MISUR DI RSISTNZA CON IL MTODO DI CONFRONTO DLL CADUT DI TNSION 1. Premessa Oggigiorno esistono strumenti ompatti e semplii da utilizzare per la misura di resistenza: gli ohmetri (parte integrante dei multimetri). Tali strumenti mostrano però evidenti limiti quando si intendono misurare on elevata preisione resistenze di piolo valore (pohi ohm o frazioni: 10-2 10-6 Ω) quali avvolgimenti di mahine elettrihe, spezzoni di avi o onduttori di linee, shunt, di barre di rame, e., per la misura della resistività attraverso la misura della resistenza di un ampione filiforme. In questi asi è neessario riorrere a metodi alternativi agli strumenti quali: Metodi a aduta di tensione Ponte di Thompson. La resistenza di un resistore in.. è definita, per la legge di Ohm, ome il rapporto tra la tensione ai morsetti e la orrente di irolazione (fig. 1): I metodi di misura he si basano sulla appliazione della definizione della legge di Ohm si hiamano Metodi a aduta di tensione ed esistono diversi metodi a seonda degli shemi e degli strumenti he si adoperano. Il più semplie prevede l impiego di un voltmetro e di un amperometro ed è noto ome Metodo voltamperometrio, in fig. 2 è riportato uno dei possibili shemi.
Il metodo sembra semplie: in realtà i due strumenti (a ausa delle loro resistenze interne: piola ma non nulla per l amperometro, grande ma non infinita per il voltmetro), una volta inseriti nel iruito, provoano variazioni delle grandezze elettrihe (orrente e tensione) rispetto a quelle he si avrebbero in assenza degli strumenti (fig. 3). È impossibile misurare la orrente e la tensione he interessano la resistenza R senza presindere da tali variazioni. Osserviamo he: Con una opportuna selta degli strumenti le variazioni di orrente e di tensione possono essere trasurabili Le variazioni di orrente e di tensione possono essere determinate e portate in onto. 2. Metodo di onfronto delle adute di tensione Con detto metodo le perturbazioni ausate dagli strumenti di misura, nella maggior parte dei asi pratii, hanno minore influenza sulla misura: il metodo prevede he la stessa orrente attraversi sia la resistenza oggetto della prova, sia una resistenza ampione, on un voltmetro si onfrontano le due rispettive adute di tensione. Fig. 4 metodo di onfronto delle adute di tensione (shema di prinipio) Un terzo metodo (Metodo potenziometrio) è analogo al preedente: si sostituise al voltmetro un potenziometro rendendo nulle le perturbazioni ed ottenendo anhe maggior preisione (on osti superiori). 3. Diffioltà nella misura di piole resistenze Supponiamo di voler misurare la resistenza R definita tra le estremità A e B dei morsetti aessibili M (fig. 5):
Il valore di R può essere determinato dal rapporto tra la CdT he si stabilise tra A e B e la relativa orrente di irolazione. In pratia, quando si deve realizzare l inserzione di R nel iruito di misura, sono possibili i due shemi di montaggio indiati in fig.6 e fig.7 (si è fatta per sempliità l ipotesi di porre i puntali del voltmetro in posizioni simmetrihe): dove: - sono i avetti di adduzione della orrente -r sono le resistenze di ontatto loalizzate nei punti in ui i morsetti A e B si innestano ai avetti -r1, ed r'1, sono, rispettivamente, le resistenze di una parte dei morsetti M e di un tratto dei avetti. A presindere dal onsumo dello strumento volumetrio (orrente derivata nel voltmetro), si osserva he la misura della resistenza, intesa ome rapporto tra le tensione letta al voltmetro e la orrente inviata, è affetta da un errore sistematio. Infatti, nei asi riportati in fig. 6 e 7, detto Rm il valore della misura, risulta rispettivamente: La differenza tra valore misurato Rm ed il valore effettivo della R è funzione (a seonda dei asi) delle resistenze r, r1, ed r'1,. Infatti: r1 ed r'1 dipendono dalla lunghezza e sezione dei rispettivi tratti; le resistenze di ontatto r dipendono dallo stato delle superfii, dalla pressione dei ontatti, dalla natura dei materiali, e. ed hanno valori variabili; anhe in ollegamenti aurati le r possono assumere valori dell'ordine di 10-4 Ω.
Di onseguenza, se la misura riguarda resistenze dell'ordine della deina di ohm o maggiore l errore sistematio rappresentato da 2*r1 o da 2*(r+r 1) non ha influenza sulla preisione propria del metodo di misura adottato, se invee la resistenza da misurare ha valori dell ordine di 10-1 10-2 Ω o inferiore, l'errore dovuto alle sole resistenze di ontatto, nel aso si voglia misurare un entesimo di ohm, potrebbe assumere valori anhe di qualhe perento. Questa onlusione mette in lue una delle diffioltà he presenta la misura di preisione di piole resistenze. Diviene periò indispensabile riorrere ad aorgimenti partiolari. 4. Resistori a 4 morsetti Uno di questi aorgimenti onsiste nel munire la resistenza oggetto della misura di 4 morsetti aessibili ome indiato in fig. 8: I morsetti più esterni servono per addurre la orrente e sono detti morsetti amperometrii; l morsetti più interni servono per rilevare la tensione e sono detti morsetti voltmetrii. Il valore di resistenza he in tal aso si misura è quella definita tra i punti di attao dei morsetti interni: R = V/I. Questo valore non inlude le resistenze di ontatto ra presenti in orrispondenza dei morsetti amperometrii. D'altra parte il iruito ollegato ai morsetti voltmetrii ha di solito resistenza elevata rispetto ad R ed è attraversato da orrenti molto piole; quindi le CdT sulle resistenze di ontatto rv, sono trasurabili rispetto a V, e non ausano errore apprezzabile nella determinazione di R. Riepilogando: Il valore della resistenza a 4 morsetti definito ome rapporto tra la CdT misurata ai morsetti voltmetrii e la orrente di irolazione non è pratiamente affetto da errore sistematio dovuto alle resistenze di ontatto.
5. Misura di resistenza on il metodo di onfronto delle adute di tensione Il metodo di onfronto delle adute di tensione, he deriva dal metodo voltamperometrio, ben si presta per la rapida misura di piole resistenze (quali di spezzoni di avo elettrio, di avvolgimenti di mahine elettrihe, e.) quando non si dispone ontemporaneamente (ome nel metodo voltamperometrio) di un voltmetro e di amperometro di adeguate portate ed auratezze, e si dispone invee di un solo millivoltmetro e di resistori di preisione e quattro morsetti. fig. 9 - Shema del iruito di misura Con riferimento al iruito in figura, quando il millivoltmetro è ommutato su R, la aduta di tensione V misurata dallo strumento ai morsetti voltmetrii di R vale: Quando il millivoltmetro è ommutato su Rx, la aduta di tensione Vx misurata dallo strumento ai morsetti voltmetrii di Rx vale: Dove Rv india la resistenza interna del millivoltmetro ed Rs rappresenta la somma di tutte le altre resistenze presenti nella maglia di alimentazione (eventuale reostato di regolazione della orrente, avi di ollegamento, resistenza interna della batteria o dell alimentatore stabilizzato). Dividendo membro a membro le preedenti espressioni si ottiene:
Dividendo numeratore e denominatore per Rv si ottiene onsiderato he solitamente Rv >> Rx : risulta, nel aso peggiore: NB: Nell ipotesi he sia verifiata la (5), alla determinazione della Rx e della sua inertezza ( (6) e (7) ), non danno ontributo: il valore di Rs, b l indiazione dell amperometro, quindi: non è indispensabile he la Rs sia nota on preisione, è invee indispensabile he non vari durante la misura ad esempio a ausa di risaldamento per effetto Joule, non è indispensabile he l amperometro sia uno strumento partiolarmente preiso: la sua funzione è solo quella di monitorare la orrente di irolazione. 6. sempio numerio Si vuole misurare la piola resistenza Rx di una barra di rame a quattro morsetti, avente le aratteristihe riportate nella tabella 1, on il metodo di onfronto delle adute di tensione disponendo un millivoltmetro digitale in orrente ontinua (Multimetro HP 34401 A) on le aratteristihe riportate nella tabella 2. È rihiesta una inertezza di 1 %
Tab.1 Componente in prova: barra di rame on le seguenti aratteristihe: resistività a 20 C (ρ) 1,76 *10-8 Ω m lunghezza (l) 0,9 m sezione (s) (3 * 30) mm 2 oeffiiente medio di temperatura tra 0 e 100 C (α) 0,0042 K -1 Resistenza Rx stimata 0,176 mω Tab. 2 Voltmetro (multimetro HP 34401 A) Portata 100 mv risoluzione 100 nv resistenza di ingresso > 10 GΩ inertezza di misura U V ± (0,0050 % della lettura + 0,0035 % della portata) Con riferimento al iruito di figura ed utilizzando: una resistenza ampione a quattro morsetti R = 0,10000 mω nota on una inertezza pari allo 0,01 %, orrente massima sopportabile Imax=10A; un alimentatore stabilizzato HP 3631 A (avente ripple, rumore e resistenza interna trasurabili) he può fornite una tensione variabile massima pari a 6 V he onsente la irolazione di una orrente di lavoro massima di I 5 A
Determiniamo la massima orrente he può irolare: In ondizioni di regime termio: Rx I 2 = k S T (8) dove: k = 10 W /(m 2 K) è il fattore di adduzione del alore he porta in onto fenomeni di onvezione ed irraggiamento (il valore assegnato è desumibile da tabelle riportate sul Manuale dell ingegnere; S è la superfiie attraverso ui avviene la trasmissione del alore (he oinide on la superfiie laterale del onduttore rigido assegnato) e vale S = 0,059 mm 2. ssendo l inertezza rihiesta pari a 1 %, la variazione di resistenza a ausa dell autorisaldamento della barra deve essere ontenuta entro 0,05%; quindi, essendo: R(T 2 ) = R(T 1 ) (1+α T) (9) l errore dovuto al risaldamento del onduttore vale: quindi il valore massimo della orrente he può irolare vale: Tab. 3
Il nostro alimentatore stabilizzato è in grado di fornire 5 A e risulta quindi idoneo per l alimentazione del iruito di misura. ssendo la somma delle resistenze Rx, R e dei ollegamenti pari ira a R = 0,3 mω è neessario appliare (per onsentire la irolazione di una orrente inferiore a 20 A ed anhe inferiore a 5 A) una f.e.m.: = R*I = 0,3 *10-3 *5 =1,5 mv. Non avendo l alimentatore stabilizzato disponibile in laboratorio una adeguata sensibilità di regolazione, siamo ostretti a inserire un reostato (ad esempio da 5Ω, Imax =10A) impostato su 1 Ω allo sopo di ottenere 5 A on una tensione di alimentazione di 5 V. Si eseguono quindi le seguenti misure di aduta di tensione: Vx = 0,7948 mv; V = 0,4524 mv (12) La misura è effettuata nelle seguenti ondizioni ambientali: temperatura: 20,5 C; umidità relativa: 60 %; aria ferma. Con riferimento alla tabella 3 he riporta le speifihe in.. del voltmetro non oorre effettuare orrezioni dovute alla temperatura ambiente. Considerato he risulta verifiata la relazione (5) : risulta: e quindi sostituendo i valori numerii: (la preedente relazione è sritta in modo non orretto on tutte le ifre fornite dalla alolatrie) Per quanto riguarda le inertezze di misura, essendo:
possiamo quindi srivere: In definitiva: Rx = (175,7 ± 2,1) µω = 175,7 µω ± 1,2 % N.B.1: Valutazione dell inertezza, tenendo presente he si è usato un voltmetro digitale (on inertezza espressa in formula binomia), adoperandolo sulla medesima portata. Come si riorda dalla teoria, un voltmetro digitale on dihiarazione d inertezza in formula binomia utilizzato sulla portata V FS presenta nella misura di una tensione V, un errore assoluto omplessivo somma di un errore di lettura (he porta in onto l errore di guadagno) proporzionale alla lettura, e di un errore di portata in generale indipendente dalla lettura (he porta in onto errore di offset, di non linearità integrale e di quantizzazione). Tale errore assoluto e la sua versione relativa sono rispettivamente espressi dalle seguenti relazione: V = LV + PV = G V + PV + e = = = + = e + e V V V V LV PV PV V G LV PV Risulta quindi he l errore relativo di lettura non dipende dalla lettura V, risultando quindi ostante su tutta la sala e pari all errore di guadagno: questo signifia he tutte le letture he vengono effettuate sulla stessa sala presentano il medesimo errore relativo di lettura, maggiorato dal ostruttore on l inertezza relativa (%) di lettura, he ritroviamo nella dihiarazione dell inertezza: inertezza di misura U V ± (0,0050 % della lettura + 0,0035 % della portata) Di ontro, l errore relativo di portata e PV = PV V dipende non solo dalla lettura a denominatore del rapporto, ma anhe dal numeratore, he ome è stato già preisato, porta in onto gli errori di offset, di non linearità integrale e di quantizzazione, dei quali gli ultimi due dipendono anh essi dalla partiolare lettura. Di onseguenza l errore relativo di portata non è ostante né in modulo, né in segno.
Veniamo ora alla misura del rapporto V x /V, il ui errore relativo, ome è noto, è espresso da: e e e Vx V LVx PVx LV PV PVx PV PVx PV Vx V = = + = LV + LV = Vx V Vx Vx V V Vx V Vx V Questo signifia he la maggiorazione del suo modulo (inertezza relativa) è pari a: PV 1 1 x PV PV x PV U PV U PV e = + + = U u Vx V Vx V Vx V + = Vx V Vx V PV Vx V e pertanto le formule da adoperare nella misura della resistenza ol metodo di onfronto a CdT, on sensibile riduzione nella valutazione dell inertezza rispetto al aso preedente, risultano: 1 1 U UR = R x x, m UPV + + V V R R xm, m, m, 2 2 1 1 R, std Rx, std= x, m PV, std + + 2 2 2 Vxm, V m, Rm, U R U U Naturalmente, U PV risulta dalla tabella di ui sopra, ome inertezza assoluta di portata: inertezza di misura U V ± (0,0050 % della lettura + 0,0035 % della portata) N.B.2: Valutazione dell inertezza, tenendo presente he si è usato un voltmetro digitale (on inertezza espressa in formula polinomia), adoperandolo sulla medesima portata. Come si riorda dalla teoria, un voltmetro digitale on dihiarazione d inertezza in formula polinomia utilizzato sulla portata V FS presenta nella misura di una tensione V, un errore assoluto omplessivo somma di un errore di lettura (he porta in onto l errore di guadagno) proporzionale alla lettura, nonhé dei seguenti errori: un errore di offset indipendente dalla lettura, un errore di non linearità integrale dipendente dalla lettura, ed un errore di quantizzazione, anh esso dipendente dalla lettura. Tale errore assoluto e la sua versione relativa sono rispettivamente espressi dalle seguenti relazioni: V = G V + o + inl( V) + q( V) G V + o + inl( V) + q( V) ( ) q( V) V o inl V ev = = = G + + + V V V V V Risulta quindi he l errore relativo dovuto al guadagno non dipende dalla lettura V, risultando quindi ostante su tutta la sala: questo signifia anhe qui he tutte le letture he vengono effettuate sulla stessa sala presentano il medesimo errore relativo dovuto al guadagno (errore relativo di lettura).
Di ontro, gli altri tre errori relativi dipendono dalla lettura: in partiolare, l errore relativo di offset eo = o V dipende dalla lettura a denominatore del rapporto (ma il numeratore è ostante su tutta la sala), l errore relativo di non linearità integrale e = ( V) V e l errore relativo di quantizzazione e ( ) q = q V V dipendono non solo dalla lettura a denominatore del rapporto, ma anhe dal numeratore, variabile a seonda della partiolare lettura. Di onseguenza, questi ultimi due errori relativi non sono ostanti né in modulo, né in segno, mentre il primo dei tre ( e o = o V ), essendo ostante il suo numeratore, ambia solo in modulo al variare della lettura, ma non nel segno. Veniamo quindi alla misura del rapporto V x /V, il ui errore relativo è ora espresso da: V ( ) ( ) ( ) ( ) x V o inl V q V x x o inl V q V evx V= = G+ + + G = Vx V Vx Vx Vx V V V 1 1 ( ) ( ) q( Vx) q( V) inl Vx inl V = o + + V x V x V x V V x V Questo signifia he la maggiorazione del suo modulo (inertezza relativa) è pari a: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) inl Vx inl V q Vx q V 1 1 1 ev ( ) x V = o + + o + inl Vx + Vx Vx Vx V Vx V Vx Vx Vx 1 1 1 1 1 1 1 + ( V ) + ( V ) + ( V ) U + ( U + U ) u x V Vx V Vx V + = x Vx V inl q x q o inl q V V e pertanto le formule da adoperare nella misura di resistenza ol metodo di onfronto a CdT, on notevole riduzione nella valutazione dell inertezza, risultano: 1 1 1 1 U R U ( U U ) R R = x x, m V, o + V, inl + V, q + + Vxm, V m, Vxm, V m, Rm, 2 2 2 1 1 2 2 1 1 U R, std R,,,, (,,,, ) x std = x m V o std + V inl std + V q std + + 2 2 2 Vxm, V m, Vxm, V m, Rm, U R U U U inl inl U
MISURA DLLA RSISTNZA DI UNO SPZZON DI CAVO IN RAM ATTRAVRSO IL MTODO DI CONFRONTO A CADUTA DI TNSION ρl Per un onduttore filiforme, ome è noto, la resistenza è espressa da: Rx =, dove ρ è la resistività s (espressa usualmente in Ω m), l è la lunghezza, s = π D 2 4 (on D diametro) è la sezione del onduttore. Sia dato quindi un onduttore di rame in guaina isolante (di diametro 8 esterno D ), per il quale si assuma ρ 210 Ω m a 20 C, il oeffiiente medio di temperatura α = 0,0042 K -1, un fattore di adduzione del alore medio rame+guaina (he porta in onto fenomeni di onvezione ed irraggiamento) pari anora a k = 10 W /(m 2 K) ira. D D Per ottenere un valore di massima della resistenza da misurare, si misura on il alibro il diametro D del filo in rame, e on un metro estensibile la lunghezza l ompresa tra le due pinze voltmetrihe (entro-entro), adoperando la formula teoria sopra itata. Si seglie a questo punto la resistenza ampione R a quattro morsetti da ollegare in serie alla R x, prendendo quella di valore ad essa più viino (ve ne sono due: una da 0,01 Ω e l altra da 0,001 Ω, on inertezza U. Per determinare la orrente massima da far sorrere nel provino, si adotta la formula già vista nell esempio numerio, a proposito del alore trasmesso all esterno: 4ρ 2 R x I 2 2 I 2 4 = k S l T, da ui: Dl ρi T = π = k πdl kπ DD R ( ) 2 2 l A V V A Ipotizzando un errore relativo di temperatura inferiore allo 0,05%, si ottiene, ome si è visto: 2 4ρI T = 0,12 K, da ui si riava il valore massimo I 2 2 max della orrente di alimentazione. kπ DD Selta una orrente I 0 adeguatamente inferiore a Imax, si imposta il generatore in.. in modo tale da fornire una orrente ostante pari ad I 0. Si alimenta la resistenza in prova in serie on quella ampione R (onnessa on i suoi morsetti amperometrii, rionosibili in quanto più spessi), attraverso il generatore, faendo irolare la orrente I 0. Si onnette poi suessivamente il voltmetro digitale (multimetro da bano on R v molto elevata, il ui valore va rierato nelle sue speifihe) alle pinze voltmetrihe del avo in prova, rilevando la misura di tensione V x orrispondente. Poi si onnette lo stesso voltmetro ai morsetti voltmetrii della resistenza ampione, registrando anhe qui la misura di tensione V orrispondente.
Dopo aver verifiato he l errore di onsumo risulta trasurabile, si riava la misura di R x attraverso la nota formula: Vx Rx = R V La misura va ovviamente sritta in base al ongruo numero di ifre signifiative, in base all inertezza assoluta, valutata nel aso peggiore tenendo presente he la misura del rapporto tra le due tensioni è stata effettuata adoperando lo stesso voltmetro (on formula d inertezza binomia) sulla stessa portata: 1 1 U R UR = R x x, m UPV + + V V R xm, m, m, Se invee si è ambiata la portata, la formula diventa ovviamente: U Rx U U U = Rx, m + + V V R Vx V R xm, m, m, A questo punto si può verifiare se il valore approssimativo stimato in partenza per R x risulta all interno dell intervallo di onfidenza al 100 % osì determinato.