4 UNTÀ DDATTA. 4. EFA DE PEEQUST a verifica dei prerequisii può essere effeuaa con il seguene esercizio. Deerminare il modulo e l argomeno del numero + ( 4 )( ) SO.: + ( 4 )( ) + 6 + 8 + 4 6 + 9 arg 9 6. ( 6 + 9 ) arcan 56, ; mod( 6 + 9 ) 6 + 9 7 0, 8. Deerminare la pare reale e la pare immaginaria del numero calcolare il coseno dell angolo formao con l asse reale. + ( 5)( ), e + + + 6 8 9 + 6 SO.: ( 5)( ) + 5 + + 5 6 + 6 6+ 69 +,85+ 0,6 e,85 0,6 05 05 05 0,6 cos ( arg(,85 + 0,6 )) cos arcan arcan0,087 0, 996,85. Scrivere in forma esponenziale a 4 5 e a + ; calcolare: a a, a, a. a 5 mod a 4 + 5 4 6, ; arg( a ) arcan 0, 90rad ; a 6, 4 e 4 0,98 mod( a ) +, 6; arg( a ) arcan 0, 98rad ; a, 6 e ( 0,90+ 0,98) 0, 08 0,98 0,98 a a 6,4,6 e, 0 e ; e 0,8 e a,6 SO.: ( ) 4 a a,6 e 6,4 ( 0,98+ 0,90), 88 0,56 e 0,90
4. GANDEZZE PEODHE. Una grandezza variabile nel empo si definisce periodica quando i valori assuni in un deerminao inervallo di empo T, deo periodo, si ripeono con lo sesso andameno nei periodi successivi. y(+t) - 4 5 6 - -π/4 π/4 π/ π/4 π 5π/4 π/ - - - T5s - - T,4s Fig. - Grandezze periodiche inverso del periodo T è uguale al numero dei periodi conenui nell unià di empo, ed è chiamaa frequenza f della grandezza periodica: f ; T l unià di misura della frequenza è l Herz (Hz) e dimensionalmene è l inverso di un empo. Ad esempio: - 4 5 6 - -0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 0.05 - - - T5s f/50,hz - - T0,0s0ms f/0,050hz Fig. - elazione periodo - frequenza Per caraerizzare una grandezza periodica si definiscono i segueni valori: AOE ASSO: Si definisce valore massimo Y di una grandezza periodica il massimo valore assoluo da essa assuno durane un periodo.
AOE PO-PO: Si definisce valore picco-picco la massima variazione che subisce la grandezza nel periodo. AOE EDO: Si definisce valore medio Y m di una grandezza periodica la media dei valori da essa assuni durane un periodo; geomericamene è l alezza di un reangolo la cui area è uguale all area della grandezza calcolaa nel periodo T. AOE EFFAE: Si definisce valore efficace Y di una grandezza periodica la radice quadraa della media dei quadrai dei valori da essa assuni durane un periodo. Ym - 4 5 6 - - - alore massimo: Y alore picco-picco: Ypp 4-4 5 6 - - - alore medio: Ym,4 Fig. - alcolo del valore medio di 9 8 7 6 5 y () 9 8 7 6 5 alore efficace: Y 9 5,8,949... 4-4 5 6 4-4 5 6 Fig. 4 - alcolo del valore efficace di Un ipo paricolare di grandezze periodiche sono le grandezze alernae, che riproducono nella seconda meà del periodo lo sesso andameno della prima meà ma di T segno opposo: y + y()
- 4 5 6 - -0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 0.05 - - - T6s f/60,66hz - - T0,0s0ms f/0,050hz Fig. 5 - Esempio di grandezze alernae Per le grandezze alernae il valore medio è nullo, per cui si definisce il valore medio nel semiperiodo posiivo. ' Y m come la media dei valori assuni dalla grandezza nel semiperiodo Y'm - 4 5 6 - - - - 4 5 6 - - - alore medio nel semiperiodo: Y'm Fig. 6 alcolo del valore medio nel semiperiodo Si definisce inolre: - il faore di forma k f di una grandezza alernaa come il rapporo ra il valore efficace e il valore medio nel semiperiodo: Y k f Y ' m - il faore di cresa ( deo anche faore di ampiezza) k c come il rapporo ra il valore massimo e il valore efficace: k c Y Y + + Y,60 Nell esempio di fig.6 abbiamo : Y, 60 ; k f, 080 ; ' Y m 4
k c Y Y,60,89 4. GANDEZZE SNUSODA Una grandezza alernaa si definisce sinusoidale quando varia nel empo seguendo la legge del seno, che richiamiamo brevemene dalla rigonomeria. Dao il cerchio di raggio in fig.7, si dice seno dell angolo α il rapporo ra il segmeno PQ perpendicolare all asse delle ascisse ed il raggio ; si dice coseno dell angolo α il rapporo ra il segmeno OQ ed il raggio ; si dice angene dell angolo α il rapporo ra PQ e OQ. P PQ sen α O α Q OQ cos α PQ g α OQ Fig.7 - alori di sena, cosa, ga Se il raggio ruoa in senso aniorario con velocià angolare cosane ω, assumendo come origine dei empi l isane in cui coincide con l asse delle ascisse, l angolo α varia nel empo con la legge α ω. 5
ω α ω Fig. 8 - aggio roane e corrispondenza con sinusoide Una grandezza si dice sinusoidale quando la legge di variazione nel empo è proporzionale a sen(α) : y () Y sen( α ) Y sen( ω) a velocià angolare ω è chiamaa pulsazione, si misura in radiani al secondo (rad/s), ma poiché la misura di un angolo in radiani è adimensionale, le dimensioni fisiche di ω sono quelle dell inverso di un empo (s - ). l periodo è il empo in cui il raggio compie un giro compleo, corrispondene a un angolo di π, per cui si ha la relazione che lega il periodo alla pulsazione: π ω T onsiderando che la frequenza è l inverso del periodo oeniamo la relazione che lega la pulsazione alla frequenza: f ω π f T n fig.9 si indicano i parameri caraerisici di una grandezza sinusoidale: 6
Y alore medio: Ym Y 0, 67Y π Ym alore efficace: Y Y 0, 707 Y Faore di forma: k π f, T Faore di ampiezza: k a Fig.9 Grandezza sinusoidale Se il semiperiodo posiivo della sinusoide inerseca l asse dei empi in un puno f diverso da 0, l inervallo di empo che inercorre ra queso puno e l origine dei empi si dice fase emporale della grandezza sinusoidale. angolo ϕ ω f si chiama angolo di fase della grandezza, o semplicemene fase. a forma generale di espressione di una grandezza sinusoidale quindi è y ) Y sen( ω + ϕ) (. Se < 0 la fase si dice in anicipo e l angolo di fase ϕ è posiivo (fig. 0). f f - - π π y ( ) sen + ; π π ω ; ϕ ω f ; π π f 0,5 ; ω π - Fig.0 Sinusoide in riardo 7
Se > 0 la fase si dice in riardo e l angolo di fase ϕ è negaivo (fig. ). f - - f π π y ( ) sen ; 4 π π ω ; ϕ ω f ; 4 f π π 4 ω 4 π 0,75 8 - Fig. Sinusoide in anicipo 4.4 OSPONDENZA TA SNUSOD E FASO Nei calcoli dei circuii in correne alernaa è necessario svolgere diverse operazioni ra grandezze variabili sinusoidali isofrequenziali. Associando a una sinusoide un veore e un numero complesso, inrodurremo paricolari veori dei fasori, in modo da semplificare noevolmene le operazioni ra sinusoidi che sarebbero molo più complicae usando le formule di prosaferesi. veori sono caraerizzai da un modulo r proporzionale alla lunghezza del segmeno che indica il veore sesso e da una posizione angolare, espressa dall angolo f misurao rispeo al riferimeno di 0. 90 90 ρ ϕ ϕ 0 80 0 80 0 ρ 4 45 ϕ ϕ 70 Fig. appresenazione di due veori 70 8
niziamo associando una sinusoide a un veore, facendolo ruoare in senso aniorario con velocià angolare w cosane; riporando su un piano caresiano la disanza dell esremo del veore dall asse orizzonale in funzione del empo oeniamo una curva che è una sinusoide y ) ρ sen( ω + ϕ) (, avendo considerao che all isane 0 il veore abbia già una posizione angolare pari a f. ω ϕ Fig. - orrispondenza veore - sinusoide Si può quindi affermare che una grandezza variabile nel empo con legge sinusoidale può essere rappresenaa da un veore roane a velocià angolare cosane in senso aniorario, rispeando le segueni corrispondenze: Sinusoide Ampiezza Y Pulsazione w Fase f eore roane odulo r elocià angolare w Posizione angolare iniziale f 9
4.5 FASO E DAGA ETTOA Un fasore è un paricolare veore roane rappresenaivo di una sinusoide, posizionao nel piano di Gauss, il cui modulo è uguale al valore efficace della sinusoide. 5 ϕ 6,8 0,644 rad e 8 6 4 - -4-6 -8 y ( ) 5 sen + ( ω 0,644 ) Fig.4 - Esempio di rappresenazione fasore sinusoide Se si considerano più sinusoidi isofrequenziali è possibile cosruire un diagramma veoriale per rappresenarle. Ai fasori si applicano le sesse regole di calcolo dei numeri complessi. a corrispondenza ra le sinusoidi e i fasori sono riassune nella seguene abella: Sinusoide Fasore alore odulo r efficace Fase f Posizione angolare rispeo al riferimeno (0 ) Pulsazione w Non rappresenaa fasori possono essere rappresenai nelle forme segueni: 0
B X Y 4 ϕ A e π 6 e FOA FOA FOA FOA AGEBA TGONOETA POAE ESPONENZAE X A + B r (cosf + senf) r f r e f Y + 4 + 0,5 4 p/6 6 4 e π a forma algebrica è uile per fare somme e sorazioni, menre la forma esponenziale è uile per fare moliplicazioni e divisioni. Esempio: Eseguire le operazioni di somma, sorazione, prodoo e divisione di X + e Y 5 + ; disegnare i grafici delle relaive sinusoidi considerando una frequenza di 50Hz. a somma e la differenza di X e Y si può calcolare agevolmene uilizzando la forma algebrica: X + Y + + 5 + 6 + X Y + 5 4 + X Y - - - - X 4 5 Y X +Y e Per disegnare le funzioni sinusoidali relaive ai fasori calcoliamo i moduli e le fasi; ricordiamo che alla frequenza di 50Hz la pulsazione della sinusoide è ω πf 4, 50 4,, e il valore massimo è vole il valore efficace, che è uguale al modulo del fasore. - -
ρ x + 5 ; ϕ x aan 07, rad 6, 4 ; ( 4, 07) x ( ) 5sen +, ρ y 5 + 6 ; ϕ y aan 0974, rad, 5 ( 4, 0974) y ( ) 6sen +, ρ x+ y 6 + 45 ; ϕ x+ y aan 0, 466rad 6, 57 6 ( 4, 0 466) x ( ) + y( ) 45sen +, ρ x y 4 + 7 ; ϕ x y aan 0, 450rad 4, 04 4 ( 4, 0 450) x ( ) y( ) 7sen +, 8 f() 8 f() 6 6 x() 4 - -4 0.0 0.0 0.0 x y 4 - -4 0.0 0.0 0.0-6 -6-8 x + y -8 Fig.5 Somma e differenza di due sinusoidi. Per calcolare il prodoo e la differenza dei fasori esprimiamoli in forma esponenziale: X + 5 e,07 Y 5 + 6 e 0,974
0 X Y 8 6 X -6-4 - 4 X Y 4 6 8 0 e Y X / Y 4 5 e ( + ) ( 5 + ) 5 + + 0 + X Y Oppure X Y,07 0,974,07 + 0,974 5 e 6 e 5 6 e 0 ( 4, 045) x ( ) y( ) 0sen +, e,045 Per calcolare il rapporo ra X e Y quando sono espressi in forma algebrica è necessario eseguire la razionalizzazione, cioè moliplicare numeraore e denominaore per il complesso coniugao del denominaore; ricordiamo che il coniugao di un numero complesso è un numero complesso avene la pare reale uguale al primo e la sessa pare immaginaria cambiaa di segno: X + 5 5 + 0 + 7 + 9 0,69 + 0,46 Y 5 + 5 5 + 6 Oppure usando la forma esponenziale, facendo il rapporo ra i moduli e la sorazione degli argomeni: x( ) y( ),07 X 5 e 5,07 0,974 0, 9097 e 0,485 e 0,974 Y 6 e 6 ( 4, + 0 9097) 0, 485 sen, 0.8 f() 5 f() 0.6 0.4 0. -0. -0.4 x( ) y( ) -0.6-0.8 0.0 0.0 0.0 x( ) y( ) 0 5-5 -0-5 0.0 0.0 0.0 Fig.6 Prodoo e rapporo di due sinusoidi.
4.6 EFA FOATA: ESEZ ) Eseguire le operazioni di somma, sorazione, prodoo e divisione di X + e Y 0, 5 + ; disegnare i grafici delle relaive sinusoidi considerando una frequenza di 00Hz. ) Eseguire le operazioni di somma, sorazione, prodoo e divisione di X + e Y una frequenza di 50Hz. Tempo: 0 minui ; disegnare i grafici delle relaive sinusoidi considerando 4
UT N EGE SNUSODAE 4.7 UTO ESSTO Esaminiamo il comporameno dei circuii in regime sinusoidale applicando il meodo fasoriale, iniziando dai circuii puramene resisivi. onsideriamo il circuio di fig.7 con un generaore di ensione sinusoidale e una resisenza pura. a legge di variazione nel empo della ensione generaa sia: v () sen( ω + ϕ ) sen( πf + ϕ ) Dove: - : valore massimo della ensione - : valore efficace della ensione - w : pulsazione - f : frequenza - f : fase della ensione i( ) v( ) Fig.7 ircuio puramene resisivo. a correne circolane è daa per la legge di Ohm dal rapporo ra la ensione e la resisenza: i () ( ) v sen ( π f + ϕ ) ndicando con il valore efficace della correne e con f la sua fase, uguale a f, l espressione della correne divena i () sen( π f + ϕ ) sen( πf + ϕ ) 5
a rappresenazione simbolica di quese espressioni è la seguene: ( cosϕ + senϕ ) ϕ + senϕ cos cosϕ + senϕ ϕ ϕ e Esempio: Un resisore di resisenza,5w viene alimenao alla frequenza di 50 Hz con una ensione 0 e fase zero. Scrivere l espressione simbolica e sinusoidale della correne e della ensione, e rappresenarle graficamene. o schema circuiale è quello di fig.7. espressione sinusoidale della ensione è () sen( ω + ϕ) v e calcolando i valori oeniamo: - alore massimo della ensione: 0 5 - Pulsazione: ω πf π 50 4, rad/s - Fase: ϕ 0 rad v () sen( 4, ) 5 0 + 0 a correne è daa dal valore della ensione diviso la resisenza: () v 5 i() sen( 4, ) 8, sen( 4, ) 0 + 0 5, a rappresenazione grafica nel piano di Gauss e in funzione del empo sono le segueni: 00 f() 00-00 00 e i( ) v( ) 00-00 -00 0.0 0.0 0.0 - -00 6
4.8 PEDENZA E AETTENZA l rapporo in correne coninua è la resisenza elerica. Nei circuii in correne alernaa vale sempre la legge di Ohm, ma il rapporo ra due numeri complessi, il fasore della ensione e il fasore della correne, è in generale un numero complesso, ed è chiamao operaore di impedenza Z. Essendo un numero complesso è caraerizzao da un modulo e un argomeno, ma non corrisponde a una grandezza sinusoidale; è solo un operaore, cioè rasforma un numero complesso in un alro; essendo il rapporo ra una ensione e una correne si misura in Ohm. l coefficiene dalla pare immaginaria dell impedenza è chiamaa reaanza, e in seguio vedremo come si relaziona con i parameri fisici di un circuio. l numero complesso inverso dell operaore di impedenza Z si dice operaore d ammeenza e si indica con la leera Y : Y Z Esempio: alcolare l impedenza e l ammeenza di un circuio nel quale applicando una ensione v() 6 sen( 4 + π / ) () sen( 4 + π / 6) i. si ha il passaggio di una correne l fasore ha come modulo ρ 6 / 4, 4 e come argomeno ϕ π /, quindi ( / ) + 4, 4 sen( / ), 67 4, 4 cos π π +,. l fasore ha come modulo ρ /, e come argomeno ϕ π / 6, quindi ( / 6) +, sen( / 6) 84, 06, cos π π +,. impedenza è, +, 67 84, 06, 7, 79 + 4, 5 Z, 7 + 84, + 06, 84, 06, 4, 5 ammeenza è Y 0, 4 0, 5 Z 7, + 4.9 UTO NDUTTO Esaminiamo il comporameno di un circuio induivo (fig.8) cosiuio da un generaore di ensione sinusoidale e un induanza pura. a legge di variazione nel empo della ensione generaa sia v( ) sen( ω) sen( πf) 7
i( ) v( ) e( ) Fig.8 ircuio puramene induivo. a correne circolane essendo variabile nel empo provoca nell induore una f.e.m. di auoinduzione che si oppone alla variazione della correne sessa, il cui valore considerando il verso concorde con quello della correne che lo produce è dao dalla i relazione e(). aggiore è la variazione della correne (quindi la velocià con cui la correne aumena o diminuisce) maggiore è il valore della f.e.m. di auoinduzione, che si oppone alla causa che la produce. Per chiarire meglio il conceo è riporao in fig.9 il grafico dell andameno nel empo della correne, della ensione di alimenazione v(), e in rosso della ensione indoa e(). Essendo un circuio con una maglia sola v () + e( ) 0 i quindi v()., e 8
0.5 i() i 0 i max i min 0.0 0.0-0.5 - i 0 v() e() 0.5 0.0 0.0-0.5 - Fig.9 Andameni ensione-correne in un circuio puramene induivo. a v() e la i() in un bipolo puramene induivo sono sinusoidi aveni la sessa frequenza e fasi diverse, con la ensione in anicipo di 90 rispeo alla correne. l rapporo ra il valore massimo della ensione e della correne dipende dall induanza e dalla frequenza secondo la relazione π f ω ; si definisce reaanza induiva del bipolo il faore X ω, ed essendo ensione e correne sinusoidali è uguale anche al rapporo dei loro valori efficaci: B X ; il reciproco della reaanza, pari al rapporo è deo susceanza induiva e si misura in siemens, che ha la X dimensione dell inverso di una resisenza [Ohm - ]. appresenando nel piano di Gauss i fasori di ensione e correne di un bipolo induivo, si oiene il diagramma veoriale di fig.0. 9
X ϕ 90 e Fig.0 Diagramma veoriale di un circuio puramene induivo. n forma simbolica abbiamo 0 + e + 0 ; eseguendo il rapporo si ricava l impedenza del bipolo puramene induivo: 0 + Z 0 + 0 + X X + 0 a legge di Ohm in forma simbolica si può perciò scrivere Z X. Nel prossimo esempio mosriamo il comporameno di un circuio - serie. Esempio: Un bipolo è cosiuio da una resisenza 0W in serie a un induanza 5mH. Alimenandolo con una ensione sinusoidale di valore massimo 00, frequenza f50hz e fase f0 disegnare il diagramma veoriale del circuio ed esprimere in forma simbolica e in funzione del empo la correne. l circuio è rappresenao in fig.. l fasore della ensione ha come modulo 00 ρ 70, 7 e fase ϕ 0, per cui 70, 7 cos0 + 70, 7sen0 6, + 5, 6 impedenza oale del circuio è Z + X + π f 0 + 45, 0, 05 0 + 4, 7 Si può quindi calcolare la correne 6, + 5, 6 6, + 5, 6 0 4, 7 778, 84 + 65, 6, 7 + Z 0 + 4, 7 0 + 4, 7 0 4, 7 8, 0, 5 l modulo della correne è ρ 6, 7 + 0, 5 6, 9 menre l argomeno è 0, 5 ϕ arcg 4, 76 0, 08rad. 6, 7 0
Oeniamo i () 9, 04 sen( 45, + 0, 08) i( ) 40 0 X v( ) 0 0 0 0 0 40 50 60 e Fig. ircuio - 4.0 UTO APATO Esaminiamo ora il comporameno di un circuio capaciivo (fig.) cosiuio da un generaore di ensione sinusoidale e un condensaore ideale. i( ) v( ) Fig. ircuio puramene capaciivo. a legge di variazione nel empo della ensione generaa sia () sen( ω) sen( f) v π. Essendo la ensione variabile nel empo, nel q v circuio circolerà una correne anch essa variabile daa da i().
0.5 v() v 0 v max v min 0.0 0.0-0.5 - v 0 i() 0.5 0.0 0.0-0.5 - Fig. Andameni ensione-correne in un circuio puramene capaciivo. n fig. è riporao il grafico della v() e della i(). a circolazione della correne avviene nel circuio eserno al condensaore ed è deerminaa da una sequenza di fenomeni di carica e scarica. a forma d onda della correne è sempre una sinusoide avene la sessa frequenza della ensione, ma sfasaa in anicipo di 90. espressione π π della correne è i() sen ω + sen πf +. l rapporo ra il valore massimo della correne e della ensione dipende dalla capacià e dalla frequenza secondo la relazione π f ω ; si definisce susceanza capaciiva del bipolo il faore B ω, ed essendo ensione e correne sinusoidali è uguale anche al rapporo dei loro valori efficaci: B. l reciproco della susceanza, pari al rapporo /, cosiuisce la reaanza capaciiva ed è daa da X ω πf B appresenando sul piano di Gauss la ensione e la correne del bipolo capaciivo (fig. ) oeniamo il diagramma veoriale di fig.4.
ϕ 90 e Fig.4 Diagramma veoriale di un circuio puramene capaciivo. n forma simbolica abbiamo + 0 e 0 + ; eseguendo il rapporo si ricava l impedenza del bipolo puramene capaciivo: Z 0 + + 0 X a legge di Ohm in forma simbolica si può perciò scrivere Z X. Nel prossimo esempio mosriamo il comporameno di un circuio - serie. Esempio: alcolare la correne in un circuio cosiuio da una resisenza di 5W in serie a una capacià di 500mF, alimenao con la ensione v( ) 70, 7 sen( 00π π / 4) e disegnare il diagramma veoriale. impedenza del circuio è daa dalla somma dell impedenza capaciiva e resisiva: 5 Z X 5 6 7 00 500 0, ω π 6 l fasore della ensione è: 70, 7 [ cos( π / 4) + sen( π / 4) ] 50( 0, 707 0, 707) 5, 5 5, 5. a correne si calcola con la legge di Ohm: 5, 5 5, 5 5 + 6, 7 409, + 48, 4 6, + Z 5 6, 7 5 + 6, 7 65, 58 l valore efficace della correne è 6, + 0, 74 6, 7, 0, 74 menre la fase è ϕ arcg 0, rad 6, 9 6, 0, 74.
i( ) 0 0 ϕ 0 0 40 e v( ) -0-0 ϕ -0-40 Fig.5 Schema e diagramma veoriale del circuio -. 4. UTO -- SEE Esaminiamo ora il comporameno del circuio formao da una resisenza, un induanza e una capacià collegae in serie come in fig.6, alimenao da una ensione sinusoidale v(). l circuio quindi è percorso da una correne i() e la v() è uguale alla somma delle i( ) v ( ) v( ) v ( ) v ( ) Fig.6 Schema del circuio -- serie. ensioni parziali ageni sulla resisenza ( v ), l induanza ( v ) e la capacià ( v ). n fig.7 è rappresenao il diagramma veoriale, in forma simbolica abbiamo: + + + ω ω + ω ω [ + ( X X )] 4
Dove si evidenzia l impedenza del bipolo --: Z + ( ) l modulo dell impedenza è Z + ( X ) X X X. X X e l argomeno è ϕ arcg. e ϕ e Fig.7 Diagramma veoriale del circuio -- serie. impedenza del circuio -- comprende quindi una reaanza X composa da una pare induiva X e una pare capaciiva X : assuni dalle due reaanze si possono avere re casi: X X X ; a seconda dei valori X < X ϕ X > X e ϕ e ϕ 0 X X e Fig.8 Diagrammi veoriali per diversi valori di reaanza. X > X : il bipolo ha un comporameno ohmico-induivo e la ensione risula sfasaa in anicipo rispeo alla correne dell angolo f. X < X : il bipolo ha un comporameno ohmico-capaciivo e la ensione risula sfasaa in riardo rispeo alla correne dell angolo f. 5
X X : il bipolo ha un comporameno puramene ohmico con reaanza equivalene nulla, e la ensione risula in fase con la correne; quesa paricolare condizione è dea risonanza serie. Esempio: Un resisore da 0Ω, un induore di 0mH ed un condensaore di 00µF, collegai in serie, fanno pare di un ramo di un circuio elerico percorso da una correne pari a i( ) 7, 07sen( 000). Deerminare la ensione esisene ai capi del circuio e disegnare il diagramma veoriale. Per deerminare la ensione ai capo del circuio è necessario calcolare la sua impedenza. X ω 000 0 0 0Ω, X 0Ω ω 6 000 00 0 Z + ( X X ) 0 + ( 0 0 ) 0 0 + l fasore della correne ha pare immaginaria nulla e modulo 7, 07 5A, quindi 5 + 0. a ensione ai capi del circuio è ( 0 + 0) 5 50 50 Z + 00 il modulo è 00 50 + 50 5000, 90 80 70 X e l argomeno è 50 ϕ arcg 45 π / 4. 50 60 50 X Quindi la ensione in funzione del empo è v( ( 000 + π 4) ) 00 sen /. 40 0 Nella fig.9 è rappresenao il 0 diagramma veoriale. 0 0 0 0 0 40 50 e Fig.9 Diagramma veoriale 6
4. UTO -- PAAEO Esaminiamo ora il comporameno del circuio formao da una resisenza, un induanza e una capacià collegae in parallelo come in fig.0, alimenao da una ensione sinusoidale v(). l circuio quindi è percorso da una correne i() che si suddivide nelle i( ) v( ) i ( ) i ( ) i ( ) Fig.0 Schema del circuio -- parallelo. re correni passani sulla resisenza ( i ), l induanza ( i ) e la capacià ( i ). onviene ragionare in ermini di ammeenze anziché di impedenze. n fig. è rappresenao il diagramma veoriale, in forma simbolica abbiamo: + + ( G B + B ) [ G + ( B B )] Dove si evidenzia l ammeenza del bipolo --: Y G + ( ) l modulo dell ammeenza è Y G + ( B ) B B B. B B e l argomeno è ϕ arcg. G e ϕ e Fig. Diagramma veoriale del circuio -- parallelo. 7
ammeenza del circuio -- comprende quindi una ammeenza Y composa da una pare induiva B e una pare capaciiva B : assuni dalle due susceanze si possono avere re casi: Y B B ; a seconda dei valori ϕ B > B e ϕ B < B e ϕ 0 B B e Fig. Diagrammi veoriali per diversi valori di reaanza. B > B : il bipolo ha un comporameno ohmico-capaciivo e la correne risula sfasaa in anicipo rispeo alla ensione dell angolo f. B < B : il bipolo ha un comporameno ohmico-induivo e la correne risula sfasaa in riardo rispeo alla ensione dell angolo f. B B : il bipolo ha un comporameno puramene ohmico con susceanza equivalene nulla, e la correne risula in fase con la ensione; quesa paricolare condizione è dea risonanza parallelo. Esempio: Un resisore da 0Ω, un induore di 0mH ed un condensaore di 00µF, collegai in parallelo, sono alimenai da una ensione pari a v ) 5sen( 4 ) (. Deerminare le correni passani nei rami del circuio. Essendo in parallelo, ui i componeni del bipolo sono alimenai dalla sessa ensione 5 + 0 0. e correni dei rami sono: 0 G A B 0 6, 6 A 0 4 0 0 6 B 4 00 0 0 7, A 8
a correne oale è + + 6,6 + 7, 9, 4 A, e la fase è 9,4 ϕ arcg 5, 96 ; la correne è in riardo sulla ensione, e il circuio ha perciò un comporameno ohmico-induivo. 4. EFA SOATA - ESETAZONE Daa la seguene ree deerminare le correni i(), i (), i () nei re rami applicando i principi di Kirchhoff; disegnare il diagramma veoriale delle correni. i( ) v( ) 0 5Ω 0Ω 5Ω 0mH 00mH 60µ F i ( ) i ( ) v ( ) 5sen(4,) alcoliamo le impedenze nei re rami e disegniamo il circuio delle impedenze: 5 + 0 0 ; Z + 0 5Ω ; ( 4, 0 0 ) 0 + 9,4Ω Z + X 0 + ; Z + X + ω 5 + 4, 00 0 ω 4, 60 0 5 6,6Ω 9
Z Z Z Scriviamo le equazioni che derivano dai principi di Kirchhoff: + Z Z 0 Z + Z 0 Z Z Z Z + Z 0 Z Z + Z 0 9,9 7,7A Z 0 + 9,4 Z + Z + 0 + 9,4+ 5 + Z 5,6 0 + 9,4 + 5,6 ( 9,9 7,7),6 5,45A 9,9 7,7 +,6 + 5,45,65,7A alcoliamo i rispeivi moduli e argomeni ed esprimiamo le correni in funzione del empo: 7,7 ρ 9,9 + 7,7,6 ϕ arcg 0,69rad 9, 4 9,9 ( 4, 0,69) i ( ) 8,60sen 5,45 ρ,6 + 5,45 6,5 ϕ arcg,0rad 59,,6 ( 4,,0) i ( ) 4,49sen + 0
,7 ρ,65 +,7,85 ϕ arcg 0,8rad 0,,65 i () 9,09sen( 4, 0,8) Nella figura seguene rappreseniamo il diagramma veoriale delle correni e il grafico in funzione del empo. 6 0 8 6 f() 4 - -4 4 6 8 0 e i ( ) i ( ) i( ) 4 - -4-6 -8-0 0.0 0.0 0.0