Tecniche multiscala per lo studio di flussi attorno a mezzi porosi

Tecniche multiscala per lo studio di flussi attorno a mezzi porosi Relatore: Prof. Ing. Alessandro Bottaro Correlatore: Dott. Giuseppe A. Zampogna Università degli Studi di Genova Scuola Politecnica Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica - Energia e Aeronautica Anno Accademico 2014-2015 31 Marzo 2016

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Biomimetica: imparare dalla natura

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I campi di velocità e pressione sono governati dalle equazioni di Navier-Stokes: û i ˆx i = 0 ρ û i ˆt +ρû û i j = ˆp +µ ˆ ˆx j ˆx 2 û i i su V f, con û i = 0 su Γ.

l h = ɛ h L = ɛ l L = ɛ2

l h = ɛ x 1,x 2 h L = ɛ l L = ɛ2

l h = ɛ x 1,x 2 h L = ɛ l L = ɛ2 x 3 = ɛx 3

l h = ɛ x 1,x 2 h L = ɛ l L = ɛ2 x 3 = ɛx 3 (x 1, x 2 ) = ɛ2 (x 1, x 2 )

l h = ɛ x 1,x 2 h L = ɛ l L = ɛ2 x 3 = ɛx 3 (x 1, x 2 ) = ɛ2 (x 1, x 2 ) u = u (0) + ɛu (1) +... p = p (0) + ɛp (1) +...

Ordine principale in ɛ: u (0) i = 0 su Γ, i = 1, 2, 3

Ordine principale in ɛ: u (0) i = 0 su Γ, i = 1, 2, 3 u (0) i x i = 0, i = 1, 2

Ordine principale in ɛ: u (0) i = 0 su Γ, i = 1, 2, 3 u (0) i x i = 0, i = 1, 2 p (0) x i = 0, i = 1, 2

Ordine principale in ɛ: u (0) i = 0 su Γ, i = 1, 2, 3 u (0) i x i = 0, i = 1, 2 p (0) x i = 0, i = 1, 2 Ordine ɛ: 0 = p(1) x i, i = 1, 2

Ordine principale in ɛ: u (0) i = 0 su Γ, i = 1, 2, 3 u (0) i x i = 0, i = 1, 2 p (0) x i = 0, i = 1, 2 Ordine ɛ: 0 = p(1) x i, i = 1, 2 0 = p(0) x 3

Ordine ɛ 2 : 0 = 2 u (0) i xj 2 p(0) x i p(2) x i, i, j = 1, 2

Ordine ɛ 2 : 0 = 2 u (0) i xj 2 0 = 2 u (0) 3 xj 2 p(0) x i p(1) x 3 p(2) x i, i, j = 1, 2

Ordine ɛ 2 : 0 = 2 u (0) i xj 2 0 = 2 u (0) 3 xj 2 p(0) x i p(1) x 3 p(2) x i, i, j = 1, 2 u (0) i = K ij p (0) x j p (2) = A j p (0) x j + p (2) 0, j = 1, 2 u (0) 3 = K 33 p (1) x 3

Problema microscopico per K ij A j x i 2 K ij x 2 k = δ ij, i, j, k = 1, 2 K ij x j = 0, i, j = 1, 2 K ij = 0 su Γ, i, j = 1, 2 K ij (x 1, x 2 ) periodica su V. Media integrale f = 1 fdx 1 dx 2 dx 3 V V f Problema microscopico per K 33 K 33 + K x1 2 33 = 1 x2 2 K 33 = 0 su Γ K 33 (x 1, x 2 ) periodica su V. u (0) i = K ij p(0) x j u (0) 3 = K 33 p (1) x 3

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Fibre cilindriche allineate K ij, A j per ϑ = [0.3, 0.99]:

Fibre cilindriche allineate 10 0 10 1 10 2 K 10 3 10 4 K 11 Van der Westhuizen & Du Plessis (1996) 0.5K 33 Van der Westhuizen & Du Plessis (1996) K 11 Mityushev & Adler K 11 =K 22 for arrays of cylinders K 33 for arrays of cylinders K 11 =K 22 for arrays of cylinders 3 scale K 33 for arrays of cylinders 3 scale Experimental results of Sadiq et al. (1995) Experimental results of Sangani & Yao (1988) Experimental results of Skartsis&Kardos(1990) 10 5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 θ

Fibre cilindriche allineate Confronto con teoria a due scale di Zampogna & Bottaro (2016) 0.35 0.3 K 3scale 11 K 3scale 33 K 11 2scale K 2scale 33 0.25 0.2 K 0.15 0.1 0.05 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 θ

Fibre cilindriche alternate K ij, A j per ϑ = 0.9: Si ritrovano i valori di K ij e A j ottenuti per il caso allineato.

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Condizioni di interfaccia Per la velocità orizzontale si deduce la condizione di slip u 1 I = K 11 p x 1 I

Condizioni di interfaccia Per la velocità orizzontale si deduce la condizione di slip u 1 I = K 11 p x 1 I per quella verticale utilizziamo una condizione derivata da Gopinath & Mahadevan (2011) u 3 I = ɛ 4 Re L k f P I + c

Direct Numerical Simulations (DNS) u 1 (x 3 = 1) = 1

Direct Numerical Simulations (DNS) u 1 (x 3 = 1) = 1 u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 3 = 0) = 0

Direct Numerical Simulations (DNS) u 1 (x 3 = 1) = 1 u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 3 = 0) = 0 ϑ = 0.9, Re L = 100, fibre cilindriche allineate e alternate

Direct Numerical Simulations (DNS) u 1 (x 3 = 1) = 1 u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 1 = 0.5) = 0, u(x 3 = 0) = 0 ϑ = 0.9, Re L = 100, fibre cilindriche allineate e alternate

Validazione microscopica modello omogeneo DNS con fibre cilindriche allineate e alternate, K ij per ϑ = 0.9: 4 x 10 3 3 CONF.ALLINEATA CONF.ALTERNATA HOMOGENIZED 5 x 10 3 4 CONF.ALLINEATA CONF.ALTERNATA HOMOGENIZED 3 2 2 ε 4 Re L (K 11 /l 2 ) 1 0 ε 4 Re L (K 33 /l 2 ) 1 0 1 1 2 2 3 4 3 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1 5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1

Validazione macroscopica del modello omogeneo 3 x 10 5 2 1 0 1 =0.006 =0.013 =0.016 =0.02 =0.022 K DNS DNS u 1 2 3 4 5 6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1

Validazione macroscopica del modello omogeneo 1.5 x 10 5 1 0.5 =0.006 =0.013 =0.016 =0.02 =0.022 K DNS DNS 0 u 3 0.5 1 1.5 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1

Validazione macroscopica del modello omogeneo 1 0.8 0.6 =0.006 =0.013 =0.016 =0.02 =0.022 DNS 0 0.005 0.01 d =0.006 f d =0.013 f =0.016 d =0.02 f d =0.022 f DNS 0.4 u 1 u 1 0.015 0.2 0 0.02 0.2 0.025 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 3 0.1 0.102 0.104 0.106 0.108 0.11 0.112 0.114 0.116 0.118 0.12 x 3

Validazione macroscopica del modello omogeneo 0.12 0.1 0.08 d =0.006 f =0.013 d =0.016 f d =0.02 f =0.022 DNS 2 x 10 4 =0.006 =0.013 =0.016 =0.02 =0.022 DNS u 3 0.06 u 3 1 0.04 0.02 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 x 3 x 3

Validazione macroscopica del modello omogeneo 1 0.8 0.6 K HOMOGENEIZED K DNS DNS 0 0.005 K HOMOGENEIZED K DNS DNS 0.4 0.01 u 1 u 1 0.2 0.015 0 0.02 0.2 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 3 0.025 0.1 0.102 0.104 0.106 0.108 0.11 0.112 0.114 0.116 0.118 0.12 x 3

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L approccio a tre scale consente di considerare problemi microscopici definiti su domini bidimensionali nel caso di strutture cilindriche

L approccio a tre scale consente di considerare problemi microscopici definiti su domini bidimensionali nel caso di strutture cilindriche l errore sul tensore di permeabilità é di ordine ɛ 2

L approccio a tre scale consente di considerare problemi microscopici definiti su domini bidimensionali nel caso di strutture cilindriche l errore sul tensore di permeabilità é di ordine ɛ 2 le condizioni di interfaccia fanno ottenere risultati qualitativamente analoghi alla DNS

L approccio a tre scale consente di considerare problemi microscopici definiti su domini bidimensionali nel caso di strutture cilindriche l errore sul tensore di permeabilità é di ordine ɛ 2 le condizioni di interfaccia fanno ottenere risultati qualitativamente analoghi alla DNS Sviluppi futuri: approccio a tre scale per mezzi poroelastici testare nuove condizioni di interfaccia