 1 ) { ( sen, ) + (, m) ( sen 5, ),4 m +,1 m + 15

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB ( cos5, ) (,1 m) ( cos, ) +, m La forza di Coulomb tra le due sfere è F 1 d 8,99 1 9 N m / C } 1/,1 m ( 9, 1 8 C) ( 3,8 1 8 C) 16 3,1 1 3 N (,1 m) La forza di Coulomb forma con la direzione orizzontale un angolo α che soddisfa la relazione tgα d y L cosϕ L 1 cosϕ 1 d x d + L 1 senϕ 1 + L senϕ ( cos5 ) (,1 m) ( cos ) ( sen ) + (, m) ( sen5 ), m,4 m +,1 m 1, 3 α,91 rad 5 9 Dal diagramma di corpo libero per ciascuna sfera, risultano le equazioni T 1 cosϕ 1 + F senα F P 1 T 1 senϕ 1 F cosα T cosϕ F senα + F P T senϕ F cosα Da queste equazioni si ricavano le relazioni F P 1 F cos ( α ϕ 1) senϕ 1 F P F cos ( α + ϕ ) senϕ da cui possiamo ricavare le masse: m 1 F P 1 g F g m F P g F g cos( α ϕ 1 ) 3,1 1 3 N senϕ 1 9,8 N/kg cos( α + ϕ ) 3,1 1 3 N senϕ 9,8 N/kg Infine le tensioni dei due fili: cos5 9 T 1 F cosα senϕ 1 3,1 1 3 N sen cos5 9 T F cosα senϕ 3,1 1 3 N sen5 14 La distanza tra le sfere all equilibrio è r d + L sen 3 Dalla condizione di equilibrio cos 5 9 sen cos 57 9 sen5 5,5 1 N, 1 N 5,6 1 3 kg, 1 3 kg

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB! T +! F P +! si ricava m F P g T y g T x cot 3, cot 3, cot 3, g g g r g 8,99 19 N m / C 9,8 N/kg La tensione di ciascun filo è ( 36 1 9 C) cot 3 ( sen 3 ), m +,1 m ( 9,8 N/kg ) T T y cos 3 mg,1 kg cos 3 cos 3,1 N 1 g cot 3, ( d + L sen 3 ) 15 Indichiamo con d la distanza tra le cariche q e q e con r la distanza di q dal punto M. La somma delle forze applicate dalle due cariche positive su quella negativa punta verso q ed è la forza centripeta che causa il moto circolare. Dalla relazione del moto circolare ricaviamola distanza d: mω r F q q r d q q r d 3 ( 5, 1 6 C) ( 4, 1 6 C) ( π 1, 1 3 Hz) d q q 3 8,99 19 N m / C mω 3 9, 1 6 kg,1 m Possiamo così calcolare r: r d l (,1 m) (,6 m),8 m La forza totale su q, cioè la forza centripeta, vale F q mω r ( 9, 1 6 kg) ( π 1, 1 3 Hz) (,8 m) 8 N La velocità della sferetta ha modulo,8 m v ωr π 1, 1 3 Hz 5, 1 m/s 16 Le intensità delle forze che producono un momento sono ( 14 1 9 C) ( 61 1 9 C) F AC k A B 8,99 1 9 N m / C d AC F AD k A D 8,99 1 9 N m / C d AD,6 1 3 N (,54 m) ( 14 1 9 C )( 55 1 9 C) F BD k B D 8,99 1 9 N m / C d BD (,4 m) +,7 m 3,9 1 5 N ( 3, 1 9 C) ( 55 1 9 C), 1 3 N (,7 m) 17

CAPITOLO 9 LA CARICA ELETTRICA E LA LEGGE DI COULOMB ( 3, 1 9 C )( 61 1 9 C) F BC k B C 8,99 1 9 N m / C d BC (, 4 m) +,54 m 9, 1 6 N Le forze esercitate tra B e D e tra A e C sono trascurabili perché di almeno due ordini di grandezza inferiori a quelle esercitate tra A e C e tra B e D e inoltre i loro bracci sono minori, per cui i loro momenti sono anch essi trascurabili. I momenti delle forze! F AC e! F BD sono concordi. Il momento totale è M L ( F + F AC BD ) (,1 m) (,6 1 3 N +, 1 3 N) 9,7 1 4 N m 17 Le cariche delle due sfere dopo il contatto sono uguali e pari a 1 + 6, 1 1 C Il rapporto tra i due angoli, dopo e prima del contatto, è α α 1 ( 6, 1 1 C) 3,8 1 1 C ( 8, 1 1 C) 1,16 quindi l angolo aumenta del 16%. 18 Nella prima situazione, la condizione di equilibrio fornisce l equazione kx mg mentre nella seconda situazione si ottiene k( x + g) mg + k 1 r Da queste due equazioni si ricava: ( 6, 4 1 7 C) ( 3,5 1 7 C) k 1 r d 8,99 19 N m / C (,8 m),8 m 3, 1 N/m 19 La distanza tra le sfere è r L sen 5 Dalla condizione di equilibrio! T +! F P +! si ricava T x T y tg5 per cui la carica è r mg tg 5 (,5 m) ( sen5 ) (, kg) ( 9,8 N/kg) ( tg 5 ) 1, 1 8 C 8,99 1 9 N m / C 18

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