Prova scritta di meccanica razionale del 11.07.019 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê si considera il sistema rigido S composto da un disco circolare D, di centro O e raggio a, e da un asta AB, di lunghezza a, saldata al disco nel punto A, come illustrato in figura. La densità areale del disco è data da: σ(q = m Q O Q D, πa mentre quella lineare dell asta si scrive: λ(q = m Q A a Q AB, dove m indica una massa costante caratteristica. Determinare: (a la massa, la posizione del baricentro rispetto a Oxyz e l inviluppo convesso di S; (b la matrice d inerzia del sistema relativa a Oxyz e una terna principale d inerzia in O; (c i momenti d inerzia di S rispetto alle rette OC e Ay; (d l equazione pura del moto di un punto materiale P, di massa m, vincolato a scorrere senza attrito lungo il bordo di D e collegato a B da una molla ideale di stiffness k usare l angolo ϕ R in figura come variabile; (e la condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio di P nell ipotesi di attrito radente statico di coefficiente µ s. Trovare almeno due equilibri. 1
Esercizio Una terna cartesiana ortogonale Oxyz = Oê 1 ê ê ruota con velocità angolare costante ω > 0 attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Nel piano Oxy un disco circolare omogeneo D, di centro C, raggio a e massa m, rotola senza strisciare sull asse Ox; un asta rettilinea e omogenea BC, di lunghezza 4a e massa m, ha l estremo C incernierato nel centro di D, mentre l estremo B è vincolato a scorrere lungo l asse Oy. Il sistema è pesante e sottoposto all azione di una molla ideale di costante elastica k = mω che collega C con il punto fisso A(0, a, 0. Resistenze viscose di uguale costante di frizione β sono applicate in B e in C. Assunti i vincoli ideali, usare la variabile ϕ R in figura come coordinata generalizzata per determinare del sistema, relativamente ad Oxyz: (a gli equilibri, considerando tutte le sollecitazioni; (b le proprietà di stabilità degli equilibri, considerando tutte le sollecitazioni; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni di Lagrange; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = 0 e g/aω = 1.
Soluzione dell esercizio 1 (a Massa, baricentro e inviluppo convesso del sistema Massa dell asta AB I punti dell asta sono individuati in termini dell ascissa x dall ovvia parametrizzazione: Q(x O = xê 1, x [a, a], cui corrisponde l elemento infintesimo di lunghezza: ds = Q (x dx = ê 1 dx = dx, mentre il vettore posizione di A si scrive semplicemente: A O = aê 1. Di conseguenza, la densità lineare dell asta assume la forma: λ(x = m a xê 1 aê 1 = m (x a, a x [a, a], e la relativa massa diventa: m AB = AB λ ds = a a m a (x a dx = m a [ (x a ] a a = m. Massa del disco D In coordinate polari piane il disco è descritto dalla parametrizzazione: Q(ρ, φ O = ρ cos φ ê 1 + ρ sin φ ê, (ρ, φ [0, a] [0, π] in termini della quale l elemento d area si scrive da = ρ dρdφ e la densità areale del disco assume la forma: σ(ρ, φ = m ρ, (ρ, φ [0, a] [0, π], πa porgendo così per la massa di D l espressione: m D = D σ da = a 0 π dρ ρ dφ m πa ρ = 0 m πa [ ρ ] a π = m 0. Massa del sistema S Data l ininfluenza dell intersezione D AB, costituita dal solo punto A, la massa del sistema è la somma delle masse delle parti AB e D: m S = m AB + m D = m + m = 5 6 m.
Baricentro dell asta AB Poichè l asta giace lungo l asse coordinato Ox, il suo baricentro deve collocarsi lungo il medesimo asse e sarà quindi individuato da un vettore posizione della forma: G AB O = x AB ê 1, nel quale l ascissa viene determinata ricorrendo direttamente alla definizione: per cui: x AB = 1 m AB AB = a [ x xλ ds = ax ] a a m a a x m a (x a dx = a = a ( 8a a a a + a G AB O = 5 aê 1. a (x ax dx = ( 7 = a = 5 a, Baricentro del disco D Il baricentro del disco coincide con l origine O, in quanto ovvio centro di simmetria: per ogni punto Q D il suo simmetrico Q rispetto ad O appartiene anch esso a D, e siccome Q O = Q O si ha σ(q = σ(q perchè la densità σ dipende unicamente dalla distanza da O. Baricentro del sistema S L ininfluenza del punto di intersezione A fra D ed AB consente di determinare il baricentro G S del sistema facendo ricorso al teorema distributivo: G S O = m AB(G AB O + m D (G D O m AB + m D Il baricentro del sistema coincide dunque con il punto A. = m AB m S (G AB O = m 6 5m 5 aê 1 = aê 1. Inviluppo convesso del sistema L inviluppo convesso del sistema, conv(s, si ottiene mandando da B le rette tangenti al bordo D del disco,in due punti M ed N. L inviluppo è la regione chiusa del piano Oxy delimitata dai segmenti MB, NB e dall arco MN di D opposto a B. Si osservi che, consistentemente, G S = A conv(s. 4
(b Matrice d inerzia Matrice d inerzia dell asta AB Poichè l asta giace lungo l asse Ox, e dunque y = z = 0 per tutti i punti della curva materiale, il momento d inerzia relativo all asse Ox e tutti i prodotti d inerzia risultano nulli: L AB xx = 0 L AB xy = L AB yz = L AB zx = 0. L essere inoltre AB Oxy implica che si abbia, come peraltro evidente per ragioni di simmetria: L AB zz = L AB xx + L AB yy = 0 + L AB yy = L AB yy. In definitiva, la matrice d inerzia dell asta AB rispetto alla terna Oxyz assume la forma: 0 0 0 [L AB O ] = 0 L AB yy 0 0 0 L AB yy nella quale l unico momento d inerzia non banale è dato da: L AB yy = x λ ds = AB = m a [ x 4 4 ax a x m a (x a dx = m a a ] a a a = m ( a 4a 4 8 a4 a4 4 + a4 a (x ax dx = = ( 15 4 7 ma = 17 1 ma, per cui: O ] = ma 0 0 0 0 17/1 0. 0 0 17/1 [L AB Matrice d inerzia del disco D Gli assi coordinati Ox, Oy e Oz sono ovvi assi di simmetria per il disco, del quale quindi Oxyz è una terna principale e centrale d inerzia, rispetto alla quale la matrice d inerzia assume forma diagonale. È inoltre evidente che per ragioni di simmetria i momenti d inerzia rispetto ad Ox ed Oy sono uguali: L D yy = L D xx e che quello relativo all asse Oz è pari alla somma dei due precedenti il disco è ubicato nel piano Oxy: L D zz = L D xx + L D yy = L D xx + L D xx = L D xx. Riassumendo, la matrice d inerzia del disco rispetto alla terna Oxyz deve essere del tipo: [L D O] = LD xx 0 0 0 L D xx 0. 0 0 L D xx 5
In coordinate polari piane conviene calcolare il momento d inerzia relativo all asse Oz, perchè si evita di dover integrare funzioni trigonometriche della variabile angolare: L D zz = L D xx = D = m πa (x + y σ da = a Il risultato richiesto è dunque il seguente: 0 π ρ 4 dρ dφ = 0 a 0 π dρ ρ dφ ρ 0 m πa ρ = m a 5 ma πa π = 5 5. [L D O] = ma 1/10 0 0 0 1/10 0. 0 0 1/5 Matrice d inerzia del sistema La matrice d inerzia del sistema relativa alla terna Oxyz si ottiene sommando le matrici d inerzia di asta e disco, rispetto alla medesima terna, il punto di intersezione A essendo al solito irrilevante: [L S O] = [L AB O ] + [L D O] = ma 0 0 0 0 17/1 0 0 0 17/1 = ma 1/10 0 0 0 91/60 0 0 0 97/60 + ma 1/10 0 0 0 1/10 0 0 0 1/5 Terna principale d inerzia in O del sistema La terna Oxyz è principale d inerzia in O per il sistema, come appare evidente dalla forma diagonale della matrice [L S O ]. Lo si poteva affermare a priori in quanto: Ox è asse di simmetria del sistema, dunque principale d inerzia in O; Oxy è piano di giacitura/simmetria del sistema, per cui Oz rappresenta un asse principale d inerzia in O; Oy è ortogonale ad Ox e ad Oz, e risulta perciò principale d inerzia in O in virtù del teorema spettrale. (c Momenti d inerzia Retta OC Per costruzione la retta OC coincide con l asse Oy. Di conseguenza il momento d inerzia è semplicemente l elemento L yy della matrice d inerzia precedentemente calcolata per il sistema: I OC = I Oy = L yy = 91 60 ma. 6. =
Retta Ay La retta Ay è parallela all asse coordinato Oy e passa per il baricentro G S del sistema, che si è infatti visto coincidere con lo stesso punto A. Il momento d inerzia del sistema relativo all asse Ay si ricava quindi direttamente dal teorema di Huygens-Steiner: I Ay = I GS y = I Oy m S x G S = L yy m S x A = 91 60 ma 5 6 ma = 41 60 ma. (d Equazione del moto del punto P In termini della variabile angolare ϕ la posizione del punto P è espressa dal vettore posizione: P O = a cos ϕ ê 1 + a sin ϕ ê, mentre il vettore posizione dell estremo fisso B della molla risulta: B O = aê 1. La forza elastica agente sul punto P, unica forza attiva, si scrive quindi: F el = k(b P = ka [ ( cos ϕ ê 1 sin ϕ ê ]. (1 Il versore tangente alla curva vincolare nella posizione occupata dal punto P risulta poi: ˆτ(ϕ = P (ϕ P (ϕ = a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê = sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê con elemento infinitesimo di ascissa curvilinea dato da ds = P (ϕ dϕ = adϕ, in modo che si può porre: s = aϕ. Nell ipotesi di vincoli ideali l equazione pura del moto, in generale, ha la forma: ossia: ed essendo: si conclude che: m s = F el ˆτ ma ϕ = F el ˆτ F el ˆτ = ka [ ( cos ϕ ê 1 sin ϕ ê ] ( sin ϕ ê1 + cos ϕ ê = è l equazione del moto richiesta. = ka [ sin ϕ( cos ϕ cos ϕ sin ϕ ] = ka sin ϕ, ma ϕ = ka sin ϕ (e Condizione di equilibrio di P in presenza di attrito Come ben noto, la condizione di equilibrio per il punto si deduce dalla legge di Coulomb- Morin dell attrito radente statico: Fel ˆτ µ s Fel ˆn, 7
espressione nella quale il versore tangente alla guida circolare è quello già determinato in precedenza: ˆτ = sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê, mentre quello normale si scrive: ˆn = dˆτ dϕ dˆτ dϕ 1 = cos ϕ ê 1 sin ϕ ê cos ϕ ê 1 sin ϕ ê = cos ϕ ê 1 sin ϕ ê ed infine la forza elastica agente sul punto P è data dalla (1: F el = ka [ ( cos ϕ ê 1 sin ϕ ê ]. La componente tangente della forza attiva risulta quindi: F el ˆτ = ka [ sin ϕ( cos ϕ cos ϕ sin ϕ ] = ka sin ϕ e quella normale: F el ˆn = ka [ cos ϕ( cos ϕ + sin ϕ ] = ka(1 cos ϕ, in modo che la condizione di equilibrio diventa: ka sin ϕ µ s ka(1 cos ϕ, ossia: sin ϕ µ s 1 cos ϕ o ancora: 1 sin ϕ µ s cos ϕ. ( Due soluzioni ovvie della relazione di equilibrio ( sono date da: ϕ = 0 ϕ = π e corrispondono precisamente agli equilibri del sistema nell ipotesi di curva D liscia. Osservazione. Soluzione esplicita della relazione di equilibrio Poichè nella ( non può aversi cos ϕ = 1/ ne seguirebbe / 0 la relazione può essere riespressa nella forma equivalente: sin ϕ 1 cos ϕ µ s. 8
Introducendo la nuova variabile ξ = tg(ϕ/, il seno ed il coseno di ϕ si scrivono: sin ϕ = ξ 1 + ξ cos ϕ = 1 ξ 1 + ξ e la disequazione di equilibrio diventa: ξ 1 + ξ 1 1 ξ µ s 4ξ 1 + ξ + ξ µ s 1 + ξ od anche: 4ξ ξ 1 µ s ξ ξ 1 4 µ s. L ultima disequazione può essere risolta esplicitamente studiando il grafico della funzione ausiliaria: ξ Θ(ξ = ξ 1 definita per ogni ξ R \ { 1/, 1/ }. Trattandosi chiaramente di funzione dispari, è sufficiente limitarsi a considerare il grafico in ξ 0. Per ξ [0, 1/ la funzione è monotona decrescente, in quanto: Θ (ξ = ξ 1 ξ ξ ( ξ 1 = ξ 1 ( ξ 1 < 0 con Θ(0 = 0 e lim ξ 1/ Θ(ξ = ; in particolare, risulta Θ(ξ < 0 ξ [0, 1/. Per ξ > 1/ è ancora Θ (ξ < 0, e dunque Θ(ξ decrescente, ma con: lim ξ 1/ Θ(ξ = + + lim Θ(ξ = 0 Θ(ξ > 0 ξ + 9
Poichè la condizione di equilibrio si può esprimere come: Θ(ξ 4 µ s 4 µ s Θ(ξ 4 µ s, dall esame del grafico precedente si deduce che per ξ 0 gli equilibri del sistema corrispondono a: ξ [0, ξ ] e ξ ξ +, dove ξ indica l unica soluzione in ξ [0, 1/ dell equazione Θ(ξ = µ s /4 e ξ + corrisponde all unica soluzione in ξ > 1/ di Θ(ξ = µ s /4. Rimuovendo la restrizione ξ 0, essendo Θ(ξ funzione pari, si conclude che gli equilibri del sistema si hanno per i valori di ξ tali che: ξ ξ oppure ξ ξ +. Per completare il calcolo non rimane che determinare esplicitamente i valori di riferimento ξ [0, 1/ e ξ + > 1/ in funzione del coefficiente di attrito radente statico µ s. Calcolo di ξ Nella fattispecie l equazione da risolvere in ξ [0, 1/ è: ξ ξ 1 = 4 µ s 4 µ sξ + ξ 1 4 µ s = 0 e da essa si traggono le radici: ξ = ( 1 ± 1 + µ s 4 µ s. La sola radice positiva va quindi identificata con ξ : ξ = ( 1 + 1 + µ s 4 µ s = µ s 1 + 4 µ s 1 + 4 µ s = = µ s 1 + 1 + 4 µ s = 1 + µ s 4 µ s +, che è una funzione monotona crescente di µ s > 0, con Calcolo di ξ + L equazione da risolvere in ξ > 1/ è la seguente: lim ξ = 1/. µ s + ξ ξ 1 = 4 µ s 4 µ sξ ξ 1 4 µ s = 0 10
e fornisce le radici: ξ = ( 1 ± 1 + µ s 4 µ s, delle quali una soltanto è positiva, e corrisponde quindi a ξ + : ξ + = ( 1 + 1 + µ s 4 µ s = ( 1 + + µ s µ s. Da notare, come peraltro suggerito dal grafico, che ξ + è una funzione monotona decrescente di µ s > 0, con lim ξ + = 1/. µ s + Caratterizzazione esplicita degli equilibri Riassumendo i risultati precedenti, si può affermare che gli equilibri del sistema con attrito corrispondono a tutti e soli i valori di ϕ R tali che: tgϕ 1 4 + µ s µ s + oppure tgϕ + µ s ( µ s + 1. Da notare che per µ s 0+, limite di vincolo liscio, le condizioni precedenti implicano: tgϕ 0 oppure tg ϕ + e quindi φ = nπ, n Z, soluzioni che corrispondono agli equilibri del sistema in assenza di attrito. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Il sistema scleronomo è soggetto ad alcune sollecitazioni posizionali conservative il peso, le forze centrifughe e l interazione elastica fra i punti A e C e ad alcune forze dissipative le resistenze viscose di uguale costante di frizione β in B e in C. Delle prime si devono determinare i potenziali, mentre per le seconde vengono calcolate le componenti generalizzate. È immediato ricavare i vettori posizione degli estremi B e C dell asta: B O = (4a cos ϕ + aê C O = 4a sin ϕ ê 1 + aê da cui si ricava quello del baricentro di BC: G BC O = B O + C O = a sin ϕ ê 1 + a( cos ϕ + 1ê. 11
Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso si può esprimere come somma dei contributi relativi all asta e al disco: U g = mgê (G BC O mgê (C O = = mga( cos ϕ + 1 mga = mga cos ϕ + costante. Potenziale elastico La posizione del punto A è individuata dal vettore: A O = aê, per cui: C A = 4a sin ϕ ê 1 ed il potenziale elastico associato alla molla di stiffness k = mω risulta: U el = k C A = mω 4a sin ϕ ê 1 = 16ma ω sin ϕ. Potenziale centrifugo Anche il potenziale centrifugo consiste della somma di due contributi, rispettivamente relativi al disco e all asta: U cf = U D cf + U BC cf = ω ID Oy + ω IBC Oy, dove il momento d inerzia del disco rispetto all asse Oy si ricava mediante il teorema di Huygens-Steiner: I D Oy = I D Cy + m C A = ma 4 + m 16a sin ϕ = 16ma sin ϕ + costante, mentre quello dell asta BC rispetto allo stesso asse viene determinato direttamente applicando la definizione: I BC Oy = 4a 0 (s sin ϕ m 4a ds = m 4a sin ϕ 4a 0 s ds = m 4a [ s ] 4a 0 sin ϕ = 16 ma sin ϕ con l ausilio dell ascissa curvilinea s [0, 4a] misurata lungo l asta dall estremo B. Ne deriva che, a meno di una costante additiva arbitraria: U cf = 8ma ω sin ϕ + 8 ma ω sin ϕ = ma ω sin ϕ. 1
Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è definito dalla somma dei potenziali di tutte le forze posizionali conservative applicate, ossia gravitazionale, elastico e centrifugo: U(ϕ = U g + U el + U cf = mga cos ϕ 16ma ω sin ϕ + ma ω sin ϕ = = mga cos ϕ 16 ma ω sin ϕ ϕ R ( omettendo le costanti additive inessenziali. Componente generalizzata delle forze di Coriolis La componente generalizzata delle forze di Coriolis agenti sul sistema risulta identicamente nulla perchè i moti avvengono in un piano che contiene l asse di rotazione Oy della terna Oxyz rispetto al riferimento inerziale. Vale infatti, formalmente: Q Cor ϕ = P BC D = P BC D m P ωê P P ϕ = m P ωê P ϕ ϕ P ϕ = P BC D P BC D m P ωê P P ϕ = m P ωê 0 = 0. Componente generalizzata delle resistenze viscose Sul sistema agiscono le resistenze viscose βċ e βḃ, applicate rispettivamente in C e in B. Dalle espressioni delle velocità possibili: Ċ = 4a cos ϕ ϕê 1 Ḃ = 4a sin ϕ ϕê 1 si ricava la funzione ausiliaria di Rayleigh: R = β Ċ β Ḃ = β 16a cos ϕ ϕ β 16a sin ϕ ϕ = 8βa ϕ che fornisce la componente generalizzata richiesta: La sollecitazione ha potenza non positiva: D ϕ = R ϕ = 16βa ϕ. π = D ϕ ϕ = 16βa ϕ 0 che si annulla unicamente per velocità generalizzata nulla: π = 16βa ϕ = 0 ϕ = 0, per cui essa risulta di natura completamente dissipativa, dunque ininfluente sugli equilibri ma rilevante agli effetti della stabilità. 1
Equilibri Gli equilibri del sistema scleronomo, a vincoli bilaterali ideali, sono tutti ordinari e corrispondono a tutti e soli i punti critici del potenziale (. Essi si ricavano quindi annullando la derivata prima: U (ϕ = mga sin ϕ ma ω sin ϕ cos ϕ, ossia risolvendo l equazione trigonometrica: mga sin ϕ ma ω sin ϕ cos ϕ = 0, che equivale a: ( ma ω g sin ϕ 16 aω cos ϕ = 0. Soluzioni definite incondizionatamente si ottengono ponendo sin ϕ = 0: Per 16 ϕ = 0 ϕ = π. g cos ϕ = 0 si hanno invece le ulteriori radici: aω ( g ϕ = arccos 16 aω := ϕ ϕ = ϕ, definite e distinte dalle precedenti per g/16aω < 1 si osservi che in tal caso risulta ϕ (0, π/, avendosi comunque g/16aω > 0. (b Stabilità degli equilibri Il sistema scleronomo è soggetto sia a sollecitazioni posizionali conservative che a sollecitazioni completamente dissipative; i suoi equilibri ordinari sono inoltre tutti isolati, cosa evidente dato il loro numero finito. Di conseguenza, le proprietà di stabilità di detti equilibri possono essere caratterizzate completamente facendo ricorso alla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin e Krasovskii: i massimi relativi propri del potenziale sono asintoticamente stabili, mentre tutti gli altri punti di equilibrio risultano instabili e la loro non attrattività è assicurata dalla dissipazione dell energia meccanica. Per poter procedere all analisi di stabilità occorre calcolare la derivata seconda del potenziale: U (ϕ = mga cos ϕ ma ω ( cos ϕ sin ϕ = = ma ω ( cos ϕ + sin ϕ + g 16 aω cos ϕ in ciascuna configurazione di equilibrio precedentemente determinata. 14
Equilibrio ϕ = 0, definito incondizionatamente Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale non ha segno definito: U (0 = ma ω ( 1 + g 16 aω ed obbliga pertanto a considerare tre diversi casi: se g/16aω > 1 si ha U (0 > 0 e l equilibrio è un minimo relativo proprio del potenziale. L esclusione del massimo assicura l instabilità dell equilibrio per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet l attrattività viene esclusa dalla dissipazione dell energia meccanica; per g/16aω < 1 vale invece U (0 < 0 e l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile; se infine g/16aω = 1 la derivata seconda del potenziale si annulla e non essendo chiara la tipologia di equilibrio, ricorre un caso critico di stabilità. In effetti, dall espressione particolare della derivata seconda: seguono le derivate successive: che in ϕ = 0 valgono: U (ϕ = ma ω ( cos ϕ + sin ϕ + cos ϕ U ( (ϕ = ma ω (4 sin ϕ cos ϕ sin ϕ U (4 (ϕ = ma ω (4 cos ϕ 4 sin ϕ cos ϕ U ( (0 = 0 U (4 (0 = ma ω e consentono di scrivere l approssimazione di Taylor al quarto ordine: U(ϕ = U(0 + 1 4! ma ω + o(ϕ 4 (ϕ 0. Da questa ϕ = 0 viene riconosciuto come minimo relativo proprio del potenziale. L esclusione del massimo implica l instabilità dell equilibrio per Lagrange-Dirichlet forte, equilibrio che risulta anche non attrattivo per via della dissipazione dell energia meccanica. Equilibrio ϕ = π, definito incondizionatamente Per questa configurazione la derivata seconda del potenziale presenta sempre segno negativo: U (π = ma ω ( 1 g 16 aω < 0. L equilibrio è dunque asintoticamente stabile in quanto massimo relativo proprio del potenziale. 15
Equilibrio ϕ = ϕ, con cos ϕ = g/16aω < 1 La derivata seconda del potenziale in questo caso diventa: U (ϕ = ma ω ( cos ϕ + sin ϕ + 16 g aω cos ϕ = = ma ω ( cos ϕ + sin ϕ + cos ϕ cos ϕ = ma ω sin ϕ > 0 e consente di riconoscere l equilibrio come un minimo relativo proprio del potenziale; l esclusione del massimo prova l instabilità dell equilibrio sempre non attrattivo per via della dissipazione dell energia meccanica. Equilibrio ϕ = ϕ, con cos ϕ = g/16aω < 1 Le proprietà di stabilità di questo equilibrio sono uguali a quelle dell equilibrio simmetrico precedente, come conseguenza del fatto che il potenziale del sistema è una funzione pari del parametro lagrangiano: U( ϕ = U(ϕ ϕ R. Quando definito, pertanto, l equilibrio risulta instabile e non attrattivo. (c Energia cinetica Energia cinetica del disco D Il disco non presenta punti fissi e la sua energia cinetica può essere perciò determinata ricorrendo al teorema di König: La velocità istantanea del centro C si scrive: T D = m Ċ + 1 ID Cz ωd. Ċ = 4a cos ϕ ϕ ê 1, mentre il momento d inerzia del disco rispetto all asse baricentrale Cz vale: I D Cz = ma. La velocità angolare istantanea del disco si ottiene derivando rispetto al tempo l ascissa del punto di contatto fra D e Ox, dividendo per il raggio del disco, moltiplicando per il versore ê ortogonale al piano del moto e cambiando di segno il risultato: ω D = 1 a d dt (4a sin ϕ ê = 4 cos ϕ ϕ ê. Alla stessa conclusione si può arrivare direttamente, sfruttando la condizione di puro rotolamento. Indicato con S il punto di contatto disco-asse Ox, la velocità istantanea di tale punto è nulla e può anche esprimersi in termini della velocità di C e della velocità angolare del disco ω D = ωê (il moto è piano tramite il teorema di Poisson: 0 = Ṡ = Ċ + ωê (S C = 4a cos ϕ ϕ ê 1 + ωê ( aê = (4a cos ϕ ϕ + aωê 1, 16
in modo che: ω = 1 a 4a cos ϕ ϕ = 4 cos ϕ ϕ = ω D = 4 cos ϕ ϕ ê. L energia cinetica del disco diventa così: T D = m 4a cos ϕ ϕ ê1 + 1 ma 4 cos ϕ ϕ ê = = m 16 cos ϕ ϕ + ma 4 16 cos ϕ ϕ = 1ma cos ϕ ϕ. Energia cinetica dell asta BC Neppure l asta BC presenta punti fissi, per cui si rende nuovamente necessario fare uso del teorema di König: = m Ġ BC + 1 IBC ω BC. (4 T BC Dal vettore posizione del baricentro G BC : G BC z si deduce la corrispondente velocità: G BC O = a sin ϕ ê 1 + a(1 cos ϕ + 1ê Ġ BC = a cos ϕ ϕ ê 1 a sin ϕ ϕ ê di modulo quadrato: ĠBC = 4a ϕ, mentre il momento d inerzia dell asta omogenea, di lunghezza 4a e massa m, rispetto ad un asse ad essa ortogonale e passante per il baricentro è dato dalla ben nota formula: I BC G BC z = m(4a 1 = 4 ma. Quanto alla velocità angolare istantanea dell asta, è facile convincersi che questa si scrive semplicemente: ω BC = ϕ ê, dato che rispetto ad una qualsiasi terna baricentrale come ad esempio G BC xyz il moto dell asta avviene con asse fisso G BC z e angolo di rotazione ϕ, orientato rispetto al versore ê conformemente alla regola della mano destra. Sostituendo queste espressioni parziali nella relazione (4 si perviene alla seguente espressione per l energia cinetica dell asta: T BC = m 4a ϕ + 1 4 ma ϕ ê = ma ϕ + ma ϕ = 8 ma ϕ. 17
Energia cinetica del sistema L energia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche delle parti costituenti, disco e asta: T = T D + T BC = 1ma cos ϕ ϕ + 8 ma ϕ = ( 8 + 1 cos ϕ ma ϕ. (5 (d Equazioni di Lagrange Grazie all ipotesi di vincoli ideali le equazioni pure del moto del sistema possono essere espresse in forma lagrangiana: con D ϕ = 16βa ϕ e: d ( L L dt ϕ ϕ = D ϕ L = T + U = ma ( 8 + 1 cos ϕ ϕ mga cos ϕ 16 ma ω sin ϕ. Per i termini parziali del binomio di Lagrange a primo membro si ha: L ϕ = ma( 16 + 4 cos ϕ ϕ d ( L = ma ( 16 dt ϕ + 4 cos ϕ ϕ 48ma cos ϕ sin ϕ ϕ L ϕ = 4ma cos ϕ sin ϕ ϕ + mga sin ϕ ma ω sin ϕ cos ϕ e l equazione richiesta risulta pertanto: ma ( 16 + 4 cos ϕ ϕ 4ma sin ϕ cos ϕ ϕ mga sin ϕ + ma ω sin ϕ cos ϕ = 16βa ϕ. (e Piccole oscillazioni Per β = 0 le sollecitazioni completamente dissipative vengono rimosse ed il sistema scleronomo diventa posizionale conservativo. Gli equilibri sono gli stessi già calcolati nel caso dissipativo. In particolare, per g/aω = 1 l equilibrio ϕ = 0 è un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet, al pari di ϕ = π; gli equilibri simmetrici ϕ = ϕ e ϕ = ϕ sono definiti, ma comunque instabili per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Lo studio delle piccole oscillazioni richiede il calcolo della matrice rappresentativa dell energia cinetica: T = ma ( 8 + 1 cos ϕ ϕ = 1 ma( 16 + 4 cos ϕ ϕ 18
matrice che in questo caso si riduce alla semplice funzione scalare: A(ϕ = ma ( 16 + 4 cos ϕ. Equilibrio stabile ϕ = 0 In questa configurazione la matrice dell energia cinetica vale: A(0 = ma ( 16 + 4 cos ϕ ϕ=0 mentre la derivata seconda del potenziale risulta: = ma ( 16 + 4 = 88 ma, U (0 = ma ω ( 1 + g 16 aω g/aω = =1 ma ω ( 1 + = 16 = ma ω ( 1 = 6 16 ma ω. La pulsazione normale Ω delle piccole oscillazioni è determinata dall equazione caratteristica: che fornisce: e quindi: 0 = det [ Ω A(0 + U (0 ] = Ω A(0 + U (0 = 88 ma Ω 6 ma ω, Ω = 1 44 ω Ω = 1 44 ω. La forma generale del modo normale di oscillazione è dunque: ( 1 ϕ = δϕ = c sin 44 ωt + γ t R con c R \ {0} e γ R costanti arbitrarie. Equilibrio stabile ϕ = π Per ϕ = π la matrice dell energia cinetica è invariata rispetto all equilibrio precedente: A(π = ma ( 16 + 4 cos ϕ ϕ=π = ma ( 16 + 4 a fronte di una derivata seconda del potenziale che invece diventa: = 88 ma, U (π = ma ω ( 1 g 16 aω g/aω = =1 ma ω ( 1 = 16 = ma ω ( 19 = 8 16 ma ω. 19
Di conseguenza, l equazione caratteristica si scrive: 0 = det [ Ω A(π + U (π ] = Ω A(π + U (π = 88 ma Ω 8 ma ω, e fornisce la pulsazione normale: Ω = 19 44 ω. Il corrispondente modo normale di oscillazione è così descritto da: ( 19 ϕ = π + δϕ = π + c sin 44 ωt + γ con c R \ {0} e γ R costanti arbitrarie. t R 0