CAP V Limiti di fuzioi reali Data ua fuzioe ƒ( defiita i u itervallo X escluso al più u puto di X, a volte iteressa esamiare il comportameto di ƒ( quado si avvicia ad I alcui casi accade che ƒ( si avvicii ad u certo umero reale quado si avvicia ad Ciò sigifica che comuque piccolo si cosideri u umero reale ε > la disuguagliaza f ( < ε sussiste per valori di abbastaza vicii ad, cioè tali che < δ co δ > e coveietemete piccolo Quado ciò si verifica si dice che ƒ( tede ad per tedete ad Si osservi che elle codizioi di sopra o si richiede che il puto appartega a X, ma soltato che sia possibile avviciarsi a i X Se ad esempio ƒ(, allora o ha seso studiare il comportameto di ƒ( quado si avvicia a, perché ƒ( è defiita per [, [ ed, duque, o può avviciarsi a rimaedo ell itervallo[, [ Al fie di precisare quato è stato detto sopra i modo molto ituitivo, premettiamo le segueti defiizioi DEF Se X è u itervallo o ridotto ad u solo elemeto, si chiama derivato di X, e si deota co X, l isieme formato dagli elemeti di X e dagli evetuali estremi di X (reali oppure o che o gli appartegoo DEF Se X, X,, X soo itervalli o ridotti ad u solo elemeto ed Χ Χ Χ, si chiama derivato di X l isieme Χ Χ Χ Esempi- Se a, b R ed a < b risulta Χ Χ e [ a, b] ] a, b [ [ a, b [ ] a, b] [ a, b] [ a, [ ] a, [ [ a [ { }, Se ivece X [ a, b [ ] a, b [ ] a, [ allora si ha: Χ a b a, b, [ ] [ ] [ [ { }, a
D ora i avati le fuzioi reali che prederemo i cosiderazioe le supporremo defiite, salvo avviso cotrario, i isiemi che risultao riuioi fiite di itervalli o ridotti ad u solo elemeto Tutto ciò premesso passiamo a dare la defiizioe di ite di ua fuzioe reale DEF Sia ƒ : X R e siao X ed Rˆ Si dice che ƒ( tede ad per tedete ad (oppure che è ite di ƒ i e si scrive se ( oppure ƒ ( per, ( Ι I ( I I ( tc (I X -{ }: f( I' Se R si dice che ƒ( coverge ad per tedete ad Se, ivece, (risp - si dice che ƒ( diverge positivamete (risp egativamete per tedete ad OSS Si oti che ella defiizioe di sopra o si richiede che il puto appartega ad X ma che sia solo u elemeto del derivato di X Ioltre l esisteza ed il valore del ite o dipede da ƒ( el caso i cui X, i quato ella ( si cosiderao solo i valori ƒ( co TEOR (Uicità del ite Se ƒ: X R ed Χ, esiste al più u ite di ƒ i La defiizioe di ite assume ua forma esplicita diversa a secoda che e/o siao umeri reali oppure o Nelle proposizioi che seguoo ci itiamo a trattare i segueti tre casi ( R, R ; ( R, ; ( -, - dei ove possibili casi che occorroo per ed PROP Sia ƒ: X R e siao proposizioi: a ; X R ed R Allora soo equivaleti le segueti b ε > δ > t c ( X, < < δ < ε Dim Si oti che l itoro Ι che figura ella ( della DEF è del tipo ] ε ε [ che vi figura è del tipo ] δ δ [ co δ> metre l itoro I di Da ciò cosegue l equivaleza di a e b,, co є >,
PROP Sia ƒ: X R e sia X R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a ; b K R δ > t c ( X, < < δ K < c K > δ > t c ( X, < < δ K < Dim Per l equivaleza di a e b basta osservare che u itoro di è del tipo ] K, [co K R Per l equivaleza di b e c basta, ivece, osservare che se K R allora esiste sempre u umero reale strettamete positivo (azi e esistoo ifiiti che sia strettamete maggiore di K PROP Sia ƒ: X R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a ; b K R k R t c ( X, < k < K c K > k > t c ( X, < k < K Dim Per l equivaleza di a e b basta osservare che u itoro di è del tipo ] -, K[ co K R Per l equivaleza di b e c basta, ivece, osservare che se K R allora esiste sempre u umero reale strettamete egativo (azi e esistoo ifiiti che risulta strettamete miore di K, ovvero esiste K ' > tale che K' < K Esercizi Utilizzado la defiizioe di ite si verifichi che Se c R ed fc : R R è la fuzioe costate di costate valore c (cioè R : fc ( c, allora per ogi Rˆ risulta fc ( c Se a, b R ed R allora risulta ( a b a b Risulta ; 4 Risulta, - 5 Risulta,
La è ovvia perché per ogi R risulta fc( c e, quidi, per ogi ε > e per ogi R risulta fc( c < ε, cioè la defiizioe di ite (cfr b PROP è abbodatemete verificata Si suppoga a (altrimeti la fuzioe a b è costate Osservato che per ogi R si ha ( a b ( a b a( a ε se ε >, posto δ a risulta ( a b ( a ε < < δ a < ε b < e, quidi, ( a b a b Se K > si ha K < K < K < duque posto k K si ha k < K < K < cioè D altra parte si ha < k < K K < K < K < cioè 4 Basta osservare che se ε > si ha < ε < < < ε ε ε Basta osservare che se ε > si ha < ε < < < < ε ε ε ε 5 4
OSS Si osservi che se R risulta Sussistoo le segueti proposizioi PROP4 Se Rˆ risulta f ( Si ha i particolare PROP5 Sia f ( : X R, sia Y X e siao ed Rˆ Y Allora sussiste l implicazioe ( Y f( PROP6 (Carattere locale del ite Soo equivaleti le proposizioi a b I I( tc ( f ( Ι Χ OSS L implicazioe b a della PROP6 si esprime dicedo che la proprietà di ite è ua proprietà di carattere locale, ossia l esisteza del ite e il suo valore dipedoo soltato dai valori che la fuzioe assume elle viciaze del puto (cioè i u itoro di ache di raggio piccolo Come applicazioe della PROP6 cosideriamo la fuzioe parte itera ϕ : R R defiita poedo per ogi R [ ] { Ζ } ϕ [ ] ma : e ( L itero relativo [ ] si chiama parte itera di e gode delle segueti proprietà: R : [] < [] Ζ [ [ [ ],, : - - 5
Sia R Ζ Allora [ ] < < [ ] e quidi posto [ ], δ mi{, } ed I ] δ, δ [, si ha I ], [ Da ciò cosegue che per ogi Ι risulta [], ossia ϕ è costate di costate valore Pertato esiste il ( ϕ ( Ι I e per il carattere locale del ite esiste ache il ϕ (, cioè [ ] [ ] Se, ivece, Ζ si ha ], [ :[ ] e ], [ :[ ], quidi ϕ ], [ e ϕ ], [ soo fuzioi costati di costate valore ed rispettivamete Pertato ( ϕ ] [, ( (, ϕ ], [ ( e quidi, a causa della PROP5, o esiste il ite di ϕ ( per tedete a PROP7 Se f : X R, allora le segueti proposizioi soo equivaleti: a ( b N risulta y successioe di elemeti di { } f ( y X tale che y Limite a destra e ite a siistra Data ua fuzioe di quado si avvicia ad f : X R ed X, a volte iteressa studiare il comportameto dalla destra (cioè per > oppure dalla siistra (cioè per < Per precisare tali cocetti diamo le segueti defiizioi DEF4 Se R, si chiama itoro destro (risp siistro di ogi itervallo aperto del tipo ], δ [ (risp ] δ, [ co δ > L isieme degli itori destri (risp siistri di si deota co I (risp ( ( I DEF5 Se X è u itervallo si chiama derivato destro (risp siistro, di X l isieme X (risp X formato dagli elemeti di X reali e diversi dall estremo superiore (risp iferiore di X Se, poi, X è riuioe degli itervalli X, X,, X si poe X X X X (risp X X X X e si chiama derivato destro (risp siistro di X Esempio Se X ], [ [ 4,7] ],[ [ 8, [ allora risulta X [,[ [ 4,7[ ],[ [ 8, [ e ],] ] 4,7] ],] ] 8, [ Ciò premesso si poe la seguete X 6
DEF6 Se f : X R, se X ( risp X e se Rˆ si dice che f ( tede ad per tedete ad dalla destra (risp siistra oppure che è ite a destra (risp a siistra di f i, e si scrive (risp se X f I' I( I I ( (risp I I ( t c I : ( I OSS4 Le proprietà del ite (uicità, proprietà locale, ecc valgoo ache per il ite a destra e a siistra PROP8 Sia f : X R, sia X (risp X ed R Allora soo equivaleti le segueti proposizioi: a (risp > δ > tc, δ X (risp δ, X : f ( b ε ] [ ] [ < ε Lasciamo al lettore la cura di esprimere la defiizioe di ite a destra e a siistra ei casi ed (cfr PROP e PROP La relazioe tra il ite ed il ite a destra e a siistra di ua fuzioe è messa i evideza ella seguete PROP9 Sia f : X R, sia X X e sia Rˆ proposizioi: Allora soo equivaleti le segueti a b Esempio: Per quato è stato detto a proposito della fuzioe parte itera, per ogi Z risulta [ ], [ ] Si ha ioltre, Pertato a causa della PROP 9 o esiste il ite di [ ] di per per ( Z e o esiste il ite Teoremi di cofroto L ordie di R si estede ad Rˆ poedo per ogi R - <, < 7
e - < Ciò premesso si presetao qui di seguito le pricipali proprietà dei iti ei cofroti dell ordie PROP- Siao ƒ: X R e g: X R e sia si ha la seguete implicazioe: X Se esistoo il e il g(, allora < g( ( Ι I t c ( Ι Χ { }: < g( ( Dim Posto ed m g( suppoiamo che, m R e che < m Poiamo ε m- e poi Risulta ε di tali che ] ε, ε [, Ι ] ε, m ε [ Ι m m m ε Ora per defiizioe di ite esistoo due itori I ed I e Posto I Ι cioè da cui e quidi l asserto COR- Sia ƒ: X R, ( Ι Χ { }: f ( Ι ( Ι Χ { }: g( Ι Ι I( e Ι, risulta Ι Χ : Ι, g( ( f( α ( { } Ι ε < < ε m ε < g( < m ε < g( Χ ed α R Allora si ha ( Ι I ( tc Ι Χ : f ( < α < > ( { } COR- (Teorema della permaeza del sego Sia ƒ: X R, Allora si ha ( f( < > ( { } PROP- Siao ƒ: X R e g: X R, g( g( Allora risulta > Χ ( Ι I ( Ι Χ : ( < tc f > e che esista u itoro I di Χ Suppoiamo che esistao il tale che per ogi ( Ι Χ { } e il si abbia 8
g( PROP- (Covergeza obbligatasiao ƒ, g ed h tre fuzioi reali defiite i X, sia suppoiamo che Χ e g( I I ( tc ( I X { }: ƒ( h( g( Allora esiste il h( e risulta h( COR- Siao ƒ: X R e g : X R, X Suppoiamo che g( I I ( tc ( I X - { }: ƒ( g( Allora esiste il e risulta PROP- Siao ƒ: X R, e g : X R, X e suppoiamo che esista u itoro I di tale che per ogi ( I X - { } risulti ƒ( g( Allora sussistoo le implicazioi segueti: g( g( - - Operazioi sui iti PROP4 Se risulta allora si ha:, g( m, e se, m R ( g( m ( g( se m m g( m 9
4 se m g( m Al fie di formulare la della PROP 4 ache el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE - Si poe per ogi R ( ( (- ( - - Si poe ache ( ( 4 (- ( - - Ciò premesso, si eucia la seguete PROP 5- Se esistoo il ed il g(, allora esiste ache il ( g( ( g( g( ad eccezioe dei casi e risulta α, g( - α -, g( OSS 5 -Nei casi α ed α si dice che il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - Ciò è dovuto alla circostaza che ei casi suddetti ulla si può dire a priori sul ite della somma, potedo quest ultimo ache o esistere Ad esempio si cosiderio le fuzioi ( g( f, Si ha ; ifatti, se K > risulta K < < < K K Si ha ache - ; ifatti, se < < risulta - < - e, quidi, < Poiché - ache - a causa della della PROP
Duque il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - e i questo caso risultado ƒ(g( il ite di ƒ g ello o esiste (cfr esempio pag 7 Ora si cosiderio, ivece, le fuzioi ƒ(, g( - Risulta ovviamete Risulta ache ( i quato se < si ha < - e, quidi, se < (-, cioè < - ; da ciò cosegue l asserto a causa della della PROP Si ha, duque ( - e, perciò, il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata - I questo caso, però, essedo ƒ( g( si ha che esiste il ( g( Al fie di formulare la della PROP 4 el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE Per ogi є Rˆ -{} si poe ( ( se < - se < - se < ( ( se < Ciò premesso si eucia la seguete PROP6 Se esistoo il e risulta ed il g(,allora esiste ache il ( g( ( g( g( ad eccezioe dei casi β, g( ± β ±, g(
OSS 6 Nei casi β e β si dice che il ite di ƒ g i si preseta ella forma idetermiata i quato ulla si può dire a priori sull esisteza e sul valore del ite Ad esempio, se si cosiderao le fuzioi ƒ( e g(, risulta, g( ed essedo ƒ( g( o esiste il ite di ƒ g ello Se, ivece, si cosiderao le fuzioi ƒ( e g( si ha, g( ed essedo ƒ( g( si ha che g( Ora si poe la seguete DEF7- Se ƒ: X R e se X, si dice che ƒ è ifiitesima (risp ifiita i se (risp Esempi Essedo, la fuzioe è ifiita ello OSS7- Si oti che ogi fuzioe divergete positivamete o egativamete i u puto è ivi ifiita, ma o vale il viceversa come prova l esempio di sopra Sussiste la seguete PROP 7- Se ƒ: X R e g : X R e se X risulta Se per ogi Χ è ƒ( allora ( ƒ è ifiitesima i ( è ifiita i f f (ƒ è covergete i, g è ifiita i ( g è ifiitesima i (ƒ è covergete i, g è divergete i ( f g è ifiitesima i Al fie di formulare la 4 della PROP 4 el caso i cui e/o m o siao reali si adotta la seguete CONVENZIONE - Si poe R : R - {} : (, (-
Ciò premesso, dalla 4 della PROP 4, dalla PROP 6 e dalla della PROP 7 cosegue la PROP 8- Se esistoo il ed il g(, allora esiste ache il e risulta g( g( ad eccezioe dei casi g( γ γ γ ±, g( ± g( Rˆ - {}, g( f OSS 8- Nel caso γ si dice che il ite di g i si preseta ella forma idetermiata f el caso γ ivece si dice che il ite di g i si preseta ella forma idetermiata f ifie el caso γ si dice che il ite di g i si preseta ella forma semidetermiata Il motivo per cui la forma si chiama semidetermiata risiede el fatto che i questo caso si sa studiare i modo completo il ite del rapporto g f PROP 9- Se si preseta il caso γ allora risulta g( i, come si dimostra ella seguete Ioltre si ha: se esiste u itoro I di tale che ( I X - { } risulta g(>, allora esiste il ( g(
se esiste u itoro I di tale che (I X -{ } risulta g(<, allora esiste il ( ; g( se o è vera é l ipotesi di é quella di, allora o esiste il g( Esempio- Se si cosidera la fuzioe, poiché o esiste alcu itoro di ei puti del quale assuma sempre sego positivo o sempre sego egativo, allora a causa della o esiste il ite di ello Come applicazioe dei teoremi riguardati le operazioi sui iti si dimostra che se a a,, a, b, b,, soo umeri reali ed a e b m o soo ulli, allora, b m ( a a a a m m b m bm b b m bm a b m se m a se < m a b m ( se > m Si provi che ( ; ; Ua proprietà importate delle fuzioi mootoe è coteuta el seguete TEOR ( Limiti di fuzioi mootoe- Siao a, b R co a < b e sia f ] a, b [ Allora risulta : R se ƒ è crescete,esiste il a se ƒ è decrescete,esiste il a if, ] b[ a sup ed esiste il ], b[ a b sup ], b[ a ed esiste il if ] [ b a, b Dim Suppoiamo ƒ crescete e dimostriamo che esiste il ed è uguale al b sup ], b[ a A tal fie poiamo sup e suppoiamo che sia u umero reale, ovvero che ƒ sia ], b[ a itata superiormete Ricordiamo che gode delle segueti proprietà, caratteristiche dell estremo superiore: 4
] a, b [: 4 ε > ] a, b [ t c ε < Noi dobbiamo dimostrare che, cioè che b 5 ε > δ > t c ( ] a, b [ ] b δ, b [ < ε Sia, duque, ε > Per la 4 esiste ] a, b [ tale che 6 ε < f ( Posto δ b, risulta δ > ed b δ Ioltre se ]a,b[ ]b-δ,b[ si ha < e, quidi, per la cresceza di ƒ risulta 7 e per la si ha 8 f ( Da 6, 7 e 8 cosegue che ε < f ( < ε ossia f ( < ε e quidi la 5 Co ragioameto aalogo si dimostra l asserto el caso U teorema aalogo al TEOR si dimostra per fuzioi mootoe defiite i itervalli ilitati Noi ci itiamo ad euciare il seguete TEOR- Se f : ] a, [ R è mootoa crescete ( risp decrescete, allora sup risp if ] a, [ ] a, [ f :, a è mootoa crescete ( risp decrescete, allora Se ] [ if, ] a[ risp sup ], a[ Esempi- Si cosideri la fuzioe ƒ( ²- A causa di ( pag 4 risulta D altra parte la ƒ è strettamete crescete ell itervallo ], [ Ifatti se, y ], [ ed <y si ha ƒ(y ƒ ( (y - y ( - y -(y- (y- (y (y- (y- (y- >, cioè ƒ(< ƒ(y Allora per il TEOR risulta ( f (, ] [ ], [ sup e poiché per il carattere locale del ite (cofrota OSS4 risulta 5
si ha ache ( f ] [ (, sup ], [ OSS9- I Teoremi e cosetoo di ricavare i iti all ifiito delle fuzioi elemetari, come si vedrà el seguito U risultato fodametale ai fii del calcolo dei iti riguarda i iti di fuzioi composte ed è coteuto el seguete TEOR4 (Limiti di fuzioi composte Siao f : Χ R e Y g : R e sia f ( Y Χ Sia, ioltre, X, y Y ed Rˆ Se risulta y, g( y y y Ι I( t c ( Ι X { }: y allora esiste il g( g( y y y, Dim - La dimostrazioe di, a causa della defiizioe di ite, cosiste el dimostrare che Ι ' ' I( Ι ( t c ( Ι X { }: g( f ( Ι I Sia, perciò, ' Ι u itoro di A causa della secoda della esiste J I( y tale che ' 4 y ( J Y { y } g( y Ora essedo J u itoro di : Ι 5 ( Ι X { }: J y, a causa della prima della esiste I( Ι tale che Posto Ι Ι Ι, risulta ( Ciò dimostra la Ι I e da, 4, 5 cosegue che ' ( Ι X { }: g( f ( Ι 6
OSS- Quado si adopera la si dice che si calcola il ite di ( f ( poedo y e facedo tedere y ad y Formalmete scriveremo g ( y y f ( y y y g ( y g per I pratica quado si vuole calcolare il g( si eseguoo i segueti passaggi: ( si calcola il f (, suppoiamo che sia y ; ( ella fuzioe g ( f ( si sostituisce y al posto di e della fuzioe ( y g così otteuta si calcola il ite per y y, suppoiamo che sia ; g f ( per ( se si verifica la allora si può affermare che è il ite di ( Le ipotesi del TEOR4 si semplificao el caso i cui g( Più precisamete si dimostra il y TEOR5 - Siao f : X R, Y Se risulta g : R e sia ( X Y f Sia, ioltre X ed y Y allora esiste il f y e ( g ( f ( g y y ( y g( y g y y ( y g( y Esempio- Si calcoli il 4 4 4 La fuzioe h ( è composta delle due fuzioi e ( y [ y] g Poiché 4 e y [ ] y, per il TEOR4 risulta 4 7
Formalmete si ha 4 4 y y y [ y ] Limiti delle fuzioi elemetari Adoperado i teoremi e sui iti delle fuzioi mootoe si dimostra che per ogi N *, se è pari e o ullo se è dispari, 4 * per ogi N ± se N * é pari, 5 e se è dispari 6, per ogi N *, R si ha 7 Per ogi a {} a se< a se < a < a se < a se < a < log a se < a se < a < log a se < a se < a < 8 Per ogi α R {} si ha α se < α se α <, α se se < α, α < 8
9 Per ogi k Z si ha tg, π kπ π k π tg π arctg, π arctg Calcolo di iti mediate l eiazioe di forme idetermiate Se a R * si calcoli il ( a b c Per ogi > si ha b c a b c a e quidi risulta se< a ( a b c se < a < Per il calcolo di questo ite si è teuto coto del fatto che per ogi R risulta (cioè che la fuzioe radice quadrata è cotiua, come si vedrà el seguito Se, ivece, a allora si ha ( a b c a e, quidi, risulta b c a b c a b c b c ( b c b a b c b c Co aalogo ragioameto si prova che per ogi a R * risulta ( a b c Dai iti e si ricavao ache i segueti iti ( a b c, a ± R * 9
Ifatti per il teorema sul ite delle fuzioi composte si ha: ± Come applicazioe si provi che y ( a b c ( ay by c y y y (, ( Nel calcolo dei iti segueti si mostra come si possao eiare forme di idetermiazioe appareti 4 4 ( ( Ifatti si ha e quidi ( 4 5 Ifatti si ha e poiché (cfr6 a pag8 e,quidi, (cfrprop8, si ha la 5 6 Ifatti risulta 8 e poiché 6 8 (cfr 8 pag9 e, allora si ha la 7 Ifatti risulta ( (