Carlo Colella Davide Formiano Univerià degli Sudi di Napoli Federico II Diparimeno di Ingegneria Navale Appuni di METODI MATEMATICI PER INGEGNERIA INDUSTRIAE A.A. 8/9
INDICE Capiolo I A TRASFORMAZIONE DI APACE.. Funzioni raformabili econdo aplace. Acia e emipiano di convergenza.... pag.. Traformae di funzioni elemenari. Eempi.... pag. 3. Proprieà elemenari della raformaa di aplace. a prima proprieà di hifing.... pag. 4. Aniraformae delle funzioni razionali.... pag. 5. Formula di raformazione della derivaa. Regola di raformazione della funzione inegrale..... pag. 6. Funzioni a gradino. a econda proprieà di hifing.... pag. 7. Inegrale di convoluzione. Regola di raformazione.... pag. 8. Applicazione della raformazione di aplace alla rioluzione di problemi di condizioni iniziali.... pag. Capiolo II EQUAZIONI AE DERIVATE PARZIAI. NOZIONI GENERAI. Capiolo III EQUAZIONI AE DERIVATE PARZIAI DI TIPO IPERBOICO. EQUAZIONE DEE ONDE. Capiolo IV EQUAZIONI AE DERIVATE PARZIAI DI TIPO PARABOICO. EQUAZIONE DE CAORE.
Capiolo I A TRASFORMAZIONE DI APACE.. Funzioni raformabili econdo aplace. Acia e emipiano di convergenza. Sia una variabile reale definia nell inervallo [, ) ed f () una funzione calare reale di ale variabile, definia nel medeimo inervallo (la eoria ulle funzioni di aplace ammee anche che f () ia una funzione complea). Indicando con il valore numerico di un paramero, che può eere reale o compleo, definiamo la funzione daa dal prodoo e f(), ancora dipendene dalla ola variabile emporale. Se ull ae reale [, ) conideriamo un qualiai inervallo limiao di empo, ad eempio [, T ] con T numero reale poiivo arbirario, poiamo calcolare l inegrale definio della precedene funzione ra i due eremi T e f() d F( T, ) inergale al primo membro, quindi, definice una funzione di T ed. Ammeendo per ipoei che la funzione f () ia coninua, o generalmene coninua, in [, T ], l inegrale crio eie ed è finio, dao che una funzione coninua definia in un inervallo chiuo e limiao è icuramene inegrabile. Indaghiamo allora ull eienza del limie della funzione FT (, ) per T che ende ad infinio, oia lim FT (, ) lim e f( d ) T + T T + Supponendo che queo eia ed auma un valore finio, è lecio crivere T + T lim e f( ) d e f( ) d (.)
.. Definizione. Quando riula valida l epreione (.) diremo che la funzione f () è raformabile econdo aplace. Analizzando l epreione (.) oerviamo che non vi è più dipendenza da T, ma olo dal paramero. Sudiamo quindi l influenza del paramero u ale epreione. In riferimeno ad un piano compleo Im( ), Re( ), poiché è un numero reale, per ogni numero la cui pare reale ia maggiore di riula che ovvero la funzione e riula decrecene. > < Re( ) e e Riornando all inegrale (.), la precedene ci permee di crivere che In ragione di ciò e f() d < e f() d.. Propoizione. Una vola deerminao un valore ale che l inegrale (.) converga, è cero che convergeranno ui gli inegrali in cui auma un valore ale che Re( ) >..3. Definizione. Individuao il valore di cui opra, l inegrale e f() d (.) eie finio e prende il nome di inegrale di aplace della funzione f. () Occorre, dunque, individuare il minimo valore di che faccia convergere l inegrale (.). A ale copo indichiamo con Σ l inieme numerico di ui i valori di che rendano convergene l inegrale in eame. Tale inieme è icuramene doao di un eremo inferiore (evenualmene ) che indichiamo con Perciò β inf { Σ } 3
.4. Definizione. Il più piccolo valore di che rende convergene l inegrale di aplace è pari a Re( ) β, il quale prende il nome di acia di convergenza dell inegrale di aplace. Im( ) o Re( ) Sul piano Im( ), Re( ), alla dera della rea di equazione Re( ) β rimane definio il emipiano compleo di convergenza dell inegrale di aplace. Allora riula che per ogni la cui pare reale riula maggiore del valore β, l inegrale (.) converge icuramene. Al conrario, per ogni la cui pare reale riula minore del valore β, l inegrale di aplace (.) icuramene non converge. Rea indeerminao il cao in cui Re( ) conoce il comporameno dell inegrale lungo l acia di convergenza. β, oia non i.5. Definizione. Dipendendo dalla nuova variabile, dea paramero o variabile di aplace, la (.) definice una funzione f ˆ( ) che prende il nome di raformaa di aplace della funzione f, () indicaa imbolicamene da f () f ˆ() (.3) 4
. Traformae di funzioni elemenari. Eempi. In quano la raformazione di aplace è una raformazione lineare, valgono le egueni due proprieà a) k() f k() f ˆ k f ( ) k f ( ) k fˆ( ) k fˆ ( ) b) + + Illuriamo ora le raformae delle principali funzioni elemenari. I. Daa la funzione f () k, applichiamo la definizione (.) f () e kd k e d Quindi riula k k e k k menre e Re( ) β l inegrale non converge. e e olo e Re( ) > II. Daa la funzione f () e b, applichiamo la definizione (.) b f () e ed ( b) e d Dunque riula ( b) e b b 5
e b b e e olo e Re( ) > b menre ulla rea limie Re( ) β b l inegrale non converge. Riula poi che b e + b e e olo e Re( ) > b III. Daa la funzione f (), applichiamo la definizione (.) f () e d Allora i ha e e + d e menre e Re( ) β l inegrale non converge. e e olo e Re( ) > IV. Daa la funzione f () n, inegrando per pari n vole, i dimora che Quindi n! n n+ n f ( ) e d... n! n+ e e olo e Re( ) > V. Daa la funzione f () in( ω ), applichiamo la definizione (.) Inroducendo la formula di Eulero () in( ω ) f e d e in( ω ) 6 iω e i iω
riula iω iω e e f e d () i i iω i+ iω iω ω i + ω + ω Allora i ha ω in( ω) + ω e e olo e Re( ) > VI. Daa la funzione f () co( ω ), applichiamo la definizione (.) Inroducendo la formula di Eulero ( ) co( ω ) f e d riula e co( ω ) iω e iω iω iω e e f () e d + ω Allora i ha co( ω) + ω e e olo e Re( ) >.. Oervazione. Come morano le formule (V) e (VI), le raformae delle funzioni eno e coeno ono molo imili: ambedue hanno al denominaore il ermine + ω, ma menre la funzione eno ha al numeraore la coane ω che compare nel uo argomeno ( ω ), la funzione coeno ha la variabile di aplace. VII. Daa la funzione f ( ) inh( ω ), applichiamo la definizione (.) 7
Inroducendo la formula di Eulero ( ) inh( ω ) f e d riula e inh( ω ) ω e ω ω ω e e f () e d ( ω) ( + ω) ω e e d ω Perciò vale ω inh( ω) ω e e olo e Re( ) > ω VIII. Daa la funzione f () coh( ω ), applichiamo la definizione (.) Inroducendo la formula di Eulero () coh( ω ) f e d riula e coh( ω ) ω + e ω ω ω e + e f () e d Perciò vale ( ω) ( + ω) + e e d ω coh( ω) ω e e olo e Re( ) > ω.. Oervazione. e formule VII e VIII riguardani le funzioni iperboliche ono molo imili alle formule V e VI relaive le funzioni rigonomeriche: l unica differenza a nel 8
denominaore poiché le funzioni circolari hanno la omma dei quadrai + ω, menre quelle iperboliche hanno la differenza di quadrai ω. Tuo rimane invariao per i numeraori, con la funzione eno che preena la coane ω che compare nel uo argomeno ( ω ) e la funzione coeno che preena la variabile di aplace. a raformazione di aplace, dunque, è un operaore che fa corripondere ad una funzione originaria f () una funzione raformaa f ˆ( ) econdo le modalià appena epoe. Di quea, però, eie anche la funzione invera, che fa corripondere ad una funzione di aplace f ˆ( ) una funzione aniraformaa di aplace f. () Il ignificao della raformazione invera può eere compreo aravero gli eempi riporai nella Tabella. k k Re( ) > b e Re( b) > b b e b Re( + b) > b + b Re( ) > n n! Re( ) > n + ( ω ) in ( ω ) co ( ω ) inh ( ω ) coh ω + ω + ω ω ω ω Tabella. Traformae di aplace elemenari Re( ) > Re( ) > Re( ) Re( ) > ω β ω > ω β ω β > ( β non converge) β > ( β b non converge) β > ( β b non converge) β > ( β non converge) β > ( β non converge) β > ( β non converge) β > ( β non converge) > ( β ωnon converge) > ( β ωnon converge) k k b e b 9 in ( ω ) + ω + ω ω co( ω )
b e + b n n n! Tabella. Aniraformae di aplace elemenari ω ω inh ( ω ) coh( ω ) ω 3. Proprieà elemenari della raformazione di aplace. a prima proprieà di hifing. Conideriamo la funzione (): () f e f d <+ (3.) oia ale che l inegrale del modulo della funzione ia convergene in un emipiano di convergenza aolua Re( ) > raformabili. β. e funzioni del ipo (3.) i dicono aoluamene Una funzione f () i dice di ordine eponenziale quando eiono due coani poiive Mb, > ali che valga la eguene diuguaglianza f () Me b [, ) (3.) b oia ogni funzione che ia maggiorabile con l eponenziale Me i dice di ordine eponenziale. Tue le funzioni in ora analizzae riulano ali come può eere facilmene dimorao n b Me ; in( ) b ω Me ; co( ) b ω Me ;. Quee funzioni devono la loro imporanza al crierio di eienza della funzione raformaa di aplace econdo cui ogni funzione di ordine eponenziale è ceramene aoluamene raformabile econdo aplace, infai applicando la diuguaglianza (3.) riula
b e f() d M e e d ( b) e f() d M e d M e f( ) d con Re( ) > b b 3.. Oervazione. Quea è una condizione ufficiene ma non necearia per aicurare l eienza della raformaa di una funzione f. () 4 3.. Eempio. Analizziamo la funzione f () e il cui inegrale di aplace riula 4 e e d In al cao l infinio 4 e è di ordine uperiore all eponenziale e quindi non eie la raformaa di aplace dao che l inegrale non converge. 3.3. Eempio. Sia f () e dicuiamo l eienza della raformaa f (). Riula lim + quindi, a caua della ingolarià di f, () l inegrale non può convergere. Occorre però diinguere le ingolarià ommabili da quelle non ommabili. Analizzando l inegrale a a d oerviamo che l operazione di inegrazione elimina la ingolarià in queione deerminando una primiiva coninua della funzione f. () Al conrario, e f () / riula a a d a
Dunque, quando ci ono puni ingolari nell inervallo di inegrazione i hanno due cai: a) la ingolarià compare con l inegrazione e allora eie l inegrale di aplace; b) la ingolarià non compare con l inegrazione e allora non eie l inegrale di aplace. Quando riula lim f ( ) + a occorre verificare e l ordine dell infinio è maggiore o minore di uno. Nel econdo cao la funzione è inegrabile, menre nel primo non eie l inegrale di aplace, infai in riferimeno all eempio 3.3. i ha lim + lim + O < 3 O > e / e d d Analizziamo adeo la proprieà fondamenale dell aniraformaa econdo cui condizione olo necearia affinché una daa funzione f ˆ( ) della variabile poa eere una raformaa di aplace è che il limie di ale funzione quando ende a + ia uguale a zero, ovvero lim f ˆ( ) (3.3) + Condizione olo necearia ignifica che e f ( ) : f ( ) f ˆ ( ) lim f ˆ ( ) + ma il verificari della (3.3) non implica l eienza dell aniraformaa. Ogni funzione f ˆ( ) che non dovee verificare la (3.3) non può eere una raformaa di aplace. Ad eempio della funzione coane f ˆ( ) f ˆ( ) a+ b, non eiono aniraformae di aplace. k e delle funzione lineari della variabile, come Inroduciamo ora la prima proprieà di hifing della raformazione di aplace, econdo cui, noa la raformaa di aplace è poibile crivere f () f ˆ()
Ciò può eere dimorao come egue b fe () f ˆ( b ) b ( b) e e f d e f d fˆ b () () ( ) 3.4. Eempio. Conideriamo la funzione raformaa di aplace a ua aniraformaa varrà in relazione alla raformazione f ˆ( ) + 3 ( 4) + ( 4) e! 4 3 3! 3.5. Eempio. Calcoliamo l aniraformaa Poiché vale nel noro cao riula + + + ( ) 9 co(3 ) + 9 + co(3 e ) ( + ) + 9 4. Aniraformae delle funzioni razionali. Conideriamo una generica funzione razionale definia dal rapporo di due polinomi in 3
Se riula m a a... P () Q () m m m + + + n n n + b + b +... n, oia prevale il grado del numeraore, non eie l aniraformaa, almeno nel campo delle funzioni ordinarie. Occorre quindi limiari al cao in cui il grado del numeraore riuli reamene minore di quello del denominaore. Il cao più emplice è quello della funzione coì coiuia a + b f ˆ( ) + α + β in preenza del quale i operano gli arifici uggerii dai egueni eempi. 4.. Eempio. Conideriamo la funzione raformaa ˆ( + 4 f ) + 6 + ed eeguiamo una erie di paaggi per poerne deerminare la funzione aniraformaa + 4 ( + 3) + + 6 + ( + 3) + + 3 + ( + 3) + ( + 3) + 3 3 co( e ) + in( e ) quindi e (in( ) co( )) 3 + 3 f () e + in() co() 4.. Oervazione. Come confermao dal puno 4.., quando il polinomio al denominaore di una funzione razionale raformaa ammee due radici complee coniugae, l aniraformaa coniene funzioni rigonomeriche circolari. 4.3. Eempio. Conideriamo la funzione raformaa ˆ( + 3 f ) + + 5 e proponiamoci di deerminarne la funzione aniraformaa 4
+ 3 + 3 + + 5 ( + 5) ( + 5) 7 ( + 5) + 5 7 ( + 5) ( + 5) 7 + 5 ( + 5) 5 5 e 7e dunque e ( 7 ) 5 f e () 5 ( 7) 4.4. Oervazione. Come confermao dal puno 4.3., quando il polinomio al denominaore di una funzione razionale raformaa ammee due radici reali e coincideni, l aniraformaa i preena nella forma 4.5. Eempio. Sia f ˆ( ) e ( a+ b) β ˆ( 3 + 8 f ) + 5 + 6 e e ne calcoli l aniraformaa. Riula 3 + 8 3 + 8 + 5 + 6 5 + 4 5
5 3 + + 5 + 4 5 + 3 + 5 5 + + 4 4 5 5 3e coh e inh quindi Ricordando che 5 e inh + 3 coh 5 + f () e inh 3coh + e inh e coh 3 e + e la funzione aniraformaa può eere cria come 5 f () e + + e e 3e 3e 5 e + 4e e e e 4.6. Oervazione. Come i può oervare dall Eempio 4.5., quando il polinomio al denominaore di una funzione razionale raformaa ammee due radici reali e diine, l aniraformaa preena al uo inerno funzioni rigonomeriche iperboliche. 6
4.7. Eempio. Conideriamo la funzione raformaa ˆ( 4 + 5 f ) + 8 + 5 e proponiamoci di deerminarne la funzione aniraformaa 4 + 5 4 + 5 + 8 + 5 ( + 4) 4( + 4) ( + 4) 4( + 4) ( + 4) ( + 4) 4 4 4 coh( e ) inh( e ) dunque ( 4coh( ) inh( )) e 4 4 f ( ) e 4 coh( ) inh( ) 4.8. Oervazione. Quando, come nel cao dell eempio 4.7., le radici del polinomio al denominaore della funzione razionale ono reali e diine, la frazione può eere compoa in frai emplici, oia 4 + 5 A B + + 8 + 5 + 5 + 3 dove i ermini A e B vengono calcolai con il principio di idenià dei polinomi A B ( A+ B) + 3A+ 5B + + 5 + 3 ( + 5)( + 3) imponendo A+ B 4 A 5 + 3A 5B 5 B 7 quindi 4 + 5 5 7 5 5 7 3 e e + 8 + 5 + 5 + 3 7
5. Formula di raformazione della derivaa. Regola di raformazione della funzione inegrale. Ricaviamo ora la regola di raformazione della derivaa. Supponiamo di conocere la raformaa di una cera funzione f () f ˆ() e proponiamoci di deerminare la raformazione della derivaa della funzione medeima, oia Riolvendo per pari riula '( ) '( ) f e f d e f'( d ) e f ( ) + + ˆ e fd ( ) f() f ( ) quindi f '( ) fˆ ( ) f () (5.) a (5.) rappreena, quindi, la formula di raformazione della derivaa prima della funzione f. () 5.. Oervazione. Al econdo membro della (5.) compare il valore iniziale f () della funzione. Se ale valore è nullo la formula di raformazione della derivaa prima diviene f '( ) fˆ ( ) Dunque, la raformazione di aplace raforma l operazione racendene di derivazione nel emplice prodoo algebrico di f ˆ( ). Analizziamo come i raforma la derivaa econda 8
f '( ) e f ''( ) d e f '( ) + e f '( ) d da cui i oiene f '() + e f() + e f() d f ''( ) f( ) f() f '() (5.) ˆ 5.. Oervazione. Nella (5.) compaiono i valori iniziali della funzione e della derivaa prima. Qualora quei foero nulli la raformaa aocia alla derivaa econda il prodoo del quadrao di per la funzione raformaa f ''( ) f( ) ˆ Si può quindi coruire la raformaa della derivaa n-eima di una cera funzione f () aegnaa ( n ) n ˆ n n ( n f ( ) f( ) f() f '()... f ) () (5.3) dove compaiono ui i valori iniziali da f () a ( n f ) (). 5.3. Oervazione. Quando dei valori iniziali ono ui nulli, la raformazione aocia alla derivazione n-eima la poenza n-eima della variabile. Supponiamo ora che la raformaa di una funzione f () ia f ˆ( ) e proponiamoci di raformare il prodoo f () crivendo Si può oervare che quindi f() e f() d e e 9
() () f e f d Poiché l inegrazione è eeguia ripeo a è poibile crivere e f() d e f() d f ˆ( ) dunque vale f() fˆ () Tale regola di raformazione può eere facilmene generalizzaa nella eguene epreione n n f() ( ) n f ˆ () n (5.4) Analizziamo adeo come la raformazione di aplace i compora nei confroni della funzione inegrale. Ricordiamo dall analii che vale la eguene formula di riduzione per gli inegrali doppi b b b d f(, y) dy dy f (, y) d (5.5) a a a y dea formula di inverione degli inegrali doppi in un dominio normale ripeo a ui e due gli ai o formula di Dirichle. Al fine di deerminare il valore della raformaa funzione inegrale della funzione aegnaa f () i opera nel modo eguene f( τ) dτ e d f( τ) dτ Dall applicazione della (5.5), avendo poo oeniamo ; y τ ; a ; b
e d f( τ) dτ dτ e f( τ) d f( τ) dτ e d e f( τ) dτ τ τ τ τ e f( ) d f ˆ ( ) Quindi la raformazione degli inegrali avviene econdo la relazione f( τ) dτ f ˆ ( ) (5.6) dea regola di raformazione della funzione inegrale. Dunque, la raformazione di aplace raforma l operazione racendene di inegrazione con emplice diviione algebrica per la variabile. τ τ 5.4. Eempio. Volendo calcolare l aniraformaa della funzione i deve procedere come egue da cui ricaviamo + + f ˆ( ) ( ) 9 + + ˆ( ) f ( ) 9 3 3 ( + ) + 9 ( ( + ) + 9) 3 τ e in(3 τ) dτ
6. e funzioni a gradino. a econda proprieà di hifing. a funzione η () coì definia < η () > preena una diconinuià di prima pecie in e prende il nome di funzione a gradino uniaria o funzione di Heaviide (o ancora ep funcion). Si può anche avere dove la diconinuià i ha in a. < a η ( a) > a η() η( a) a a funzione a gradino complemenare di que ulima riula > a η ( a ) < a Secondo ali definizioni è banale verificare che η( a) + η ( a ) Andiamo quindi a deerminare le raformae di aplace per quee due funzioni a gradino. Per quano riguarda la funzione η ( a) i ha η( a) e η ( a) d Spezzando l inervallo di inegrazione econdo le condizioni impoe dalla funzione a gradino oeniamo
a + η( a) e η( a) d e η( a) d a Vale anche la funzione invera a e > a e e d a a e η ( a) con Per quano riguarda, invece, la funzione a gradino complemenare i frua la proprieà elemenare quindi poiamo crivere + η( a) η ( a ) e η( a ) η ( a) Si può alreì verificare la precedene applicando la definizione di raformazione di aplace a η( a ) e η( a ) d a + a e η( a) d e η( a) d e d e a a e > Supponiamo ora di dover raformare una funzione del ipo η ( a) f( a) f a ( a) con < a > a dove il paramero a riula empre poiivo. Andiamo quindi a coniderare l inegrale di aplace η( af ) ( a) e η ( af ) ( ad ) 3
che può eere compoo nella omma a e η( a) f( a) d e η( a) f( a) d + e η ( a) f( a) d e per come è definia la funzione η ( a) f( a) oeniamo η ( a) f( a) e f( a) d Eeguendo il cambiameno di variabile a τ cui corripondono le variazioni a d dτ a + τ ed il cambiameno degli eremi di inegrazione i oiene a τ τ (a+ τ) η( a) f( a) e f( τ) dτ a τ a e e f( τ) dτ e fˆ ( ) a (6.) prende il nome di econda proprieà di hifing. Qualora i preeni la neceià di riolvere l aniraformaa riula e aˆ( f ) η ( a )( f a ) a (6.) 6.. Eempio. Proponiamoci di calcolare l aniraformaa Poiché riula 3 e + 6 in(4 ) + 6 4 applicando la econda proprieà di hifing oeniamo dove 3 e η ( 3)in 4( 3) + 6 4 4
> 3 η( 3) < 3 6.. Eempio. Calcoliamo l aniraformaa della funzione Poiamo comporre come egue e ˆ( f ) + 6 + e + + ˆ( ) f ( 3) e applicando le proprieà di hifing oeniamo 3 3 + ( + 3) + ( + 3) + e e ( ) e co( ) 3in( ) + 6 + 3( ) η 7. Inegrale di convoluzione. Regola di raformazione. Siano aegnae le funzioni f () e g () definie ull inervallo [, ) e ivi coninue (una delle due può anche eere generalmene coninua). Soo ali ipoei eie finio il eguene inegrale f( τ) g( τ) dτ f g che prende il nome di inegrale di convoluzione delle funzioni o anche prodoo inegrale. Vale la proprieà commuaiva dell inegrale di convoluzione f g f( τ) g( τ) dτ f( τ) g( τ) dτ a verifica immediaa i può oenere oiuendo nel primo inegrale la variabile τ' τ, cui eguono i egueni cambiameni ulle variabili 5
dτ dτ' τ τ' e ugli eremi di inegrazione τ τ' τ τ' Il primo inegrale riula quindi f( τ') g( τ') dτ' f( τ') g( τ') dτ ' oia coincide con il econdo. Analizziamo come i raforma con aplace il prodoo inegrale, ovvero quano vale f g e d f( τ) g( τ) dτ Applicando la formula di Dirichle e oiuendo oeniamo ; τ y ; a ; b f g dτ e f( τ) g( τ) d τ τ f( τ) dτ e g( τ) d Poniamo quindi ' τ oervando i egueni cambiameni di variabile d d ' ' + τ e ugli eremi di inegrazione Ne dicende τ ' ' (' + τ) f g f( τ) dτ e g( ') d' τ ' e f τ dτ e g d 6 ( ) ( ') '
Quei due inegrali riulano indipendeni e valgono f g f ˆ () g ˆ () Dunque la raformazione di aplace raforma l operazione racendene di convoluzione di due funzioni nel emplice prodoo algebrico delle due raformae delle funzioni. a formula invera, noe le ani raformae delle due funzioni, riula fg ˆ()() ˆ f g 7.. Eempio. Volendo deerminare l aniraformaa calcoliamo eparaamene ( + 3) 3! 3 3 e ; 4 per poi oenere ovvero, in alre parole 3 4 ( 3) ( ) 9 + + + 3 3 4 3 e + + ( ) 9 3 e e ( + 3) ( + ) + 9 3! 3 3 e τ 3 4 ( 3) ( ) 9 3! + + + ( in(3 )) e ( τ) in(3 τ) dτ in(3 ) 8. Applicazione della raformazione di aplace alla rioluzione di problemi di valori iniziali Conideriamo l equazione differenziale cui aociamo i egueni valori iniziali equazione caraeriica arà y + 5y + 6y y() ; y () λ + 5λ + 6 7
e aravero la raformazione di aplace imponiamo che y + 5y + 6y Calcoliamo y ˆ y y() y () y yˆ y() che aravero le condizioni iniziali divenano y ˆ y y yˆ Soiuendo nell equazione raformaa i ha ( + 5 + 6) yˆ 5 e ricavando ŷ oeniamo + 5 yˆ + 5 + 6 Il problema è riolo deerminando l aniraformaa della ŷ appena calcolaa y () + 5 + ( 5/) /4 + 5/ 5/ + + ( 5/) /4 ( 5/) /4 5 5 + e coh 5 inh 8.. Oervazione. Si ponga aenzione al fao che il denominaore della funzione raformaa di aplace differenziale. ŷ coincide con il polinomio caraeriico dell equazione 8
Capiolo II EQUAZIONI AE DERIVATE PARZIAI. NOZIONI GENERAI.. Brevi richiami ui problemi di condizioni iniziali delle equazioni differenziali ordinarie. Indichiamo con la variabile indipendene definia u, ) e con ϕ () una funzione di ( n) dea variabile, definia ul medeimo inervallo. Siano ϕ', ϕ'',..., ϕ le derivae n-eime della funzione ϕ ϕ(). Conideriamo la relazione Fϕ ϕ ( n), ', '',..., ϕ co. dove F è una funzione noa aegnaa delle ue variabili. a (.) prende il nome di equazione differenziale ordinaria di ordine n nell incognia funzione ϕ (). Ricordiamo che l ordine di un equazione differenziale è rappreenao dal maimo ordine di derivazione che compare. Quando, molo in paricolare, la funzione F riula una funzione lineare dei uoi argomeni, l equazione differenziale è dea lineare; in ogni alro cao l equazione è non lineare. Dire che l epreione (.) è lineare ignifica che ea è un polinomio compoo da monomi di primo grado, quindi può eere ricria come egue F a + a +... + a co. ( n) ( n ) ϕ ϕ n n Talvola i preena la neceià di riolvere l equazione (.) ripeo alla derivaa di grado maimo, oia raformandola nella forma ( n) ( n ) ϕ G, ϕ, ϕ',..., ϕ (.) Ovviamene occorre empre verificare l eienza e l unicià della oluzione riolvendo, cioè, quello che prende il nome di problema della radici implicie. Supponendo che la (.) poa 9 (.)
pori univocamene nella forma (.), può eere riola nella ua forma normale per la quale valgono numeroi riulai che non valgono per la (.). Quando la (.) ammee oluzioni, quee ono infinie. Si rende, quindi, necearia l inegrazione della oluzione generale con le condizioni iniziali del problema, oia fiao in maniera arbiraria un valore, deo iane iniziale, vengono aegnai i valori delle derivae n-eime della funzione ϕ () nel medeimo iane dove i ermini ( n ) ϕ( ) ϕ ϕ'( ) ϕ' ϕ ( ) ϕ ( n ) ( n ) (.3) ϕ, ϕ',..., ϕ ono valori noi. Il iema (.3) i dice iema di condizioni iniziali aociao all equazione differenziale. Vale il eguene eorema di eienza ed unicià della oluzione del problema di condizioni iniziali (.) e (.3)... Teorema. Quando la funzione G è ufficienemene regolare eie ed è unica la funzione ϕ ϕ() che riolve ia l epreione (.) che il iema (.3). unico meodo applicabile, in generale, per la deerminazione della oluzione è baao ullo viluppo in erie di Taylor della oluzione incognia ϕ ϕ() e, cioè, i preume che ϕ (), di cui è aicuraa l eienza e l unicià, ia una funzione del ipo ϕ ϕ ( ) ( n) n () ( ) n n! oia viluppabile in erie di Taylor di puno iniziale. Se la erie converge i è deerminaa la oluzione. Occorre però conocere ue le derivae della funzione incognia ed è quindi neceario ricorrere alle condizioni iniziali impoe dal iema (.3) 3
n () ϕ ( ) ϕ( ) ϕ n ϕ'( ) ϕ' n ϕ ( ) ϕ ( n ) ( n ) a derivaa n-eima viene deerminaa calcolando la (.) in corripondenza dell iane iniziale n ( n) n ϕ ( ) G, ϕ, ϕ',..., ϕ Per le derivae di ordine ucceivo i deriva membro a membro l equazione (.) ripeo alla variabile indipendene ( n+ ) d ( n ) ϕ ( ) G, ϕ( ), ϕ'( ),..., ϕ ( ) d G G G G + ϕ + ϕ + + ϕ ϕ ϕ' ϕ ( n) '( ) ''( )... ( ) ( n ) e all iane arà ( ) G G '( )... G ϕ + ϕ + + ϕ ( ) ( n+ ) ( n) ( n ) ϕ ϕ Ierando la derivazione dell epreione (.) i poono quindi ricavare le derivae di qualiai ordine riolvendo coì il problema.. Equazioni alle derivae parziali del primo e del econdo ordine. Coniderazioni generali. Sudiando il cao in cui le variabili indipendeni iano e y, che varranno in un dominio D del piano ( y, ), conideriamo una funzione u u(, y) definia anch ea nel dominio D. Supponendo che dea funzione ia derivabile, oia ipoizzando l eienza di 3
u u u u y ; y andiamo a coniderare una relazione del ipo Fyuu, ;,, u co. y (.) dove F è una funzione noa e aegnaa di ue le due variabili. a (.) è dea equazione alle derivae parziali del primo ordine nella incognia funzione u. Quando, in paricolare, F è una funzione lineare delle ole variabili incognie uu,, u ale y che F au + bu + cu + h(, y) co. (.) y l equazione i dirà lineare, dove a,b,c ono coani o funzioni di,y ma non dell incognia u. a (.) è la più generale equazione lineare a derivae parziali del primo ordine. Quando, in paricolare, ui i coefficieni riulano coani i parlerà di equazioni lineari del primo ordine a coefficieni coani. Ad eempio, coniderando la funzione u u(,) i può udiare l equazione Se invece accade che u ' + cu (.3) F ayu (,, ) u + byu (,, ) u + cyu (,, ) y l equazione riula non lineare, in paricolare i dice quai lineare o emilineare (ci ono differenze di claificazione in leeraura) dao che la non linearià coinvolge olo l incognia u, ma non le ue derivae prime. Conideriamo ora le equazioni del econdo ordine uilizzando le egueni noazioni u u ; u y u yy ; u y u y Conideriamo la relazione F, y; u, u, u, u, u co. y yy y (.4) Quea è la più generale equazione a derivae parziali del econdo ordine nell incognia funzione u. Anche in queo cao e la (.4) dovee preenari nella forma ayu (,, ) u + byu (,, ) u + cyu (,, ) u + dyu (,,, u) y yy y 3
i dirà equazione emilineare del econdo ordine, poiché i coefficieni moliplicaivi della derivaa di ordine maimo dipendono olo da u e non dalle derivae. Il rinomio ayu (,, ) u + byu (,, ) u + cyu (,, ) u y yy prende il nome di pare principale dell equazione differenziale. Elenchiamo ora alcuni ipi di equazioni differenziali alle derivae parziali. epreione u + u + c(, c y, u, u, u ) yy y è dea equazione di ipo elliico. Ponendo il ermine ccyuu (,,,, u ) i oiene quella y che è chiamaa equazione di aplace o del poenziale u + u yy Con riferimeno al cao in cui le variabili iano e, i può inconrare l equazione u c u che prende il nome di equazione di propagazione delle onde o di ipo iperbolico. Infine, e l equazione di preena nella forma u ku è dea equazione di diffuione o di ipo parabolico. 3. Equazioni alle derivae parziali del primo ordine. Curve caraeriiche. Conideriamo l equazione del primo ordine del ipo a (,) u + b (,) u fu (,, ) (3.) dove a, b ed f ono funzioni noe dei loro argomeni. Si oervi che i coefficieni a e b ono funzioni delle ole variabili e, a differenza della funzione f, dipendene anche dall incognia u. equazione riula quindi emilineare. Se invece, in paricolare, la funzione f foe una funzione del ipo f f(,), oia non dipendene da u, l equazione (3.) arebbe lineare a coefficieni variabili. Un conceo fondamenale delle equazioni differenziali a derivae parziali è quello di curva caraeriica, che ci limiiamo a definire per equazioni emilineari del ipo (3.). 33
Come nelle equazioni ordinarie, e eiono le oluzioni dell equazione, quee ono infinie e quindi riula neceario inrodurre delle condizioni al conorno. impoizione di ali condizioni deve avvenire nel dominio dell incognia u u(,), dominio del piano (,), perciò occorre una cera curva γ u cui vengono fiai i uoi valori. Supponendo che γ ia regolare, indichiamo con un iema di acie curvilinee di modo che la curva poa eere rappreenaa da equazioni parameriche del ipo () γ : () Definire l incognia u ulla curva γ ignifica indicare i valori auni dalle funzioni () e (), oia u u (),() γ All equazione (3.) i aocia quindi la eguene condizione u (),() ϕ() Occorre quindi ricercare una funzione u u(,) che oddifi l equazione (3.) e la condizione (3.). Tale problema prende il nome di problema di Cauchy. a oluzione, in linea di principio e dal puno di via eorico, i può oenere dallo viluppo in erie della funzione incognia u (,). Scegliendo, quindi, un generico puno P della curva γ di coordinae (, ) andiamo a coniderare un uo inorno conenene il puno P (,) ed eeguiamo lo viluppo in erie di Taylor di puno iniziale P della funzione incognia u (,) u u u (,) u (, ) + ( ) + ( ) + γ γ ( ) ( ) + + ( )( ) + +... u u u!! γ γ γ Se la erie converge, la omma della erie rappreena la oluzione dell equazione differenziale. (3.) I coefficieni del primo ordine ono u γ e u γ oia le derivae prime della incognia calcolae ulla curva; per i coefficieni del econdo ordine u, u e u γ γ ono invece γ necearie le derivae econde della incognia calcolae ulla curva γ, e coì via. a 34
condizione (3.) fornice olo il valore di u ulla curva e non quello delle ue derivae, ma e dea relazione noa riula vera vale anche d u (),() ϕ '() d Applicando la regola di derivazione delle funzioni compoe oeniamo u '( ) + u '( ) ϕ '( ) γ γ Quea è un equazione algebrica nelle due incognie che ono necearie alla rioluzione del problema. a relazione che ci permee di deerminare dei coefficieni aravero la rioluzione di un iema algebrico i oiene dall equazione differenziale (3.) calcolaa ui puni della curva γ ( ) a u + b u f (),(), u (),() γ γ γ γ Anch ea riula un equazione algebrica nelle incognie che iamo calcolando, che ci permee di creare il eguene iema au + bu f ' u + ' u ϕ ' dove ue le grandezze preeni ono valuae ulla curva γ. (3.3) Si oiene, quindi, un iema non omogeneo di due equazioni algebriche nelle due incognie u u u u che ammee oluzione olo e la marice dei coefficieni è non degenere, ovvero dovrà γ γ riulare a b de a ' b ' ' ' Ricordando che d ' d d ' d la condizione (3.4), nel cao in cui non venga ripeaa, conduce a d a d d b d (3.4) 35
d a ( (),() ) (3.5) d b Qualora la relazione (3.5), equazione differenziale del primo ordine nell incognia funzione (), riulae verificaa il problema non ammeerebbe oluzioni. inegrale generale della (3.5) è pari a (, k) (3.6) Quea rappreena una facio improprio di curve al variare del paramero k ul piano (,) che prendono il nome di curve vieae, oia che non poono eere aune quali curve di riferimeno. Su di ee, quindi, non è poibile aegnare i valori dell incognia u e prendono il nome di curve caraeriiche dell equazione differenziale. Tue le curve non caraeriiche ono curve di Cauchy, dove u γ e u γ ono univocamene deerminae e come nel cao delle equazioni ordinarie, il calcolo effeivo delle derivae ucceive ulla curva i effeua andando a calcolare le derivae ucceive dell equazione e imponendo i valori noi ulla curva. Tra le curve del piano (,) vi è ceramene quella di equazione, coincidene con l ae. Ammeiamo che per l equazione (3.) dea rea non ia una curva caraeriica e quindi vi i poano aegnare i dai iniziali. a condizione (3.), in al cao, i ricriverà nella forma u [,] ϕ() (3.7) In queo cao paricolare, il problema di Cauchy i dirà problema di valore iniziale. 4. Equazioni alle derivae parziali del primo ordine. Problemi di valore iniziale. Un eempio noevole di problema di valore iniziale è il eguene u + cu (4.) u (,) f() (4.) in cui all equazione (4.) è aegnao il valore iniziale (4.) upponendo che la curva ia non caraeriica. Per verificare ale ipoei occorre deerminare l equazione delle famiglia di curve caraeriiche inroducendo la curva di equazione 36
() () ulla quale deve valere Ricaviamo quindi il iema u (),() f (),() ' u + ' u f ' cu + u la cui marice dei coefficieni preena un deerminae pari a ' ' de ' c' c e curve caraeriiche rendono nullo il precedene deerminane, quindi d d c d d d c d Riolvendo quea equazione differenziale i oiene l equazione delle curve caraeriiche, ovvero c k (4.3) Diagrammando le curve caraeriiche i oiene il eguene grafico a famiglia di curve rappreenaa dall equazione (4.3) non comprende la rea, quindi il problema di valore iniziale può avere ignificao, eendo l ae un curva di Cauchy. Inroduciamo ora la variabile caraeriica definia come egue ξ c e andiamo a verificare e l equazione (4.) ammee come oluzione una funzione del ipo Riula che u F( c) F( ξ) (4.4) df() ξ ξ u F'( ξ) dξ df() ξ ξ u cf'( ξ) dξ 37
in quano, ξ Soiuendo nell equazione (4.) oeniamo ξ ; c cf'( ξ) + cf( ξ) ovvero l equazione riula idenicamene oddifaa per una qualiai funzione F, quindi ue le oluzioni della (4.) ono dae dalla forma (4.4), che ne rappreena l inegrale generale. Al fine di verificare la condizione (4.), la funzione F() ξ deve eere non più arbiraria, benì deve riulare u (,) F () f() F f Allora il problema (4.), (4.) ammee una ola oluzione daa da u (,) f( c) (4.5) In ermini grafici, aegniamo ui i valori della funzione ull ae e fiando un puno a piacere (,) la oluzione è daa da f ( c ) f( ) derivaa dalla deerminazione della coane k ungo la rea ( c) (,) c k la oluzione è daa da u(,) f ( c) f ( ) dove f ( ) è un ermine noo. Cambiando rea, ad eempio c k, riulerà ( c) in modo da oenere (,) u(,) f ( c) f ( ) Dunque, ogni valore iniziale fiao ull ae di ramee inalerao lungo i puni della caraeriica che paa per il puno (,). Aegniamo adeo i dai ulla rea caraeriica c. Il valore che la oluzione aume nel puno o è coane, quindi non è poibile oenere la oluzione ui reani puni del piano. 38
Il diurbo, quindi, i propaga in maniera coane lungo la curva caraeriica. Per riolvere il problema occorre indagare ull inero emipiano delle poiive, ovvero nel dominio < < + 5. Equazioni alle derivae parziali del primo ordine. Eempio di equazione non lineare. Conideriamo il problema di valore iniziale u + uu (5.) u (,) (5.) e curve caraeriiche i deerminano imponendo le egueni condizioni da cui deve riulare oia u u u + γ γ γ u ' + u ' ϕ ' γ 39 γ u de ' u' ' ' d u d γ a oluzione del problema arà del ipo implicio u F u (5.3) Verifichiamo allora l eienza della (5.3) inroducendo la variabile caraeriica ξ c Poiché riula ξ u Soiuendo nella (5.) oeniamo u u df( ξ) ξ dξ df( ξ) ξ dξ ξ ; u u
F ' u u u F ' u + F ' u u u uu + F ' u uu + ma dao che dalla (5.) riula u + uu i è dimorao che l epreione (5.3) è oluzione implicia dell equazione differenziale (5.) qualunque ia la funzione F. equazione (5.) è un equazione implicia nell incognia u che può eere riola epliciamene olo in cai paricolari di cela della funzione F. Imponiamo quindi la condizione (5.) di modo che F ( u) F () oia la funzione F deve eere una funzione idenica, per cui e quindi l incognia è daa da u u u( + ) u (5.4) + Queo procedimeno prende il nome di meodo delle funzioni implicie per la rioluzione di problemi di valore iniziale di equazioni differenziali non lineari. Si può verificare che la (5.4) verifica l equazione (5.) calcolando cui egue u u + ( + ) + ( + ) ( + ) 4
6. Equazioni emilineari del econdo ordine. Curve caraeriiche e claificazione delle equazioni Conideriamo l equazione au + bu + cu f (6.) y yy Dove a, b e c ono funzioni noe delle due variabili indipendeni e y. a funzione f dipende dalle variabili indipendeni ( y, ) e da uu,, u, quindi l equazione riula non y lineare, benì emilineare poiché la non linearià non coinvolge la pare principale dell equazione. a (6.) riula inolre a coefficieni variabili dao che a, b e c non ono coani. Anche in al cao ci proponiamo di riolvere il problema di Cauchy ponendoci nel piano delle variabili indipendeni e coniderando una curva regolare decria dalle equazioni () γ : y y() Savola, quindi, occorre imporre le condizioni ulla curva γ riguardani anche le due derivae prime u ϕ() γ u ψ() (6.) γ u ρ() y γ Vediamo allora e è poibile riolvere il problema (6.), (6.). e condizioni impoe aravero le (6.) equivalgono alle egueni u (), y () ϕ() u (), y() ψ() u (), y() ρ() y a prima condizione delle (6.3) equivale poi a (6.3) γ d u (), y () ϕ '() d u '( ) + u y'( ) ϕ '( ) (6.4) Soiuendo la econda e la erza condizione delle (6.3) nella (6.4) oeniamo 4 y γ
ψ( ) '( ) + ρ( ) y'( ) ϕ'( ) (6.5) Dunque i dai aegnai ϕ(), ψ(), ρ () devono empre verificare la condizione (6.5), dea condizione di compaibilià dei dai. a (6.5) riula un equazione, quindi dall impoizione della condizione di compaibilià deriva la poibilià di abilire quali condizioni di Cauchy il valore dell incognia u e una olano delle due derivae prime della medeima incognia. Talvola è anche poibile aegnare u γ e una combinazione lineare delle due derivae prime u ϕ() γ u + β u λ() γ y γ Ancora una vola, per deerminare la oluzione i ricorre allo viluppo di u econdo la erie di Taylor in un inorno di ogni generico puno iniziale (, y ) celo ulla curva γ. Oeniamo quindi uy (, ) u (, y) + u ( ) + u ( y y) +... γ y γ ( ) ( )( y y ) ( y y )... + u + u + u +... γ y yy! γ! γ! Occorrono, dunque, i coefficieni delle poenze, ricavabili aravero l impoizione delle condizioni di Cauchy olo per quano riguarda le derivae prime della incognia funzione u. Analogamene a quano fao per la (6.4), deriviamo ripeo ad la econda e la erza condizione del iema (6.3) u '( ) + u y'( ) ψ '( ) γ y γ u y'( ) + u '( ) ρ '( ) yy γ y γ oenendo un iema di due equazioni nelle re incognie a noi necearie. a erza equazione che ci permea di deerminare i coefficieni i ricava dalla medeima oervazione faa precedenemene, oia, poiché l equazione differenziale di parenza (6.) è definia ull inero piano ( y, ), dovrà eere verificaa anche lungo i puni della curva γ, quindi a u + b u + c u f γ γ γ y γ γ yy γ γ Si coiuice, coì, un iema di re equazioni algebriche non omogenee nelle re incognie u γ, yy u γ e y u γ 4
u '( ) + u y'( ) ψ '( ) γ y γ u y'( ) + u '( ) ρ '( ) (6.6) yy γ y γ a u + b u + c u f γ γ γ y γ γ yy γ γ Per il eorema di Cramer, il iema ammee oluzione e e olo e la marice dei coefficieni è non degenere, cioè e a b c de ' y' ' y' In bae alla condizione (6.7) andiamo a valuare i cai criici (6.7) c b y ay ' ' ' + ' 6.. Oervazione. Si prei empre paricolare aenzione alla poizione variaa dei coefficieni a, b e c. Dividendo uo per y ' riula Ricordando che riula e perciò i ha ' ' c b + a y' y' d dy ' ; y ' d d ' d y' dy d d c b + a dy dy banale equazione algebrica di econdo grado nell incognia d / dy, che riola dà (6.8) d b ± b ac dove i ermini a, b e c dipendono ui da ( y, ). dy (6.9) c Per emplificare la raazione, upponiamo che a, b e c iano coani e che quindi il dicriminane Δ abbia egno ben definio empre. Soo ali ipoei i hanno re condizioni poibili 43
i. Δ>, le due radici ono reali e diine, oia eiono due famiglie di curve caraeriiche reali ul piano ( y, ). In al cao l equazione di parenza (6.) i dice equazione di ipo iperbolico; ii. Δ, le due radici reali ono coincideni, ovvero eie una ola famiglia di curve caraeriiche reali ul piano ( y, ) e l equazione di parenza (6.) i dice di ipo parabolico; iii. Δ<, le due radici ono complee coniugae, quindi non eiono curve caraeriiche ul piano fiico reale ( y, ) e l equazione di parenza (6.) è dea di ipo elliico. Qualora i coefficieni a, b e c non foero coani, eierebbero regioni del piano ( y, ) in cui il dicriminane Δ aume valori poiivi, negaivi o nulli. In al cao i parlerà ripeivamene di regioni di iperbolicià, regioni di elliicià o regioni di parabolicià. Inolre, l equazione cambierà nel paaggio da una regione all alra. I calcoli precedeni preuppongono che, per ipoei, la coane c ia divera da zero. Se ciò non accadee, l equazione precedene va formulaa in ermini del rapporo dy / d, quindi in luogo della (6.8) avremmo l equazione generale da cui i ricava dy dy a b + c d d (6.) dy b ± b ac (6.) d a ipoei fondamenale è che non riulino conemporaneamene a c. 44
Capiolo III EQUAZIONI AE DERIVATE PARZIAI DI TIPO IPERBOICO. EQUAZIONE DEE ONDE.. equazione delle onde Conideriamo l equazione u c u (.) dea equazione delle onde. Confronandola con l equazione generale oerviamo che au bu + cu a c b c perciò, applicando l epreione (6.9) oeniamo d c d ± ed avendo c Δ > iamo raando ceramene un equazione di ipo iperbolico. Ricaviamo quindi che o meglio, i avranno due oluzioni c co. c k + c k che rappreenano le equazioni delle due famiglie di curve caraeriiche reali. 45
Ponendoci ul piano (,), andiamo a valuare le curve caraeriiche Ricordando i riulai oenui per i problemi del primo ordine, le condizioni di Cauchy poono eere aegnae u una qualunque curve del piano (,) che non coincide con alcuna delle curve caraeriiche appena deerminae. Analizziamo in modo paricolare la curva di equazione e verifichiamo che quea non ia una curva caraeriica. Quindi aegniamo come dai iniziali l incognia u γ ed una delle ue derivae prime u γ definio dalle egueni o u γ ull ae delle in modo da oenere il problema u c u (.) u (,) f() (.) u (,) f () (.3) che prende il nome di problema di valori iniziali per l equazione delle onde. Per la ua rioluzione inroduciamo le egueni variabili caraeriiche ξ + c η c che danno luogo alle egueni forme derivae + ξ η c c ξ η () + ξ η + + ξ η ξ η () c + c c c + + ξ η ξ η ξ η Soiuendo le variabili caraeriiche, con le derivae che ne coneguono, nell equazione delle onde (.) cu cu cu c u u u ξξ ηη ξη ξξ ηη ξη + ( + + ) 4cu ξη Dalla quale i ricava l equazione delle onde nella ua forma caraeriica 46
u ξη (.4) Nel cao in cui doveero riulare a c i oerrebbe ancora un equazione di ipo iperbolico. Se è verificaa la relazione u ξ η riula neceariamene che u F() ξ, equazione riolubile come ξ u F() ξ dξ G() ξ + H() η quindi l equazione (.4) ammee l inegrale generale u(, ξη) G() ξ + H() η (.5) cui equivale la criura con le variabili fiiche u (,) G ( + c) + H ( c) (.6) dea inegrale generale dell equazione delle onde, dove con G ed H i ono indicae due funzioni del uo arbirarie. Per oddifare le condizioni iniziali (.), però, le funzioni G ed H devono eere cele in maniera opporuna, oia poo u cg '( + c) ch '( c) (.7) dall impoizione delle condizioni (.) alle equazioni (.6) e (.7) oeniamo u (,) G () + H () f() u (,) cg'() ch '() f () e funzioni G () e H () devono quindi verificare le condizioni (.8), da cui ricaviamo G ( ) f( ) + f( ydy ) c a a H ( ) f( ) f( ydy ) c Soiuendo ali valori nella formula dell inegrale generale (.6) i oiene (.8) (.9) + c u (,) f( c) f( c) f() ydy + + + c (.) c a (.), che prende il nome di formula di D Alember, eprime l unica oluzione del problema di valori iniziali per l equazione delle onde. 47
. Problemi ben poi Un problema relaivo ad una equazione alle derivae parziali i di ben poo nel eno di Hadamard e ono verificae le egueni condizioni: i. la oluzione eie ed è unica; ii. ale oluzione è coninua ripeo ai dai, ciò ignifica che a piccole variazioni dei dai aegnai corripondono piccole variazioni della incognia oluzione. Applichiamo, dunque, quea definizione alla oluzione di D Alember (.) per il problema di valori iniziali relaivo all equazione delle onde u c u (.) u (,) f() (.) u (,) f () (.3) dove, ricordiamo, f (), f () ono funzioni noe aegnae al variare di u uo l ae definio dall equazione. a preciazione dell inieme del piano (,) nel quale è definia l incognia oluzione coiuice un fao preliminare dell inera analii e per quano riguarda il problema in eame la u (,) rea definia in Per quano deo in precedenza, la oluzione di D Alember u (,) f( c) f( c) f() ydy + + + c (.) c riolve ceramene il problema definio da (.), (.) e (.3), ma al fine di eeguire una uleriore verifica inroduciamo ancora una vola le variabili caraeriiche ξ + c η c Una vola calcolai i egueni ermini derivai dalla (.) 48 + c u ξ u η u + f '() ξ + f '() η + f () ξ f () η ξ η c u ξ u η c u + f '() ξ f '() η + f () ξ + f () η ξ η
dao che u f ''( ξ) f ''( η) f '( ξ) f '( η) + + c c c u f ''( ξ) f ''( η) f '( ξ) f '( η) + + d d fydy () f () d ; fydy () f () d a i oerva che, oiuendoli nell equazione delle onde (.), quea rimane idenicamene oddifaa. Reano perciò da verificare le condizioni iniziali (.) e (.3), che riulano u(,) f ( ) f ( ) f ( y) dy f ( ) + + c c u f '( ) f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) + + Dunque la (.) rappreena effeivamene la oluzione del problema di valori iniziali per l equazione delle onde. Specifichiamo adeo che ipo di oluzione è aa deerminaa. Una oluzione i dice regolare e è doaa di derivae prime e econde che oddifano le (.), (.) e (.3). In al cao diremo che la oluzione è di clae b C nell inieme di definizione preciao, ovvero che appariene a Ω C (,):, Quee condizioni ono riulae, in maniera implicia, necearie per poer eeguire la verifica di cui opra, quindi l eienza della oluzione u in ipoei ui dai C è aicuraa dalle egueni f ( ) C ( ) (.) f ( ) C ( ) Allora e i dai iniziali aegnai verificano la condizione (.), la oluzione (.) è regolare nel eno definio in precedenza, quindi è oddifaa la richiea di Hadamard. unicià è già dimoraa dal meodo di coruzione della oluzione. Infai, applicando i ragionameni precedeni, ipoizziamo l eienza di due oluzioni u e u che per aurdo upponiamo differeni u u. Allora i ha 49
Definiamo la differenza u u u c u : u (,) f ( ) ; u (,) f ( ) u c u : u (,) f () ; u (,) f () u u v e oraendo membro a membro le precedeni equazioni, deve riulare v c v conemporaneamene alle egueni condizioni iniziali quindi oeniamo come unica oluzione v (,) v (,) v (,) Dunque il problema ammee un unica oluzione nella clae Occorre poi verificare la condizione ii. impoa da Hadamard. In ogni inervallo di empo limiao, grande quano i voglia e con qualunque purché finio, le funzioni f ed f ono empre limiae, come lo ono le loro derivae. Allora nell inieme T eiono gli eremi uperiori f up f ( c) Ω ± f up f ( c) ± Ω Coniderando ancora la oluzione di D Alember (.), è poibile maggiorare la funzione u nel modo eguene + c C. u f f f dy f f + + + c c ma poiché appariene ad un inieme limiao, è poibile maggiorare uleriormene la funzione u oenendo u f + f T,, T (.) 5
Quea eprime un principio di maimo per la oluzione del problema di valore iniziale per l equazione delle onde. Vale quindi come principio di coninuià della oluzione ripeo ai dai. 3. Proprieà della propagazione ondoa Fiao un puno qualiai P (, ) del emipiano in cui è definia la oluzione, deerminiamo quano vale l incognia u proprio in deo puno. Dalla oluzione (.) oeniamo Supponendo + c u (, ) f( c) f( c) f( ydy ) + + + c (3.) c f () ovvero, da un puno di via fiico, che la velocià iniziale ia nulla, la oluzione (3.) i riduce a Tracciando la rea caraeriica u (, ) f ( + c) + f( c) c c i oerva che il puno di inerezione con l ae ha coordinae A ( c,) Dao che l equazione delle onde ha anche un alra famiglia di curve vieae, eierà una econda rea caraeriica paane per il puno P e che inerecherà l ae delle nel puno B di coordinae B ( + c,) Dunque, più in generale, riula che la oluzione aume il eguene valore in un dao puno del emipiano in cui è definia u (, ) f ( B) + f( A) pari, cioè, alla media arimeica dei valori che il dao iniziale f aume nei puni A e B. 5
ungo la rea caraeriica che paa per A il valore iniziale f ( A ) rimane inalerao, oia i diurbi iniziali i propagano inalerai lungo le caraeriiche. Allora la oluzione nel puno P dipende olo dai valori del dao iniziale f calcolao nei puni A e B. inieme coiuio da quei due oli puni { AB, i dice, nel cao in eame ( f ), dominio di dipendenza della oluzione. Nel cao più generale ammeiamo f e quindi i ha u (, ) f( B) f( A) f( ydy ) + + c A Come i può oervare, il valore dell incognia dipende da ui i puni che i inconrano nel egmeno AB, perciò il dominio di dipendenza della oluzione riula { { A B{ Il primo ermine dell epreione (3.), oia la media dei valori del dao iniziale f calcolai in A ed in B, i dice onda pura, menre il econdo rappreena un ermine di diffuione, dao che dipende da ui i valori inermedi ra A e B. Supponiamo ora di aegnare un diurbo f ull ae ed analizziamo quali puni del emipiano è capace di influenzare. Scelo un puno ( ξ,) racciamo le caraeriiche che andranno a definire l inieme di puni influenzabili dal valore iniziale inrodoo in ξ aravero un eore di ampiezza ϕ. Tale regione del piano prende il nome di dominio di influenza del dao iniziale in ξ. Il diurbo, quindi, è capace di influenzare olo i puni conenui nel dominio di influenza, il che, da un puno di via fiico, i raduce in una velocià di propagazione delle onde finia rappreenaa dalla coane c che compare nell equazione (.). Andiamo a coniderare il parallelogramma ABCD i cui lai ono egmeni di ree caraeriiche. Aravero la oluzione (.) i può ricavare le eguene relazione fondamenale ua ( ) + ub ( ) uc ( ) + ud ( ) (3.) Aravero la quale, poa nella forma B ua ( ) uc ( ) + ud ( ) ub ( ) (3.3) 5
Permee di deerminare il valore della oluzione in un verice di un parallelogramma conocendo i valori che ea aume negli alri re verici. 4. Equazione delle onde nella ricia Definiamo, olre alle condizioni (.) e (.3), le egueni u(, ) ϕ( ) ; u(, ) ψ( ) (4.) inieme di definizione del problema riula quindi ovvero la ricia di ampiezza, ui bordi della quale ono definii i dai iniziali. Illuriamo ora la rioluzione del problema aravero il meodo delle rifleioni o delle caraeriiche. Si può coruire una reicolazione della ricia di ampiezza andando a coniderare ue le porzioni delimiae dai bordi e dalle curve caraeriiche appareneni alle due famiglie, una vola che quee iano ae racciae a parire dai puni del piano (, ) e (,) e da ue le inerezioni che ee individuano con le ree vericali E e. Coniderando il riangolo ODA e cegliendo un puno generico P al uo inerno, e i B C racciano le caraeriiche paani per eo, è D poibile deerminare immediaamene il valore della oluzione in P in bae ai valori dei dai iniziali, anche O (,) A (,) nel cao in cui il puno P apparenga ad una delle caraeriiche che delimiano il riangolo in eame. Dunque la oluzione del problema è compleamene noa all inerno del riangolo ODA. Paando al riangolo ODB, preo un puno P al uo inerno per il quale vengono racciae le caraeriiche, i deerminano le oluzioni nel puno di inerezione con l ae vericale, in bae alla condizione al conorno u(, ) ϕ( ), e nei puni di inerezione con la caraeriica OC, in bae ai dai 53